3.1.3 概率的基本性质
课后篇巩固提升
1.从1,2,3,…,9中任取两数,给出下列各组事件:
①“恰有一个偶数”和“恰有一个奇数”;
②“至少有一个奇数”和“两个都是奇数”;
③“至少有一个奇数”和“两个都是偶数”;
④“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”.
其中是对立事件的是( )
A.① B.②④
C.③ D.①③
解析从1,2,3,…,9中任取两数,有以下三种情况:(1)两个奇数;(2)两个偶数;(3)一个奇数和一个偶数.所以仅有③中的两个事件不能同时发生且必有一个发生.
答案C
2.对同一事件来说,若事件A是必然事件,事件B是不可能事件,则事件A与事件B的关系是( )
A.互斥不对立
B.对立不互斥
C.互斥且对立
D.不互斥、不对立
解析必然事件与不可能事件不可能同时发生,但必有一个发生,故事件A与事件B的关系是互斥且对立.
答案C
3.在一次数学考试(满分150分)中,某班学生的成绩在130分以上(含130分)的频率是0.1,在120~129分的频率是0.2,在110~119分的频率是0.4,在90~109分的频率是0.2,90分以下的频率是0.1,若认为成绩在110分以上(含110分)为优秀,则从该班学生中随机抽取一人,其成绩优秀的概率是( )
A.0.8 B.0.7
C.0.6 D.0.5
解析根据互斥事件的概率的加法公式,易得所求事件的概率为0.1+0.2+0.4=0.7.
答案B
4.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8 g的概率为0.3,质量不超过4.85 g的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85]范围内的概率是( )
A.0.62 B.0.38
C.0.02 D.0.68
解析设质量小于4.8 g为事件A,不超过4.85 g为事件B,在[4.8,4.85]范围内为事件C,
则A∪C=B,
又A与C互斥,
所以P(A∪C)=P(A)+P(C)=P(B),
即0.3+P(C)=0.32,
所以P(C)=0.02.
答案C
5.一个口袋中有若干大小相同的红球、黄球和蓝球,从中摸出一只球.摸出红球的概率为0.48,摸出黄球的概率为0.35,则摸出蓝球的概率为 .?
解析∵摸出红球的概率为0.48,摸出黄球的概率为0.35,
∴摸出蓝球的概率为1-0.48-0.35=0.17.
答案0.17
6.如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25,则不命中靶的概率是 .?
解析射手命中圆面Ⅰ为事件A,命中圆环Ⅱ为事件B,命中圆环Ⅲ为事件C,不中靶为事件D,则A、B、C互斥,故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90.
因为中靶和不中靶是对立事件,故不命中靶的概率为P(D)=1-P(A∪B∪C)=1-0.90=0.10.
答案0.10
7.对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上的为一等品,在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品,在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为 .?
解析设区间[25,30)对应矩形的另一边长为x,则所有矩形面积之和为1,即(0.02+0.04+0.06+x+0.03)×5=1,解得x=0.05.产品为二等品的概率为0.04×5+0.05×5=0.45.
答案0.45
8.袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球.从中任取1球,得到红球的概率为13,得到黑球或黄球的概率是512,得到黄球或绿球的概率也是512,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少?
解从袋中任取1球,记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”为A,B,C,D,则有P(B∪C)=P(B)+P(C)=512;P(C∪D)=P(C)+P(D)=512;P(B∪C∪D)=1-P(A)=1-13=23,解得P(B)=14,P(C)=16,P(D)=14.
答:得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14,16,14.
9.假设向三个相邻的敌军火库投掷一枚炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.5,炸中其余两个军火库的概率都为0.1.若只要炸中一个,另外两个也要发生爆炸.求军火库发生爆炸的概率.
解设以A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件,于是P(A)=0.5,P(B)=P(C)=0.1.又设D表示军火库爆炸这个事件,则有D=A∪B∪C,其中A、B、C彼此互斥.(因为只投掷了一枚炸弹,所以不会同时炸中两个以上军火库)
∴P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.5+0.1+0.1=0.7.
课件30张PPT。3.1.3 概率的基本性质一、事件的关系与运算
在抛掷质地均匀的骰子试验中,我们用集合形式定义如下事件:C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现3点},C4={出现4点},C5={出现5点},C6={出现6点},D1={出现的点数不大于1},D2={出现的点数大于4},D3={出现的点数小于6},E={出现的点数小于7},F={出现的点数大于6},G={出现的点数为偶数},H={出现的点数为奇数},等等.
1.上述事件中哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机事件?
提示E是必然事件;F是不可能事件;其余是随机事件.2.如果事件C1发生,那么一定有哪些事件发生?反之,成立吗?在集合中,集合C1与这些集合之间的关系怎样描述?
提示如果事件C1发生,那么一定发生的事件有D1,D3,E,H,反之,如果事件D1,D3,E,H分别成立,那么能推出事件C1发生的只有D1.所以从集合的观点看,事件C1是事件D3,E,H的子集,集合C1与集合D1相等.
