北师大版数学九年级上 4.5 相似三角形判定定理的证明 教学设计
课题
4.5 相似三角形判定定理的证明
单元
第四章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：会证明相似三角形判定定理，并能利用相似三角形判定定理进行证明；
过程与方法：经历相似三角形判定定理的证明过程，体会相似三角形判定定理在数学学习中的作用；
情感态度与价值观：培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值，掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力．
重点
证明相似三角形判定定理．
难点
利用相似三角形判定定理进行证明．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
说一说：你已经知道的相似三角形的判定定理有哪些？
答案：
判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.
引言：在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节课我们将对它们进行证明.
学生积极回答老师所提出的问题.
回顾相似三角形判定定理，为证明判定定理做好准备.
新知讲解
证明1：相似三角形判定定理（1）两角分别相等的两个三角形相似.
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′,∠B=∠B′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
/
证明：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,
则∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
（平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例）.
过点D作AC的平行线，交BC于点F，则
（平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例）.
∵DE∥BC,DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形.
∴DE=CF.
而∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC.
∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′，
∴△ADE≌△A′B′C′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
/ /
证明2：相似三角形判定定理（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
已知：如图，在△ABC 和△A′B′C′ 中， ∠A=∠A′，
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′
??
′
=
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??
′
??
′
.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
/
证明：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E,则
∠B=∠ADE,∠C=∠AED，
∴△ABC∽△ADE.(两角分别相等的两个三角形相似)
/ /
证明3：相似三角形判定定理（3）三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在△ABC 和△A′B′C′ 中，
????
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′
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′
=
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′
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′
=
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′
??
′
.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
/
证明：在△ABC的边AB，AC(或它们的延长线)上分别截取AD=A′B′，AE=A′C′，连接DE.
而∠BAC=∠DAE
∴△ABC∽△ADE.(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)
∴DE=B′C′.
∴△ADE≌△A′B′C′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
/ /
学生思考并尝试证明，然后小组讨论，班内交流，最后仔细听老师的讲评.
学生思考并尝试证明，然后小组讨论，班内交流，最后仔细听老师的讲评.
学生思考并尝试证明，然后小组讨论，班内交流，最后仔细听老师的讲评.
证明相似三角形判定定理1.
证明相似三角形判定定理1.
证明相似三角形判定定理1.
课堂练习
1.已知:如图所示，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB的长.
/
解：∵∠A=∠A，∠ABD=∠C，
∴△ABD∽△ACB，
∴AB:AC=AD:AB，
∴AB2=AD·AC.
∵AD=2，AC=8，
∴AB=4.
2.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=7.5，求AD的长.
/
解： ∵ AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7.5，
∴
????
????
＝
????
????
又∵∠B=∠ACD，
∴ △ABC ∽△DCA，
∴
????
????
＝
????
????
，即
4
5
＝
5
????
，
∴ AD =
25
4
.
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF=90°，延长EF交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△EGB；
（2）若AB=4，求CG的长．
/
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG=90°，
∴∠A=∠BEG，
∵∠ABE+∠EBG=90°，
∠G+∠EBG=90°，
∴∠ABE=∠G，
∴△ABE∽△EGB；
（2）∵AB=AD=4，E 为AD 的中点，
∴AE=DE=2，
在Rt△ABE 中，
BE=
?????
2
+
????
2
?
=
2
2
+
4
2
?
=2
5?
由（1）知，△ABE∽△EGB，
∴
AE
EB
=
BE
GB
?，
即：
2
2
5?
=
2
5?
GB
，
∴BG=10，
∴CG=BG-BC=10-4=6．
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
中考链接
下面让我们一起赏析一道中考题：
（2019?张家界）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE=AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．
/
（1）求证：BF=CF；
（2）若BC=6，DG=4，求FG的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//CD，AD=BC，
∴△EBF∽△EAD，
∴
?????
?????
=
?????
?????
?=
1
2
，
∴BF =
1
2
?AD=
1
2
BC，
∴BF=CF；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//CF，
∴△FGC∽△DGA，
∴
?????
?????
=
?????
?????
?，即
?????
4?
=
1?
2?
?，
解得，FG=2．
在师的引导下完成中考题.
体会所学知识在中考试题运用.
课堂总结
说一说：判定两个三角形相似的方法有哪些？
答案：
判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第102页习题4.9第1、2题
能力作业
教材第102页习题4.9第3、4题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
/
课件22张PPT。4.5 相似三角形判定定理的证明数学北师大版 九年级上新知导入在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节课我们将对它们进行证明.说一说：你已经知道的相似三角形的判定定理有哪些？判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似． 判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.新知讲解 已知：如图，在△ABC 和△A′B′C ′中，∠A=∠A′, ∠B=∠B ′.
求证：△ABC∽△A′B′C ′.相似三角形判定定理（1）两角分别相等的两个三角形相似.（平行于三角形一边的直线与其它两
边相交，截得的对应线段成比例）.（平行于三角形一边的直线与其它两
边相交，截得的对应线段成比例）.新知讲解证明：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A′B′ ,过点D
作BC 的平行线，交AC 于点E ,则
∠ADE=∠B, ∠AED=∠C,过点D 作AC 的平行线，交BC 于点F，则新知讲解∵DE∥BC,DF∥AC，∴四边形DFCE 是平行四边形.∴DE=CF.而∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC, ∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC.∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′, AD=A′B′，∴△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.新知讲解相似三角形判定定理（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.?求证：△ABC∽△A′B′C′.新知讲解证明：在△ABC 的边AB (或它的延长线)上截取AD=A′B′，过
点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ,则∠B=∠ADE, ∠C=∠AED，∴△ABC∽△ADE.(两角分别相等的两个三角形相似)新知讲解新知讲解相似三角形判定定理（3）三边成比例的两个三角形相似.?求证：△ABC∽△A′B′C′.新知讲解证明：在△ABC 的边AB，AC(或它们的延长线)上分别截取
AD=A′B′，AE=A′C′，连接DE.而 ∠BAC=∠DAE∴△ABC∽△ADE.(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)新知讲解∴DE=B′C′.∴△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.1. 已知: 如图所示，∠ABD=∠C，AD=2， AC=8，求AB的长. 课堂练习解： ∵ ∠A= ∠A，∠ABD=∠C，
∴ △ABD ∽ △ACB ，
∴ AB : AC=AD : AB，
∴ AB2 = AD · AC.
∵ AD=2， AC=8，
∴ AB =4.课堂练习2. 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7.5，求AD 的长.?（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG=90°，
∴∠A=∠BEG，
∵∠ABE+∠EBG=90°，
∠G+∠EBG=90°，
∴∠ABE=∠G，
∴△ABE∽△EGB；如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点F 在边CD上，且∠BEF=90°，延长EF 交BC 的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△EGB；
（2）若AB=4，求CG 的长．拓展提高 拓展提高?中考链接（2019?张家界）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE=AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．
（1）求证：BF=CF；
（2）若BC=6，DG=4，求FG的长．?中考链接（2019?张家界）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE=AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．
（1）求证：BF=CF；
（2）若BC=6，DG=4，求FG的长．?课堂总结说一说：判定两个三角形相似的方法有哪些？判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似． 判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.定义判定板书设计
课题：4.5 相似三角形判定定理的证明?
教师板演区?
学生展示区一、判定定理1
二、判定定理2
三、判定定理3作业布置基础作业
教材第102页习题4.9第1、2题
能力作业
教材第102页习题4.9第3、4题
