1.3 算法案例
第1课时 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
课后篇巩固提升
1.用更相减损术求459与357的最大公约数,需要做减法的次数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析459-357=102,
357-102=255,
255-102=153,
153-102=51,
102-51=51,
所以459与357的最大公约数为51,共做减法5次,故选B.
答案B
2.用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时v3的值为( )
A.27 B.86
C.262 D.789
解析多项式变形为f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x,
v0=7,
v1=7×3+6=27,
v2=27×3+5=86,
v3=86×3+4=262.
答案C
3.运行下面的程序,当输入n=840和m=1 764时,输出的结果是( )
INPUT m,n
DO
r=m MOD n
m=n
n=r
LOOP UNTIL r=0
PRINT m
END
A.84 B.12
C.168 D.252
解析∵1 764=840×2+84,840=84×10,
∴1 764与840的最大公约数为84.
答案A
4.用秦九韶算法求n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值,当x=x0时,求f(x0)需要算乘方、乘法、加法的次数分别为( )
A.n(n+1)2,n,n B.n,2n,n
C.0,n,n D.0,2n,n
解析多项式变形为f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0,把x0代入上式可求f(x0),所以不需要做乘方运算,做乘法和加法运算的次数分别是n,n,故选C.
答案C
5.三个数175,100,75的最大公约数是( )
A.5 B.25
C.75 D.50
解析先求175与100的最大公约数:
175=100×1+75,
100=75×1+25,
75=25×3.
则175与100的最大公约数是25.
以下再求25与75的最大公约数:
75-25=50,50-25=25.故25是75和25的最大公约数,也就是175,100,75的最大公约数.
答案B
6.已知a=333,b=24,则使得a=bq+r(q,r均为自然数,且0≤r解析用333除以24,商即为q,余数就是r.333=24×13+21.
答案13,21
7.已知多项式p(x)=3x5+9x4+x3+kx2+4x+11当x=3时的值为1 616,则k= .?
解析p(x)=((((3x+9)x+1)x+k)x+4)x+11,p(3)=((((3×3+9)×3+1)×3+k)×3+4)×3+11=1 616.所以k=12.
答案12
8.用更相减损术求152与92的最大公约数时,需要做减法的次数是 .?
解析∵152与92都是偶数,∴先两次用2约简得38与23,又38-23=15,
23-15=8,
15-8=7,
8-7=1,
7-1=6,
6-1=5,
5-1=4,
4-1=3,
3-1=2,
2-1=1,
故要做10次减法.
答案10
9.有甲、乙、丙三种溶液质量分别为147 g,343 g,133 g,现要将它们分别全部装入小瓶中,每个小瓶装入液体的质量相同,则每瓶最多装 g.?
解析先求147与343的最大公约数:
343-147=196,
196-147=49,
147-49=98,
98-49=49.
所以147与343的最大公约数是49.
再求49与133的最大公约数:
133-49=84,
84-49=35,
49-35=14,
35-14=21,
21-14=7,
14-7=7.
所以147,343,133的最大公约数为7,
即每瓶最多装7 g.
答案7
10.求324,243,135的最小公倍数.
解因为324=243×1+81,243=81×3,所以324和243的最大公约数是81,所以324和243的最小公倍数是324×24381=972.又972=135×7+27,135=27×5,所以27是972和135的最大公约数,所以972和135的最小公倍数是972×13527=4 860.所以324,243,135的最小公倍数是4 860.
11.用秦九韶算法求多项式f(x)=x6-5x5+6x4+x2+0.3x+2当x=-2时的值.
解∵f(x)=x6-5x5+6x4+0·x3+x2+0.3x+2
=(((((x-5)x+6)x+0)x+1)x+0.3)x+2,
∴当x=-2时,
v0=1,
v1=-2-5=-7,
v2=-7×(-2)+6=20,
v3=20×(-2)+0=-40,
v4=-40×(-2)+1=81,
v5=81×(-2)+0.3=-161.7,
v6=-161.7×(-2)+2=325.4.
∴f(-2)=325.4.
