2019-2020学年陕西省宝鸡市金台区高二（上）期中数学试卷（理科）（PDF版 含答案）

2019-2020 学年陕西省宝鸡市金台区高二（上）期中数学试卷
（理科）
一．选择题（每小题 5 分，共计 60 分）
1．已知 a b? ，且 0ab ? ，则下列不等式正确的是 ( )
A． 2 2a b? B． 2 2a b? C． | | |a b? D． 1 1
a b
?
2．不等式
( 5)( ) 0
0 3
x y x y
x
? ? ??
?
?
?
? ? 表示的平面区域是一个 ( )
A．三角形 B．直角三角形 C．梯形 D．矩形
3．在 ABC? 中，若 3 2 sina b A? ，则 B为 ( )
A．
3
? B．
6
? C．
6
?
或
5
6
? D．
3
?
或
2
3
?
4．已知数列{ }na 满足 1 2n na a n? ? ? ， 1 1a ? ，则 15 (a ? )
A．111 B．211 C．311 D．411
5．不等式 2 1
1x
?
?
的解集是 ( )
A． ( 1,1)? B． ( , 1) [0?? ? ? ，1)
C． ( 1? ， 0) (0? ，1) D． (??， 1) (1? ? ， )??
6．已知 a．b． c分别是 ABC? 的内角 A、 B、C的对边，若 cosc b A? ，则 ABC? 的形状
为 ( )
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
7．已知等比数列{ }na 的各项均为正数且公比大于 1，前 n项积为 nT ，且 2 4 3a a a? ，则使得
1nT ? 的 n的最小值为 ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
8． ABC? 中， 2, 3ABCBA AC S?? ?
???? ????
? ，则 (A ? )
A．
3
? B． 2
3
? C．
6
? D． 5
6
?
9．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和
数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以
歌诀形式呈现的．“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长
排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁？试问这位公公年龄最小的儿子年龄为 ( )
A．8岁 B．11岁 C．20岁 D．35岁
10．在 ABC? 中， a x? ， 2b ? ，
4
B ?? ，若三角形有两解，则 x的取值范围为 ( )
A． (2, )?? B． (0,2) C． (2， 2 2) D． (2， 2 3)
11．已知实数 x， y满足约束条件
6
0
x y
x
y
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
，则 sin( )x y? 的取值范围为 ( )
A． [ 1? ，1] B． 1[ ,1]
2
? C． [0，1] D． 1[ ,1]
2
12．已知各项都是正数的等比数列{ }na 满足 7 6 52a a a? ? ，存在两项 ma ， na 使得 14m na a a?? ，
则
1 1
2
n
m n
?
?
?
的最小值为 ( )
A． 3
2
B． 9
8
C． 25
6
D． 4
3
二．填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．在 ABC? 中， 5cos
2 5
C
? ， 1BC ? ， 5AC ? ，则 AB ? ．
14．等差数列{ }na 中， 1 5a ? ? ，它的前 11项的平均值是 5，若从中抽取 1项，余下 10项的
平均值是 4，则抽取的是第 项．
15．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价
格依次为 60元 /盒、65元 /盒、80元 /盒、90元 /盒．为增加销量，李明对这四种水果进行
促销：一次购买水果的总价达到 120元，顾客就少付 x元．每笔订单顾客网上支付成功后，
李明会得到支付款的80% ．
①当 10x ? 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1盒，需要支付 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x的最大
值为 ．
16．已知 2 2 0x ax? ? ? 在 [ 3x? ? ，3]上恒成立，则实数 a的取值范围是 ．
三.解答题
17．解关于 x的不等式： ( 1) 1
1
a x
x
?
?
? ．
18．已知非零数列{ }na 满足
*
1 3 ( )n na a n N? ? ? ，且 1a ， 2a 的等差中项为 6．
（1）求数列{ }na 的通项公式；
（2）若 32logn nb a? ，求
1 2 2 3 3 4 1
1 1 1 1
n nb b b b b b b b ?
