江西省新余市八校2019-2020学年高二上学期期中考试 数学（理）试题（含答案）

新余市八校2019-2020学年度第一学期高二期中考试
数学(理)试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）
1．不等式的解集为（ ）
A．[0，1] B．（0，1]
C．（﹣∞，0]∪[1，+∞） D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）
2.在空间直角坐标系中，已知，，则的中点到坐标原点的距离为（ ）
A． B．
C．2 D．3
3.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A. 9 B. 45
C. 126 D. 270
4. 若样本平均数是4，方差是2，则另一样本
的平均数和方差分别为（ ）
A．12，2 B．14，6
C．12，8 D．14，18
5.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A． 02 B． 07 C． 01 D． 06
6.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（ ）
A. 甲的极差是29 B. 甲的中位数是24
C. 甲罚球命中率比乙高 D. 乙的众数是21
7.已知一组数据（1，2），（3，5），（6，8），的线性回归方程为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8. 已知空间中不同直线和不同平面、，下面四个结论：
①若互为异面直线，，，，，则；
②若，，，则；
③若，，则；
④若，，，则.其中正确的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①③
9.若执行下面的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是（ ）

A. B. C. D.
10.已知正方体的棱长为1，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且∥平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是（? ）
A. B. C. D.
11.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是一个三棱锥的三视图,则该三棱锥的表面积为( )
A. B.
C. D.


12.如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成 （平面）．若、分别为线段、的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是（ ）
A．与平面垂直的直线必与直线垂直
B．异面直线与所成角是定值
C．一定存在某个位置，使
D．三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡上的相应位置）
13.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为______．
14.如图,△为水平放置的△斜二测画法的直观图，且,则△的周长为________．
15.已知点，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则的最大值为
16.已知边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积为
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）
17. （本小题满分10分）某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500)．
(1)求居民月收入在[3000,3500)的频率；
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500,3000)的这段应抽多少人？


18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，⊥平面，，，为中点．
(1)求证：平面平面；
(2)线段上是否存在一点，使∥平面?若存在，求
的值；若不存在，说明理由．

19. （本小题满分12分）某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（元）试销l天，得到如表单价（元）与销量（册）数据：
单价（元） 18 19 20 21 22
销量（册） 61 56 50 48 45
（l）根据表中数据，请建立关于的回归直线方程：

（2）预计今后的销售中，销量（册）与单价（元）服从（l）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？
附：，，，.

20. （本小题满分12分）如图所示，正三棱锥的高为2，点是的中点，点是的中点.
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求该正三棱柱的
底面边长.
21. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，，平面，，，，.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.





22. （本小题满分12分）如图，在直角坐标系中，圆与轴负半轴交于点，过点的直线，分别与圆交于两点,设直线的斜率分别为。
（1）若，求△的面积；
（2）若，求证：直线过定点。



数学(理)参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A C D C B A D C C A C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡上的相应位置）
13. (填不给分) 14. 15. 16.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）
17.解: (1)月收入在[3 000,3 500)的频率为0．000 3×(3 500－3 000)＝0.15. --------------3分
(2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1，0．000 4×(2 000－1 500)＝0.2，
0．000 5×(2 500－2 000)＝0.25，0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5，
∴样本数据的中位数为＝2 000＋400＝2 400(元)．
-------------------------7分
(3)居民月收入在[2 500,3 000)的频数为0.25×10 000＝2 500(人)，再从10 000人中用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽取-----10分
18.解（1）连接，在中，，
又∵为中点，，∴ -------------2分
∵平面平面，
∴，∵，∴平面，
又∵平面，∴平面平面 -------------6分
（2）线段上存在一点，且时，平面 -------------8分
证明如下：连接交于点，在平面中过点作，则交于
又∵平面平面
∴平面，
∵四边形，
∴
∵，∴
∴当时，平面 -------------12分
19.解：（1），-------------2分
，
， -------------4分

所以对的回归直线方程为：． -------------6分
（2）设获得利润为，
， -------------9分
因为二次函数的开口向下，
所以当时，取最大值，
所以当单价应定为22.5元时，可获得最大利润． -------------12分
20.（1）如图，连接，因为是的中点，是的中点，
所以在中，,
平面， 平面，
所以平面. -------------5分
（2）解：由等体积法，得，
因为是的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半.
如图，作交于点，由正三棱柱的性质可知，平面.设底面正三角形的边长，则三棱锥的高， ------------9分
,
所以，解得，
所以该正三棱柱的底面边长为. -------------12分

21.解：(1)在中，.
所以，所以为直角三角形，. -------------3分
又因为平面，所以.
而，所以平面. -------------5分
(2)(方法一)如图延长，相交于，连接，
则平面平面.
二面角就是平面与平面所成二面角.
因为，所以是的中位线.
，这样是等边三角形.
取的中点为，连接，因为平面.
所以就是二面角的平面角. -------------10分
在，所以. -------------12分
(方法二)建立如图所示的空间直角坐标系，可得.
.
设是平面的法向量，则
令得. -------------9分
取平面的法向量为. -------------10分
设平面与平面所成二面角的平面角为，
则，从而. -------------12分
22.解:（1）由题知，得直线AM的方程为，直线AN的方程为
所以，圆心到直线AM的距离，所以，，-------------3分
由题知，所以AN⊥AM，，。-------------5分
（2）方法一:由题知直线AM的方程，直线AN的方程为
联立方程，所以，
得或 所以，-------------7分
同理，，-------------8分
所以直线为
即，得，
所以直线恒过定点．-------------12分
方法二:由知直线的斜率不为0,设直线的方程为,
联立 得

且 -------------7分
,
又
即
-------------9分
化简整理得,解得或(舍去) -------------11分
直线的方程为,故直线恒过定点 -------------12分





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