河北省邢台市2018-2019学年八年级（上）期末数学试卷含解析

2018-2019学年八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题有14个小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列式子，表示4的平方根的是（　　）
A． B．42 C．﹣ D．±
2．把8.973精确到十分位是（　　）
A．9 B．9.00 C．8.97 D．9.0
3．用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是（　　）

A．假定CD∥EF B．假定CD不平行于EF
C．已知AB∥EF D．假定AB不平行于EF
4．若是无理数，则a的值可以是（　　）
A． B．1 C．2 D．9
5．已知图中所有的小正方形都全等，若在右图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是（　　）

A． B．
C． D．
6．将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个心形小孔，则展开铺平后的图案是（　　）

A． B． C． D．
7．若，则x的值可以是（　　）
A．1 B．3 C．4 D．5
8．小米在用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：
①分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于F；
②作射线BF，交边AC于点H；
③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
④取一点K，使K和B在AC的两侧；
所以，BH就是所求作的高．
其中顺序正确的作图步骤是（　　）

A．①②③④ B．④③②① C．②④③① D．④③①②
9．若将﹣，，、四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（　　）

A．﹣ B． C． D．
10．如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于（　　）

A．30 B．25 C．20 D．15
11．在将式子（m＞0）化简时，
小明的方法是：；
小亮的方法是：；
小丽的方法是：．
则下列说法正确的是（　　）
A．小明、小亮的方法正确，小丽的方法不正确
B．小明、小丽的方法正确，小亮的方法不正确
C．小明、小亮、小丽的方法都正确
D．小明、小丽、小亮的方法都不正确
12．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝α，且AE＝AD，则∠EDC＝（　　）

A．α B．α C．α D．α
13．如图．在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD＝1，则AC的长是（　　）

A．2 B．2 C．4 D．4
14．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　）

A．20 B．12 C．14 D．13
二、填空题（本大题有3个小题，每小题4分，共12分）
15．已知命题：“等角的补角相等．”写出它的逆命题：　 　．
16．若，则括号中式子为　 　．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，CD＝2，则BC＝　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为64cm3．
（1）这个魔方的棱长为　 　cm；
（2）图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求这个正方形的边长；
（3）把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为　 　．

19．小明和小亮参加跳绳比赛，在某段相同时间内，小明跳了180下，小亮跳了210下，已知小明每分钟比小亮少跳20下，则小亮每分钟跳多少下？
20．如图所示，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．求证：AD垂直平分EF．

21．已知：x＝，y＝﹣2．求：
（1）代数式x﹣y的值；
（2）代数式x2﹣3xy+y2的值．
22．已知：如图，C是AB上一点，点D，E分别在AB两侧，AD∥BE，且AD＝BC，BE＝AC．
（1）求证：CD＝CE；
（2）连接DE，交AB于点F，猜想△BEF的形状，并给予证明．

23．阅读材料：小华像这样解分式方程＝
解：移项，得：﹣＝0
通分，得：＝0
整理，得：＝0
分子值取0，得：x+5＝0
即：x＝﹣5
经检验：x＝﹣5是原分式方程的解．
（1）小华这种解分式方程的新方法，主要依据是　 　；
（2）试用小华的方法解分式方程﹣＝1
24．探究：已知，如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是线段AB上一个动点．
（1）画出点D关于直线AC、BC的对称点M、N；
（2）在（1）的条件下，连接MN
①求证：M、C、N三点在同一条直线上；
②求MN的最小值．
应用：已知，如图2，在△ABC中，∠C＝30°，AC＝CB，AB＝3，△ABC的面积为S，点D、E、F分别是AB、AC、BC上三个动点，请用含S的代数式直接表示△DEF的周长的最小值，并在图2中画出符合题意的图形．




参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．下列式子，表示4的平方根的是（　　）
A． B．42 C．﹣ D．±
【分析】根据平方根的概念解答即可．
【解答】解：表示4的平方根的是，
故选：D．
2．把8.973精确到十分位是（　　）
A．9 B．9.00 C．8.97 D．9.0
【分析】根据近似数的精确度，把百分位上的数字4进行四舍五入即可．
【解答】解：把8.973精确到十分位是9.0，
故选：D．
3．用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是（　　）

