2.2 用样本估计总体
2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布
课后篇巩固提升
基础巩固
1.下列关于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系的说法中,正确的是( )
A.频率分布折线图与总体密度曲线无关
B.频率分布折线图就是总体密度曲线
C.样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线
D.如果样本容量无限增大,分组的组距无限减小,那么频率分布折线图就会无限接近于总体密度曲线
解析
选项
正误
理由
A
×
当总体个数较多时,随着样本容量的增加,组数增加,组距减小,频率分布折线图趋向于总体密度曲线,所以两者有关
B
×
只有当样本容量很大时,频率分布折线图才趋向于总体密度曲线
C
×
总体密度曲线是由频率分布折线图估计的,样本容量越大就越准确
D
√
频率分布折线图在样本容量无限增大、分组的组距无限减小的情况下会无限接近于一条光滑曲线,这条光滑曲线就是总体密度曲线
答案D
2.在样本的频率分布直方图中,某个小长方形的面积是其他小长方形面积之和的14,已知样本容量是80,则该组的频数为( )
A.20 B.16 C.30 D.35
解析设该组的频数为x,则其他组的频数之和为4x,由样本容量是80,得x+4x=80,解得x=16,即该组的频数为16,故选B.
答案B
3.某厂对一批产品进行抽样检测,如图是抽检产品净重(单位:g)的频率分布直方图,样本数据分组为[76,78),[78,80),…,[84,86].若这批产品有120个,估计其中净重大于或等于78 g且小于84 g的产品的个数是( )
A.12 B.18 C.25 D.90
解析净重大于或等于78 g且小于84 g的频率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以在该范围内的产品个数为120×0.75=90.
答案D
4.
为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校400名授课教师中抽取20名,调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数,结果用茎叶图表示如图.据此可估计该校上学期400名教师中,使用多媒体进行教学次数在[16,30)内的人数为( )
A.100 B.160 C.200 D.280
解析观察茎叶图知,抽取的20名教师中使用多媒体进行教学次数在[16,30)内的有8人,所以该区间段的频率为820=0.4,因此全校400名教师使用多媒体教学次数在[16,30)内的有400×0.4=160(人).
答案B
5.某工厂对一批产品进行了抽样检测,下图是根据抽样检测后的产品净重数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106].已知样本中产品净重小于100 g的个数是36,则样本中净重大于或等于98 g并且小于104 g的产品的个数是( )
A.90 B.75 C.60 D.45
解析由频率分布直方图可知,产品净重小于100 g的频率是0.05×2+0.1×2=0.3,所以样本中产品的个数为360.3=120.产品净重小于98 g的频率为0.050×2=0.1.产品净重大于或等于104 g的频率为0.075×2=0.15.
所以产品净重大于或等于98 g而小于104 g的频率为1-0.15-0.1=0.75.
则净重在此范围内的产品个数为120×0.75=90.
答案A
6.
某校开展摄影比赛,9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91分,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清,若记分员计算无误,则数字x应该是 .?
解析当x≥4时,89+89+92+93+92+91+947=6407≠91;
当x<4时,89+89+92+93+92+91+x+907=91,所以x=1.
答案1
7.一个高中研究性学习小组对本地区2017年至2019年快餐公司发展情况进行了调查,制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如图),根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭 万盒.?
解析这三年中该地区每年平均销售盒饭30×1+45×2+90×1.53=85(万盒).
答案85
8.下表给出了某校500名12岁男孩用随机抽样得出的120人的身高(单位:cm).
区间界限
[122,
126)
[126,
130)
[130,
134)
[134,
138)
[138,
142)
人数
5
8
10
22
33
区间界限
[142,
146)
[146,
150)
[150,
154)
[154,
158)
人数
11
6
5
20
(1)列出样本频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比.