? ? ??? 取值范围．
19．在 ABC? 中， 90ACB? ? ?，点D， E分别在线段 BC， AB上， 3 6AC BC BD? ? ? ，
60EDC? ? ?．
（1）求 BE 的值；
（2）求 cos CED? 的值．
20． ABC? 的内角 A， B，C 的对边分别为 a， b， c，已知 ABC? 的面积为
2
3sin
a
A
．
（1）求 sin sinB C；
（2）若 6cos cos 1B C ? ， 3a ? ，求 ABC? 的周长．
2019-2020 学年陕西省宝鸡市金台区高二（上）期中数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题 5 分，共计 60 分）
1．已知 a b? ，且 0ab ? ，则下列不等式正确的是 ( )
A． 2 2a b? B． 2 2a b? C． | | |a b? D． 1 1
a b
?
【解答】解： a b? ，且 0ab ? ，可取 1a ? ? ， 2b ? ? ，可得 2 2a b? ，故 A错误；
由 2xy ? 为增函数，可得 2 2a b? ，故 B正确；
可取 1a ? ? ， 2b ? ? ，可得 | | | |a b? ，故C错误；
由 1a ? ? ， 2b ? ? ，可得 1 1
a b
? ，故 D错误．
故选： B．
2．不等式
( 5)( ) 0
0 3
x y x y
x
? ? ??
?
?
?
? ? 表示的平面区域是一个 ( )
A．三角形 B．直角三角形 C．梯形 D．矩形
【解答】解：不等式
( 5)( ) 0
0 3
x y x y
x
? ? ??
?
?
?
? ? ?
5 0
0
0 3
x y
x y
x
? ??
? ??
?
?
?
?
? ?
①或
5 0
0
0 3
x y
x y
x
? ??
? ??
?
?
?
?
? ?
②，
以上不等式组①表示的平面区域如图，
不等式组②中的几个二元一次不等式表示的平面区域无公共部分，
所以，原不等式组表示的平面区域是一个图中的梯形OABC ．
故选：C．
3．在 ABC? 中，若 3 2 sina b A? ，则 B为 ( )
A．
3
? B．
6
? C．
6
?
或
5
6
? D．
3
?
或
2
3
?
【解答】解：?在 ABC? 中， 3 2 sina b A? ，
?由正弦定理化简得： 3 sin 2sin sinA B A? ，
sin 0A ?? ， 3sin
2
B? ? ，
则
3
B ?? 或 2
3
?
，
故选： D．
4．已知数列{ }na 满足 1 2n na a n? ? ? ， 1 1a ? ，则 15 (a ? )
A．111 B．211 C．311 D．411
【解答】解：数列{ }na 满足 1 2n na a n? ? ? ，
则 1 2( 1)n na a n?? ? ? ，
． 1 2 2( 2)n na a n? ?? ? ? ，
?，
3 2 2 2a a? ? ? ，
2 1 2 1a a? ? ?
所以 1 2(1 2 3 1)na a n? ? ? ? ??? ? ，
所以
2
22(1 2 3 ) 2 1 2 2 1 1
2n
n na n n n n n?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ，
则 215 15 15 1 211a ? ? ? ? ．
故选： B．
5．不等式 2 1
1x
?
?
的解集是 ( )
A． ( 1,1)? B． ( , 1) [0?? ? ? ，1)
C． ( 1? ， 0) (0? ，1) D． (??， 1) (1? ? ， )??
【解答】解：由
2 1
1x
?
?
可得，
2 1 0
1x
? ?
?
，
即
1 0
1
x
x
?
?
?
