人教版九年级数学上册第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数 教案(2课时 习题含答案)

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名称 人教版九年级数学上册第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数 教案(2课时 习题含答案)
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资源类型 教案
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2019-12-06 15:54:21

文档简介

22.3 实际问题与二次函数
第1课时 实际问题与二次函数(1)
※教学目标※
【知识与技能】
1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系.
2.会运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值.
【过程与方法】
通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究,让学生经历数学建模的基本过程,体会建立数学模型的思想.
【情感态度】
体会二次函数是一类最优化问题的模型,感受数学的应用价值,增强数学的应用意识.
【教学重点】
通过解决问题,掌握如何应用二次函数来解决生活中的最值问题.
【教学难点】
分析现实问题中数量关系,从中构建出二次函数模型,达到解决实际问题的目的.
※教学过程※
一、复习导入
从地面竖直向上抛出一个小球,小球的上升高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是少?
提问 (1)图中抛物线的顶点在哪里?
(2)这条抛物线的顶点是否是小球预定的最高点?
(3)小球运动至最高点的时间是什么时间?
(4)通过前面的学习,你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么?
2、探索新知
探究1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时,场地的面积S最大?
分析:先写出S与l的函数关系式,再求出使S最大的l值.
矩形场地的周长是60m,一边长为lm,则另一边长为 ,场地的面积S= .化简得S= .当l= 时,S有最大值 .
探究2 某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
(1)设每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y随之变化.我们先来确定y随x变化的函数解析式.涨价x元时,每星期少卖10x件,实际卖出件,销售额为·
元,买进商品需付元.因此,所得利润
,即,其中,0≤x≤30.
根据上面的函数,填空:
当x= 时,y最大,也就是说,在涨价的情况下,涨价 元,即定价 元时,利润最大,最大利润是 .
(2)在降价的情况下,最大利润是多少?请你参考(1)的讨论,自己得出答案.
由(1)(2)的讨论及现在的销售状况,你知道如何定价能使利润最大了吗?
3、巩固练习
1.如图,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米.
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围;
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少?
2.鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克,价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不高于每千克60元,不低于每千克30元.经市场调查发现:日销售量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数,且当x=60时 ,y=80;当x=50时,y=100.在销售过程中,每天还要支付其他费用450元.
(1)求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(2)求该公司销售该原料日获利W(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式.
(3)当销售单价为多少元时,该公司日获利最大?最大获利是多少元?
答案:1.(1) ∵ AB为x米,篱笆长为24米,∴ 花圃宽为米.
∴ .(2)当时,有最大值(平方米).
2.(1)设 .根据题意,得解得∴(30 ≤x≤60).
(2).
(3).∵30 ≤x≤60,∴当x=60时,W有最大值为1950元.∴当销售单价为60元时,该公司日获利最大,为1950元.
四、归纳小结
通过这节课的学习,你有哪些收获和体会?有哪些地方需要特别注意?
※布置作业※
从教材习题22.3中选取.
※教学反思※
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型,也是某些单变量最优化的数学模
型,如最大利润、最大面积等实际问题,因此本课时主要结合这两类问题进行了一些探讨.生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题,由于学生对于这一转化过程较难理解,因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出,让学生自主建立数学模型,在这个过程中,教师可通过让学生画图探讨最值.总之,在本课时的教学过程中,要让学生经历数学建模的基本过程,体验探究知识的乐趣.





