第三章概率
3.1 随机事件的概率
3.1.1 随机事件的概率
课后篇巩固提升
基础巩固
1.已知集合A是集合B的真子集,则下列关于非空集合A,B的四个命题:
①若任取x∈A,则x∈B是必然事件;
②若任取x?A,则x∈B是不可能事件;
③若任取x∈B,则x∈A是随机事件;
④若任取x?B,则x?A是必然事件.
其中正确的命题有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析∵集合A是集合B的真子集,∴A中的任意一个元素都是B中的元素,而B中至少有一个元素不在A中,因此①正确,②错误,③正确,④正确.
答案C
2.从含有8件正品、2件次品的10件产品中,任意抽取3件,则必然事件是( )
A.3件都是正品 B.至少有1件次品
C.3件都是次品 D.至少有1件正品
解析从含有8件正品2件次品的10件产品中,任意抽取3件,
在A中,3件都是正品是随机事件,故A错误;
在B中,至少有1件次品是随机事件,故B错误;
在C中,3件都是次品是不可能事件,故C错误;
在D中,至少有1件正品是必然事件,故D正确.
答案D
3.某人将一枚硬币连续抛掷了10次,正面朝上的情形出现了6次,则( )
A.正面朝上的概率为0.6
B.正面朝上的频率为0.6
C.正面朝上的频率为6
D.正面朝上的概率接近于0.6
解析610=0.6是正面朝上的频率不是概率.
答案B
4.一个家庭前后育有两个小孩儿,则可能的结果为( )
A.{(男,女),(男,男),(女,女)}
B.{(男,女),(女,男)}
C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}
D.{(男,男),(女,女)}
解析随机试验的所有结果要保证等可能性.两小孩儿有大小之分,所以(男,女)与(女,男)是不同的结果,故选C.
答案C
5.袋内装有一个黑球与一个白球,从袋中取出一球,在100次摸球中,摸到黑球的频率为0.49,则摸到白球的次数为( )
A.49 B.51 C.0.49 D.0.51
解析因为摸到黑球的频率为0.49,所以摸到白球的频率为0.51,从而摸到白球的次数为100×0.51=51.
答案B
6.我国古代数学有“米谷粒分”题:发仓募粮,所募粒中秕不百三则收之(不超过3%).现抽样取米一把,取得235粒米中夹秕n粒,若这批米合格,则n不超过( )
A.6 B.7 C.8 D.9
解析由题意得,n235≤3%,解得n≤7.05,所以若这批米合格,则n不超过7.
答案B
7.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是 .?
解析P=60020 000=0.03.
答案0.03
8.某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字1~5进行了标记,投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表:
落在桌面的数字
1
2
3
4
5
频 数
32
18
15
13
22
则落在桌面的数字不小于4的频率为 .?
解析落在桌面的数字不小于4,即4,5的频数为13+22=35.所以频率为35100=0.35.
答案0.35
9.给出下列四个命题:
①集合{x||x|<0}为空集是必然事件;
②y=f(x)是奇函数,则f(0)=0是随机事件;
③若loga(x-1)>0,则x>1是必然事件;
④对顶角不相等是不可能事件.
其中真命题是 .(填序号)?
解析∵|x|≥0恒成立,∴①正确;奇函数y=f(x)只有当x=0有意义时才有f(0)=0,∴②正确;由loga(x-1)>0知,当a>1时,x-1>1即x>2;当0
答案①②③④
10.设集合M={1,2,3,4},a∈M,b∈M,(a,b)是一个基本事件.
(1)“a+b=5”这一事件包含哪几个基本事件?“a<3且b>1”呢?
(2)“ab=4”这一事件包含哪几个基本事件?“a=b”呢?
(3)“直线ax+by=0的斜率k>-1”这一事件包含哪几个基本事件?
解这个试验的基本事件构成集合Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(1)“a+b=5”这一事件包含以下4个基本事件:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).
“a<3且b>1”这一事件包含以下6个基本事件:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).
(2)“ab=4”这一事件包含以下3个基本事件:(1,4),(2,2),(4,1);
“a=b”这一事件包含以下4个基本事件:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).
(3)直线ax+by=0的斜率k=-ab>-1,即a能力提升
1.随机事件A的频率mn满足( )
A.mn=0 B.mn=1 C.mn>1 D.0≤mn≤1
解析当n次试验中,事件A不发生时,频率mn=0;当事件A发生n次时,频率mn=1;当发生次数为m,0答案D
2.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子里,有放回地取100次,每次取一张卡片,并记下号码,统计结果如下:
卡 片 号 码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到号码为奇数的频率是( )
A.0.53 B.0.5 C.0.47 D.0.37
解析13+5+6+18+11100=53100=0.53.
