2019-2020学年江苏省淮安市楚中、新马、清浦、洪泽高中四校联考高三（上）期中数学试卷（文科）（PDF版 含答案）

2019-2020 学年江苏省淮安市楚中、新马、清浦、洪泽高中四校
联考高三（上）期中数学试卷（文科）
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡上．
1．已知 R为实数集，集合 { 1A ? ? ，0，1}，集合 { | 0}B x x? ? ，则 RA B ??? ．
2．“ x R? ? ， 2 2 1 0x x? ? ? ”的否定是 ．
3．已知向量 (1, 2), ( ,2)a b x? ? ?
??
，若 a b?
??
，则 | |b ?
?
．
4．已知函数 ( ) sin(2 )
6
f x x ?? ? ，则函数的最小正周期为 ．
5．已知函数
1, 0
( )
, 0x
x x
f x
e x
? ??
? ?
? ?
，则 ( (0) 3)f f ? ? ．
6．设 ABC? 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2a ? ， 1cos
4
C ? ? ，3sin 2sinA B? ，
则 c ? ．
7．已知 5cos( )
4 5
?? ? ? ， (0, )
2
?? ? ，则 tan? ? ．
8．将函数 ( ) cos( )(| | )
2
f x x ?? ?? ? ? 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1
2
倍（纵坐标不变），
再把得到的图象向左平移
6
?
个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则? ? ．
9．若等比数列{ }na 的前 n项和
12nnS c
?? ? ，则 c ? ．
10．《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试
问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤 (16两）还差
30文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两 文．
11．在 ABC? 中，M 是 BC的中点， 3AM ? ， 10BC ? ，则 AB AC ?
???? ????
? ．
12．已知函数 2( ) ( )
2
af x xlnx x x a a R? ? ? ? ? 在其定义域内有两个不同的极值点，则实数 a的
取值范围是 ．
13．已知 a，b为正实数，直线 y x a? ? 与曲线 ( )y ln x b? ? 相切，则 2 3
a b
? 的最小值为 ．
14．已知关于 x的不等式 ( 3) 2x lnx ?? ? 有解，则整数 ?的最小值为 ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
15．已知 2sin( )
4 10
?? ? ? ， (
2
?? ? ， )? ．
求：（1） cos? 的值；
（2） sin(2 )
4
?? ? 的值．
16．在 ABC? 中，记角 A、B、C的对边分别为 a，b，c，角 A为锐角，设向量 (cos ,sin )m A A?? ，
(cos , sin )n A A? ?? ，且 1
2
m n ?? ?? ．
（1）求角 A的大小及向量 ,m n? ?的夹角；
（2）若 5a ? ，求 ABC? 面积的最大值．
17．请你设计一个包装盒，如图所示， ABCD是边长为 60cm的正方形硬纸片，切去阴影部
分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A， B，C，D四个点重合
于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， E、 F 在 AB上，是被切去的等
腰直角三角形斜边的两个端点，设 ( )AE FB x cm? ? ．
（1）若广告商要求包装盒侧面积 2( )S cm 最大，试问 x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积 3( )V cm 最大，试问 x应取何值？并求出此时包装盒的高与底
面边长的比值．
18．函数 ( ) log (2 )af x ax? ? ．
（1）当 3a ? 时，求函数 ( )f x 的定义域；
（2）若 ( ) ( ) log (2 )ag x f x ax? ? ? ，判断 ( )g x 的奇偶性；
（3）是否存在实数 a使得函数 ( )f x 在[2，3]递增，并且最大值为 1，若存在，求出 a的值；
若不存在，说明理由．
19．已知数列{ }na 和{ }nb 满足
*
1 2 3 ( 2) ( )n
b