课件28张PPT。第1课时 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法一、辗转相除法
1.在小学时,我们利用找公约数的方法来求两个正整数的最大公约数.你能利用这种方法求出36与60的最大公约数是多少吗?
提示首先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来即为最大公约数.由于2.如果两个正整数的公约数比较大,并且根据我们的观察又不能一下子得到它们的公约数,我们又该如何求出它们的最大公约数?比如,怎样求出8 251与6 105的最大公约数?观察等式8 251=6 105×1+2 146,你发现8 251与6 105这两个数的公约数和6 105与2 146的公约数有什么关系?
提示8 251的最大约数是2 146的约数,同样6 105与2 146的公约数也是8 251的约数,故8 251与6 105的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数.3.又6 105=2 146×2+1 813,同理,6 105与2 146的公约数和2 146与1 813的公约数相等.重复上述操作,你能得到8 251与6 105这两个数的最大公约数吗?
提示8 251=6 105×1+2 146,
6 105=2 146×2+1 813,
2 146=1 813×1+333,
1 813=333×5+148,
333=148×2+37,
148=37×4+0.
最后的除数37是148和37的最大公约数,也是8 251与6 105的最大公约数.4.填空:上述这种求两个正整数的最大公约数的方法就是辗转相除法,又叫欧几里得算法,是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法.其算法步骤如下:
第一步,给定两个正整数m,n.
第二步,计算m除以n所得的余数r.
第三步,m=n,n=r.
第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;否则,返回第二步. 5.做一做1:判断题
辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数. ( )
答案:√6.做一做2:求667与928的最大公约数.
解:928=667×1+261,667=261×2+145,
261=145×1+116,145=116×1+29,
116=29×4,
所以667与928的最大公约数是29.二、更相减损术
1.设两个不都是偶数的正整数m,n(m>n),若m-n=k,则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等,反复利用这个原理,可求得98与63的最大公约数是多少?
提示98-63=35,63-35=28,35-28=7,28-7=21,21-7=14,14-7=7,∴98与63的最大公约数为7.2.填空:上述求两个正整数的最大公约数的方法称为更相减损术.其算法步骤如下:
第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数.若是,用2约简;若不是,执行第二步.
第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数.继续这个操作,直到所得的差与减数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数. 3.做一做3:判断题
用更相减损术求294和84的最大公约数时,需做减法的次数是3. ( )
答案:×
4.做一做4:更相减损术可解决下列问题中的( )
A.求两个正整数的最大公约数
B.求多项式的值
C.进位制的转化计算
D.排序问题
解析:更相减损术是解决求两个或两个以上的正整数的最大公约数的.
答案:A5.做一做5:342与589的最大公约数为 .?
解析:589-342=247,342-247=95,
247-95=152,152-95=57,
95-57=38,57-38=19,38-19=19.
所以342与589的最大公约数为19.
答案:19三、秦九韶算法
1.已知多项式函数f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1,当x=5时f(5)=55+54+53+52+5+1=3 906.这种计算求值的过程中乘法运算和加法运算的次数分别是多少?
提示乘法运算10次,加法运算5次.
2.如果我们把上述多项式函数的解析式变形为f(x)=((((x+1)x+1)x+1)x+1)x+1,计算当x=5时f(5)的值,再统计一下这种计算求值的过程中乘法运算和加法运算的次数分别是多少.
提示乘法运算4次,加法运算5次.3.填空:问题2中的算法比问题1中的算法少了6次乘法运算,大大简化了运算过程.问题2中的算法就叫秦九韶算法.
一般地,
f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0
=(anxn-1+an-1xn-2+an-2xn-3+…+a1)x+a0
=((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0
=…
=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,…,vn=vn-1x+a0,这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值. 4.做一做6:判断题
(1)用秦九韶算法计算f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值,需要进行乘法运算和加法运算的次数均为6. ( )
(2)利用秦九韶算法求f(x)=1+2x+3x2+4x3+5x4+6x5当x=2时的值时,先求6×2+5,第二步求2×(6×2+5)+4. ( )
答案:(1)√ (2)√5.做一做7:用秦九韶算法求f(x)=2x3+x-3,当x=3时的值v2= .?