，
解不等式可得{ | 1 1}x x? ? ? ．
故选： A．
6．已知 a．b． c分别是 ABC? 的内角 A、 B、C的对边，若 cosc b A? ，则 ABC? 的形状
为 ( )
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
【解答】解： cosc b A?? ，
?利用正弦定理化简得： sin sin( ) sin cos cos sin sin cosC A B A B A B B A? ? ? ? ? ，
整理得： sin cos 0A B ? ，
sin 0A ?? ，
cos 0B? ? ．
(0, )B ??? ，
B? 为钝角，三角形 ABC为钝角三角形．
故选： A．
7．已知等比数列{ }na 的各项均为正数且公比大于 1，前 n项积为 nT ，且 2 4 3a a a? ，则使得
1nT ? 的 n的最小值为 ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解： 22 4 3 3a a a a? ?? ，
3 1a? ? ； 2 1a ? ， 4 1a ?
?等比数列{ }na 是各项均为正数的递增数列，
且 55 3 1T a? ? ，
3
6 3 4( ) 1T a a? ? ，
?使得 1nT ? 的 n的最小值为 6，
故选：C．
8． ABC? 中， 2, 3ABCBA AC S?? ?
???? ????
? ，则 (A ? )
A．
3
? B． 2
3
? C．
6
? D． 5
6
?
【解答】解：如图所示，
ABC? 中， 2, 3ABCBA AC S?? ?
???? ????
? ，
即 | | | | cos( ) 2BA AC A? ? ?
???? ?????
? ? ，?①
1 | | | | sin 3
2
BA AC A ?
???? ????
? ? ，?②
由①②得， tan 3A ? ? ，
且 (0, )A ?? ，
所以
2
3
A ?? ．
故选： B．
9．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和
数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以
歌诀形式呈现的．“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长
排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁？试问这位公公年龄最小的儿子年龄为 ( )
A．8岁 B．11岁 C．20岁 D．35岁
【解答】解：设这位公公 9个儿子的年龄从小到大成等差数列，设年龄最小的儿子年龄为 1a ，
则公差为 3d ? ，
由题意， 9 1 1
9 89 9 36 3 207
2
S a d a?? ? ? ? ? ? ? ，求得 1 11a ? ，
故选： B．
10．在 ABC? 中， a x? ， 2b ? ，
4
B ?? ，若三角形有两解，则 x的取值范围为 ( )
A． (2, )?? B． (0,2) C． (2， 2 2) D． (2， 2 3)
【解答】解：? 2 2
sin sin
a b
A B
? ? ，
2 2 sina A? ? ，
3
4 4
A C ? ??? ? ? ?? ，
又 A有两个值，则这两个值互补，
?若
4
A ?? ，则
2
C ?? ，这样 A B ?? ? ，不成立，
?
3
4 4
A? ?? ? ，
又若
2
A ?? ，这样补角也是
2
?
，一解，
?
2 sin 1
2
A? ? ，
2 2 sina A?? ，
2 2 2a? ? ? ．
故选：C．
11．已知实数 x， y满足约束条件
6
0
x y
x
y
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
，则 sin( )x y? 的取值范围为 ( )
A． [ 1? ，1] B． 1[ ,1]
2
? C． [0，1] D． 1[ ,1]
2
【解答】解：作出实数 x，y满足约束条件
6
0
x y
x
y
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
对应的平面区域如图：（阴影部分 )ABC ．
令 z x y? ? 得 y x z? ? ，平移直线 y x z? ? ，
由图象可知当直线 y x z? ? 经过点 B时，
直线 y x z? ? 的截距最大，此时 z最小．
由 (
6
B ? ， 5 )
6
?
，
代入目标函数 z x y? ? 得 2
3
z ?? ? ．
即目标函数 z x y? ? 的最小值为： 2
3
?
? ．
当直线 y x z? ? 经过点C时，
直线 y x z? ? 的截距最小，此时 z最大．
由 ( ,0)C ? ，
代入目标函数 z x y? ? 得 z ?? ．
即目标函数 z x y? ? 的最大值为? ．
即 sin( )x y? 的取值范围为 [ 1? ，1]，
故选： A．
12．已知各项都是正数的等比数列{ }na 满足 7 6 52a a a? ? ，存在两项 ma ， na 使得 14m na a a?? ，
则
1 1
2
n
m n
?