3.请指出如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着哪个事件发生?
提示如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着事件G发生.
4.如果事件D2与事件H同时发生,就意味着哪个事件发生?
提示如果事件D2与事件H同时发生,就意味着事件C5发生.
5.事件D3与事件F能同时发生吗?
提示事件D3与事件F不能同时发生.
6.事件G与事件H能同时发生吗?它们有什么关系?
提示事件G与事件H不能同时发生,但必然有一个发生.7.填表:事件的关系与运算 8.互斥事件和对立事件有什么区别和联系?
提示互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的,且两个事件在一次试验中都不可能同时发生.在一次试验中,两个互斥的事件可能有一个发生,也可能都不发生;而两个对立的事件则必有一个发生.所以,两个事件互斥,它们未必对立;两个事件对立,它们一定互斥.也就是说,两事件对立是两事件互斥的一种特殊情况.9.做一做1:判断题
互斥事件不一定是对立事件,但对立事件一定是互斥事件. ( )
答案:√10.做一做2:掷一枚均匀的骰子,出现1,2,3,4点记为事件A,出现5,6点记为事件B,出现2,3点记为事件C,出现1,4点记为事件D,则A与B是 ,A与C的关系是 ,A与C,D的关系是 .?
答案:对立事件 C?A A=C∪D二、概率的几个基本性质
1.任何事件概率的取值范围是什么?为什么?
提示概率的取值范围在0~1之间,即0≤P(A)≤1;由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在0~1之间,因而概率的取值范围也在0~1之间.
2.必然事件、不可能事件的概率分别是多少?为什么?
提示必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0;必然事件是在试验中一定要发生的事件,所以频率为1,因而概率是1,不可能事件是在试验中一定不发生的事件,所以频率为0,因而概率是0.3.如果事件A与事件B互斥,则事件A∪B发生的频数与事件A发生、事件B发生的频数有什么关系?fn(A∪B)与fn(A),fn(B)有什么关系?进一步得到P(A∪B)与P(A),P(B)有什么关系?
提示若事件A与事件B互斥,则A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,从而有fn(A∪B)=fn(A)+fn(B),由此得到P(A∪B)=P(A)+P(B),这就是概率的加法公式.
4.如果事件A与事件B互为对立事件,P(A∪B)与P(A),P(B)又有什么关系?
提示因为事件A与事件B互为对立事件,所以A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=1.由P(A∪B)=P(A)+P(B),得1=P(A)+P(B),从而得出P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).5.做一做3:判断题
(1)事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大. ( )
(2)事件A,B同时发生的概率一定比事件A,B恰有一个发生的概率小. ( )
(3)在同一试验中的两个事件A与B,一定有P(A∪B)=P(A)+P(B). ( )
(4)若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件. ( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
6.做一做4:掷一枚均匀的正六面体骰子,设A表示事件“出现5点”,B表示事件“出现奇数点”,则P(A∪B)等于 .?探究一探究二探究三思维辨析例1 判断下列各事件是不是互斥事件,如果是互斥事件,那么是不是对立事件,并说明理由.
某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中:
(1)恰有1名男生和恰有2名男生;
(2)至少有1名男生和至少有1名女生;
(3)至少有1名男生和全是女生.
分析根据互斥事件、对立事件的定义来判断.事件关系的判断 当堂检测探究一探究二探究三思维辨析解:(1)是互斥事件.理由是在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和1名女生”,它与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以是互斥事件.不是对立事件.理由是当选出的2名同学都是女生时,这两个事件都没有发生,所以不是对立事件.
(2)不是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果,“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”这两种结果,当选出的是1名男生、1名女生时,它们同时发生.这两个事件也不是对立事件.理由是这两个事件能同时发生,所以不是对立事件.
(3)是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果,它与“全是女生”不可能同时发生.是对立事件.理由是这两个事件不能同时发生,且必有一个发生,所以是对立事件.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.判断互斥事件和对立事件时,主要用定义来判断.当两个事件不能同时发生时,这两个事件是互斥事件;当两个事件不能同时发生且必有一个发生时,这两个事件是对立事件.
2.当事件的构成比较复杂时,可借助于集合的思想方法进行互斥事件、对立事件的判定.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析互动探究【例1】中,若从中任选3名同学呢?试分析问题(1),(2)的两个事件之间的关系.
解(1)是互斥事件.理由是在所选的3名同学中“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和2名女生”;“恰有2名男生”实质是选出“2名男生和1名女生”,显然两个事件不能同时发生,是互斥事件;
两个事件不是对立事件,因为当选出“3名男生”时,两个事件可以同时不发生.
综上,两个事件是互斥事件,但不是对立事件.
(2)不是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包含“有1名男生2名女生”“有2名男生1名女生”“有3名男生”三种结果;“至少有1名女生”则包含“1名女生2名男生”“2名女生1名男生”,显然两个事件可以同时发生,所以不是互斥事件,更不是对立事件.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析例2 盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球,2个白球},事件B={3个球中有2个红球,1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.问:
(1)事件D与A,B是什么样的运算关系?