na a a a n N? ? ? ．若{ }na 为等比数列，且 1 2a ? ，
3 26b b? ? ．
（Ⅰ）求 na 和 nb ；
（Ⅱ）设 *
1 1 ( )n
n n
n N
a b
? ? ?? ．记数列{ }n? 的前 n项和为 nS ．
( )i 求 nS ；
( )ii 求正整数 k，使得对任意 *n N? 均有 k nS S? ．
20．已知函数 2( ) 1f x x ax? ? ? ， ( ) xg x e? （其中 e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若 1a ? ，求函数 ( ) ( )y f x g x? ? 在区间[ 2? ， 0]上的最大值；
（Ⅱ）若 1a ? ? ，关于 x的方程 ( ) ( )f x k g x? ? 有且仅有一个根，求实数 k的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的 1x ， 2 [0x ? ， 2]， 1 2x x? ，不等式 1 2 1 2| ( ) ( ) | | ( ) ( ) |f x f x g x g x? ? ? 均成立，
求实数 a的取值范围．
2019-2020 学年江苏省淮安市楚中、新马、清浦、洪泽高中四校
联考高三（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡上．
1．已知 R为实数集，集合 { 1A ? ? ，0，1}，集合 { | 0}B x x? ? ，则 RA B ??? {1} ．
【解答】解： { 1A ? ?? ，0，1}， { | 0}B x x? ? ，
{ | 0}RB x x? ? ?? ， {1}RA B ??? ．
故答案为：{1}．
2．“ x R? ? ， 2 2 1 0x x? ? ? ”的否定是 0x R? ? ，
2
0 02 1 0x x? ? ? ．
【解答】解：命题为全称命题，则“ x R? ? ， 2 2 1 0x x? ? ? ”的否定是： 0x R? ? ，
2
0 02 1 0x x? ? ? ，
故答案为： 0x R? ? ，
2
0 02 1 0x x? ? ? ．
3．已知向量 (1, 2), ( ,2)a b x? ? ?
??
，若 a b?
??
，则 | |b ?
?
2 5 ．
【解答】解：向量 (1, 2), ( ,2)a b x? ? ?
??
，若 a b?
??
，
? 0a b ?
??? ，
4x? ? ，
2 2| | 4 2 2 5b ? ? ?
?
．
故答案为： 2 5．
4．已知函数 ( ) sin(2 )
6
f x x ?? ? ，则函数的最小正周期为 ? ．
【解答】解：函数 ( ) sin(2 )
6
f x x ?? ? 的最小正周期为： 2
2
? ?? ．
故答案为：? ．
5．已知函数
1, 0
( )
, 0x
x x
f x
e x
? ??
? ?
? ?
，则 ( (0) 3)f f ? ? 1? ．
【解答】解：?函数
1, 0
( )
, 0x
x x
f x
e x
? ??
? ?
? ?
，
0(0) 1f e? ? ? ，
(0) 3 1 3 2 0f ? ? ? ? ? ? ，
( 2) 2 1 1f? ? ? ? ? ? ? ，
所以 ( (0) 3) ( 2) 1f f f? ? ? ? ? ，
故答案为 1? ；
6．设 ABC? 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2a ? ， 1cos
4
C ? ? ，3sin 2sinA B? ，
则 c ? 4 ．
【解答】解： 3sin 2sinA B?? ，
?由正弦定理可得： 3 2a b? ，
2a ?? ，
?可解得 3b ? ，
又
1cos
4
C ? ?? ，
?由余弦定理可得： 2 2 2
12 cos 4 9 2 2 3 ( ) 16
4
c a b ab C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
?解得： 4c ? ．
故答案为：4．
7．已知 5cos( )
4 5
?? ? ? ， (0, )
2
?? ? ，则 tan? ? 1
3
．
【解答】解：? (0, )
2
?? ? ，? (
4 4
? ?? ? ? ， 3 )
4
?
，
又
5cos( )
4 5
?? ? ? ， 2 2 5sin( ) 1 ( )
4 4 5
cos? ?? ?? ? ? ? ? ? ．
sin sin[( ) ] sin( )cos cos( )sin
4 4 4 4 4 4
? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
2 5 2 5 2 10
5 2 5 2 10
? ? ? ? ? ，则
3 10cos
10
? ? ，
sin 1tan
cos 3
??
?