A．假定CD∥EF B．假定CD不平行于EF
C．已知AB∥EF D．假定AB不平行于EF
【分析】根据要证CD∥EF，直接假设CD不平行于EF即可得出．
【解答】解：∵用反证法证明命题：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF．
∴证明的第一步应是：从结论反面出发，假设CD不平行于EF．
故选：B．
4．若是无理数，则a的值可以是（　　）
A． B．1 C．2 D．9
【分析】根据无理数的概念和算术平方根解答即可．
【解答】解：A、是有理数，错误；
B、是有理数，错误；
C、是无理数，正确；
D、是有理数，错误；
故选：C．
5．已知图中所有的小正方形都全等，若在右图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案．
【解答】解：A、新图形不是中心对称图形，故此选项错误；
B、新图形是中心对称图形，故此选项正确；
C、新图形不是中心对称图形，故此选项错误；
D、新图形不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
6．将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个心形小孔，则展开铺平后的图案是（　　）

A． B． C． D．
【分析】依据轴对称的性质，将纸片依次展开还原，即可得到正确结论．
【解答】解：将图3展开可得小孔位于图2中虚线的左右两侧，且位于上边缘；
把图2展开可得小孔位于图1中虚线的上下两侧，且关于该虚线对称；
故选：B．
7．若，则x的值可以是（　　）
A．1 B．3 C．4 D．5
【分析】根据二次根式的有意义的条件解答即可．
【解答】解：若，
所以，
解得：2≤x＜4，
故选：B．
8．小米在用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：
①分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于F；
②作射线BF，交边AC于点H；
③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
④取一点K，使K和B在AC的两侧；
所以，BH就是所求作的高．
其中顺序正确的作图步骤是（　　）

A．①②③④ B．④③②① C．②④③① D．④③①②
【分析】根据直线外一点作已知直线的垂线的方法作BH⊥AC即可．
【解答】解：用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：
取一点K，使K和B在AC的两侧；
以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于F；
作射线BF，交边AC于点H；
所以，BH就是所求作的高．
故正确的作图步骤是④③①②．
故选：D．
9．若将﹣，，、四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（　　）

A．﹣ B． C． D．
【分析】先估算出各数，再根据实数与数轴的关系即可得出结论．
【解答】解：﹣是负数，在原点的左侧，不符合题意；
＜＜6＜，即2＜＜3，符合题意；
＞，即＞3，在墨迹覆盖处的右边，不符合题意；
＞，即＞4，在墨迹覆盖处的右边，不符合题意；
故选：B．
10．如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于（　　）

A．30 B．25 C．20 D．15
【分析】在直角三角形AHB中，利用勾股定理进行解答即可．
【解答】解：∵△ABH≌△BCG，
∴BG＝AH＝12，
∵四边形EFGH都是正方形，
∴HG＝EF＝4，
∴BH＝16，
∴在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：AB＝＝＝20．
故选：C．
11．在将式子（m＞0）化简时，
小明的方法是：；
小亮的方法是：；
小丽的方法是：．
则下列说法正确的是（　　）
A．小明、小亮的方法正确，小丽的方法不正确
B．小明、小丽的方法正确，小亮的方法不正确
C．小明、小亮、小丽的方法都正确
D．小明、小丽、小亮的方法都不正确
【分析】小明的方法为原式分子分母乘以有理化因式，化简得到结果；小亮的方法为将分子利用二次根式性质化简，约分即可得到结果；小丽得方法为分子利用二次根式性质化简，再利用二次根式除法法则逆运算变形，计算即可得到结果．
【解答】解：在将式子（m＞0）化简时，
小明的方法是：＝＝＝，正确；
小亮的方法是：＝＝，正确；
小丽的方法是：＝＝＝，正确，
则小明、小亮、小丽的方法都正确．
故选：C．
12．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝α，且AE＝AD，则∠EDC＝（　　）

A．α B．α C．α D．α
【分析】根据等边对等角，和三角形的外角性质列出等式整理即可得出结论．
【解答】解：根据题意：在△ABC中，AB＝AC
∴∠B＝∠C
∵AE＝AD
∴∠ADE＝∠AED，即∠B+∠α﹣∠EDC＝∠C+∠EDC
化简可得：∠α＝2∠EDC
∴∠EDC＝α．
故选：A．
13．如图．在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD＝1，则AC的长是（　　）