答案A
3.某个地区从某年起n年内的新生婴儿数及其中男婴数如表所示(单位:个):
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数
5 544
9 013
13 520
17 191
男 婴 数
2 716
4 899
6 812
8 590
男婴出生频率
(1)填写表中的男婴出生频率(结果精确到0.01);
(2)这一地区男婴出生的概率约是 .?
解析(1)频率f(A)=nAn,各频率为0.49,0.54,0.50,0.50.
(2)可以利用频率来求近似概率.由(1)得概率约为0.50.
答案(1)0.49 0.54 0.50 0.50 (2)0.50
4.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获收益12%,一旦失败,一年后将丧失全部资金的50%,下表是去年200例类似项目开发的实施结果:
投资成功
投资失败
192次
8次
则该公司一年后估计可获收益的平均数是 元.?
解析设可获收益为x,如果成功,x的取值为5×12%,如果失败,x的取值为-5×50%,一年后公司成功的概率为192200=2425,失败的概率为8200=125,所以一年后公司收益的平均数是5×12%×2425-5×50%×125×10 000=4 760(元).
答案4 760
5.为了估计某自然保护区中天鹅的数量,可以使用以下方法:先从该保护区中捕出一定数量的天鹅,例如200只,给每只天鹅做上不影响其存活的记号,然后放回保护区,经过适当的时间,让其和保护区中其余的天鹅充分混合,再从保护区中捕出一定数量的天鹅,例如150只,查看其中有记号的天鹅,设有20只,试根据上述数据,估计该自然保护区中天鹅的数量.
解设保护区中天鹅的数量约为n,假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的,从保护区中任捕一只,设事件A={带有记号的天鹅},则P(A)=200n, ①
第二次从保护区中捕出150只天鹅,其中有20只带有记号,由概率的统计定义可知P(A)=20150, ②
由①②两式,得200n=20150,解得n=1 500,
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只.
6.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的《高等数学》,下表是李老师统计的这门课3年来的学生考试成绩分布:
成绩
人数
90分以上
43
80分~89分
182
70分~79分
260
60分~69分
90
50分~59分
62
50分以下
8
经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的《高等数学》,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位).
(1)90分以上;(2)60分~69分;(3)60分以上.
解总人数为43+182+260+90+62+8=645,根据公式可计算出选修李老师的《高等数学》的人的考试成绩在各个段上的频率依次为:43645≈0.067,182645≈0.282,260645≈0.403,90645≈0.140,62645≈0.096,8645≈0.012.
用已有的信息,可以估计出王小慧下学期选修李老师的《高等数学》得分的概率如下:
(1)将“90分以上”记为事件A,则P(A)≈0.067.
(2)将“60分~69分”记为事件B,则P(B)≈0.140.
(3)将“60分以上”记为事件C,则P(C)≈0.067+0.282+0.403+0.140=0.892.
课件27张PPT。3.1.1 随机事件的概率一、必然事件、不可能事件和随机事件
1.考察下列事件:(1)导体通电时发热;(2)向上抛出的石头会下落;(3)在标准大气压下水温升高到100 ℃会沸腾.这些事件就其发生与否有什么共同特点?
提示都是必然会发生的事件.
2.考察下列事件:(1)在没有水分的真空中种子发芽;(2)在常温常压下钢铁融化;(3)一个三角形的大边所对的角小,小边所对的角大.这些事件就其发生与否有什么共同特点?
提示都是不可能发生的事件.
3.考察下列事件:(1)某人射击一次命中目标;(2)某人购买福利彩票中奖;(3)抛掷一枚质地均匀的骰子出现的点数为偶数.这些事件就其发生与否有什么共同特点?
提示都是可能发生也可能不发生的事件.4.填空:事件的概念及分类 5.做一做1:下列事件,
①我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭;
②若a为实数,则|a|≥0;
③抛掷一枚质地均匀的硬币10次,至少有一次正面向上;
④同一门炮向同一目标发射多枚炮弹,其中50%的炮弹击中目标;
⑤没有电,电脑能工作.
其中是必然事件的是 ,是不可能事件的是 ,是随机事件的是 .(只填序号)?
答案:② ⑤ ①③④二、频率与概率
做一个简单的试验:把一枚质地均匀的骰子抛掷多次,观察出现的结果,并记录各结果出现的次数.
1.在一次抛掷试验中可能出现哪几种结果?
