北师大版数学九年级上 4.4 探索三角形相似的条件（4） 教学设计
课题
4.4 探索三角形相似的条件（4）
单元
第四章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：掌握黄金分割的定义及黄金分割点的作法；)会进行黄金分割的有关计算；
过程与方法：经历黄金分割的引入及黄金分割点作法的探究过程，掌握数形结合法在数学解题中的运用；
情感态度与价值观：在现实情境中体会黄金分割的文化价值，培养同学们主动参与、积极思考、合作交流的学习品质，进一步增强学生的实践意识和自信心．
重点
黄金分割的定义，做一条线段黄金分割点的方法．
难点
找黄金分割点，并应用黄金分割解决实际问题．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
说一说：你已经知道的相似三角形的判定定理有哪些？
答案：
判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.
学生积极回答老师所提出的问题.
回顾相似三角形判定定理，为探究黄金分割做好准备.
新知讲解
观察：下面一组矩形中,你觉得哪一个矩形最好看呢?
/
答案：右下方的矩形最好看.我们把它叫做黄金矩形
欣赏：黄金分割与生活
/
解说：由黄金分割画出的正五角星形,有庄严雄健之美.
/
解说：世界名画《蒙娜丽莎》之所以有名,也得益于黄金分割,无论是画面整体还是局部.人的俊美,体现在头部及躯干是否符合黄金分割.
/
解说：东方明珠塔，塔高462.85米。设计师在295米的黄金分割点处设计了一个上球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观。
引问：生活中这么多黄金分割，那什么叫做黄金分割呢？
做一做：一个五角星如图所示.
（1）从图中找出相等的角、相等的线段.
（2）在图中找出两对相似比不同的相似三角形.
/
如：(1)∠K=∠B=∠G=∠E=∠A
KL=KC=CB=HB=HG=FG=FE=DE=DA=AL
(2)△GFH与∠ADL为一组，△ACD与△ABF为一组.
探究：小亮认为，，你同意他的看法吗？
解：同意.理由如下
∵△ACD∽△ABF
∵AD=BC，AF=AC
∴此结论是正确的.
归纳：黄金分割：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
如：
/
例：计算黄金比.
/
解：由
????
????
=
????
????
，得 AC 2 = AB · BC.
设 AB = 1，AC = x，则 BC = 1 - x．
∴ x 2 = 1 ×（1 - x），
即 x 2 + x - 1 = 0．
解这个方程，得
x 1 =
?1+
5
2
?，x 2 =
?1?
5
2
?（不合题意，舍去）.
所以，黄金比
????
????
=
5
?1
2
?≈ 0.618.
想一想：如图1，是古希腊时期的巴台农神庙，如果把图中用虚线表示的矩形画成如图2所示的矩形ABCD，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇的发现，
????
????
=
????
????
. 点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？
/
（1）点E是AB的黄金分割点吗？
（2）矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
解：（1）
∴点E是AB的黄金分割点.
（2）∴
????
????
（即
????
????
）是黄金比
∴矩形ABCD的宽与长的比是黄金比
归纳：宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形
学生认真观察并欣赏.
学生认真探究问题，并小组交流.
学生认真听老师的讲解
学生积极思考、讨论并完成问题，然后主动展示，并认真听老师点评..
学生积极思考、讨论，并组内交流，班内展示，然后认真听老师点评.
体会黄金分割的内在美，体会黄金分割在生活的应用.
掌握相似三角形判定定理3和符号语言.
初步体会黄金分割.
认识黄金分割的定义.
初步应用黄金分割解决实际问题.
进一步应用黄金分割解决实际问题.并理解黄金矩形的概念.
课堂练习
1.如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则下列命题，①AB2=AP?PB，②BP2=AP?AB，③AP2=PB?AB，④AP：AB=PB：AP，其中正确的是_______．
答案：③④
解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，
∴根据线段黄金分割的定义得：
AP2=PB?AB，AP：AB=PB：AP，
∴只有③④正确．
2.在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，底角平分线BD交AC于点D，点D是线段AC的黄金分割点．若AC=10cm．则AD≈_________cm.