解析:f(x)=((2x+0)x+1)x-3,
v0=2;
v1=2×3+0=6;
v2=6×3+1=19.
答案:19探究一探究二思维辨析例1 求下列两数的最大公约数:
(1)228与2 223;
(2)612与468.
分析228与2 223相差较大,用辗转相除法求最大公约数;612与468相差较小,用更相减损术求最大公约数.
解:(1)用辗转相除法求228与2 223的最大公约数.
2 223=228×9+171,
228=171×1+57,
171=57×3.
所以228和2 223的最大公约数为57.求两个正整数的最大公约数 当堂检测探究一探究二思维辨析(2)首先612和468都是偶数,所以用2约简,得到306和234,还是偶数,需要再用2约简,得到153和117,最后用更相减损术计算.
153-117=36,
117-36=81,
81-36=45,
45-36=9,
36-9=27,
27-9=18,
18-9=9.
所以612和468的最大公约数是9×2×2=36.当堂检测探究一探究二思维辨析反思感悟 1.求两个正整数的最大公约数,可以用辗转相除法,也可以用更相减损术.用辗转相除法,即根据a=nb+r这个式子,反复相除,直到r=0为止;用更相减损术,即根据r=|a-b|这个式子,反复相减,直到r=0为止.
2.求三个正整数的最大公约数,可以先求其中两个正整数的最大公约数,然后求第三个正整数与前两个正整数的最大公约数的最大公约数.
3.求多个正整数的最大公约数,可以将所求的整数分成两两一组,然后分别求每组的最大公约数,再求解由各组的最大公约数构成的新的数组的最大公约数即可.当堂检测探究一探究二思维辨析互动探究1【例1】中的(1)若添加一个数133,即求228、2 223与133的最大公约数.
分析由【例1】已经求出228与2 223的最大公约数m,则只需求出m与133的最大公约数即可.
解由【例1】可知,228与2 223的最大公约数为57.
所以57与133的最大公约数就是这三个数的最大公约数.
方法一(辗转相除法)显然133=57×2+19;
57=19×3.
所以57与133的最大公约数是19,即这三个数的最大公约数是19.
方法二(更相减损术)133-57=76,
76-57=19,
57-19=38,
38-19=19.
所以57与133的最大公约数是19,即这三个数的最大公约数是19.当堂检测探究一探究二思维辨析互动探究2【例1】中的(2)改为求这两个数的最小公倍数呢?
解由【例1】可知,612与468的最大公约数为36.当堂检测探究一探究二思维辨析求多项式的值
例2 用秦九韶算法求多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1当x=-2时的值.
分析首先将多项式化为多个一次式复合的形式,然后从内到外逐层求解.
解f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1
=((((x+5)x+10)x+10)x+5)x+1.
当x=-2时,有v0=1;
v1=v0x+a4=1×(-2)+5=3;
v2=v1x+a3=3×(-2)+10=4;
v3=v2x+a2=4×(-2)+10=2;
v4=v3x+a1=2×(-2)+5=1;
v5=v4x+a0=1×(-2)+1=-1.
故f(-2)=-1.当堂检测探究一探究二思维辨析反思感悟1.利用秦九韶算法计算多项式的值的步骤 2.应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的问题
(1)要正确将多项式的形式进行改写.
(2)计算应由内向外依次计算.
(3)当多项式函数中间出现空项时,要以系数为零的齐次项补充.当堂检测探究一探究二思维辨析变式训练已知f(x)=x5+x3+x2+x+1,则f(3)的值为 .?
解析:原多项式可化为f(x)=((((x+0)x+1)x+1)x+1)x+1,当x=3时,v0=1;v1=1×3+0=3;v2=3×3+1=10;v3=10×3+1=31;v4=31×3+1=94;v5=94×3+1=283.所以f(3)的值为283.
答案:283当堂检测探究一探究二思维辨析用更相减损术求最大公约数时忽略乘约简数而致错
典例用更相减损术求612和468的最大公约数.
