2.3 变量间的相关关系
课后篇巩固提升
1.下面的散点图与相关系数r一定不符合的是( )
A.(1)(2)(3)
B.(1)(2)(4)
C.(1)(3)(4)
D.(2)(3)(4)
解析对于(1)(3),变量x,y的散点图从左向右是下降的,所以r<0,(1)(3)错误;
对于(2),变量x,y的散点图从左向右是上升的且各点不在一条直线上,所以0对于(4),变量x,y的散点图从左向右呈上升的带状分布,所以0答案C
2.某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表:
x
10
20
30
40
50
y
62
▲
75
81
89
由最小二乘法求得回归方程为y^=0.67x+54.9,现发现表中有一个数据模糊不清,请推断该数据的值为( )
A.60
B.62
C.68
D.68.3
解析由题意可得x=30,代入回归方程得y=75.设看不清的数为a,则62+a+75+81+89=75×5,所以a=68.
答案C
3.由一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)得到的回归直线方程为y^=b^x+a^,那么下面说法不正确的是 ( )
A.直线y^=b^x+a^必经过点(x,y)
B.直线y^=b^x+a^至少经过点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一个点
C.直线y^=b^x+a^的斜率为∑i=1nxiyi-nx y∑i=1nxi2-nx2
D.直线y^=b^x+a^是最接近y与x之间真实关系的一条直线
解析回归直线一定经过样本点的中心,故A正确;直线y^=b^x+a^可以不经过样本点中的任何一点,故B错误;由回归系数b^的计算公式可知C正确;在直角坐标系中,直线y^=b^x+a^与所有样本点的偏差的平方和最小,故D正确.
答案B
4.某工厂经过技术改造后,降低了能源消耗,经统计该厂某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)汽油有如下几组样本数据:
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
根据相关性检验,x与y具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得回归直线的斜率为0.7,已知该工厂在2020年能耗计划中汽油不超过8.75吨,则该工厂2020年的计划产量最大约为 吨.?
解析 x=3+4+5+64=4.5,y=2.5+3+4+4.54=3.5,故样本点的中心为A(4.5,3.5),由题意,设回归直线方程是y^=0.7x+a^,代入A点坐标得3.5=0.7×4.5+a^,解得a^=0.35,故回归直线方程为y^=0.7x+0.35.
由题意得y^=0.7x+0.35≤8.75,解得x≤12.
所以该工厂2020年的计划产量最大约为12吨.
答案12
5.下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料:
机动车辆
数x/千台
95
110
112
120
129
135
150
180
交通事故
数y/千件
6.2
7.5
7.7
8.5
8.7
9.8
10.2
13
(1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系,如果不具有线性相关关系,说明理由;
(2)如果具有线性相关关系,求出回归方程.
解(1)在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图:
直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系.
(2)计算相应的数据之和:
∑i=18xi=1 031,∑i=18yi=71.6,∑i=18xi2=137 835,∑i=18xiyi=9 611.7.
将它们代入公式计算得b≈0.077 4,a=-1.024 9,所以,所求回归方程为y^=0.077 4x-1.024 9.
6.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程y^=b^x+a^,其中b^=-20,a^=y?b^ x;
(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)
解(1)由于x=16(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,
y=16(90+84+83+80+75+68)=80.
所以a^=y?b^x=80+20×8.5=250,
从而回归直线方程为y^=-20x+250.
(2)设工厂获得的利润为L元,依题意得
L=x(-20x+250)-4(-20x+250)
=-20x2+330x-1 000
=-20x-3342+361.25.
当且仅当x=8.25时,L取得最大值.
故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润.
课件37张PPT。2.3 变量间的相关关系一、变量间的相关关系
1.“粮食产量与施肥量有关系吗?”“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.教师的水平与学生的水平有什么关系?你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗?
提示粮食产量与施肥量有关系.在一定范围内,施肥量越大,粮食产量就越高;教师的水平与学生的水平是相关的;如虎父无犬子等.
我们还可以举出现实生活中存在的许多相关关系的问题.例如:
商品销售收入与广告支出经费之间的关系.商品销售收入与广告支出经费有着密切的联系,但商品销售收入不仅与广告支出多少有关,还与商品质量、居民收入等因素有关.
粮食产量与施肥量之间的关系.在一定范围内,施肥量越大,粮食产量就越高.但是,施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素,因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响.2.考察下列问题中两个变量之间的关系,想一想,它们之间的关系是函数关系吗?为什么?
(1)商品销售收入与广告支出经费;
(2)粮食产量与施肥量;
(3)人体脂肪含量与年龄.
提示都不是函数关系.因为当其中一个变量变化时,另一个变量的变化还受其他因素的影响.3.问题2中所给两个变量之间的关系都是相关关系,那么函数关系与相关关系之间的区别与联系是怎样的?
