3.2 古典概型
3.2.1 古典概型
课后篇巩固提升
1.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是( )
A.16 B.12 C.13 D.23
解析基本事件有:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共6个,甲站在中间的事件包括:乙甲丙、丙甲乙,共2个,所以甲站在中间的概率为P=26=13.
答案C
2.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A.12 B.13 C.14 D.16
解析从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3),(2,4),故所求概率是26=13.
答案B
3.为迎接建国70周年,某学校食堂推出两款优惠套餐,甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐的概率为( )
A.116 B.18 C.14 D.12
解析设两款优惠套餐分别为A,B,列举基本事件如图所示.
由图可知,共有8个基本事件,其中甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐包括(A,A,A),(B,B,B),共2个基本事件,故所求概率为P=28=14.
答案C
4.有两张卡片,一张的正反面分别画着老鼠和小鸡,另一张的正反面分别画着老鹰和蛇,现在有两个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上,不考虑顺序,则向上的图案是老鹰和小鸡的概率是( )
A.12 B.13 C.14 D.16
解析将两张卡片排在一起组成的图案,共4个,分别为:老鼠和老鹰;老鼠和蛇;小鸡和老鹰;小鸡和蛇,所以组成的图案是老鹰和小鸡的概率P=14.故选C.
答案C
5.从2,3,8,9任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率= .?
解析从2,3,8,9任取2个分别记为(a,b),则有(2,3),(3,2),(2,8),(8,2),(2,9),(9,2),(3,8),(8,3),(3,9),(9,3),(8,9),(9,8),共有12种情况,其中符合logab为整数的有log39和log28两种情况,∴P=212=16.
答案16
6.某汽车站每天均有3辆开往省城的分上、中、下等级的客车.某天王先生准备在该汽车站乘车去省城办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车,他采取如下策略:先不上第一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否则上第三辆,那么他乘上上等车的概率为 .?
解析共有6种发车顺序:①上、中、下;②上、下、中;③中、上、下;④中、下、上;⑤下、中、上;⑥下、上、中(其中画线的表示王先生所乘的车),所以他乘上上等车的概率为36=12.
答案12
7.北京市环境保护监测中心每月向公众公布北京市各区域的空气质量状况.2018年1月份各区域的PM2.5浓度情况如表:
各区域1月份PM2.5浓度(单位:微克/立方米)表
区域
PM2.5浓度
区域
PM2.5浓度
区域
PM2.5浓度
怀柔
27
海淀
34
平谷
40
密云
31
延庆
35
丰台
42
门头沟
32
西城
35
大兴
46
顺义
32
东城
36
开发区
46
昌平
32
石景山
37
房山
47
朝阳
34
通州
39
从上述表格随机选择一个区域,其2018年1月份PM2.5的浓度小于36微克/立方米的概率是 .?
解析从题中表格内随机选择一个区域,共有17种情况,其中2018年1月份PM2.5的浓度小于36微克/立方米的地区有9个,则2018年1月份PM2.5的浓度小于36微克/立方米的概率是917.
答案917
8.从集合A={-1,1,2}中随机选取一个数记为k,从集合B={-2,1,2}中随机选取一个数记为b,则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为 .?
解析从集合A,B中分别选取一个数记为(k,b),则有(-1,-2),(-1,1),(-1,2),(1,-2),(1,1),(1,2),(2,-2),(2,1),(2,2),共有9个基本事件,直线y=kx+b不经过第三象限,则k<0,b≥0,记为事件M,事件M包含的基本事件是(-1,1),(-1,2),共有2个基本事件,则P(M)=29.
答案29
9.为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下:
5,6,7,8,9,10.
把这6名学生的得分看成一个总体.
(1)求该总体的平均数;
(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
解(1)总体平均数为16(5+6+7+8+9+10)=7.5.
(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”.
从总体中抽取2个个体全部可能结果有:(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共有15个元素.
事件A包括的基本结果有:(5,9),(5,10),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),共有7个基本结果.
所以所求的概率为P(A)=715.
10.设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数.
(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.
①用所给编号列出所有可能的结果;
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.
解(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9种.
因此,事件A发生的概率P(A)=915=35.
课件33张PPT。3.2.1 古典概型一、基本事件
1.连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次,有哪几种可能的结果?连续抛掷三次呢?
提示(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),共4种;(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反),共8种.
2.上述试验中的每一个结果都是随机事件,我们把这类事件称为基本事件.在一次试验中,任何两个基本事件是什么关系?
