3.3 几何概型
3.3.1 几何概型
课后篇巩固提升
1.下列概率模型中,几何概型的个数为( )
①从区间[-10,10]内任取出一个数,求取到1的概率;
②从区间[-10,10]内任取出一个数,求取到绝对值不大于1的数的概率;
③从区间[-10,10]内任取出一个整数,求取到大于1而小于2的数的概率;
④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P,求点P离中心不超过1 cm的概率.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析①不是几何概型,虽然区间[-10,10]有无限多个点,但“1”只是一个数字,不能构成区域长度;
②是几何概型,因为区间[-10,10]和[-1,1]上有无限多个数可取(满足无限性),且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性);
③不是几何概型,因为区间[-10,10]上的整数只有21个(是有限的),不满足无限性特征;
④是几何概型,因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点,且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到,故满足无限性和等可能性.
答案B
2.在长为10 cm的线段AB上任取一点G,用AG为半径作圆,则圆的面积介于36π cm2到64π cm2之间的概率是( )
A.925 B.1625 C.310 D.15
解析以AG为半径作圆,面积介于36π cm2到64π cm2之间,则AG的长度应介于6 cm到8 cm之间.
∴所求概率P(A)=210=15.
答案D
3.点A为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧AB的长度大于1的概率为 ( )
A.15 B.23 C.13 D.12
解析把该周长是3的圆三等分(点A作为其中一个等分点),每一段劣弧的长度都是1,要使劣弧AB的长度大于1,则点B只能在与点A相对的那段劣弧上(两个端点除外),根据几何概型的概率计算公式知,所求的概率是13.
答案C
4.球O与棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面均相切,如图,用平行于底面的平面截去长方体A2B2C2D2-A1B1C1D1,得到截面A2B2C2D2,且A2A=34a,现随机向截面A2B2C2D2上撒一粒黄豆,则黄豆落在截面中的圆内的概率为( )
A.34 B.3π 16 C.π 4 D.316
解析由题意知,截面中的圆的半径为a22-a42=34a,面积为3π 16a2,又∵截面A2B2C2D2的面积为a2,
∴黄豆落在截面中的圆内的概率为3π 16.故选B.
答案B
5.
纹样是中国艺术宝库的瑰宝,火纹是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样(如图中阴影部分所示)的面积,作一个边长为5的正方形将其包含在内,并向该正方形内随机投掷1 000个点,已知恰有400个点落在阴影部分,据此可估计阴影部分的面积是( )
A.2 B.3 C.10 D.15
解析易知边长为5的正方形的面积S正方形=5×5=25,设阴影部分的面积为S阴,
∵向该正方形内随机投掷1 000个点,恰有400个点落在阴影部分,
∴S阴S正方形≈4001 000,
解得S阴≈4001 000×S正方形=4001 000×25=10,
∴估计阴影部分的面积是10.
答案C
6.某人从甲地去乙地共走了500 m,途经一条宽为x m的河流.此人不小心把一件物品丢在了途中,若掉在河里就找不到,否则就能找到,已知该物品能被找到的概率为45,则河宽为 .?
解析由几何概型的概率计算公式得500-x500=45,解得x=100.
答案100 m
7.
如图,在一个边长为a、b(a>b>0)的矩形内画一个梯形,梯形上、下底长分别为13a与12a,高为b,向该矩形内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为 .?
解析直接套用几何概型的概率公式.S矩形=ab,S梯形=1213a+12a·b=512ab,所以所投的点落在梯形内部的概率为S梯形S矩形=512abab=512.
答案512
8.
如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形,中间空出一个小正方形组成的图形,若在大正方形内随机取一点,该点落在小正方形内的概率为15,则图中直角三角形中较大锐角θ的正弦值为 .?
解析由题意不妨设大正方形面积为5,小正方形面积为1,
∴大正方形的边长为5,小正方形的边长为1,∴四个全等的直角三角形的斜边长是5,较短的直角边的长是1可设较短的直角边的长为x,则x(1+x)2=1,x=1,则较长的直角边的长是2,故sin θ=25=255.
答案255
9.设有一个等边三角形网格,其中各个最小等边三角形的边长都是43 cm,现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格上,求硬币落下后与格线没有公共点的概率.
解记A={硬币落下后与格线没有公共点},
如图,在边长为43 cm的等边三角形内作小等边三角形,使其三边与原等边三角形三边距离都为1,
则等边三角形A'B'C'的边长为43-23=23,
由几何概率公式得:P(A)=34×(23)234×(43)2=14.
10.两人约定在20时到21时之间相见,并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去,如果两人出发是各自独立的,且在20时到21时之间各时刻相见的可能性是相等的,求两人在约定时间内相见的概率.
解设两人分别于(20+x)时和(20+y)时到达约定地点,要使两人能在约定时间范围内相见,
则有-23≤x-y≤23.(x,y)的各种可能结果可用图中的单位正方形(包括边界)来表示,满足两人在约定的时间范围内相见的(x,y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示.因此阴影部分与单位正方形的面积比就是两人在约定时间范围内相见的可能性的大小,也就是所求的概率,
即P=S阴影S单位正方形=1-2×12×13212=89.
课件30张PPT。3.3.1 几何概型一、几何概型的概念及特点
1.计算随机事件发生的概率,我们已经学习了哪些方法?
提示(1)通过做试验或用计算机模拟试验等方法得到事件发生的频率,用频率估计概率;(2)利用古典概型的概率公式计算事件发生的概率.
2.在现实生活中,我们常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况,例如:一个正方形方格内有一内切圆,往这个方格中投一个石子,求石子落在圆内的概率.这个试验还能不能用古典概型的概率公式来计算事件发生的概率呢?若没有人为因素,每个试验结果出现的可能性相等吗?