提示函数关系中的两个变量间是一种确定性关系;相关关系是一种非确定性关系.函数关系是一种因果关系而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系,函数关系与相关关系之间有着密切联系,在一定条件下可以互相转化.4.做一做1:下列关系中,带有相关关系的是 .(填序号)?
①正方形的边长与面积之间的关系 ②水稻产量与施肥量之间的关系 ③人的身高与年龄之间的关系 ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系
解析:两变量之间的关系有两种:函数关系和带有随机性的相关关系.①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系.②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系.③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不再发生明显的变化了,因而它们不具备相关关系.④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系.因此填②④.
答案:②④二、两个变量的线性相关
1.在研究学生的数学成绩与物理成绩的关系时,采集了5名学生的数学和物理成绩(单位:分)如下:
观察上述表中的数据,大体上看,随着数学成绩的降低,物理成绩是怎样变化的?
提示随着数学成绩的降低,除了C同学外,其余同学的物理成绩也逐步降低. 2.为了对问题1中的两个变量之间的关系有一个直观上的印象和判断,我们可以以x轴表示数学成绩,y轴表示物理成绩,在直角坐标系中描出样本数据所对应的点,得到相应的散点图.你能画出问题1中的散点图吗?
观察图形,随着数学成绩的降低,物理成绩是否也有所降低?两者是否存在线性相关关系?
提示
从散点图可以看出,物理成绩随着数学成绩的提高而提高.由散点图可知,各点分布在一条直线附近,故两者之间具有线性相关关系.3.你能说明什么是正相关,什么是负相关吗?
提示对于两个变量之间的相关关系,一个变量随另一个变量的增大而增大,成正相关,在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域.一个变量随另一个变量的增大而减小,成负相关,在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域.因为随着数学成绩的提高,物理成绩也提高,所以两者是正相关关系.4.做一做2:判断题
散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系为正相关. ( )
答案:√5.做一做3:下列图形中,两个变量具有线性相关关系的是( )
答案:B三、回归直线与回归方程
1.什么是回归直线?什么是回归方程?
提示如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.回归直线对应的方程叫回归直线方程,简称回归方程.2.对两个具有线性相关关系的变量的一组数据:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),如何刻画点(xi,yi)到回归直线y=bx+a的远近程度?
提示可以用|yi-(bxi+a)|(i=1,2,3,…,n)表示点(xi,yi)到回归直线y=bx+a的远近,如图:3.为了从整体上刻画各点与回归直线y=bx+a的接近程度,选用哪个数量关系来刻画各点到直线y=bx+a的“整体距离”比较合适?
提示用 |yi-(bxi+a)|来刻画各点到直线y=bx+a的“整体距离”是比较合适的.由于绝对值使得计算不方便,在实际应用中可用Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2表示.
4.当a,b取什么值时,各点到直线y=bx+a的“整体距离”最小?
提示a,b的值可由下列公式给出8.做一做4:判断题 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√ 答案:C 探究一探究二探究三例1 若变量x,y有如下观察的数据:
(1)画出散点图;
(2)判断变量x,y是否具有相关关系?如果具有相关关系,那么是正相关还是负相关?
分析对于给定一组观察的数据,可以借助作散点图来判断两个变量是否具有相关关系.相关关系的判断 当堂检测探究一探究二探究三解:(1)画出散点图如图所示.
(2)具有相关关系.根据散点图,点分布在左下角到右上角的区域,变量x的值由小变大时,另一个变量y的值也由小变大,所以它们具有正相关关系.当堂检测探究一探究二探究三反思感悟判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系,常用的简便方法就是绘制散点图,如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变量就是线性相关的,注意不要受个别点的位置的影响.当堂检测探究一探究二探究三变式训练1以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据:
(1)画出数据对应的散点图;
(2)指出两变量是否具有相关关系;
(3)关于销售价格y和房屋的面积x,你能得出什么结论?当堂检测探究一探究二探究三解:(1)数据对应的散点图如下图所示:
(2)由(1)的散点图中的点的分布特点知两变量具有相关关系.
(3)关于销售价格y和房屋的面积x,房屋的面积越大,价格越高,它们具有相关关系.当堂检测探究一探究二探究三求回归直线方程
例2 某种产品的广告费支出x(单位:百万元)与销售额y(单位:百万元)之间有如下对应数据:
(1)画出散点图;
(2)根据散点图判断两个变量x,y之间是否具有线性相关关系;若有线性相关关系,则求出y关于x的回归直线方程;若无线性相关关系,试说明理由.