解(1)样本频率分布表如下:
分组
频数
频率
[122,126)
5
0.04
[126,130)
8
0.07
[130,134)
10
0.08
[134,138)
22
0.18
[138,142)
33
0.28
[142,146)
11
0.09
[146,150)
6
0.05
[150,154)
5
0.04
[154,158)
20
0.17
合计
120
1.00
(2)其频率分布直方图如下:
(3)由样本频率分布表可知身高小于134 cm的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19,所以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%.
9.为增强市民节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者,现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,他们的年龄情况如下表所示:
分组(单位:岁)
频数
频率
[20,25)
5
0.05
[25,30)
①
0.20
[30,35)
35
②
[35,40)
30
0.30
[40,45]
10
0.10
合计
100
1.00
(1)频率分布表中的①②位置应填什么数据?
(2)补全如图所示的频率分布直方图,再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数.
解(1)设年龄在[25,30)岁的频数为x,年龄在[30,35)岁的频率为y.
法一:根据题意可得x100=0.20,35100=y,
解得x=20,y=0.35,故①处应填20,②处应填0.35.
法二:由题意得5+x+35+30+10=100,
0.05+0.20+y+0.30+0.10=1,
解得x=20,y=0.35,故①处填20,②处填0.35.
(2)由频率分布表知年龄在[25,30)岁的频率是0.20,组距是5.所以频率组距=0.205=0.04.
补全频率分布直方图如图所示.
根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数为500×0.35=175.
能力提升
1.
已知总体密度曲线如图所示,则下列说法正确的是( )
A.组距越大,频率分布折线图越接近于它
B.样本容量越小,频率分布折线图越接近于它
C.阴影部分的面积代表总体在(a,b)内取值的百分比
D.阴影部分的平均高度代表总体在(a,b)内取值的百分比
解析总体密度曲线与频率分布折线图关系如下:当样本容量越大,组距越小时,频率分布折线图越接近于总体密度曲线,但它永远达不到总体密度曲线,在总体密度曲线中,阴影部分的面积代表总体在(a,b)内取值的百分比,因而选C.
答案C
2.
某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:h),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5 h的人数是( )
A.56 B.60 C.120 D.140
解析根据频率分布直方图,200名学生中每周的自习时间不少于22.5 h的频率为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,故200名学生中每周的自习时间不少于22.5 h的人数为200×0.7=140.
答案D
3.为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图所示).已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第2小组的频数为12,则所抽取的学生人数为 .?
解析前3个小组的频率和为1-0.037 5×5-0.012 5×5=0.75.又因为前3个小组的频率之比为1∶2∶3,所以第2小组的频率为26×0.75=0.25.又知第2小组的频数为12,则所抽取的学生人数为120.25=48.
答案48
4.
从甲、乙两个班中各随机选出15名同学进行随堂测验,成绩的茎叶图如图所示,则甲、乙两班的最高分数分别是 , ,从图中看, 班的平均分数较高.?
解析由茎叶图可知,甲班的最高分数是96,乙班的最高分数是92.甲班的分数集中在60~80之间,乙班分数集中在70~90之间,故乙班的平均分数较高.
答案96 92 乙
5.某地区为了解70~80岁的老人的日平均睡眠时间(单位:h),随机选择了50位老人进行调查,下面是这50位老人睡眠时间的频率分布表:
序号i
分组
(睡眠时间)
组中值(Gi)
频数
(人数)
频率(Fi)
1
[4,5)
4.5
6
0.12
2
[5,6)
5.5
10
0.20
3
[6,7)
6.5
20
0.40
4
[7,8)
7.5
10
0.20
5
[8,9)
8.5
4
0.08
在上述统计数据的分析中,一部分计算见程序框图,则输出的S的值是 .?
解析观察程序框图知,此图包含一个循环结构,即求G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5的值,由频率分布表知,S=G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5=4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.20+8.5×0.08=6.42.
答案6.42
6.某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)在总体的400名学生中,估计分数小于70的频率;
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
解(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.04+0.02)×10=0.6,
所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.
所以在总体的400名学生中,分数小于70的频率估计为0.4.
(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,
分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5.
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×5100=20.
(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×12=30.
所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2.
所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.