? ? ? ．
故答案为：
1
3
．
8．将函数 ( ) cos( )(| | )
2
f x x ?? ?? ? ? 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1
2
倍（纵坐标不变），
再把得到的图象向左平移
6
?
个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则? ?
6
?
．
【解答】解：将函数 ( ) cos( )(| | )
2
f x x ?? ?? ? ? 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1
2
倍（纵
坐标不变），
得到 cos(2 )y x ?? ? ，
再把得到的图象向左平移
6
?
个单位长度，得到 cos[2( ) ] cos(2 )
6 3
y x x? ?? ?? ? ? ? ? ? ，
?所得函数图象关于原点对称，
?
3 2
k? ?? ?? ? ? ， k Z? ，
即
6
k?? ?? ? ， k Z? ，
| |
2
?? ?? ，
?当 0k ? 时，
6
?? ? ，
故答案为：
6
?
．
9．若等比数列{ }na 的前 n项和
12nnS c
?? ? ，则 c ? 2? ．
【解答】解：依题意，该等比数列的公比不为 1，
所以 1 1 1
(1 ) 2 2
1 1 1
n
n n
n
a q a aS q c
q q q
?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ，
所以 2q ? ， 1 2
1
a
q
? ?
?
，
2c ? ? ，
故填： 2? ．
10．《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试
问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤 (16两）还差
30文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两 6 文．
【解答】解：设肉价是每两 x文，由题意得16 30 8 18x x? ? ? ，解得 6x ? ，即肉价是每两 6
文．
故答案为：6．
11．在 ABC? 中，M 是 BC的中点， 3AM ? ， 10BC ? ，则 AB AC ?
???? ????
? 16? ．
【解答】解：设 AMB ?? ? ，则 AMC ? ?? ? ? ．又 AB MB MA? ?
???? ???? ????
， AC MC MA? ?
???? ????? ????
，
? (AB AC ?
???? ????
? ) (MB MA?
???? ????
?
2
)MC MA MB MC MB MA MA MC MA? ? ? ? ?
????? ???? ???? ????? ???? ???? ???? ????? ????
? ? ? ，
25 5 3cos 3 5cos( ) 9 16? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
故答案为 16? ．
12．已知函数 2( ) ( )
2
af x xlnx x x a a R? ? ? ? ? 在其定义域内有两个不同的极值点，则实数 a的
取值范围是
1(0, )
e
．
【解答】解：由题意知，函数 ( )f x 的定义域为 (0, )?? ，
方程 ( ) 0f x? ? 在 (0, )?? 有两个不同根；
即方程 0lnx ax? ? 在 (0, )?? 有两个不同根；
转化为函数 y lnx? 与函数 y ax? 的图象在 (0, )?? 上有两个不同交点，
如右图．
可见，若令过原点且切于函数 y lnx? 图象的直线斜率为 k，
只须 0 a k? ? ．
令切点 0(A x ， 0 )lnx ，
故
0
0
1|x xk y x?
? ? ? ，又 0
0
lnxk
x
? ，
故 0
0 0
1 lnx
x x
? ，
解得， 0x e? ，
故
1k
e
? ，
故
10 a
e
? ? ．
故答案为：
1(0, )
e
．
13．已知 a， b为正实数，直线 y x a? ? 与曲线 ( )y ln x b? ? 相切，则 2 3
a b
? 的最小值为
5 2 6? ．
【解答】解： ( )y ln x b? ? 的导数为 1y
x b
? ?
?