(2)事件C与A的交事件是什么事件?
分析事件间运算的类型:事件的运算 当堂检测探究一探究二探究三思维辨析解:(1)对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球,故D=A∪B.
(2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白球,3个均为红球,故C∩A=A.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析互动探究 在本例中A与D是什么关系?事件A与B的交事件是什么?
解:由本例的解答,可知A?D.
因为A,B是互斥事件,所以A∩B=?.
故事件A与B的交事件是不可能事件.
反思感悟进行事件运算时应注意的问题
(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
(2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练1已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中任意取出3件,设E表示事件“3件产品全不是次品”,F表示事件“3件产品全是次品”,G表示事件“3件产品中至少有1件次品”,则下列结论正确的是( )
A.F与G互斥 B.E与G互斥但不对立
C.E,F,G任意两个事件均互斥 D.E与G对立
解析:本题考查互斥事件、对立事件的概念.由题意得事件E与事件F不可能同时发生,是互斥事件;事件E与事件G不可能同时发生,是互斥事件;当事件F发生时,事件G一定发生,所以事件F与事件G不是互斥事件,故A,C不正确.事件E与事件G中必有一个发生,所以事件E与事件G对立,所以B不正确,D正确.
答案:D当堂检测探究一探究二探究三思维辨析例3玻璃盒子装有各色球12个,其中5红、4黑、2白、1绿,从中任取1球.设事件A为“取出1个红球”,事件B为“取出1个黑球”,事件C为“取出1个白球”,事件D为“取出1个绿球”,且
(1)“取出1球为红球或黑球”的概率;
(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率.
分析先判断各事件间的关系,再用公式求解.求互斥事件、对立事件的概率 当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.将所求事件转化为彼此互斥的若干个事件的和,利用概率的加法公式求解.互斥事件的概率加法公式可以推广为P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An),其使用的前提条件仍然是A1,A2,…,An彼此互斥.在将事件拆分成若干个互斥事件时,注意不能重复和遗漏.
2.当所要拆分的事件非常烦琐,而其对立事件较为简单时,可先求其对立事件的概率,再运用公式求解.但是一定要找准其对立事件,避免错误.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练2据统计,某储蓄所一个窗口排队等候的人数及相应概率如下表:
(1)求至多2人排队等候的概率;
(2)求至少2人排队等候的概率.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析解:记在窗口排队等候的人数为0,1,2分别为事件A,B,C,则A,B,C两两互斥.
(1)至多2人排队等候的概率是P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)至少2人排队等候的对立事件是“排队等候人数为0或1”,而排队等候人数为0或1的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.16=0.26,故至少2人排队等候的概率为1-0.26=0.74.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析以上错解中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你如何防范?
错因分析错解的出错原因在于忽视了“和事件”概率公式应用的前提条件,由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件,即出现1或3时,事件A,B同时发生,所以不能应用公式P(A∪B)=P(A)+P(B)求解.
正解记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1,A2,A3,A4,由题意知这四个事件彼此互斥.则A∪B=A1∪A2∪A3∪A4.
故P(A∪B)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)
防范措施1.明确概率的加法公式使用的条件.
2.掌握互斥事件的特点,分清事件是不是互斥事件.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练某战士射击一次,击中环数大于7的概率是0.6,击中环数是6或7或8的概率相等,且和为0.3,则该战士射击一次击中环数大于5的概率为 .?
解析:记“击中6环”为事件A,“击中7环”为事件B,“击中环数大于7”为事件C,事件A,B,C彼此互斥,且易知P(A)=0.1,P(B)=0.1,P(C)=0.6.记“击中环数大于5”为事件D,则P(D)=P(A∪B∪C)=0.1+0.1+0.6=0.8.
答案:0.8当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.一个人打靶时连续射击两次,事件“至多有一次中靶”的互斥事件是( )
A.两次都中靶
B.至少有一次中靶
C.两次都不中靶
D.只有一次中靶
解析:事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”,因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”.
答案:A探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.给出以下结论:①互斥事件一定对立;②对立事件一定互斥;③互斥事件不一定对立;④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率;⑤事件A与B互斥,则有P(A)=1-P(B).其中正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:对立必互斥,互斥不一定对立,故②③正确,①错;又当A∪B=A时,P(A∪B)=P(A),故④错;只有事件A与B为对立事件时,才有P(A)=1-P(B),故⑤错.
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.若事件A,B互斥,P(A)=3P(B),P(A∪B)=0.8,则P(A)= .?
解析:∵A,B互斥,
∴P(A∪B)=P(A)+P(B).
又∵P(A)=3P(B),
∴4P(B)=0.8,P(B)=0.2.
∴P(A)=0.6.
答案:0.6探究一探究二探究三思维辨析当堂检测