课件48张PPT。2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布一、频率分布表
1.我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了节约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量标准a,用水量不超过a的部分按平价收费,超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响,那么标准a定为多少比较合理呢?你认为,为了较为合理地确定出这个标准,需要做哪些工作?
提示为了制定一个较为合理的标准a,必须先了解全市居民日常用水量的分布情况,比如月均用水量在哪个范围的居民最多,他们占全市居民的百分比情况等.因此采用抽样调查的方式,通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况.
分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来,或者用紧凑的表格改变数据的排列方式.作图可以达到两个目的,一是从数据中提取信息,二是利用图形传递信息.表格则是通过改变数据的构成形式,为我们提供解释数据的新方式.2.由于城市住户较多,为了了解全市居民日常用水量的整体分布情况,应采用怎样的方法?
提示采用抽样调查的方式,通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况.3.假如通过抽样调查,我们获得100位居民某年的月均用水量如下(单位:t):
3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9
1.6 3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4
0.3 0.4 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7
1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3
3.6 1.7 0.6 4.1 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8
1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.0 2.9 2.4 2.4
1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3
2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.6 2.7
2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5
2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4
2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2
上述100个数据中的最大值和最小值分别是什么?由此说明样本数据的变化范围是什么?
提示最大值是4.3 t,最小值是0.2 t,数据的变化范围为4.1 t.4.样本数据中的最大值和最小值的差称为极差,如果将上述100个数据按组距为0.5 t进行分组,那么这些数据共分为多少组?各组数据的取值范围可以如何设定?
提示(4.3-0.2)÷0.5=8.2,因此可以将数据分为9组.各组数据的取值范围可如下设定:[0,0.5),[0.5,1),[1,1.5),…,[4,4.5].
5.对样本数据进行分组,其组数是由哪些因素确定的?
提示对样本数据进行分组,组距的确定没有固定的标准,但组数太多或太少,都会影响我们了解数据的分布情况.数据分组的组数与样本容量有关,一般样本容量越大,所分组数越多.6.一般地,列出一组样本数据的频率分布表可以分哪几个步骤进行?
提示第一步,求极差.
第二步,决定组距与组数.
第三步,确定分组点,将数据分组.
第四步,列频率分布表.7.你能列出上述100个数据的频率分布表吗?
提示100位居民月均用水量的频率分布表如表所示.二、频率分布直方图
1.数据分析的基本方法有哪两种?
提示(1)借助于表格:分析数据的一种方法是用紧凑的表格改变数据的排列方式,此法是通过改变数据的呈现形式,为我们提供解释数据的依据.
(2)借助于图形:分析数据的另一种基本方法是用图将它们画出来,此法可以达到两个目的,一是从数据中提取信息,二是利用图形传递信息.2.为了直观反映样本数据在各组中的分布情况,你能根据上述所列频率分布表画出频率分布直方图吗?
提示频率分布直方图为:
3.样本数据的频率分布直方图是根据频率分布表画出来的,频率分布直方图的作图步骤如何?
提示第一步,作出平面直角坐标系.
第二步,在横轴上均匀地标出各组分点,在纵轴上标出单位长度.
第三步,以组距为宽,各组的频率与组距的比值为高,分别画出各组对应的小长方形.4.频率分布直方图中长方形的高表示什么?小长方形的面积表示什么?所有小长方形的面积和等于多少?
提示频率分布直方图中长方形的高表示 ,小长方形的面积表示该组的频率,所有小长方形的面积和等于1.5.做一做1:判断题
频率分布直方图中的纵轴表示频率. ( )
答案:×6.做一做2:容量为100的样本的频率分布直方图如图所示,试根据图形中的数据填空.
(1)样本数据落在范围[6,10)内的频率为 ;?
(2)样本数据落在范围[10,14)内的频数为 .?
解析:(1)样本数据落在范围[6,10)内的频率为0.08×4=0.32.
(2)样本数据落在范围[10,14)内的频数为0.09×4×100=36.