错解因为612和468都为偶数,所以两次用2约分化简,得157和117.用更相减损术求153和117的最大公约数,步骤如下:
153-117=36,117-36=81,81-36=45,45-36=9,36-9=27,27-9=18,18-9=9,所以153与117的最大公约数为9.
错因分析利用更相减损术求两个正整数的最大公约数时,需要先判断这两个数是否都是偶数,如果是偶数,用2约分化简,直到两个数不都是偶数为止,然后按照更相减损术的定义进行计算.注意求最大公约数时一定不要忘记乘前面步骤中被约掉的数.当堂检测探究一探究二思维辨析正解因为612和468都为偶数,所以两次用2约分化简,得153和117.用更相减损术求153和117的最大公约数,步骤如下:153-117=36,117-36=81,81-36=45,45-36=9,36-9=27,27-9=18,18-9=9,所以153与117的最大公约数为9,从而612和468的最大公约数为9×2×2=36.当堂检测探究一探究二思维辨析变式训练50与70的最大公约数为 .?
解析:因为50和70均为偶数,所以用2约分化简,得25和35.
35-25=10,25-10=5,10-5=5,
所以25和35的最大公约数为5.
从而50与70的最大公约数为2×5=10.
答案:10当堂检测1.下列说法中正确的个数为( )
①辗转相除法也叫欧几里得算法;
②辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数;
③求最大公约数的方法,除辗转相除法之外,没有其他方法;
④编写辗转相除法的程序时,要用到循环语句.
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:①②④正确,③错误.
答案:C探究一探究二思维辨析当堂检测2.用更相减损术求123和48的最大公约数是( )
A.3 B.7 C.9 D.12
解析:123-48=75,75-48=27,48-27=21,27-21=6,21-6=15,15-6=9,9-6=3,6-3=3,所以123和48的最大公约数是3.
答案:A探究一探究二思维辨析当堂检测3.用秦九韶算法求多项式f(x)=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6当x=-4时的值,v4的值为( )
A.-57 B.220
C.-845 D.3 392
解析:由秦九韶算法有v0=3,v1=v0x+5=-7,v2=-7x+6=34,v3=34x+79=-57,v4=-57x-8=220.
答案:B探究一探究二思维辨析当堂检测4.用秦九韶算法求多项式f(x)=1-5x-8x2+10x3+6x4+12x5+3x6当x=-4时的值时,v0,v1,v2,v3,v4中最大值与最小值的差是 .?
解析:多项式变形为
f(x)=3x6+12x5+6x4+10x3-8x2-5x+1
=(((((3x+12)x+6)x+10)x-8)x-5)x+1,
v0=3,
v1=3×(-4)+12=0,
v2=0×(-4)+6=6,
v3=6×(-4)+10=-14,
v4=-14×(-4)-8=48,
所以v4最大,v3最小,
所以v4-v3=48+14=62.
答案:62第2课时 进位制
课后篇巩固提升
1.将二进制数110101(2)转化为十进制数为( )
A.106 B.53
C.55 D.108
解析110101(2)=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20=53.
答案B
2.把189化为三进制数,则末位数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析
则末位数是0.
答案A
3.已知k进制的数132与十进制的数30相等,那么k等于 ( )
A.-7或4 B.-7
C.4 D.都不对
解析由题意知132(k)=30,
∴1×k2+3×k1+2×k0=30.
∴k2+3k-28=0.∴k=4或k=-7(舍去).
答案C
4.将八进制数135(8)转化为二进制数是( )
A.1110101(2) B.1010101(2)
C.111001(2) D.1011101(2)
解析135(8)=1×82+3×81+5×80=93.
由除2取余法知93=1011101(2),故选D.
答案D
5.《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为:把阳爻“”当作数字“1”,把阴爻“”当作数字“0”,则八卦所代表的数表示如下:
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000(2)
0
震
001(2)
1
坎
010(2)
2
兑
011(2)
3
依此类推,则六十四卦中的“屯”卦,符号“”表示的十进制数是( )
A.18 B.17 C.16 D.15
解析由题意类推,可知六十四卦中的“屯”卦,符号“”表示的二进制数为010001(2),转化成十进制数为1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25=17.
