22.1.3 二次函数的图象和性质
第1课时 二次函数的图象和性质
※教学目标※
【知识与技能】
1.能利用描点法正确作出函数的图象.
2.理解二次函数与之间的关系.
3.掌握二次函数的图象及其性质.
【过程与方法】
通过画二次函数与，感受它们与的联系，并由此得到与的图象及性质的联系和区别.
【情感态度】
在通过类比的方法获取二次函数的图象及其性质过程中，进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.
【教学重点】
1.二次函数与图象之间的联系.
2.二次函数的图象及其性质.
【教学难点】
二次函数的性质的基本应用．
※教学过程※
1、问题导入
问题1 谈一谈一次函数与的图象之间的关系.
问题2 你能猜想出二次函数与的图象之间有何关系吗？
2、探索新知
问题1 在同一直角坐标系中，画出二次函数，的图象.请观察图象，谈谈它们有哪些相同点和不同点，并指明这两个图象的关系如何？
发现 把抛物线向上平移1个单位长度，就得到抛物线；把抛物线向下平移1个单位长度，就得到抛物线.
问题2 在同一直角坐标系中画出下列二次函数的图象：，，.观察三条抛物线位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.你能说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线有什么关系？
归纳总结
1.二次函数的图象可以由的图象通过平移得到.
2.与的性质如下：
函 数 开口方向 对称轴 顶点坐标
a>0，开口向上；a<0，开口向下 y轴 （0，0）
a>0，开口向上；a<0，开口向下 y轴 （0，k）
3、巩固练习
1.抛物线可以看作是抛物线向 平移 得到的.
2.已知抛物线与抛物线的形状相同，且图象与x轴最近点到x轴的距离为3，求a，k的值，并指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
答案:1.上，4
2.∵抛物线与抛物线的形状相同，∴a=±2.∵抛物线与抛物线的形状相同，且图象与x轴最近点到x轴的距离为3，∴k=±3.当a=2时，抛物线为，开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是（0，0）；当a=-2时，抛物线为，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是（0，0）.
四、归纳小结
师生共同回顾所学知识，如的图象特征，函数的增减性等，并对可能出现的困难、疑问给予整理，进行辨析.
※布置作业※
从相关练习资料中选取．
※教学反思※
本节课的教学重点在于培养学生的比较能力，旨在希望学生通过对比发现函数图象的性质，从而进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣．
第2课时 二次函数的图象和性质
※教学目标※
【知识与技能】
1.能利用描点法画出二次函数的图象.
2.理解二次函数的图象与二次函数的图象之间的关系.
3.掌握二次函数的图象及其性质.
【过程与方法】
通过动手操作、观察比较、分析思考、规律总结等活动过程完成对二次函数的图象及性质的认识.
【情感态度】
在学习活动过程中，使学生进一步体会数形结合的思想方法，培养他们的创造性思维能力和动手实践能力，增强其学习兴趣、激发其学习欲望.
【教学重点】
1.二次函数与图象之间的联系.
2.二次函数的图象及其性质.
【教学难点】
利用二次函数的性质解决实际问题．
※教学过程※
1、问题导入
二次函数的图象可以由函数的图象向下平移得到，那么函数的图象是否可以由函数的图象平移得到呢？
2、探索新知
问题 在同一直角坐标系中，画出二次函数，的图象，指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标，并结合图象说说抛物线，和这三个图象之间的关系.
发现 二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，顶点是（-1，0）；二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，顶点是（1，0）.
归纳总结
函数与的性质如下：
函 数 开口方向 对称轴 顶点坐标
a>0，开口向上；a<0，开口向下 y轴 （0，0）
a>0，开口向上；a<0，开口向下 （h，0）
3、巩固练习
1.抛物线的开口向 ，对称轴是 ，顶点是 .
2.若抛物线的顶点是（-4，0），它是由抛物线通过平移得到的，a= ，h= .
答案:1.上，，（3，0） 2.3，-4
四、归纳小结
1.抛物线与和抛物线与有哪些共同点？有哪些不同点？
2.将抛物线上下平移与左右平移所得到的表达式在形式上有哪些区别？
3.在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：，，.观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.
※布置作业※
从相关练习资料中选取．
※教学反思※
本节课的教学重点仍在于培养学生的比较和判断能力，通过比较找出异同点，从而进一步归纳性质，并通过练习使学生从练习中领悟，形成函数意识．
第3课时 二次函数的图象和性质
※教学目标※
【知识与技能】
1.会用描点法画出二次函数的图象.
2.理解函数的图象与函数的图象之间的关系．
3.依据具体问题情境建立二次函数模型解决实际问题.
【过程与方法】
经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力．
【情感态度】
用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度．
【教学重点】
求根公式的推导和公式法的应用．
【教学难点】
一元二次方程求根公式的推导．
※教学过程※
一、复习导入
1.函数的图象与函数的图象有什么关系?
(函数的图象可以看成是将函数的图象向上平移一个单位得到的)
2.函数的图象与函数的图象有什么关系?
2、探索新知
问题1 画出二次函数的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.
[开口向下，对称轴是，顶点是（-1，-1）]
问题2 请在问题1中所在的平面直角坐标系中，画出抛物线，，.观察这三条抛物线，你能发现什么？
[把抛物线向下平移1个的单位长度，再向左平移1个单位长度，就得到抛物线]
问题3 请依据问题2中的发现，说说抛物线是由抛物线经过怎样的平移的到的？并说说它的对称轴和顶点坐标.
归纳总结
一般地，抛物线与形状相同，位置不同.把抛物线向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线.平移的方向、距离要根据h，k的值来确定.
抛物线有如下特点：（1）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下.（2）对称轴是.（3）顶点是（h，k）.
3、掌握新知
例 要修建一个圆形喷水池，水池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在水池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水管应多长？
解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系.
点（1，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是(0≤x≤3).由这段抛物线经过（3，0），可得，解得.因此(0≤x≤3).当时，，也就是说，水管应2.25m长.
4、巩固练习
1.抛物线的顶点坐标是 ，当x 时，函数值y随x的增大而增大.
2.若抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则这条抛物线与x轴的另一个交点的坐标为 .
3.已知二次函数的图象的顶点坐标为（-3，2），且经过坐标原点，则这个二次函数的解析式是 .
4.已知二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线．求a，h，k的值，并指出二次函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5.将抛物线作下列移动，求得到的新抛物线的解析式：（1）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位；（2）顶点不动，将原抛物线的开口方向反向.
答案：1.（-4，2） 2.（-3，0） 3.
4.将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得抛物线，∴，，.抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是（1，-1）.
5.（1）将的图象先向左平移2个单位，得到的图象，再向下平移3个单位，得到的图象.（2）∵，∴顶点坐标为（1，3），根据题意，得.
五、归纳小结
通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？
六、布置作业
从教材习题22.1中选取．
七、教学反思
本课时的内容算是对前面的内容进行小结.教学时教师应让学生自主归纳、探究，教师给予引导和提示并让学生适时进行练习，以巩固所学的知识，在这一过程中应注意渗透数形结合的思想方法.