?
?
的最小值为 ( )
A． 3
2
B． 9
8
C． 25
6
D． 4
3
【解答】解：依题意，设数列{ }na 的公比为 q，
7 6 52a a a? ? ，即
6 5 4
1 1 12a q a q a q? ? ，
又数列{ }na 为正数的等比数列，所以 1 0a ? ， 0q ? ，
所以 2 2 0q q? ? ? ，
解得 2q ? 或 1q ? ? （舍 )．
则 2 414 2 2
m n
m na a a
? ?? ? ?? ，即 6m n? ? ，
所以 ( 2) 8m n? ? ? ，
所以
1 1 1 1 1 1 2 31 ( ) [( 2) ] 1 (2 2 )
2 2 8 8 2 2
n n mm n
m n m n m n
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
?? ，
当且仅当 4n ? ， 2m ? 时等号成立，
故
1 1
2
n
m n
?
?
?
的最小值为
3
2
．
故选： A．
二．填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．在 ABC? 中， 5cos
2 5
C
? ， 1BC ? ， 5AC ? ，则 AB ? 4 2 ．
【解答】解：? 5cos
2 5
C
? ，
2 3cos 2cos 1
2 5
CC? ? ? ? ? ，
1BC ?? ， 5AC ? ，
?由余弦定理可得： 2 2
32 cos 1 25 2 1 5 ( ) 4 2
5
AB BC AC BC AC C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ．
故答案为： 4 2．
14．等差数列{ }na 中， 1 5a ? ? ，它的前 11项的平均值是 5，若从中抽取 1项，余下 10项的
平均值是 4，则抽取的是第 11 项．
【解答】解：设抽取的是第 n项．
11 55S ?? ， 11 40nS a? ? ，
15na? ? ，
又 11 611 55S a? ?? ．
解得 6 5a ? ，
由 1 5a ? ? ，得 6 1 26 1
a ad ?? ?
?
，
令15 5 2( 1)n? ? ? ? ，
11n? ?
故答案为：11
15．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价
格依次为 60元 /盒、65元 /盒、80元 /盒、90元 /盒．为增加销量，李明对这四种水果进行
促销：一次购买水果的总价达到 120元，顾客就少付 x元．每笔订单顾客网上支付成功后，
李明会得到支付款的80% ．
①当 10x ? 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1盒，需要支付 130 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x的最大
值为 ．
【解答】解：①当 10x ? 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1盒，可得 60 80 140? ? （元 )，
即有顾客需要支付140 10 130? ? （元 )；
②在促销活动中，设订单总金额为m元，
可得 ( ) 80% 70%m x m? ? ?? ，
即有
8
mx? 恒成立，
由题意可得 120m? ，
可得
120 15
8
x ?? ，
则 x的最大值为 15元．
故答案为：130，15
16．已知 2 2 0x ax? ? ? 在 [ 3x? ? ，3]上恒成立，则实数 a的取值范围是 [ 2 2? ，2 2] ．
【解答】解：令 2( ) 2f x x ax? ? ? ，
2 2 0x ax? ?? ? 在 [ 3x? ? ，3]上恒成立，
?
? ? ? ?
3 3
3 3 2
2 2
3 0 3 0 0
2
a
a a
af f f
?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?
? ? ?
? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ??
或 或
? ? ?
，
解得， a??或 a??或 2 2 2 2a? ? ? ，
所以实数 a的取值范围是 [ 2 2? ， 2 2]，
故答案为： [ 2 2? ， 2 2]．
三.解答题
17．解关于 x的不等式： ( 1) 1
1
a x
x
?
?
? ．
【解答】解：由
( 1) 1
1
a x
x
?
?
? 可得， 1 0
1
ax
x
?
?
? ，
若 0a ? 时，不等式的解集为{ | 1}x x ? ；
若 0a ? ，不等式可化为
1( )
0
1
a x
a
x
?
?
?
①当 0a ? 时，原不等式可化为
1
0
1
x
a
x
?