/
答案：6.18
解：∵点D是线段AC的黄金分割点，
∴AD≈0.618AC=6.18(cm).
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，设AB是已知线段，经过点B 作BD⊥AB，使BD=
1
2
AB；连接DA，在DA上截取DE =DB；在AB 上截取AC=AE．点C 就是线段AB 的黄金分割点．你能说说其中的道理吗？
/
解：设AB=1，
则BD=
1
2
, AD=
5
2
,AC=
5
?1
2
, BC=
3?
5
2
∴
????
????
=
????
????
=
5
?1
2
,
∴点C 是线段AB 的黄金分割点.
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
中考链接
下面让我们一起赏析一道中考题：
（贵州中考）矩形的两边长分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（ ）
答案：D
在师的引导下完成中考题.
体会所学知识在中考试题运用.
课堂总结
问题1：什么叫黄金分割？
一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
问题2：怎样证明黄金分割？
答案：
/
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第98页习题4.8第1题
能力作业
教材第98页习题4.8第3、4题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
/
课件21张PPT。4.4 探索三角形相似的条件（4）数学北师大版 九年级上新知导入说一说：你已经知道的相似三角形的判定定理有哪些？判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似． 判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.判定定理3：三边成比例的两个三角形相似. 观察：下面一组矩形中, 你觉得哪一个矩形最好看呢?黄金矩形新知讲解由黄金分割画出的正五角星形,有庄严雄健之美.黄金分割与生活新知讲解黄金分割与生活世界名画《蒙娜丽莎》之所以有名,也得益于黄金分割,无论是画面整体还是局部.
人的俊美,体现在头部及躯干是否符合黄金分割.新知讲解 东方明珠塔，塔高462.85米。设计师在295米的黄金分割点处设计了一个上球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观。黄金分割与生活生活中这么多黄金分割，那什么叫做黄金分割呢？新知讲解新知讲解如：(1) ∠K=∠B=∠G=∠E=∠A
KL=KC=CB=HB=HG=FG=FE=DE=DA=AL
(2) △GFH与∠ADL为一组，△ACD与△ABF为一组.做一做：一个五角星如图所示.
（1）从图中找出相等的角、相等的线段.
（2）在图中找出两对相似比不同的相似三角形.新知讲解探究：小亮认为， ，你同意他的看法吗？∵△ACD ∽△ABF∵AD=BC，AF=AC解：同意. 理由如下∴此结论是正确的.新知讲解黄金分割一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 ，那么称线段AB被点C 黄金分割（golden section），点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．新知讲解例：计算黄金比.?新知讲解?图1图2新知讲解（1）点E 是AB 的黄金分割点吗？（2）矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形解：∴点E 是AB 的黄金分割点.?∴矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比1. 如果点P 是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则下列命题，
①AB2=AP?PB，
②BP2=AP?AB，
③AP2=PB?AB，
④AP：AB=PB：AP，
其中正确的是 _______．课堂练习解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，
∴根据线段黄金分割的定义得：
AP 2=PB?AB，AP：AB=PB：AP，
∴只有③④正确．③④2.在等腰△ABC 中，顶角∠A=36°，底角平分线BD 交AC 于点D，点D 是线段AC 的黄金分割点．若AC=10cm．则AD≈_________cm.课堂练习解：∵点D 是线段AC 的黄金分割点，
∴AD≈0.618AC=6.18(cm).6.18? 拓展提高?中考链接（贵州中考）矩形的两边长分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（ ）D课堂总结1. 什么叫黄金分割？一般地，点C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割（golden section），点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比．2. 怎样证明黄金分割？板书设计
课题：4.4 探究三角形的条件（4）?
教师板演区?
学生展示区一、黄金分割
二、黄金比基础作业
教材第98页习题4.8第1题
能力作业
教材第98页习题4.8第3、4题作业布置
