23.2 中心对称
23.2.1 中心对称
※教学目标※
【知识与技能】
理解中心对称、对称中心、关于中心的对称点的概念.结合探究掌握中心对称的性质，会依据中心对称的性质画出与已知图形成中心对称的图形.
【过程与方法】
通过思考的观察培养学生的观察能力，经历探究性质的过程使学生获得基本的数学活动经验.通过画出与已知图形成中心对称的图形，进一步培养学生的尺规作图能力.
【情感态度】
让学生经历观察、操作等过程，理解中心对称的概念，从中心对称基本性质的探索活动，进一步发展学生空间观察能力．让学生通过独立思考，自主探究和合作交流，进一步体会中心对称的数学内涵，获得知识，体验成功．
【教学重点】
中心对称的概念与性质．
【教学难点】
中心对称的概念的导入与性质的探究．
※教学过程※
一、情境导入
我们生活在多姿多彩的图形世界中，小时候我们就对多姿多彩的图形充满兴趣与好奇，尤其是对运动变换的图形越加的好奇，学完本节课你将对图形的变换有一个全面深入的了解．下面让我们观察一些图形变换．（多媒体演示）那么什么是旋转？什么是旋转中心？什么是旋转角？生活中有没有旋转角是180°的旋转图形呢？本节课我们就来探究旋转角是180°的旋转图形．
2、探索新知
探究1 （1）如图（1），把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？
（2）如图（2）线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD. 把△OCD绕点O旋转180°，你有什么发现？
归纳总结
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这一点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）.这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.
探究2 三角尺的一个顶点是，以点为中心旋转三角尺，可以画出关于点中心对称的两个三角形.
第一步，画出△ABC，如图（1）；
第二步，以三角板的一个顶点O为中心，把三角板旋转180°，画出△A′B′C′，如图（2）；
第三步，移开三角板，如图（3）.
（1） （2） （3）
画出的△ABC与△A′B′C′关于点O对称.分别连接对称点AA′，BB′，CC′.
思考 （１）点O在线段AA′上吗？如果在，在什么位置？
（2）△ABC与△A′B′C′有什么关系？你会证明吗？
答案 （1）点A′是绕点A旋转180°后得到的,即线段OA绕点O旋转180°得到线段OA′,所以点O在线段AA′上，且OA= OA′,即点O是线段AA′的中点.同样地,点O是线段BB′ 和CC′的中点.
（2）全等.
证明：在△AOB与△ A′O B′中，OA=OA′,OB=OB′ ∠AOB= ∠AOB′，∴ △AOB≌△A′O B′（SAS）.∴AB=A′ B′.同理 : BC=B′ C′,AC=A′C′.∴ △ABC≌△A′ B′C′（SSS）.
归纳总结 中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称 点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分.中心对称的两个图形是全等图形.
3、掌握新知
例 （1）如图（1），选择点O为对称中心，画出点A关于点O的对称点A′；
（2）如图（2），选择点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′.
（1） （2）
分析：（1） 可利用“对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分”这一性质，画出点A关于点O 的对称点A′（即延长AO ) ，并在AO延长线上截取OA′=AO，则点即为所求； （2）仿（1）分别得到点A，B，C关于点O的对称点A′，B′，C′，连接 A′B′，A′C′，B′C′，则△A′B′C′是△ABC关于点O的对称三角形.
四、巩固练习
1.以顶点A为对称中心，画一个与已知四边形ABCD成中心对称的图形.
第1题图 第2题图
2.△ABC与△A′B′C′中心对称，求出它们的对称中心O.
答案：1. 2.
五、归纳小结
1.本节课所学的知识点有哪些？
2.本节课介绍了哪些数学方法？
3.你认为本节知识哪些是重点？哪些是易错点？
4.学完本节课后你还有哪些困惑？
※布置作业※
从教材习题23.2中选取．
※教学反思※
本课时的设计遵循从感性到理性的渐进认识规律、发展学生直观想象能力，分析、归纳、抽象概括的思维能力.教师要以更为丰富的教学语言激励学生，以便更好地关注学生的情感、态度等方面的发展.
O
C
B
23.2.2 中心对称图形
※教学目标※
【知识与技能】
了解中心对称图形的定义及其特征，体会中心对称和中心对称图形之间的联系和区别.
【过程与方法】
经历观察、思考、探究、发现的过程，感受中心对称图形的特征，培养学生的观察能力和动手操作能力.
【情感态度】
通过对中心对称图形的学习，感受图形的美感，体验图形变化的规律，感受图形变换和图形的美丽，培养学生归纳、类比的学习意识．
【教学重点】
中心对称图形的定义及了解一些简单的几何图形的对称性．
【教学难点】
中心对称图形与中心对称的关系，准确判断图形的对称性．
※教学过程※
一、情境导入
提问1 关于中心对称的两个图形有哪些特征？
提问2观察下面的几个图形，你能发现什么？
2、探索新知
探究1 （1）如图（1），将线段AB绕它的点旋转180°，你有什么发现？
（2）如图（2），将绕它的两条对角线的交点O旋转180°，你有什么发现？
（1） （2）
发现 线段AB绕它的点旋转180°后与它本身重合.绕它的两条对角线的交点O旋转180°后与它本身重合
归纳总结
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
3、掌握新知
问题1 中心对称图形有哪些特点？中心对称图形与中心对称有哪些区别与联系？
归纳总结
1.中心对称图形上的每一对对应点所连线段必经过对称中心，且被对称中心平分.