，
由切线的方程 y x a? ? 可得切线的斜率为 1，
可得切点的横坐标为1 b? ，切点为 (1 ,0)b? ，
代入 y x a? ? ，得 1a b? ? ，
a? 、 b为正实数，
则
2 3 2 3 2 3 2 3( )( ) 2 3 5 2 5 2 6b a b aa b
a b a b a b a b
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ．
当且仅当
6
3
a b? ，即 3 6
3
a ?? ， 3 6b ? ? 时，取得最小值 5 2 6? ．
故答案为： 5 2 6? ．
14．已知关于 x的不等式 ( 3) 2x lnx ?? ? 有解，则整数 ?的最小值为 0 ．
【解答】 ( ) ( 3)h x x lnx? ? ， 3( ) 1h x lnx
x
? ? ? ? ，
2
1 1( ) 0h x
x x
?? ? ? ? 恒成立， ( )h x? ? 在 (0, )?? 上单调递增，
?存在 0x ， 0( ) 0h x? ? ，即 0
0
3 1lnx
x
? ? ，
( )h x 在 0(0, )x 上单调递减， 0(x ， )?? 上单调递增，
0 0
0
9( ) ( ) ( ) 6minh x h x x x
? ? ? ? ? ? ，
3( ) 0
2
h? ?? ， h?（2） 0? ， 0
3(
2
x? ? ， 2)，
0
3( ) (
2
h x? ? ? ， 1)
2
? ，
?存在 ?的最小值 0，使得关于 x的不等式 2 ( )h x?? 有解；
故答案为：0
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
15．已知 2sin( )
4 10
?? ? ? ， (
2
?? ? ， )? ．
求：（1） cos? 的值；
（2） sin(2 )
4
?? ? 的值．
【解答】解：（1） 2sin( )
4 10
?? ? ? ，
即
2sin cos cos sin
4 4 10
? ?? ?? ? ，化简： 1sin cos
5
? ?? ? ?①
2 2sin cos 1? ?? ? ?②．
由①②解得
3cos
5
? ? ? 或 4cos
5
? ?
(
2
?? ?? ， )? ．
3cos
5
?? ? ?
（2） (
2
?? ?? ， )? ． 3cos
5
? ? ?
4sin
5
?? ? ，
那么： 2
7cos2 1 2sin
25
? ?? ? ? ? ， 24sin 2 2sin cos
25
? ? ?? ? ?
17 2sin(2 ) sin 2 cos cos2 sin
4 4 4 50
? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ．
16．在 ABC? 中，记角 A、B、C的对边分别为 a，b，c，角 A为锐角，设向量 (cos ,sin )m A A?? ，
(cos , sin )n A A? ?? ，且 1
2
m n ?? ?? ．
（1）求角 A的大小及向量 ,m n? ?的夹角；
（2）若 5a ? ，求 ABC? 面积的最大值．
【解答】解：（1）在 ABC? 中，由 1
2
m n ?? ?? 求得 1cos2
2
A ? ，可得
6
A ?? ．
再根据
1| | | | cos , cos
2
m n m n m n m? ? ? ? ? ?
??? ???????? ? ? ?? ? ? ， n ?? ，求得 cos m? ? ， 1
2
n ??? ，
可得向量m? 与 n?的夹角 m? ? ，
3
n ???? ．
（2） 5a ?? ，
6
A ?? ，由余弦定理可得 2 2 25 2 cos 2 3a b c bc A bc bc? ? ? ? ?? ? ，
求得 10 5 3bc ?? ，当且仅当 b c? 时取等号，故 ABC? 面积 1 sin
2 4
bcbc A ?? 的最大值为
10 5 3
4
?