答案B
6.计算机中常用的十六进制是逢16进1的数制,采用数字0—9和字母A—F共16个记数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表:
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如,用十六进制表示E+D=1B,则A×B=( )
A.6E B.72
C.5F D.B0
解析A×B=10×11=110,因为110=6×16+14,所以将110化为十六进制数为6E.
答案A
7.将二进制数11010(2)化为八进制数为 .?
解析二进制数11010(2)=1×24+1×23+0×22+1×21+0×20=26.
∵26÷8=3……2,3÷8=0……3,∴26(10)=32(8).
答案32(8)
8.已知三个数12(16),25(7),33(4),将它们按由小到大的顺序排列为 .?
解析将三个数都化为十进制数.
12(16)=1×16+2=18,
25(7)=2×7+5=19,
33(4)=3×4+3=15,
所以33(4)<12(16)<25(7).
答案33(4)<12(16)<25(7)
9.若六进制数1m05(6)(m为正整数)化为十进制数为293,则m= .?
解析因为1m05(6)=1×63+m×62+0×61+5×60=221+36m=293,所以m=2.
答案2
10.1101(2)+1011(2)= (用二进制数表示).?
解析1101(2)=1×23+1×22+0×21+1×20=13;1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20=11,则1101(2)+1011(2)=24=11000(2).
答案11000(2)
11.把三进制数2101211(3)转化为八进制的数.
解先将三进制化为十进制,再将十进制化为八进制.
2101211(3)=2×36+1×35+0×34+1×33+2×32+1×31+1×30=1 458+243+27+18+3+1=1 750,所以2101211(3)=3326(8).
12.数字1,2,3,4,5,6分别用下图表示:
那么左下图表示多少?在右下图中画出表示66的图.
解观察图形变化可知,题图从左到右:
第一列一个表示1,
第二列一个表示1+1=2,
第三列一个表示1+2+2+1=6,
则第四列一个表示1+2+2+6+6+6+1=24,
所以如图表示2+2×6=14.
66在图中表示如下:
课件19张PPT。第2课时 进位制一、进位制的概念
1.进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统,如满十进一,就是十进制;每七天为一周,就是七进制;每十二个月为一年,就是十二进制;每六十分钟为一个小时,就是六十进制等等.一般地,“满k进一”就是k进制,其中k称为k进制的基数.那么k是一个什么范围内的数?
提示k是大于1的整数.
2.十进制使用0~9十个数字,那么二进制、五进制、七进制分别使用哪些数字?
提示二进制使用0和1两个数字;五进制使用0~4五个数字;七进制使用0~6七个数字.
3.填空:进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统,“满几进一”就是几进制,几进制的基数就是几. 4.做一做1:判断题
二进制使用0,1两个数字,六进制使用0,1,2,3,4,5六个数字. ( )
答案:√二、进位制之间的相互转化
1.如何将二进制数110011(2),八进制数7342(8)分别化为十进制数?
提示110011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=51,
7342(8)=7×83+3×82+4×81+2×80=3 810.
2.填空:将k进制数anan-1…a1a0(k)化为十进制的方法为:把k进制数anan-1…a1a0(k)写成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,然后计算出结果即为对应的十进制数,即anan-1an-2…a0(k)=
an×kn+an-1×kn-1+…a1k1+a0k0. 3.如何将十进制数89化为二进制数?
提示因为89=2×44+1,
44=2×22+0,
22=2×11+0,
11=2×5+1,
5=2×2+1,
2=2×1+0,
1=2×0+1,
所以89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1
=2×(2×(2×(2×(22+1)+1)+0)+0)+1
=…
=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20
=1011001(2).4.上述化十进制数89为二进制数的算法叫做除2取余法,转化过程有些复杂.观察下面的算式,你有什么发现吗?