2.区别：中心对称指两个全等图形的相互位置关系；中心对称图形指一个图形本身成中心对称.
联系：如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体，则它们是中心对称图形；如果将中心对称图形对称的部分看成两个图形，则它们成中心对称.
问题2 我们平时见过的几何图形中，有哪些是中心对称图形？并指出对称中心．
归纳总结
1.线段是中心对称图形，其对称中心是该线段的中点.
2.矩形、菱形都是中心对称图形，其对称中心是它们对角线的交点.
3.圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心.
4.当正多边形的边数是奇数时，它不是中心对称图形；当正多边形的边数是偶数时，它是中心对称图形，其对称中心是正多边形的中心.
四、巩固练习
1.按要求画一个图形：所画图形中同时要有正方形和圆（正方形和圆的个数不限），并且这个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
2.如图是4×4正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．
答案：1. 2.
五、归纳小结
1.中心对称图形的有关概念.
2.中心对称图形的性质和特点.
3.中心对称图形与中心对称的区别与联系.
4.中心对称图形的识别方法.
※布置作业※
从教材习题23.2中选取．
※教学反思※
本节课强调“数学源于生活，服务于生活”的特点，让学生体验到数学与生活联系紧密，体会到生活中的对称美，发展学生的美感．教学过程中强调对比教学法，教学中进行了中心对称图形与中心对称的比较，中心对称图形与轴对称图形的比较，使学生在比较中对概念的理解越来越清晰、正确．
23.2.3 关于原点对称的点的坐标
※教学目标※
【知识与技能】
理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）的运用．
【过程与方法】
通过观察、操作、交流、归纳等过程，培养学生探究问题的能力、动手能力、观察能力以及与他人合作交流的能力.
【情感态度】
从坐标的角度揭示中心对称与轴对称的关系，培养观察、分析、探究及合作交流的学
习惯，体验事物的变化之间是有联系的．
【教学重点】
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点
P′（-x，-y）及其运用．
【教学难点】
运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．
※教学过程※
1、复习导入
以前我们学习过关于x轴、y轴对称的点的坐标的问题.在平面直角坐标系中画出下列各点关于x轴的对称点.
提问 关于x轴对称的点的坐标具有怎样的特点？
[在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数.点（x，y）关于x轴对称点的坐标为（x，-y）.]
在平面直角坐标系中画出下列各点关于y轴的对称点.
提问 关于y轴对称的点的坐标具有怎样的特点？
[在平面直角坐标系中，关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数.点（x，y）关于y轴对称点的坐标为（-x，y）.]
2、探索新知
探究1 如图，在直角坐标系中，作出下列已知点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标.这些坐标与已知点的坐标有什么关系？
A（4，0），
B（0，-3），
C（2，1），
D（-1，2），
E（-3，-4）.
（这些点的坐标与已知点的坐标相比较，它们的横纵坐标分别互为相反数.
归纳总结 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点P′（-x，-y).
3、掌握新知
例1 如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与△ABC关于原点对称的图形.
分析：点P（x，y）关于原点的对称点P′（-x，-y) ，因此△ABC的三个顶点A（-4，1），B（-1，1），C（-3，2）关于原点的对称点分别为A’（4，-1），B’（1，1），C’（3，-2） .依次连接A’B’，B’C’，C’A’即可得到与△ABC关于原点对称的图形△A’B’C’.
答案：
例2 如图所示，AB∥CD∥x轴，且AB=CD=3，A点坐标为（-1，1），若C（1，-1）：
（1）写出B，D坐标；
（2）你发现A，B，C，D坐标之间有何特征？
分析：（1）根据平行于x轴的直线的特点，以及AB=CD=3得出B，D坐标；（2）对比ABCD的坐标得出他们之间的特征．
答案：（1）∵AB∥CD∥x轴，A点坐标为（-1，1），点C（1，-1），∴点B，D的纵坐标分别是1，-1.∵AB=CD=3，∴B（2，1），D（-2，-1）．
（2）∵A（-1，1），C（1，-1）的横、纵坐标互为相反数，∴A，C关于原点对称.同理，B，D关于原点对称．
四、巩固练习
1.已知点M的坐标为（3，-5），则关于x轴对称的点M’的坐标为 ，关于关于y轴对称的点M’’的坐标为 ，关于原点对称的M’’’的坐标为 .
2.下列各点中哪两个点关于原点O对称？
A（-5，0），B（0，2）， C（2，-1）， D（2，0），E（0，5），F（-2，1），G（-2，-1）.
答案：1. （3，5） （-3，-5） （-3，5）
2.C（2，-1与F（-2，1）关于原点O对称.
五、归纳小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？
※布置作业※
从教材习题23.2中选取．
※教学反思※
1.本课通过点P（x，y）关于原点的对称点P′（-x，-y）的运用，初步向学生渗透数形结合思想，也为以后函数的学习奠定了一定的基础.
2.这节课与图形的三种运动（平移、翻折、旋转）之一的“旋转”有着不可分割的联系，通过这节课的学习，既可让学生认识“旋转”在几何知识中的重要体现，同时也完善了初中部分对“对称图形”的知识讲授.中心对称是以轴对称为基础，是三角形全等知识的运用，是平行四边形的进一步研究，是今后学习其他图形的必备知识.
