人教版九年级数学上册第二十二章 二次函数22.2 二次函数与一元二次方程 教案

22.2 二次函数与一元二次方程
※教学目标※
【知识与技能】
理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点个数、掌握方程与函数间的转化.
【过程与方法】
逐步探索二次函数与一元二次方程之间的关系，函数图象与x轴的交点情况。由特殊到一般，提高学生的分析、探索、归纳能力.
【情感态度】
培养合作的良好意识和大胆探索数学知识间联系的好习惯，体会到二次函数广泛意义.
【教学重点】
探索一次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况.
【教学难点】
函数方程x轴交点，三者之间的关系的理解与运用.
※教学过程※
一、问题导入
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系.
考虑以下问题：
（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）小球从飞出到落地需要多少时间？
二、探索新知
从上面的问题可以看出，二次函数与一元二次方程有如下关系：
1.函数，当函数值y为某一确定值m时，对应自变量x的值就是方程的根.特别是y=0时，对应的自变量x的值就是方程的根.以上关系，反过来也成立.
议一议 利用以上关系，可以解决什么问题？
利用以上关系，可以解决两个方面问题.其一，当y为某一确定值时，可通过解方程来求出相应的自变量x值；其二，可以利用函数图象来找出相应方程的根.
2.二次函数的图象与x轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系
议一议 观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？
方程的根是，.
方程的根是.
方程无实数根.
归纳总结 一般地，从二次函数的图象可得如下结论：
（1）如果抛物线与x轴有公共点公共点的横坐标是，那么当时，函数值是0，因此是方程的一个根.
（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.
3、掌握新知
例 利用函数图象求方程的实数根（结果保留小数点后一位）.
解：画出二次函数的图象它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.
所以方程的实数根为，.
我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.
观察函数的图象，可以发现，当自变量为2时的函数值小于0（点（2，-2）在x轴的下方）,当自变量为3时的函数值大于0（点（3，1）在x轴的上方）.因为抛物线是一条连续不断的曲线，所以抛物线在这一段经过x轴，也就是说，当自变量取2，3之间的某个值时，函数值为0，即方程在2，3之间有根.
我们可以通过去平均数的方法不断缩小根所在的范围.例如，取2，3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间.再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5,2.75之间.
重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6875,2.75之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值.例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于，我们可以将2.6875作为根的近似值. 　
四、巩固练习
画出函数的图象，利用图象回答下列问题：
（1）方程的解是什么？（2）x取什么值时，函数值大于0？（3）x取
什么值时，函数值小于0？
　　答案：1.图象如图所示：



（1），.（2）当时函数值大于0.（3）当或时函数值小于0.
2.
五、归纳小结
1.抛物线与一元二次方程有何关联？你能不画出抛物线而了解此抛物线与x轴的交点情况吗？你是怎样做的？
2.你能引用抛物线来确定相应的方程的根的近似值吗？从中你有哪些体会？
※布置作业※
从教材习题22.2中选取．
※教学反思※
本节课的教学过程充分利用了学生已形成的方程、函数之间的关系来类比引导挖掘、探索二次函数与一元二次方程的关系.此外还通过观察图象直观理解、解答联系以及实际观察分析都是必经的途径与方法.