提示把算式中各步所得的余数按箭头方向从下向上写出,即为89的二进制数.5.做一做2:判断题
(1)十进制数化为k进制数是采取除k取余法,即用k连续去除十进制数所得的商,最后将余数顺排写出. ( )
(2)k进制数化为十进制数是把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式,再计算出结果即可.( )
答案:(1)× (2)√6.做一做3:把二进制数1011(2)化为十进制数为 ,把八进制数127(8)化为十进制数为 .?
解析:1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20=11.
127(8)=1×82+2×81+7×80=87.
答案:11 87探究一探究二探究三例1 将下列各数化为十进制数.
(1)11001000(2); (2)310(8).
分析解答本题时可按其他进制转化为十进制的方法,先写成不同位上的数乘以基数的幂的形式,再相加求和.
解:(1)11001000(2)=1×27+1×26+0×25+0×24+1×23+0×22+0×21+0×20=200;
(2)310(8)=3×82+1×81+0×80=200.
反思感悟将k进制数化为十进制数的方法是:先把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果.k进制数化为十进制数 当堂检测探究一探究二探究三变式训练1把六进制数3251(6)化为十进制数为 ,把十六进制数259(16)化为十进制数为 .?
答案:751 601当堂检测探究一探究二探究三例2 (1)将194化为八进制数;
(2)将48化为二进制数.
分析将数除以k,再将所得商除以k,直到商为0为止,将余数倒序写出.十进制数化为k进制数 当堂检测探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三反思感悟十进制数化为k进制数的步骤 当堂检测探究一探究二探究三变式训练2(1)把十进制数8 543转化为七进制数;
(2)把十进制数1 285转化为十六进制数.当堂检测探究一探究二探究三不同进位制数间的互化
例3下列各数转化成十进制数后最小的是( )
A.111111(2)
B.210(6)
C.1000(4)
D.81(9)
解析:111111(2)=1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20=63,
210(6)=2×62+1×61+0×60=78,1000(4)=1×43=64,81(9)=8×91+1×90=73.所以最小的数为111111(2).
答案:A当堂检测探究一探究二探究三反思感悟 1.把k进制数写成不同位上数字与基数的幂的乘积之和可转化为十进制数,即anan-1…a1a0(k)=an·kn+an-1·kn-1+…+a1·k+a0.
2.十进制数化为k进制数用除k取余法.
3.把非十进制数转化为另一种非十进制数,通常先把这个非十进制数转化为十进制数,再利用除k取余法,把十进制数转化为另一种非十进制数.而在使用除k取余法时要注意以下几点:(1)必须除到所得的商是0为止;(2)各步所得的余数必须从下到上排列;(3)切记在所求数的右下角标明基数.当堂检测探究一探究二探究三变式训练3把389化为四进制数,则该数的末位是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
思路点拨用除4取余法求解,还可以用除法算式表示.
解析:方法一 由389=4×97+1,97=4×24+1,24=4×6+0,6=4×1+2,1=4×04+1,可知389化为四进制数为12011(4),故该数的末位是1.
方法二 以4作为除数,相应的除法算式如图所示,
所以389=12011(4).显然该数的末位是1.
答案:A当堂检测1.下列四个数中,数值最小的是( )
A.25 B.54(6) C.10111(2) D.26(8)
解析:∵对于B,54(6)=5×61+4×60=34;对于C,10111(2)=1×24+0×23+1×22+1×21+1×20=23;对于D,26(8)=2×81+6×80=22,所以四个数中26(8)最小.故选D.
答案:D探究一探究二探究三当堂检测2.把53化为三进制数为( )
A.2122(3) B.1222(3)
C.2221(3) D.312(3)
解析:用除3取余法可得53=1222(3).
答案:B3.五位二进制数能表示的最大十进制数为( )
A.21 B.31
C.41 D.51
解析:11111(2)=1×24+1×23+1×22+1×21+1×20=31.
答案:B探究一探究二探究三当堂检测4.七进制数中各个数位上的数字只能是 中的一个.?
解析:“满几进一”就是几进制.因为进位制是七进制,所以满七进一,根本不可能出现7或比7大的数字,所以各个数位上的数字只能是0,1,2,3,4,5,6中的一个.
答案:0,1,2,3,4,5,6