提示可能出现1点、2点、3点、4点、5点、6点六种结果.
2.一次试验中的试验结果在试验前能确定吗?
提示不能.
3.如果做大量的重复试验,你认为各结果出现的次数之间有何关系?
提示大致相等.4.历史上曾有人做过抛掷一枚质地均匀的硬币的大量重复试验,结果如下表所示:
在上述抛掷硬币的试验中,你会发现怎样的规律?
提示当试验次数很多时,出现正面的比例在0.5附近摆动.
5.填空:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)= 为事件A出现的频率.6.频率的取值范围是什么?
提示[0,1].
7.抛掷硬币试验表明,正面朝上在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,正面朝上发生的频率呈现出一定的规律性,这个规律性是如何体现出来的?
提示事件A发生的频率会逐渐稳定在区间[0,1]中的某个常数上.
8.我们把硬币正面朝上的频率所趋向的稳定值称作硬币正面朝上的概率,你能给随机事件A发生的概率下个定义吗?
提示对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在区间[0,1]中的某个常数上,把这个常数记做P(A),称为事件A发生的概率,简称为A的概率.9.必然事件、不可能事件发生的概率分别为多少?概率的取值范围是什么?
提示必然事件、不可能事件发生的概率分别为1,0,概率的取值范围是[0,1].
10.频率与概率有什么区别和联系?
提示(1)频率是随机的,在试验之前不能确定;(2)概率是一个确定的数,与每次试验无关;(3)随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率;(4)频率是概率的近似值,概率是用来度量事件发生可能性的大小的常数.11.做一做2:判断题
(1)任何事件的概率总在区间(0,1]内. ( )
(2)频率是客观存在的,与试验次数无关. ( )
(3)概率是随机的,在试验前不能确定. ( )
(4)随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率. ( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√12.做一做3:某射击运动员射击20次,恰有18次击中目标,则该运动员击中目标的频率是 .?
答案:0.9探究一探究二探究三思维辨析事件类型的判断
例1 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件:
(1)中国女排运动员将在下届奥运会上获得冠军.
(2)出租车司机小李驾车通过三个十字路口都将遇到绿灯.
(3)若实数x>0,则2x>1.
(4)掷一枚质地均匀的骰子两次,朝上面的数字之和小于2.
分析依据事件的分类及其定义,在给出的条件下,判断事件是否会发生.
解由题意知(1)(2)中事件可能发生,也可能不发生,所以是随机事件;
事件(3):因为指数函数y=2x在(0,+∞)上单调递增,所以x>0时,必有2x>20=1.所以该事件一定会发生,是必然事件;
事件(4):由于骰子朝上面的数字最小是1,两次朝上面的数字之和最小是2,不可能小于2,所以事件(4)不可能发生,是不可能事件.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟要判定事件是何种事件,首先要看清条件,因为三种事件都是相对于一定条件而言的.其次要看它是一定发生,不一定发生,还是一定不发生,一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练1已知一个盒中装有4个白球和5个黑球,从中任意取出1个球.
(1)“取出的球是黄球”是什么事件?它的概率是多少?
(2)“取出的球是白球”是什么事件?
(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件?它的概率又是多少呢?
解:(1)“取出的球是黄球”这个事件在题设条件下根本不可能发生,因此它是不可能事件,它的概率为0.
(2)“取出的球是白球”这个事件在题设条件下可能发生,也可能不发生,因此它是随机事件.
(3)“取出的球是白球或是黑球”这个事件在题设条件下必然发生,因此它是必然事件,它的概率为1.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析试验结果的分析
例2 某人做试验,从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,无放回地取两个小球,每次取一个,先取的小球的标号为x,后取的小球的标号为y,这样构成有序实数对(x,y).
(1)写出这个试验的所有结果;
(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件.
分析利用列举法按照一定的顺序逐个列举即可.
解(1)当x=1时,y=2,3,4;
当x=2时,y=1,3,4;
当x=3时,y=1,2,4;
当x=4时,y=1,2,3.因此,这个试验的所有结果是(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).
(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A,则A={(2,1),(2,3),(2,4)}.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析互动探究1【例2】中若无放回地取三个小球呢?每次取一个,先取的小球的标号为x,后取的小球的标号为y,最后取的小球的标号为z,这样构成有序实数对(x,y,z).试写出这个试验的所有结果.
解当x=1时,y可取2,3,4.
若y取2,则z可取3,4;
若y取3,则z可取2,4;
若y取4,则z可取2,3.
同理,x=2,3,4时,对应的不同的试验结果也有6个.