．
17．请你设计一个包装盒，如图所示， ABCD是边长为 60cm的正方形硬纸片，切去阴影部
分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A， B，C，D四个点重合
于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， E、 F 在 AB上，是被切去的等
腰直角三角形斜边的两个端点，设 ( )AE FB x cm? ? ．
（1）若广告商要求包装盒侧面积 2( )S cm 最大，试问 x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积 3( )V cm 最大，试问 x应取何值？并求出此时包装盒的高与底
面边长的比值．
【解答】解：设包装盒的高为 ( )h cm ，底面边长为 ( )a cm ，则 2a x? ， 2(30 )h x? ? ，
0 30x? ? ．
（1） 24 8 (30 ) 8( 15) 1800S ah x x x? ? ? ? ? ? ? ，
答：当 15x ? 时， S取最大值．
（2） 2 3 22 2( 30 )V a h x x? ? ? ? ， 6 2 (20 )V x x? ? ? ，
由 0V ? ? 得 20x ? ，
当 (0,20)x? 时， 0V ? ? ；当 (20,30)x? 时， 0V ? ? ；
答：当 20x ? 时，包装盒容积 3( )V cm 最大，
此时，
1
2
h
a
? ．
即此时包装盒的高与底面边长的比值是
1
2
．
18．函数 ( ) log (2 )af x ax? ? ．
（1）当 3a ? 时，求函数 ( )f x 的定义域；
（2）若 ( ) ( ) log (2 )ag x f x ax? ? ? ，判断 ( )g x 的奇偶性；
（3）是否存在实数 a使得函数 ( )f x 在[2，3]递增，并且最大值为 1，若存在，求出 a的值；
若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）由题意： ( ) log (2 3 )af x x? ? ，
2 3 0x? ? ? ，即 2
3
x ? ，
所以函数 ( )f x 的定义域为 2( , )
3
?? ；
（2）易知 ( ) log (2 ) log (2 )a ag x ax ax? ? ? ? ，
2 0ax? ?? 且 2 0ax? ? ，
?
2 2x
a a
? ? ? 关于原点对称，
又? 2( ) log (2 ) log (2 ) log
2a a a
axg x ax ax
ax
?
? ? ? ? ?
?
，
?
2 2( ) log log ( )
2 2a a
ax axg x g x
ax ax
? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
，
( )g x? 为奇函数．
（3）令 2 ax? ? ? ， 0a ?? ， 1a ? ，
2 ax?? ? ? 在 [2，3]上单调递减，
又?函数 ( )f x 在[2， 3]递增，
0 1a? ? ? ，又?函数 ( )f x 在 [2， 3]的最大值为 1，
f? （3） 1? ，即 f （3） log (2 3 ) 1a a? ? ? ，
?
1
2
a ? ， 0 1a? ?? ，? 1
2
a ? 符合题意．
即存在实数
1
2
a ? ，使函数 ( )f x 在 [2， 3]递增，并且最大值为 1．
19．已知数列{ }na 和{ }nb 满足
*
1 2 3 ( 2) ( )n
b
na a a a n N? ? ? ．若{ }na 为等比数列，且 1 2a ? ，
3 26b b? ? ．
（Ⅰ）求 na 和 nb ；
（Ⅱ）设 *
1 1 ( )n
n n
n N
a b
? ? ?? ．记数列{ }n? 的前 n项和为 nS ．
( )i 求 nS ；
( )ii 求正整数 k，使得对任意 *n N? 均有 k nS S? ．
【解答】解：（Ⅰ） *1 2 3 ( 2) ( )n
b
na a a a n N? ? ?? ①，
当 2n? ， *n N? 时， 11 2 3 1 ( 2) nbna a a a ?? ? ? ②，
由①②知： 1( 2) n nb bna ?
?? ，
令 3n ? ，则有 3 23 ( 2)
b ba ?? ．
3 26b b? ?? ，
3 8a? ? ．
{ }na? 为等比数列，且 1 2a ? ，
{ }na? 的公比为 q，则
2 3
1
4
a
q
a
? ? ，
由题意知 0na ? ， 0q? ? ， 2q? ? ．
? *2 ( )nna n N? ? ．
又由 *1 2 3 ( 2) ( )n
b
na a a a n N? ? ? 得：
1 2 32 2 2 2 ( 2) nbn? ? ?? ? ，
( 1)2 ( 2)
2
nbn n ? ? ，
*( 1)( )nb n n n N? ? ? ? ．
（Ⅱ）
1 1 1 1 1 1 1( ) ( )
2 ( 1) 2 1n n nn n
i
a b n n n n
? ? ? ? ? ? ?
? ?
?? ．
1 2 3n nS c c c ???? ? ? ? ?
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )
2 1 2 2 2 3 2 1n n n
? ? ? ? ? ? ??? ? ?
?
2
1 1 1 1(1 )
2 2 2 1n n
? ? ??? ? ?
?
1 11 1
2 1n n
? ? ? ?
?
1 1
1 2nn
? ?