提示因为任何两种结果都不可能同时发生,所以它们是互斥关系.3.填空:基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.4.做一做1:判断题
(1)基本事件之间都是互斥的. ( )
(2)任何事件都可以表示成基本事件的和. ( )
答案:(1)√ (2)√5.做一做2:连续抛掷两枚质地均匀的硬币,观察落地后的正、反面情况,则这个试验的基本事件有 ,出现一正一反的事件所包含的基本事件有 .?
答案:(正,正),(正,反),(反,正),(反,反) (正,反),(反,正)二、古典概型
1.抛掷一枚质地均匀的硬币,每个基本事件出现的可能性相等吗?
提示基本事件有两个,即“正面朝上”和“正面朝下”,由于质地均匀,因此基本事件出现的可能性是相等的.
2.抛掷一枚质地均匀的骰子,有哪些基本事件?每个基本事件出现的可能性相等吗?
提示这个试验的基本事件有6个,即朝上的面出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”,由于质地均匀,因此基本事件出现的可能性是相等的.3.上述试验的共同特点是什么?
提示(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.
4.填空:古典概型的特点
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.
(2)每个基本事件出现的可能性相等.
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.5.做一做3:判断题
(1)古典概型中,试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. ( )
(2)古典概型中每个基本事件出现的可能性相等. ( )
答案:(1)√ (2)×三、古典概型概率公式
1.在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中,怎样求正面朝上及反面朝上的概率?连续抛掷两次,恰好一次正面朝上的概率又如何求?
提示在一次抛掷质地均匀的硬币试验中,出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等,即P(“正面朝上”)=P(“反面朝上”).由概率的加法公式,得P(“正面朝上”)+P(“反面朝上”)=P(必然事件)=1,因此P(“正面朝上”)=P(“反面朝上”)= .
在连续抛掷两次试验中,P(“恰好一次正面朝上”)=P(“第一次正面朝上,第二次反面朝上”)+P(“第一次反面朝上,第二次正面朝上”) 2.在抛掷质地均匀的骰子的试验中,如何求出现各个点的概率?出现偶数点的概率又怎么求?
提示出现各个点的概率相等,即P(“1点”)=P(“2点”)=P(“3点”)=P(“4点”)=P(“5点”)=P(“6点”).反复利用概率的加法公式,我们有P(“1点”)+P(“2点”)+P(“3点”)+P(“4点”)+P(“5点”)+P(“6点”)=P(必然事件)=1,所以P(“1点”)=P(“2点”)=P(“3点”)=P(“4点”)=P(“5点”)=P(“6点”)= .4.做一做4:从甲、乙、丙三人中,任选2人参加比赛,甲被选中的概率为( )
答案:D探究一探究二探究三思维辨析例1 将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,观察两次出现的点数情况,则:
(1)一共有几个基本事件?
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件?
分析先列出所有的基本事件,再确定个数.基本事件的计数问题 当堂检测探究一探究二探究三思维辨析解:方法一:
(1)用(x,y)表示结果,其中x表示第1次骰子出现的点数,y表示第2次骰子出现的点数,则试验的所有结果为:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).
共36个基本事件.
(2)“出现的点数之和大于8”包含以下10个基本事件:(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).当堂检测探究一探究二探究三思维辨析方法二:如下图所示,坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和,基本事件与所描点一一对应.
(1)由图知,基本事件的总数为36.
(2)“出现的点数之和大于8”包含10个基本事件(已用虚线圈出).当堂检测探究一探究二探究三思维辨析方法三:一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图表示.如下图所示.
(1)由图知,共36个基本事件.
(2)“出现的点数之和大于8”包含10个基本事件(已用“√”标出).当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.在列出基本事件时,应先确定基本事件是否与顺序有关.写基本事件时,一定要按一定顺序写,这样不容易漏写.
2.求基本事件总数的常用方法
(1)列举法:适合于较简单的问题.
(2)列表法:适合求较复杂问题中的基本事件数.
(3)树形图法:适合较复杂问题中基本事件的探求.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练1一个口袋内装有大小相同的5个球,其中2个白球,3个黑球,写出按下列要求的基本事件.
(1)一次摸两个;
(2)先摸一个不放回,再摸一个;
(3)先摸一个放回后,再摸一个.
解:2个白球分别记为A,B,3个黑球分别记为a,b,c.
(1)列举法:
基本事件有(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),共10个.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析(2)树形图法:
基本事件有(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,A),(B,a),(B,b),(B,c),(a,A),(a,B),(a,b),(a,c),(b,A),(b,B),(b,a),(b,c),(c,A),(c,B),(c,a),(c,b),共20个.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析简单的古典概型的概率计算
例2 甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;
(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.
