盐城市2020届高三年级第一学期期中考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1. 2. 3. 必要不充分 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15.解：(1) 相邻的两个零点差的绝对值为6，
记的周期为，则,
又，. ...............................................................................2分
;
的图象经过点，
，， ..................................................4分
函数的解析式为. ..................................................6分
(2) 将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象,
由(1)得，，
函数的解析式为； ..............10分
当时，，则.
综上，当时，的值域为. ..................................14分
16.解：(1) 为真命题，则,； ........................... 4分
(2) 为真命题，为假命题,
则一真一假. ......................................6分
若为真命题，则在在有解，
又的值域为， ......................................8分
① 真假,
则 ......................................10分
② 假真, 则无解 .......................................12分
综上，实数a的取值范围是. ......................................14分
17.解：（法一）设，过作于，
垂直平分，(米)，
(米)，(米)，
又的中点是矩形的中心，
(米)，
记这5条路总长度为(米)，
则， ..................................6分
即，
， ..................................8分
化简得，由，可得， ..................................10分
列表如下：
↘
↗
由上表可知，当时，取最小值 (米) ..................13分
答：5条道路的总长度的最小值为(米). ..................................14分
（法二）过作于，设(米)( )
因垂直平分，故(米)，
又的中点是矩形的中心，(米)；
在中，(米)，
由对称性可得，(米)；
记这5条路总长度为(米)，
. ...............................6分
. ..............................8分
令解得(负值舍). ................................10分
列表如下：
↘
↗
由上表可知，当时，取最小值. .................................13分
答：5条道路的总长度的最小值为米. .................................14分
（法三）同方法二得到，以下可用判别式法.
18.解：（1）设，，，
由，
所以，即， ..................................2分
又为三角形的内角，所以， ..................................4分
在中，，所以， ..................................6分
同理， ..................................8分
所以， ..................................10分
（2）在中，， ..................................12分
同理， ..................................14分
由（1）可得，解得. ..................................16分
19.解：（1）因原数列有3项，经第1次拓展后的项数；
经第2次拓展后的项数；
经第3次拓展后的项数. ..................................3分
（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，
由数列经第次拓展后的项数为，则经第次拓展后增加的项数为，
所以， ..................................5分
所以，
由（1）知，所以，， ..................................7分
由，即，解得，
所以的最小值为10. ..................................8分
（3）设第次拓展后数列的各项为，
所以，
因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，
所以，
即，所以， ..................................10分
所以，
， ..................................12分
又，
所以，
为使数列为等比数列，则或，
所以，满足的条件为或. ...................................16分
（说明：少一种情况扣2分）
20.解：（1）当时，，，，，
故所求切线的方程为，即. ...................................2分
（2）①，令，则，
当时恒成立，故在上递减，
令得，故在上递增，又，，的图象在上连续不间断，所以存在唯一实数使得， ...................................4分
故时，时，所以在上递减，在上递增，
∴，由得，
∴， .........................6分
因为函数有两个不同的零点,，所以，得，
由易得，故整数,
当时，，满足题意，
故整数的最小值为.（也可以用零点存在性定理给出证明） ...................................10分
注：由得，不能得到.
②法一：当时，，由得，，
两式相乘得，
得（※） ...................................12分
不妨设，由及的单调性可知， ...................................14分
故，
当时（※）式成立；
当时（※）式左边大于1，右边小于1，（※）式不成立；
当时（※）式左边小于1，右边大于1，（※）式不成立；
综上，. ...................................16分
法二：当时，，
不妨设，由及的单调性可知， ...................................12分
由得，
∴， ...................................14分
故函数有两个不同的零点,，又由的单调性可知有且仅有两个不同的零点,，
∴，∴. ...................................16分
盐城市2020届高三年级第一学期期中考试
数学试题
(总分160分，考试时间120分钟)
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.
1.已知集合，，则 ▲ ．
2.已知角的始边为轴的正半轴，点是其终边上一点，则的值为 ▲ ．
3.“”是“”的 ▲ 条件. （选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）
4.若向量，，//，则实数的值为 ▲ ．
5.函数的定义域为 ▲ ．
6.若函数为奇函数，当时，，则的值为 ▲ ．
7.设为等差数列的前项和，若且公差，则的值为 ▲ ．
8.若，则的值为 ▲ ．
9.若函数的图象关于直线对称，则的最小值是 ▲ ．
10.若函数在上是增函数，则实数的取值范围
是 ▲ ．
11.若数列满足，，且数列是等比数列，则数列的前19项和的值为 ▲ ．
12.如图，在中， ，，，，，，若，则的值为 ▲ ．
13.在中，，，为的中点，，则边的长为 ▲ ．
14.设函数，若对任意的实数，总存在，使得，则实数的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15. (本小题满分14分)
若函数的图象经过点，且相邻的两个零点差的绝对值为.
（1）求函数的解析式；
（2）若将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象，当时，求的值域.
16. (本小题满分14分)
设“”；“在区间上有零点”．
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为真命题，且为假命题，求实数的取值范围．
17. (本小题满分14分)
如图所示是某社区公园的平面图，为矩形，米，米，为了便于居民观赏花草，现欲在矩形内修建5条道路，道路的宽度忽略不计.考虑对称美，要求直线垂直平分边，且线段的中点是矩形的中心，求这5条路总长度的最小值.
第17题图
18. (本小题满分16分)
如图，在中，，，点为内一点，满足，且.
（1）求的值；
（2）求边的长.
第18题图
19. (本小题满分16分)
在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成一个新数列，这样的操作叫做该数列的一次拓展. 如数列1，2，经过第1次拓展得到数列1，3，2；经过第2次拓展得到数列1，4，3，5，2. 设数列，，经过第次拓展后所得数列的项数记为，所有项的和记为.
（1）求，，；
（2）若，求的最小值；
（3）是否存在实数，，，使得数列为等比数列？若存在，求，，满足的条件；若不存在，请说明理由.
20. (本小题满分16分)
设函数,为常数.
（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若函数有两个不同的零点，.
① 当时，求的最小值；
② 当时，求的值.