分析首先根据已知数据画出散点图,然后根据散点图判断两个变量之间的相关关系,最后将数据代入公式求解回归直线方程中的系数值.当堂检测探究一探究二探究三解(1)散点图如图所示. 当堂检测探究一探究二探究三(2)由散点图可知,x,y之间存在线性相关关系.
列出下表,并用科学计算器进行有关计算.当堂检测探究一探究二探究三反思感悟1.已知x与y呈线性相关关系时,无需进行相关性检验,否则,应首先进行相关性检验,如果两个变量之间本身不具有线性相关关系,或者说,它们之间的相关关系不显著,即使求出回归方程也是毫无意义的,而且用其估计和预测的量也是不可信的.
2.求回归直线方程的一般步骤
(1)收集样本数据,设为(xi,yi),(i=1,2,…,n)(数据一般由题目给出).
(2)作出散点图,确定x,y具有线性相关关系.
(3)把数据制成表格.当堂检测探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三变式训练2给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据:
(1)画出上表的散点图;
(2)求出回归方程.解:(1)散点图如下图: 当堂检测探究一探究二探究三(2)根据表中的数据进行具体计算,列成以下表格:当堂检测探究一探究二探究三线性回归分析的应用
例3 如图是我国2013年至2019年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图:
(1)根据折线图来看,可用线性回归模型拟合y与t的关系,试说明理由;
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2025年我国生活垃圾无害化处理量.当堂检测探究一探究二探究三分析(1)根据折线图中对应散点的分布即可进行判断;(2)将所得数据代入线性相关系数的计算公式中求值,然后算出2025年所对应的t值,再代入线性回归直线方程中求值.解(1)由折线图可知,散点图中的点都在一条直线附近,y随t的增大而增大,所以两者之间存在线性相关关系.
(2)由折线图中数据和附注中参考数据得当堂检测探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三反思感悟回归分析的步骤
(1)判断两个变量是否线性相关.可以利用经验,也可以画散点图.
(2)求线性回归方程.注意运算的正确性.
(3)根据回归直线进行预测估计.注意估计值不是实际值,两者之间会有一定的误差.当堂检测探究一探究二探究三变式训练3从2016年1月1日起,广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围.其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率,具体关系如下表:当堂检测探究一探究二探究三经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系,下面是随机采集的8组数据(x,y)(其中x(单位:万元)表示购车价格,y(单位:元)表示商业车险保费):(8,2 150),(11,2 400),(18,3 140),(25,3 750),(25,4 000),(31,4 560),(37,5 500),(45,6 500).
(2)广东李先生在2019年1月购买了一辆价值20万元的新车,
①估计李先生购车时的商业车险保费;
②若该车今年2月已出过一次险,现在又被刮花了,李先生到4S店询价,预计修车费用为800元,保险专员建议李先生自费(即不出险),你认为李先生是否应该接受建议?说明理由.(假设车辆下一年与上一下都购买相同的商业车险产品进行续保)当堂检测探究一探究二探究三(2)①价值为20万元的新车的商业车险保费预报值为117.8×20+1 055=3 411(元).
②由于该车已出险一次,若再出险一次,则保费要增加25%,即增加3 411×25%=852.75(元).
因为852.75>800,即若出险,明年增加的保费已超800元,故应接受建议.当堂检测探究一探究二探究三当堂检测1.下列两个变量中,具有相关关系的是( )
A.正方体的体积与棱长
B.匀速行驶的汽车的行驶路程与时间
C.人的身高与体重
D.人的身高与视力
解析:A选项中,正方体的体积与棱长是函数关系,不是相关关系;
B选项中,匀速行驶的汽车的行驶路程与时间是函数关系,不是相关关系;
C选项中,人的身高会影响体重,但不是唯一因素,所以人的身高与体重是相关关系;
D选项中,人的身高与视力无任何关系.
答案:C探究一探究二探究三当堂检测2.一位母亲记录了儿子3岁到9岁的身高,建立的儿子身高(单位:cm)与年龄(单位:岁)的回归直线方程为 =7.19x+73.93,用这个方程预测儿子10岁时的身高,则下面的叙述正确的是( )
A.身高一定是145.83 cm
B.身高在145.83 cm以上
C.身高在145.83 cm左右
D.身高在145.83 cm以下
解析:由回归直线方程预测儿子10岁时的身高
=7.19×10+73.93=145.83(cm).利用回归直线方程进行预测,只能说身高在某一预测值附近.
答案:C探究一探究二探究三当堂检测答案:D 4.正常情况下,年龄在18岁到38岁的人,体重y(kg)对身高x(cm)的回归方程为 =0.72x-58.2,张明同学(20岁)身高178 cm,他的体重应该在 kg左右.?
解析:用回归方程对身高为178 cm的人的体重进行预测,当x=178时,
=0.72×178-58.2=69.96(kg).
答案:69.96