A．2 B．2 C．4 D．4
【分析】求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD＝CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝30°，
∴∠DCB＝60°﹣30°＝30°，
∵BD＝1，
∴CD＝2＝AD，
∴AB＝1+2＝3，
在△BCD中，由勾股定理得：CB＝，
在△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝2，
故选：A．
14．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　）

A．20 B．12 C．14 D．13
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD＝BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝CE＝AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝CE＝AC＝5，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝4+5+5＝14．
故选：C．
二．填空题（共3小题）
15．已知命题：“等角的补角相等．”写出它的逆命题：　如果两个角的补角相等，那么这两个角相等　．
【分析】交换命题的题设和结论即可写出该命题的逆命题．
【解答】解：等角的补角相等的逆命题为：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等．
16．若，则括号中式子为　﹣2x（x+1）　．
【分析】根据分式的除法法则计算，得到答案．
【解答】解：÷＝?（x+1）（x﹣1）＝﹣2x（x+1），
故答案为：﹣2x（x+1）．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，CD＝2，则BC＝　6　．

【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝CD＝2，根据直角三角形的性质得到BD＝2DE＝4，结合图形计算即可．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2，
∵DE⊥AB，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝4，
∴BC＝CD+BD＝6，
故答案为：6．

三．解答题（共7小题）
18．如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为64cm3．
（1）这个魔方的棱长为　4　cm；
（2）图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求这个正方形的边长；
（3）把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为　1﹣2　．

【分析】（1）魔方是个正方体，正方体的体积等于棱长的三次方；
（2）这个正方形ABCD的边长是小立方体一个面的对角线的长度；
（3）点D表示的数是负数，它的绝对值比正方形ABCD的边长少1．
【解答】解：（1）设魔方的棱长为acm，根据题意得 a3＝64
∴a＝4
故答案为4．
（2）设小正方体的棱长为bcm，根据题意得 8b3＝64
∴b＝2
∴所以根据勾股定理得 CD2＝22+22
∴CD＝2
答：这个正方形的边长是2cm．
（3）由（2）知，AD＝2
∴点D对应的数的绝对值是2﹣1
∵点D对应的数是负数
∴点D对应的数是1﹣2
故答案为1﹣2．
19．小明和小亮参加跳绳比赛，在某段相同时间内，小明跳了180下，小亮跳了210下，已知小明每分钟比小亮少跳20下，则小亮每分钟跳多少下？
【分析】设小亮每分钟跳x下，则小明每分钟跳（x﹣20）下，根据小明跳180下与小亮跳210下的时间相等建立方程求出其解即可．
【解答】解：设小亮每分钟跳x下，则小明每分钟跳（x﹣20）下，由题意，得

解得：x＝140
经检验：x＝140是原方程的解，
答：小亮每分钟跳140下．
20．如图所示，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．求证：AD垂直平分EF．

【分析】由AD为△ABC的角平分线，得到DE＝DF，推出∠AEF和∠AFE相等，得到AE＝AF，即可推出结论．
【解答】证明：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF
∴点A、D都在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF
21．已知：x＝，y＝﹣2．求：
（1）代数式x﹣y的值；
（2）代数式x2﹣3xy+y2的值．
【分析】（1）将x、y的值代入计算可得；
（2）将x、y的值代入原式＝（x﹣y）2﹣xy计算可得．
【解答】解：（1）∵x＝，y＝﹣2，
∴x﹣y＝﹣+2＝2；
（2）原式＝（x﹣y）2﹣xy
＝（﹣+2）2﹣（﹣2）
＝4﹣5+2
＝2﹣1．
22．已知：如图，C是AB上一点，点D，E分别在AB两侧，AD∥BE，且AD＝BC，BE＝AC．
（1）求证：CD＝CE；
（2）连接DE，交AB于点F，猜想△BEF的形状，并给予证明．