所以,这个试验的所有结果是
(1,2,3),(1,2,4),(1,3,2),(1,3,4),(1,4,2),(1,4,3),
(2,1,3),(2,1,4),(2,3,1),(2,3,4),(2,4,1),(2,4,3),
(3,1,2),(3,1,4),(3,2,1),(3,2,4),(3,4,2),(3,4,1),
(4,1,2),(4,1,3),(4,2,1),(4,2,3),(4,3,2),(4,3,1).
共24个.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析互动探究2【例2】中若为有放回地取两个小球呢?每次取一个,先取的小球的标号为x,看清编号后放回盒子摇匀,再取一个小球的标号为y,这样构成有序实数对(x,y).试写出这个试验的所有结果.
解当x=1时,y可取1,2,3,4.
同理,x=2,3,4时,对应的不同的试验结果也有4个.
所以这个试验的所有结果为
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).
共16个.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟 随机事件的结果是相对于条件而言的,要弄清某一随机事件的结果,首先必须明确事件发生的条件.在写试验结果时,要按照一定的顺序采用列举法写出,注意不能重复也不能遗漏.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析例3某质检员从一大批种子中抽取若干批,在同一条件下进行发芽试验,有关数据如下:
(1)计算各批种子的发芽频率,填入上表;
(2)根据频率的稳定性估计种子发芽的概率.
分析利用公式fn(A)= 依次计算出频率值,然后根据所求出的频率值估计种子发芽的概率.随机事件的频率与概率 当堂检测探究一探究二探究三思维辨析解:(1)发芽频率从左到右依次为:0.79,0.78,0.81,0.79,0.80,0.82.
(2)由(1)知,发芽频率逐渐稳定在0.80,因此可以估计种子发芽的概率为0.80.
反思感悟频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值,利用此公式可求出它们的频率,频率本身是随机变量,当n很大时,频率总是在一个稳定值附近左右摆动,这个稳定值就是概率.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练2某运动员在同一条件下进行射击,结果如下表所示:
(1)填写表中击中靶心的频率;
(2)这个运动员射击一次,击中靶心的概率约是多少?
解:(1)表中依次填入的数据为0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.9,所以这个运动员射击一次,击中靶心的概率约是0.9.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析忽略试验的顺序导致试验结果出错
典例 先后抛掷两枚质地均匀的硬币,则:
(1)一共可能出现多少种不同的结果?
(2)出现“一枚正面,另一枚反面”的情况有几种?
错解(1)一共出现“两枚正面”“两枚反面”“一枚正面,一枚反面”3种情况.
(2)出现“一枚正面,一枚反面”的情况只有1种.
以上错解中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你如何防范?
错因分析将“一正、一反”“一反、一正”两种情形错认为是一种情形.在题干中若强调了“先后”“依次”“顺序”“前后”,则必须注意顺序问题.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析正解(1)一共可能出现“两枚正面”“两枚反面”“一枚正面,一枚反面”“一枚反面,一枚正面”,4种不同的结果.
(2)出现“一枚正面,另一枚反面”的情况有2种.
防范措施1.把握随机试验的实质,明确一次试验的含义.
2.按一定的顺序用有序数组的形式写出,要不重不漏.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球,分别写出以下随机试验的条件和结果.
(1)从中任取1球;
(2)从中一次取出2球.
解(1)条件为:从袋中任取1球,结果为:红、白、黄、黑4种.
(2)条件为:从袋中一次取出2球.若记(红,白)表示一次试验中取出的是红球与白球,结果为:(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)6种.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.在1,2,3,…,10这10个数字中,任取3个数字,那么“这3个数字的和大于6”这一事件是( )
A.必然事件 B.不可能事件
C.随机事件 D.以上选项均不正确
解析:从10个数字中任取3个数字,这3个数字的和可能等于6,也可能大于6,所以是否大于6需要取出数字才知道,故“这3个数字的和大于6”这一事件是随机事件.
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.给出下列三个命题,其中正确命题的个数是( )
①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;
②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是 ;
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：A探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.从6个篮球、2个排球中任选3个球,则下列事件中,是必然事件的是( )
A.3个都是篮球
B.至少有1个是排球
C.3个都是排球
D.至少有1个是篮球
解析:从6个篮球、2个排球中任选3个球,则必然至少有一个是篮球.A,B是随机事件,C是不可能事件,D是必然事件.故选D.
答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.下列说法:①频率是反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性的大小;②做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率就是事件的概率;③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值;④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其中正确的说法有 .(填序号)?
解析:由频率和概率的关系知只有①③④正确.
答案:①③④