第2课时 实际问题与二次函数(2)
※教学目标※
【知识与技能】
将生活实际问题转化为数学问题,进一步体验二次函数在生活中的应用.
【过程与方法】
通过对生活中实际问题的探究,体会数学在生活实际中的广泛应用,发展数学思维.
【情感态度】
感受数学在生活中的应用,激发学生学习热情,体验解决问题的方法,培养学生的合作交流意识和探索精神.
【教学重点】
利用二次函数解决有关拱桥问题.
【教学难点】
建立二次函数的数学模型.
※教学过程※
一、问题导入
问题 为满足市场需求,某超市在五月初五“端午节”来临前夕,购进一种品牌粽子,每盒进价是40元.超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现;当售价定为每盒45元时,每天可以卖出700盒,每盒售价每提高1元,每天要少卖出20盒.
(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式;
(2)当每盒售价定为多少元时,每天销售的利润P(元)最大?最大利润是多少?
(3)为稳定物价,有关管理部门限定:这种粽子的每盒售价不得高于58元.如果超市想要每天获得不低于6000元的利润,那么超市每天至少销售粽子多少盒?
答案 解:(1)由题意,得.
(2)P=,∵x≥45,a=-20<0,∴当x=60时,P最大值=8000元,即当每盒售价定为60元时,每天销售的利润P(元)最大,最大利润是8000元.
(3)由题意,得.解得,.
∵抛物线的开口向下,∴当50≤x≤70时,每天销售粽子的利润不低于6000元.又x≤58,∴50≤x≤58.∵在中,<0,∴y随x的增大而减小.∴当x=58时,y最小值=-20×58+1600=440,即超市每天至少销售粽子440盒.
2、探索新知
探究 图中是抛物线形拱桥,当拱桥离水面2m时,水面宽4m,水面下降1m,水面宽度增加多少?
提问
(1)石拱桥桥拱的形状可以近似地看成是抛物线吗?
(2)将本体转化为二次函数问题,需要求出二次函数解析式,根据题中条件,求二次函数解析式的前提是什么?
(3)题中“水面下降1m的含义是什么?”水面下降的同时水面宽度有什么变化?如何求宽度增加多少?
解决问题:以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴,建立坐标系.设这条抛物线表示的二次函数为.由抛物线经过点(2,-2),可得,.这条抛物线表示的二次函数为.
当水面下降1m时,水面的纵坐标为-3.
请你根据上面的函数解析式求出这时的水面宽度.
水面下降1m时,水面宽度增加 m.
三、巩固练习
1.如图,一单杠高2.2米,两立柱之间的距离为1.6米,将一根绳子的
两端拴于立柱与铁结合处,绳子自然下垂呈抛物线状态,一身高0.7米的小女孩站在离立柱0.4米处,其头刚好触上绳子,则绳子最低点到地面的距离为多少米?
2.如图,一位篮球运动员甲在距篮球筐下4米处跳起投篮,球的运行线路为抛物线,当球运行到水平距离为2.5米时达到最高高度为3.5米,然后准确地落入篮筐,已知篮圈中心到地面的高度为3.05米,该运动员的身高为1.8米.
(1)在这次投篮中,球在该运动员的头顶上方0.25米处出手,则当球出手时,该运动员离地面的高度为多少米?
(2)运动员乙跳离地面时,最高能摸到3.3米运动员乙在运动员甲与篮板之间的什么范围内能在空中截住球?
   答案:1.如图所示,以O为坐标原点,水平方向为x轴,垂直方向为y轴,建立直角坐标系,设抛物线的解析式为.设A,B,D三点坐标依次为(,),(,),(,).
由题意,得AB=1.6,∴,,又可得=-0.4.∴当时,=,当时,.∵,∴.∴.∴抛物线的解析式为.当时,,∴(m).
2.(1)设抛物线的解析式为.∵(1.5,3.05)在抛物线上,
∴.解得.∴.当时,,
∴运动员离地面的高度为(m).
(2)由题意,得,则.解得,.∴(m).∴乙在运动员甲与篮板之间的距离甲3米范围内能在空中截住球.
四、归纳小结
1.运用二次函数解决实际问题的一般步骤:审题;建立数学模型;求抛物线解析式;解决实际问题.
2.数形结合思想的运用.
※布置作业※
从教材习题22.3中选取.
※教学反思※
本课时的教学应注意建立正确的直角坐标系,使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时,教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生互相交流.教师应鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系,并求出相应抛物线的解析式,在这一过程中让学生体验探究发现的乐趣,体会数学的最优化思想.