提示不能,这个试验可能出现的结果是无限多个.相等.3.如图,有两个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在这两种情况下甲获胜的概率分别是多少?
4.问题3中每个扇形区域对应的圆弧的长度(或扇形的面积)和它所在位置都是可以变化的,从结论来看,甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的哪个因素有关?与哪个因素无关?
提示与扇形区域对应的弧长(或面积)有关,而与扇形区域所在的位置无关.
5.玩转盘游戏中所求事件的概率就是几何概型,你能给几何概型下个定义吗?几何概型有哪两个基本特征?
提示如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.几何概型的基本特征:(1)可能出现的结果有无限多个;(2)每个结果发生的可能性相等.6.问题3中,在两种情况下甲获胜的概率分别是怎么求出来的?
7.问题2中,石子落在圆内的概率应该怎么求?
提示把正方形的边长记为2,则其面积为2×2=4,其内切圆得半径为1,内切圆的面积为π·12=π.8.做一做1:判断题
(1)几何概型中事件发生的概率与位置、形状有关. ( )
(2)几何概型在一次试验中可能出现的基本事件有有限个. ( )
(3)几何概型中每个基本事件的发生具有等可能性. ( )
答案:(1)× (2)× (3)√二、几何概型的概率公式
还有没有其他类型的几何概型,如何求其某一随机事件的概率呢?
1.在装有5升水的水族箱中放入一个身长约1 mm的小型水母,现从中随机取出1升水,那么这1升水中含有水母的概率是多少?你是怎样计算的?
提示概率为 ,由于水母出现在这5升水中的位置有无限多个结果且每个结果发生的可能性相等,因此随机取出的1升水中含有水母的概率为1升水的体积除以5升水的体积.2.根据上述几个问题中求概率的方法,你能归纳出在几何概型中,事件A的概率的计算公式吗?3.做一做2:
一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外,其余全部相同)上爬来爬去,它最后停留在黑色地板砖(阴影部分)上的概率是( )解析:设每块地板砖的面积为1,则总面积为12,其中黑色地板砖面积为4,所以所求概率为
答案:A探究一探究二探究三思维辨析与长度有关的几何概型
例1 (1)某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
(2)如图,在△ABC的边AC上任取一点P,求使△ABP的面积小于△ABC面积的一半的概率.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析分析(1)用数轴画出班车发车时间与小明等车不超过10分钟需要到达车站时间段,然后利用线段的长度比值表示所求概型;(2)△ABP与△ABC有相同的底AB,要使△ABP的面积小于△ABC面积的一半,只需点P到AB的距离小于点C到AB距离的一半.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析(1)解析:如图所示,画出时间轴:
小明到达的时间会随机地落在图中线段AB中,而当他的到达时间落在线段AC或DB时,才能保证他等车的时间不超过10分钟,根据几何概型得所求概率
答案:B当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示,则其概率的计算公式为:
2.在求解与长度有关的几何概型时,首先找到几何区域D,这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段,然后找到事件A发生对应的区域d,在找d的过程中,确定边界点是问题的关键,但边界点是否取到却不影响事件A的概率.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练1在区间[1,3]上任意取一个数,则这个数大于1.5的概率是 .?当堂检测探究一探究二探究三思维辨析例2 如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个5G通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是( )与面积有关的几何概型 当堂检测探究一探究二探究三思维辨析答案:A 当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟
1.与面积有关的几何概型的概率公式
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示,则其概率的计算公式为:
2.解:与面积相关的几何概型问题的三个关键点
(1)根据题意确认是不是与面积有关的几何概型问题;
(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何特征计算相关面积;
(3)套用公式,从而求得随机事件的概率.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练2射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环,从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色,靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm,运动员在一定距离外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任意一点是等可能的,那么射中黄心的概率为多少?当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析例3有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,求点P到点O的距离大于1的概率.
分析先确定出点P所在的空间,并求出该空间的体积,用它与圆柱的体积相除即得所求事件的概率.与体积有关的几何概型 当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟如果试验结果所构成的区域的几何度量可用体积表示,则其概率的计算公式为:当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练3已知正三棱锥S-ABC的底面边长为a,高为h,在正三棱锥内取点M,试求点M到底面的距离小于 的概率.解如图,分别在SA,SB,SC上取点A1,B1,C1,使A1,B1,C1分别为SA,SB,SC的中点,则当点M位于平面ABC和平面A1B1C1之间时,点M到底面的距离小于 .当堂检测探究一探究二探究三思维辨析忽略无限个基本事件的可能性判断而致误
典例 在等腰直角三角形ABC中,过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AM
错因分析本题错误解答的原因是把角度问题错误地转化成了线段长度问题.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析防范措施当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时,常以角的大小作为区域量度来计算概率,切不可用线段代替,否则会导致基本事件发生的可能性不相等.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为 ( ) 答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.两根电线杆相距100 m,若电线遭受雷击,且雷击点距电线杆10 m之内时,电线杆上的输电设备将受损,则遭受雷击时设备受损的概率为( )
A.0.1 B.0.2 C.0.05 D.0.5
解析：如图,两根电线杆相距MN=100 m,MP=10 m,QN=10 m,则当雷击点在MP或QN范围上时,设备受损,故设备受损的概率为
P= =0.2.
答案：B探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.在[-1,1]上随机取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为 .?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.在500 mL的水中有一只草履虫,现从中随机取出2 mL水样放到显微镜下观察,求发现草履虫的概率.
解:取出2 mL水,其中“发现草履虫”这一事件记为A,
故发现草履虫的概率是0.004.