答案:(1)0.32 (2)36三、频率分布折线图、总体密度曲线
1.在频率分布直方图中,依次连接各小长方形上端的中点,就得到一条折线,这条折线称为频率分布折线图,你能在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中作出频率分布折线图吗?
2.你认为频率分布折线图能大致反映样本数据的频率分布吗?
提示因为折线图是取了长方形上端的中点,即每一组数据平均值对应的频率,所以能大致反映样本数据的频率分布.3.当总体中的个体数很多时(如抽样调查全国城市居民月均用水量),随着样本容量增加,作图时所分的组数增多,组距减少,你能想象出相应的频率分布折线图会发生什么变化吗?
提示由于组数增多,组距减少,长方形上端中点的数量增多,且间距变小,各相邻长方形上端中点的折线缩短,折线变得近似于曲线.4.在上述背景下,相应的频率分布折线图越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.那么下图中阴影部分的面积有何实际意义?
提示图中阴影部分的面积,就是总体在区间(a,b)内的取值的百分比.5.对于一个总体,如果总体密度曲线客观存在,能否通过样本数据准确地画出总体密度曲线?为什么?
提示不能.由于频率分布折线图是随着随机抽取的样本、样本容量和分组情况的变化而变化的,因此不能由样本的频率分布折线图得到准确的总体密度曲线.6.做一做3:判断题
(1)频率分布直方图中每个小长方形的面积等于相应组的频率. ( )
(2)从总体中抽取一个样本,用样本的分布估计总体的分布,样本容量越小估计越准确. ( )
答案:(1)√ (2)×四、茎叶图
1.茎叶图:顾名思义,茎是指中间的一列数,叶就是从茎的旁边生长出来的数.当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,两边的数字表示个位数.已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况原始记录如下:
甲运动员得分:13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39;
乙运动员得分:49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39.
你能作出这两组数据的茎叶图吗?2.你能通过该图说明哪个运动员的发挥更稳定吗?
提示从图中看出乙运动员的得分基本上是对称的,叶的分布是“单峰”的,并且数据更集中于峰值附近,这说明乙运动员发挥更稳定.
3.用茎叶图表示数据的分布情况是一种好方法,你认为茎叶图有哪些优点?有什么缺陷?
提示优点:(1)保留了原始数据,没有损失样本信息;(2)数据可以随时记录、添加或修改.缺陷:茎叶图便于表
示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录一组或两组的数据,两组以上的数据虽然能够记录,但是没有表示两组记录那么直观、清晰.当样本数据较多时,就显得不太方便,因为每一个数据都要在图中占据一个空间,如果数据很多,枝叶就会很长.4.一般地,画出一组样本数据的茎叶图的步骤如何?
提示第一步,将每个数据分为“茎”(高位)和“叶”(低位)两部分;第二步,将最小的茎和最大的茎之间的数按大小次序排成一列,写在左(右)侧;第三步,将各个数据的叶按次序写在茎右(左)侧.
5.做一做4:判断题
用茎叶图表示三位数时茎表示前两位数,叶表示最后一位数. ( )
答案:√6.做一做3:某小组10名学生的英语口语测试成绩如茎叶图所示,则这10名学生的平均成绩为 .?
解析:这10名学生的平均成绩为
×(79+79+74+82+84+85+89+80+91+92)=83.5.
答案:83.5探究一探究二探究三思维辨析频率分布直方图的绘制
例1为了了解某片经济林的生长情况,随机测量其中的100棵树的底部周长(单位:cm),得到如下数据:
135 98 102 110 99 121 110 96 100 103
125 97 117 113 110 92 102 109 104 112
109 124 87 131 97 102 123 104 104 128
105 123 111 103 105 92 114 108 104 102
129 126 97 100 115 111 106 117 104 109
111 89 110 121 80 120 121 104 108 118
129 99 90 99 121 123 107 111 91 100
99 101 116 97 102 108 101 95 107 101
102 108 117 99 118 106 119 97 126 108
123 119 98 121 101 113 102 103 104 108当堂检测探究一探究二探究三思维辨析(1)列出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图及频率分布折线图;
(3)估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树占多少,底部周长不小于120 cm的树占多少.
