21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 实际问题与一元二次方程（1）
※教学目标※
【知识与技能】
会根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得结果的合理性.
【过程与方法】
经过“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程中，进一步锻炼学生的分析问题，解决问题的能力.
【情感态度】
通过建立一元二次方程解决问题，体验数学的应用价值，增强学习数学的兴趣.
【教学重点】
构建一元二次方程解决实际问题.
【教学难点】
会用代数式表示问题中的数量关系，能根据问题的实际意义，检验所得结果的合理性.
※教学过程※
一、复习导入
问题 在上一节的习题21.2中，我们遇见过一些用列方程来求解的实际应用问题，你能说说列方程解应用问题的步骤是怎样的吗？
学生在相互讨论交流中可得出结论为：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤答.
2、探索新知
探究1 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均1个人传染了几个人？
设置如下几个问题：
（1）若设平均每轮传染中一个人可传染x个人，则第一轮传染后共有 人患了流感；
（2）第二轮传染后，被传染的人数为 人，故第二轮传染后共 人患了流感.
师生共同完成解答过程：
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染后共有人患了流感，第二轮后共人患流感，依题意可列方程为，方程可整理为，即.∴,（不合题意，应舍去），故平均一个人传染了10个人.
想一想 （1）照上述传染速度，三轮传染后患流感的人数共有多少人？
（2）通过对上述问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系，有新的认识吗？
探究2 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本为6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本为3000元，生产1t乙种药品的成本为3600元.哪种药品成本的平均下降率较大？
思考 （1）甲种药品成本的年平均下降额与乙种药品的年平均额分别是多少？它与年平均下降率是否是一回事？
（2）若设甲种药品的年平均下降率为x，则第一年后的成本为 元，第二年后的成本为 元，你能列出相应的方程并求出问题的解吗？对于乙种药品呢？
3、掌握新知
例1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
解：设每个支干长出x个小分支，由题意可列出方程为，解得，（不合题意，舍去），即每个支干长出9个小分支.
例2 某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%，平均每次降息的百分率是多少？
解：设平均每次降息的百分率为a%，依题意可列方程为：，解得，（不合题意，舍去）.即每次降息的百分率约为6.19%.
4、巩固练习
1.一台电视机的成本价为a元，元销售价比成本价增加25%，因库存积压，两次降价处理，若每次降价的百分率为x%，则最后销售价应为 .
2.某养鸡场一只患禽流感的小鸡经过两天的传染后，使养鸡场共有169只小鸡感染禽流感，那么在每一天的感染中平均一只小鸡传染了几只小鸡？
3.某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视眼人数逐年减少.据统计，2013年和2012年的近视眼人数只占2011年人数的75%，这两年平均每年近视眼人数下降的百分率是多少？
答案：1.元
2. 设每一天的传染中平均一只小鸡传染了x只小鸡，由题意，得，解得，（不合题意，舍去），故每一天平均一只小鸡传染了12只小鸡.
3.设平均每年的近视眼人数下降的百分率为x，2011年的近视眼人数为a人，由题意有，解得，，显然不合题意，应舍去，即平均每年近视眼人数下降的百分率为50%.
五、归纳小结
通过这节课的学习，你对传播类和增长率（下降率）的应用问题的处理有哪些体会和收获？
※布置作业※
从教材习题21.3中选取．
※教学反思※
1.教师引导学生熟悉列一元二次方程解应用题的步骤，创设问题推导出列一元二次方程解应用题的步骤，有利于学生熟练掌握用一元二次方程解应用题的步骤.
2.传播类和增长率问题是一元二次方程中的重点问题，本设计问题中反映出不同的“传
播”和增长率，有利于学生更好地掌握这一问题.
第2课时 实际问题与一元二次方程（2）
※教学目标※
【知识与技能】
1.继续探索实际问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
【过程与方法】
经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体验解决问题策略的多样性，发展数学应用意识.
【情感态度】
通过构建一元二次方程解决身边的问题，体会数学的应用价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
【教学重点】
构建一元二次方程解决应用问题.
【教学难点】
寻找问题中的等量关系.
※教学过程※
一、复习导入
问题1 通过上节课的学习，请谈谈你方程解应用题的一般步骤是怎样的》关键是什么？
问题2 现有长19cm，宽为15cm长方形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的长方形纸盒，要使纸盒的底面积为77cm2,问剪去的小正方形的边长应是多少？你能解决这一问题吗？
2、探索新知
探究 如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽15cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
3、掌握新知
例1 有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）
分析：设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为尺，宽为尺，利用台布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论.
解：设四周垂下的宽度为x尺时，依题意可列方程.
整理，得.解得，（不合题意，舍去）.即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.
例2 如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.
(1)若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽；
(2)如果墙长为18m，则（1）中长方形鸡场的长和宽分别是多少？
(3)能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由.
分析：如图，若设BC=xm，则AB的长为m，若设AB=xm，则BC=m，再利用题设中的等量关系，可求出（1）的解；在（2）中墙长a=18m意味着BC边长应小于或等于18m，从而对（1）的结论进行甄别即可；（3）中可借助（1）的解题思路构建方程，根据方程的根的情况可得到结论.
解：（1）设BC=xm，则AB=CD=m，依题意可列方程为，解这个方程，得，.当BC=20m时，AB=CD=7.5m，当BC=x=15m时，AB=CD=10m.即这个长方形鸡场的长与宽分别为20m和7.5m或15m和10m；
（2）当1墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15m和10m；
（3）不能围成面积为160m2的长方形鸡场.理由如下：设BC=xm，由（1）知AB=m，从而有，方程整理为.
此时，原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160m2的长方形鸡场.
四、巩固练习
1.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为（ ）
A. B.5 C. D.7
2.从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为48cm2，则原来正方形的铁皮的面积为 .
3.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为6m，
宽为3m，若整个地毯的面积为40cm2，求花边的宽.
4.某种服装进价每件60元，据市场调查，这种服装按80元销售时，每月可卖出400件，若销售价每涨价1元，就要少卖出5件，如果服装店预计在销售这种服装时每月获利12000元，那么这种服装的销售价应定为多少时，可使顾客更实惠？
答案：1.B 2.64cm2
3.设花边的宽为xm，依题意有，解得，（不合题意，舍去），即花边的宽度为1m.
4.设销售价提高了x个1元，则每月应少卖出5x件.依题意可列方程为.解这个方程，得，.显然，当时，销售价为120元，当时，销售价为100元，要使顾客得到实惠，则销售价越低越好，故这种服装的销售价应定为100元合适.
五、归纳小结
通过这节课的学习，谈谈你对列一元二次方程解决实际问题的体会和收获？你认为有哪些地方需要特别注意？
※布置作业※
从教材习题21.3中选取．
※教学反思※
1.面积问题的设置，力求以点带面，了解列一元二次方程的步骤并能解答简单的应用题，训练题是对前面问题的延伸，使学生灵活运用解题的能力有很大的提高，对学生思维能力的拓展、发散有很大的帮助.
2.列一元二次方程解应用题是让数学来源于生活，是对一元二次方程解法的延伸，用时又是一元二次方程或二元一次方程组解应用题步骤的总结和内容的升华，列一元二次方程解应用题是下册中学习二次函数解决问题的基础.