?
? ，解不等式可得，{ | 1x x ? 或 1}x
a
?? ；
②当 0a ? 时，原不等式可化为
1
0
1
x
a
x
?
?
? ，
( )i 若 1a ? ? ，解不等式可得， 1{ | 1}a x
a
? ?? ；
( )ii 若 1a ? ? ，解不等式可得，?
( )iii 若 1a ? ? ，解不等式可得， 1{ |1 }x x
a
? ?? ；
18．已知非零数列{ }na 满足
*
1 3 ( )n na a n N? ? ? ，且 1a ， 2a 的等差中项为 6．
（1）求数列{ }na 的通项公式；
（2）若 32logn nb a? ，求
1 2 2 3 3 4 1
1 1 1 1
n nb b b b b b b b ?
? ? ??? 取值范围．
【解答】解：（1）? *1 3 ( )n na a n N? ? ?
{ }na? 是等比数列，且公比 3q ? ，
1a? ， 2a 的等差中项为 6，
1 1 12a a q? ? ? ，
1 3a? ? ，
?通项公式 3nna ? ；
（2） 32log 2n nb a n? ?? ，
?
1
1 1 1 1 1( )
2 2( 1) 4 1n nb b n n n n?
? ? ?
? ? ?
?
1 2 2 3 3 4 1
1 1 1 1
n nb b b b b b b b ?
? ? ???
1 1 1 1 1 1(1 )
4 2 2 3 1n n
? ? ? ? ??? ?
?
1 1 1 1(1 ) [ , )
4 1 8 4n
? ? ?
?
19．在 ABC? 中， 90ACB? ? ?，点D， E分别在线段 BC， AB上， 3 6AC BC BD? ? ? ，
60EDC? ? ?．
（1）求 BE 的值；
（2）求 cos CED? 的值．
【解答】解：（1） 3 6AC BC BD? ? ?? ， 60EDC? ? ?，
?在 BDE? 中， 2DB ? ， 45B ? ?， 120BDE? ? ?， 15BED? ? ?，
由正弦定理，得
sin 3 2 6
sin
BD BDEBE
BED
?
? ? ?
?
；
（2）在 CEB? 中，由余弦定理，得
2 2 2 2 ? cosCE BE CB BE CB B? ? ?
224 6 2 (4 2 2)? ? ? ? ， 4 2 2CE? ? ? ，
2 2 2 1cos
2 ? 2
CE BE CBCEB
CE BE
? ?
? ? ? ? ，
60CEB?? ? ?， 45CED CEB BED?? ? ? ?? ? ?，
2cos
2
CED? ? ? ．
20． ABC? 的内角 A， B，C 的对边分别为 a， b， c，已知 ABC? 的面积为
2
3sin
a
A
．
（1）求 sin sinB C；
（2）若 6cos cos 1B C ? ， 3a ? ，求 ABC? 的周长．
【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得
21 sin
2 3sinABC
aS ac B
A?
? ? ，
3 sin sin 2c B A a? ? ，
由正弦定理可得 3sin sin sin 2sinC B A A? ，
sin 0A ?? ，
2sin sin
3
B C? ? ；
（2） 6cos cos 1B C ?? ，
1cos cos
6
B C? ? ，
1 2 1cos cos sin sin
6 3 2
B C B C? ? ? ? ? ? ，
1cos( )
2
B C? ? ? ? ，
1cos
2
A? ? ，
0 A ?? ?? ，
3
A ?? ? ，
? 32 2 3
sin sin sin 3
2
a b c R
A B C
? ? ? ? ? ，
2
2sin sin
2 2 12 3(2 3)
b c bc bcB C
R R
? ? ? ? ?? ，
8bc? ? ，
2 2 2 2 cosa b c bc A? ? ?? ，
2 2 9b c bc? ? ? ? ，
2( ) 9 3 9 24 33b c cb? ? ? ? ? ? ? ，
33b c? ? ?
?周长 3 33a b c? ? ? ? ．