分析计算极差→确定组距和组数→列频率分布表→画频率分布直方图和频率分布折线图→根据频率估计分布当堂检测探究一探究二探究三思维辨析解:(1)这组数据中最大的数为135,最小的数为80,极差为55,可将该组数据分为11组,组距为5.
频率分布表如下:当堂检测探究一探究二探究三思维辨析(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示.
(3)从频率分布表得,样本中底部周长小于100 cm的频率为0.01+0.02+0.04+0.14=0.21,样本中底部周长不小于120 cm的频率为0.11+0.06+0.02=0.19,所以估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树占21%,底部周长不小于120 cm的树占19%.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟 绘制频率分布直方图的注意事项
(1)计算极差,需要找出这组数的最大值和最小值,当数据很多时,可选一个数当参照.
(2)将一批数据分组,目的是要描述数据分布规律,要根据数据多少来确定分组数目,一般来说,数据越多,分组越多.
(3)在将数据分组,决定分组点时,一般使分组点比数据多一位小数,并且把第一组的起点稍微减小一点.
(4)列频率分布表时,可通过逐一判断各个数据落在哪个小组内,以“正”字确定各个小组内数据的个数.
(5)画频率分布直方图时,纵坐标表示频率与组距的比值,一定不能标成频率.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练1为调查某校高一年级男生的身高,随机抽取40名高一男生,实测身高数据(单位:cm)如下:
171 163 163 166 166 168 168 160 168
165 171 169 167 169 151 168 170 168
160 174 165 168 174 158 167 156 157
164 169 180 176 157 162 161 158 164
163 163 167 161
(1)作出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图.
分析找出此组数据的最大值和最小值,确定分组的组距和组数,先列出频数分布表,再由频率分布表绘制频率分布直方图.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析解:(1)最低身高151 cm,最高身高180 cm,它们的差是180-151=29,即极差为29;
确定组距为4,组数为8,频率分布表如下:当堂检测探究一探究二探究三思维辨析(2)频率分布直方图如下. 当堂检测探究一探究二探究三思维辨析例2 某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来,每次数学考试成绩情况如下:
甲:95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107
乙:83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101
画出两人数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图对两人的成绩进行比较.
分析题中数据均为两位数或三位数,可用十位数字或百位、十位数字为茎,个位数字为叶作茎叶图,然后根据茎叶图分析两人成绩.茎叶图的绘制及应用 当堂检测探究一探究二探究三思维辨析解:甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示.
从这个茎叶图上可以看出,乙同学的得分情况是大致对称的,中位数是98;甲同学的得分情况也大致对称,中位数是88.乙同学的成绩比较稳定,总体情况比甲同学好.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟绘制茎叶图的注意事项
(1)绘制茎叶图关键是分清茎和叶.一般地说,当数据是两位数时,十位上的数字为“茎”,个位上的数字为“叶”;如果是小数,通常把整数部分作为“茎”,小数部分作为“叶”.解题时要根据数据的特点合理地选择茎和叶.
(2)应用茎叶图对两组数据进行比较时,要从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几方面来比较.
(3)茎叶图只适用于样本数据较少的情况.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练2从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位:mm),结果如下:
甲品种 271 273 280 285 285 287 292 294
295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352
乙品种 284 292 295 304 306 307 312 313
315 315 316 318 318 320 322 322 324 327
329 331 333 336 337 343 356
(1)由以上数据设计茎叶图;
(2)根据茎叶图,对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论:
① ;?
② .?当堂检测探究一探究二探究三思维辨析解:(1)茎叶图如图所示: 当堂检测探究一探究二探究三思维辨析(2)观察茎叶图,对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较,可有以下几个统计结论(仅供参考):
①乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度).
②甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散(或乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中或甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大).
③甲品种棉花的纤维长度的中位数为307 mm,乙品种棉花的纤维长度的中位数为318 mm.
④乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在平均数附近.甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值(352)外,也大致对称,且分布较均匀.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析例3 为了检测某种产品的质量,抽取了一个容量为100的样本,数据的分组情况与频数如下:
[10.75,10.85),3;[10.85,10.95),9;[10.95,11.05),13;[11.05,11.15),16;[11.15,11.25),26;[11.25,11.35),20;[11.35,11.45),7;[11.45,11.55),4;[11.55,11.65],2.
(1)列出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图以及频率分布折线图;
(3)据上述图表,估计数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是百分之几?
(4)数据小于11.20的可能性是百分之几?
分析根据画频率分布直方图的步骤先画频率分布直方图,再画折线图,最后结合直方图的特征解决(3)(4).频率分布直方图的应用 当堂检测探究一探究二探究三思维辨析解:(1)频率分布表如下: 当堂检测探究一探究二探究三思维辨析(2)频率分布直方图及频率分布折线图如图所示.
(3)由上述图表可知数据落在[10.95,11.35)范围内的频率为1-(0.03+0.09)-(0.07+0.04+0.02)=0.75,即数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是75%.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析(4)数据小于11.20的可能性即数据小于11.20的频率,设为x,
则(x-0.41)÷(11.20-11.15)
=(0.67-0.41)÷(11.25-11.15),
所以x-0.41=0.13,
即x=0.54,
从而估计数据小于11.20的可能性是54%.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练3某城市100户居民的月平均用电量(单位:千瓦时),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分组的频率分布直方图如图所示.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析(1)求直方图中x的值;
(2)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?
解:(1)x=[1-(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+0.005+0.002 5)×20]÷20=0.007 5.
(2)由频率分布直方图知,月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的共有(0.012 5+0.007 5+0.005+0.002 5)×20×100=55(户),其中在[220,240)中的有0.012 5×20×100=25(户),因此,在所抽取的11户居民中,月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取 ×11=5(户).当堂检测探究一探究二探究三思维辨析对频率分布直方图理解不正确而致误
典例 中小学生的视力状况受到社会的广泛关注,某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名,对他们的视力状况进行一次调查统计,将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图,如下图所示.从左至右五个小组的频率之比依次是5∶7∶12∶10∶6,则全市高一学生视力在[3.95,4.25)范围内的学生约有多少人?当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析正解由图知,第五小组的频率为0.5×0.3=0.15,
所以第一小组的频率为0.15× =0.125,
所以全市6万名高一学生中视力在[3.95,4.25)范围内的学生约有60 000×0.125=7 500(人).当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练有一个容量为100的样本,其频率分布直方图如图所示,根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间[4,6)内的频数为( )
A.10 B.20 C.55 D.75
解析:样本数据落在区间[4,6)内的频率为1-2×(0.02+0.09+0.15+0.19)=0.1,所以样本数据落在区间[4,6)内的频数为100×0.1=10.
答案:A当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.有一个容量为45的样本数据,分组后各组的频数为:(12.5,15.5],3;(15.5,18.5],8;(18.5,21.5],9;(21.5,24.5],11;(24.5,27.5],10;(27.5,30.5],4.由此估计,不大于27.5的数据约为总体的( )
A.91% B.92% C.95% D.30%
答案:A2.甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图如图所示,据图可知( )
A.甲运动员的成绩好于乙运动员
B.乙运动员的成绩好于甲运动员
C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异
D.甲运动员的最低得分为0分
解析:由茎叶图可以看出甲运动员的得分基本对称,中位数是34.5,且得分主要集中在30至40之间,比较稳定,而乙运动员的得分均匀地分布在10至40之间,中位数是29,所以甲运动员成绩较好.
答案:A探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.观察新生儿的体重(单位:g),其频率分布直方图如图所示,则新生儿体重在[2 700,3 000)内的频率为( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
解析:由图可得,新生儿体重在[2 700,3 000)内的频率为0.001×300=0.3.
答案:C