?
；
( )ii 因为 1 0c ? ， 2 0c ? ， 3 0c ? ， 4 0c ? ；
当 5n? 时，
1 ( 1)[ 1]
( 1) 2n n
n nc
n n
?
? ?
?
，
而
1 1
( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2) 0
2 2 2n n n
n n n n n n
? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ，
得
5
( 1) 5 (5 1) 1
2 2n
n n ? ?
?
?? ，
所以，当 5n? 时， 0n ?? ，
综上，对任意 *n N? 恒有 4 nS S? ，故 4k ? ．
20．已知函数 2( ) 1f x x ax? ? ? ， ( ) xg x e? （其中 e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若 1a ? ，求函数 ( ) ( )y f x g x? ? 在区间[ 2? ， 0]上的最大值；
（Ⅱ）若 1a ? ? ，关于 x的方程 ( ) ( )f x k g x? ? 有且仅有一个根，求实数 k的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的 1x ， 2 [0x ? ， 2]， 1 2x x? ，不等式 1 2 1 2| ( ) ( ) | | ( ) ( ) |f x f x g x g x? ? ? 均成立，
求实数 a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ） 1a ? 时， 2( 1) xy x x e? ? ? ， ( 1)( 2) xy x x e? ? ? ? ，
令 0y? ? ，解得： 1x ? ? 或 2x ? ? ，令 0y? ? ，解得： 2 1x? ? ? ? ，
?函数 ( ) ( )y f x g x? ? 在 [ 2? ， 1]? 递减，在 [ 1? ， 0]递增，
而 2x ? ? 时， 2
3y
e
? ， 0x ? 时， 1y ? ，
故函数在 [ 2? ， 0]上的最大值是 1；
（Ⅱ）由题意得：
2( ) 1
( ) x
f x x xk
g x e
? ?
? ? 有且只有一个根，
令
2 1( ) x
x xh x
e
? ?
? ，则
( 1)( 2)( ) x
x xh x
e
? ? ?
? ? ，
故 ( )h x 在 ( ,1)?? 上单调递减， (1,2)上单调递增， (2, )?? 上单调递减，
所以 ( )h x 极大 h? （2） 2
3
e
? ， ( )h x 极小 h? （1） 1
e
? ，
因为 ( )h x 在 (2, )?? 单调递减，且函数值恒为正，又当 x???时， ( )h x ? ??，
所以当 2
3k
e
? 或
10 k
e
? ? 时， ( )k h x? 有且只有一个根．
（Ⅲ）设 1 2x x? ，因为 ( )
xg x e? 在[0， 2]单调递增，
故原不等式等价于 1 2 2 1| ( ) ( ) | ( ) ( )f x f x g x g x? ? ? 在 1x 、 2 [0x ? ， 2]，且 1 2x x? 恒成立，
所以 1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g x g x f x f x g x g x? ? ? ? ? 在 1x 、 2 [0x ? ， 2]，且 1 2x x? 恒成立，
即 1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
g x f x g x f x
f x g x g x f x
? ? ??
? ? ? ??
，在 1x 、 2 [0x ? ， 2]，且 1 2x x? 恒成立，
则函数 ( ) ( ) ( )F x g x f x? ? 和 ( ) ( ) ( )G x f x g x? ? 都在 [0， 2]单调递增，
则有
( ) ( ) ( ) 2 0
( ) ( ) ( ) 2 0
x
x
G x g x f x e x a
F x g x f x e x a
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ??
?
?
，在 [0， 2]恒成立，
当 ( 2 )xa e x? ?? 恒成立时，因为 ( 2 )xe x? ? 在[0， 2]单调递减，
所以 ( 2 )xe x? ? 的最大值为 1? ，所以 1a ?? ；
当 2xa e x?? 恒成立时，因为 2xe x? 在 [0， 2]ln 单调递减，在 [ 2ln ， 2]单调递增，
所以 2xe x? 的最小值为 2 2 2ln? ，所以 2 2 2a ln?? ，
综上： 1 2 2 2a ln? ?? ? ．