分析(1)要求2名教师性别相同的概率,应先写出所有可能的结果,可以采用列举法求解.
(2)要求选出的2名教师来自同一所学校的概率,应先求出2名教师来自同一所学校的基本事件.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析解(1)甲校2名男教师分别用A,B表示,1名女教师用C表示;乙校1名男教师用D表示,2名女教师分别用E,F表示.
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为:(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共9种.
从中选出2名教师性别相同的结果有:(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共4种,
所以选出的2名教师性别相同的概率为
(2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名的所有可能的结果为:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.
从中选出2名教师来自同一所学校的结果有:(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共6种,
所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟求解古典概型“四步法” 当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练2掷一枚骰子,观察掷出的点数,则掷得奇数点的概率是( )
解析:掷骰子有6个基本事件,具有有限性和等可能性,因此是古典概型.
这个试验的基本事件共有6个,即出现1点,出现2点,…,出现6点,所以基本事件总数n=6.
{掷得奇数点}={出现1点,出现3点,出现5点},其包含的基本事件数m=3,
所以掷得奇数点的概率P= .
答案:A当堂检测探究一探究二探究三思维辨析例3现有7名数理化成绩优秀者,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛.
(1)求C1被选中的概率;
(2)求A1和B1不全被选中的概率.
分析找出基本事件总数n和事件A发生的基本事件数m,用公式求解.较复杂的古典概型的概率计算 当堂检测探究一探究二探究三思维辨析 解:(1)从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,其一切可能的结果组成的12个基本事件为(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2).当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟解决古典概型问题的基本方法是列举法,但对于较复杂的古典概型问题,可采用转化的方法:一是将所求事件转化为彼此互斥事件的和;二是对含有“至多”“至少”等类型的问题,在直接求解比较困难或比较烦琐时,可通过求对立事件的概率求解.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练3不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出2个球.
(1)写出所有不同的结果;
(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率;
(3)求至少摸出1个黑球的概率.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析混淆“等可能性”与“非等可能性”
典例 任意投掷两枚质地均匀的骰子,求“出现的点数之和为奇数”的概率.
错解任意投掷两枚骰子,点数之和可能是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,共有11个基本事件,设出现的点数之和为奇数的事件为A,则事件A
以上错解中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你如何防范?
错因分析出现点数之和为奇数与偶数的11种情况不是等可能事件,如“点数之和为2”只出现一次,即(1,1);“点数之和为3”则出现两次,即(2,1),(1,2),因此以点数之和为基本事件不属于古典概型,不能应用古典概型概率公式计算.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析正解任意投掷两枚骰子,可看成等可能事件,其结果即基本事件可表示为数组(i,j)(i,j=1,2,…,6),其中两个数i,j分别表示这两枚骰子出现的点数,则有
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),
共有36个基本事件.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析设“出现的点数之和为奇数”为事件A,则包含(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5),共有18个基本事件,故 即“出现的点数之和为奇数”的概率为 .
防范措施使用古典概型概率公式应注意:(1)确定是不是古典概型;(2)基本事件总数是什么,事件A是什么,包含的基本事件有哪些.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字,求下列事件的概率:
(1)事件A={三个数字中不含1和5};(2)事件B={三个数字中含1或5}.
解这个试验的基本事件为:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),所以基本事件总数n=10.
(1)因为事件A={(2,3,4)},
所以事件A包含的事件数m=1.
(2)因为事件B={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},
所以事件B包含的基本事件数m=9.当堂检测1.下列试验中,是古典概型的个数为( )
①种下一粒花生,观察它是否发芽;
②向上抛一枚质地不均的硬币,观察正面向上的概率;
③正方形ABCD内任意一点P,点P恰与点C重合;
④从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率;
⑤在线段[0,5]上任取一点,求此点小于2的概率.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:只有④是古典概型.
答案:B探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.在建国70周年国庆阅兵中,某兵种A,B,C三个方阵按一定次序通过主席台,若先后次序是随机排定的,则B先于A,C通过的概率为( )
解析:用(A,B,C)表示A,B,C通过主席台的次序,则所有可能的次序有:(A,B,C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A),共6种,其中B先于A,C通过的有:(B,C,A)和(B,A,C),共2种,故所求概率
答案:B探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.三张卡片上分别写着字母E,E,B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词BEE的概率为 .?
解析：三张卡片的排列方法有EEB,EBE,BEE共3种,则恰好排成英文单词BEE的概率为 .
答案：探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为 .?
解析:从5根竹竿中一次随机抽取2根的事件总数为10,它们的长度恰好相差0.3 m的事件数为2,分别是:2.5和2.8,2.6和2.9,所求概率为