【分析】（1）连接CE，由平行线的性质，结合条件可证明△ADC≌△BCE，可证明CD＝CE；
（2）由（1）中的全等可得∠CDE＝∠CED，∠ACD＝∠BEC，可证明∠BFE＝∠BEF，可证明△BEF为等腰三角形．
【解答】（1）证明：如图，连接CE，
∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ADC和△BCE中

∴△ADC≌△BCE（SAS），
∴CD＝CE；
（2）解：△BEF为等腰三角形，证明如下：
由（1）可知CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
由（1）可知△ADC≌△BEC，
∴∠ACD＝∠BEC，
∴∠CDE+∠ACD＝∠CED+∠BEC，
即∠BFE＝∠BED，
∴BE＝BF，
∴△BEF是等腰三角形．

23．阅读材料：小华像这样解分式方程＝
解：移项，得：﹣＝0
通分，得：＝0
整理，得：＝0
分子值取0，得：x+5＝0
即：x＝﹣5
经检验：x＝﹣5是原分式方程的解．
（1）小华这种解分式方程的新方法，主要依据是　分式的值为0即分子为0且分母不为0　；
（2）试用小华的方法解分式方程﹣＝1
【分析】（1）根据分式的值为0即分子为0且分母不为0可得；
（2）移项后，通分、根据分式的加减法则计算左边，再由（1）中结论得出关于x的方程，解之求得x的值，最后检验即可得．
【解答】解：（1）小华这种解分式方程的新方法，主要依据是分式的值为0即分子为0且分母不为0，
故答案为：分式的值为0即分子为0且分母不为0．

（2）﹣﹣1＝0，
﹣﹣＝0，
＝0，
＝0，
则﹣4（x+2）＝0，
解得：x＝﹣2，
检验：x＝﹣2时，分母为0，分式无意义，
所以x＝﹣2是增根，原分式方程无解．
24．探究：已知，如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是线段AB上一个动点．
（1）画出点D关于直线AC、BC的对称点M、N；
（2）在（1）的条件下，连接MN
①求证：M、C、N三点在同一条直线上；
②求MN的最小值．
应用：已知，如图2，在△ABC中，∠C＝30°，AC＝CB，AB＝3，△ABC的面积为S，点D、E、F分别是AB、AC、BC上三个动点，请用含S的代数式直接表示△DEF的周长的最小值，并在图2中画出符合题意的图形．

【分析】探究：（1）根据要求画出图形即可；
（2）①想办法证明∠MCN＝180°即可；
②由题意可知MN＝2CD，当CD⊥AB时，CD的值最小，即MN的值最小；
应用：如图2中，设D是AB上任意一点，作点D关于直线AC的对称点D′，点D关于直线BC的对称点D″，连接D′D″交AC于E，交BC于F．作CH⊥AB于H．由△DEF的周长＝DE+EF+DF＝D′E+EF+FD″＝D′D″＝CD，推出CD的值最小时，△DEF的周长最小，由此即可解决问题；
【解答】探究：（1）解：如图1中，点M，N即为所求；


（2）①证明：连接CD，
由对称的性质可知：∠ACD＝∠ACM，∠BCD＝∠BCN，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠MCD+∠NCD＝2（∠ACD+∠BCD）＝180°，
∴M，C，N共线．

②解：∵CM＝CD，CN＝CD，
∴MN＝CM+CN＝2CD，
∴当CD最短时，MN的值最小，
∵CD⊥AB时，垂线段最短，
∴CD的最小值＝＝＝，
∴MN的最小值是；

应用：解：如图2中，设D是AB上任意一点，作点D关于直线AC的对称点D′，点D关于直线BC的对称点D″，连接D′D″交AC于E，交BC于F．作CH⊥AB于H．

由对称的性质可知：CD＝CD′＝CD″，ED＝ED′，FD＝FD″，∠ACD＝∠ACD′，∠BCD＝∠BCD″，
∴∠D′CD″＝2∠ACB＝60°，
∴△D′CD″是等边三角形，
∴D′D″＝CD′＝CD，
∵△DEF的周长＝DE+EF+DF＝D′E+EF+FD″＝D′D″＝CD，
∴CD的值最小时，△DEF的周长最小，
当CD与CH重合时，CD的值最小，
∵?AB?CH＝S，
∴CH＝，
∴△DEF的周长的最小值为．