22.3 实际问题与二次函数
第1课时 实际问题与二次函数（1）
※教学目标※
【知识与技能】
1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系.
2.会运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值.
【过程与方法】
通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想.
【情感态度】
体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识.
【教学重点】
通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决生活中的最值问题.
【教学难点】
分析现实问题中数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的.
※教学过程※
一、复习导入
从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是（0≤t≤6）．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是少？
提问 （1）图中抛物线的顶点在哪里？
（2）这条抛物线的顶点是否是小球预定的最高点？
（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？
（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？
2、探索新知
探究1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l值.
矩形场地的周长是60m，一边长为lm，则另一边长为 ,场地的面积S= .化简得S= .当l= 时，S有最大值 .
探究2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
（1）设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化.我们先来确定y随x变化的函数解析式.涨价x元时，每星期少卖10x件，实际卖出件，销售额为·
元，买进商品需付元.因此，所得利润
，即，其中，0≤x≤30.
根据上面的函数，填空：
当x= 时,y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 元，即定价 元时，利润最大，最大利润是 .
（2）在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的讨论，自己得出答案.
由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价能使利润最大了吗？
3、巩固练习
1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.
（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
2.鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时 ，y=80；当x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利W(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
答案：1.(1) ∵ AB为x米，篱笆长为24米,∴ 花圃宽为米.
∴ .（2）当时，有最大值（平方米）.
2.（1）设 .根据题意，得解得∴（30 ≤x≤60）.
（2）.
（3）.∵30 ≤x≤60，∴当x=60时,W有最大值为1950元.∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元.
四、归纳小结
通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意？
※布置作业※
从教材习题22.3中选取．
※教学反思※
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型，也是某些单变量最优化的数学模
型，如最大利润、最大面积等实际问题，因此本课时主要结合这两类问题进行了一些探讨.生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题，由于学生对于这一转化过程较难理解，因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出，让学生自主建立数学模型，在这个过程中，教师可通过让学生画图探讨最值.总之，在本课时的教学过程中，要让学生经历数学建模的基本过程，体验探究知识的乐趣.
第2课时 实际问题与二次函数（2）
※教学目标※
【知识与技能】
将生活实际问题转化为数学问题，进一步体验二次函数在生活中的应用.
【过程与方法】
通过对生活中实际问题的探究,体会数学在生活实际中的广泛应用，发展数学思维.
【情感态度】
感受数学在生活中的应用，激发学生学习热情，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神.
【教学重点】
利用二次函数解决有关拱桥问题.
【教学难点】
建立二次函数的数学模型.
※教学过程※
一、问题导入
问题 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
答案 解：（1）由题意，得.
（2）P=，∵x≥45，a=-20＜0，∴当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元.
（3）由题意，得.解得，．
∵抛物线的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元.又x≤58，∴50≤x≤58.∵在中，＜0，∴y随x的增大而减小.∴当x=58时，y最小值=-20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒.
2、探索新知
探究 图中是抛物线形拱桥，当拱桥离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？
提问
（1）石拱桥桥拱的形状可以近似地看成是抛物线吗？
（2）将本体转化为二次函数问题，需要求出二次函数解析式，根据题中条件，求二次函数解析式的前提是什么？
（3）题中“水面下降1m的含义是什么？”水面下降的同时水面宽度有什么变化？如何求宽度增加多少？
解决问题：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立坐标系.设这条抛物线表示的二次函数为.由抛物线经过点（2，-2），可得，.这条抛物线表示的二次函数为.
当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3.
请你根据上面的函数解析式求出这时的水面宽度.
水面下降1m时，水面宽度增加 m.
三、巩固练习
1.如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的
两端拴于立柱与铁结合处，绳子自然下垂呈抛物线状态，一身高0.7米的小女孩站在离立柱0.4米处，其头刚好触上绳子，则绳子最低点到地面的距离为多少米？
2.如图，一位篮球运动员甲在距篮球筐下4米处跳起投篮，球的运行线路为抛物线，当球运行到水平距离为2.5米时达到最高高度为3.5米，然后准确地落入篮筐，已知篮圈中心到地面的高度为3.05米，该运动员的身高为1.8米．
（1）在这次投篮中，球在该运动员的头顶上方0.25米处出手，则当球出手时，该运动员离地面的高度为多少米？
（2）运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3米运动员乙在运动员甲与篮板之间的什么范围内能在空中截住球？
答案：1.如图所示，以O为坐标原点，水平方向为x轴，垂直方向为y轴，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为.设A，B，D三点坐标依次为（，），（，），（，）.
由题意，得AB=1.6，∴，，又可得=-0.4.∴当时，=,当时，.∵，∴.∴.∴抛物线的解析式为.当时，，∴（m）.
2.（1）设抛物线的解析式为.∵（1.5，3.05）在抛物线上，
∴.解得.∴.当时，，
∴运动员离地面的高度为（m）.
（2）由题意,得，则.解得，.∴（m）.∴乙在运动员甲与篮板之间的距离甲3米范围内能在空中截住球.
四、归纳小结
1.运用二次函数解决实际问题的一般步骤：审题；建立数学模型；求抛物线解析式；解决实际问题.
2.数形结合思想的运用.
※布置作业※
从教材习题22.3中选取.
※教学反思※
本课时的教学应注意建立正确的直角坐标系，使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时，教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生互相交流.教师应鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系，并求出相应抛物线的解析式，在这一过程中让学生体验探究发现的乐趣，体会数学的最优化思想.
