24.2.2 直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系
※教学目标※
【知识与技能】
理解直线和圆的三种位置关系，掌握其判定方法和性质.
【过程与方法】
通过直线和圆的位置关系的探究，向学生渗透分类、数形结合的思想，培养学生观察、分析和概括的能力.
【情感态度】
使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、培养学生的辩证唯物主义观点.
【教学重点】
掌握直线和圆的三种位置关系的性质与判定.
【教学难点】
发现隐含在图形中的两个数量d和r并加以比较.
※教学过程※
1、情境导入
问题1 同学们在海边看过日出吗？下面请同学们欣赏一段视频.
如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线.太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？由此你能得出直线和圆的位置.
问题2 如图，在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆.在纸上移动钥匙环，你能发现在移动钥匙环的过程中，它与直线l的公共点的个数的变化情况吗？
2、探索新知
通过刚才的研究，你认为直线和圆的位置关系可分为几种类型？分类的标准各是什么？
直线和圆有如下三种位置关系：
如图，直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线.
如图，直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.
如图，直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.
思考 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，在直线和圆的不同位置关系中，d与r具有怎样的大小关系？反过来，你能根据d与r的大小关系确定直线和圆的位置关系吗？
归纳总结 直线l和⊙O相交dr.
3、掌握新知
例 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC=4cm ，BC=3cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的关系？为什么？
（1）r=2cm；
（2）r=2.4cm；
（3）r=3cm.
解：过C作CD⊥AB于点D，在Rt△ABC中，
根据三角形面积公式有(cm),
CD?AB=AC?BC，∴(cm).即圆心C到AB的距离d=2.4cm.
（1）当r=2cm时，有d>r，因此⊙C和AB相离；
（2）当r=2.4cm时，有d=r,因此⊙C和AB相切；
（3）当r=3cm时，有d4、巩固练习
1.已知⊙O的直径是11cm，点O到直线a的距离是5.5cm，则⊙O与直线a的位置关系是____；直线a与⊙O的公共点个数是____.
2.已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是____.
3.如图，已知正方形ABCD的边长为a，AC与BD交于点E，过点E作FG∥AB，且分别交AD，BC于点F，G．问：以B为圆心，a为半径的圆与直线AC，FG，DC的位置关系如何？
答案：1.相切，1 2.相交
3.解：∵四边形ABCD是正方形，∴EA=EB=EC=ED，AC⊥BD，∠ABC=∠BCD=90°.
∵FG∥AB，∴BG=GC=BC=a，AF=DF=a，∠EGB=90°.在Rt△ABE中，由勾股定理，得，AE=a=BE.
i）∵BE=a，BE⊥AC，∴以B为圆心，a为半径的圆与直线AC的位置关系是相切；
ii）∵BG=a＜a，BG⊥FG，∴以B为圆心，a为半径的圆与直线FG的位置关系是相交；
iii）∵BC=a，BC⊥CD，∴以B为圆心，a为半径的圆与直线DC的位置关系是相离．
五、归纳小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？你还有哪些疑问？
※布置作业※
从教材习题24.2中选取．
※教学反思※
本节课从两个不同的方面去判定直线和圆的三种关系，让学生讨论并归纳总结常用的直线和圆位置关系的判定方法，让学生领会该判定方法的实质是看直线到圆心的距离与半径的大小.对于该判定方法，学生一般能够熟记图形，以数形结合的方法理解并记忆.
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第2课时 切线的性质和判定
※教学目标※
【知识与技能】
掌握圆的切线的判定方法和切线的性质，能够运用切线的判定方法判断一条直线是否是圆的切线，综合运用切线的判定和性质解决问题.
【过程与方法】
通过切线的判定定理及性质定理的探究，培养学生的观察能力、研究问题的能力、数学思维能力以及创新意识，充分领会数学转化思想.
【情感态度】
通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐，养成动手、动脑的习惯，并养成良好的书写习惯.
【教学重点】
运用圆的切线的性质与判定定理解决数学问题.
【教学难点】
运用圆的判定定理解决数学问题.
※教学过程※
一、情境导入
问题1 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？
问题2 砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向？
（下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．）
2、探索新知
思考1 如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？
分析：∵直线l⊥OA，而点A是⊙O的半径OA的外端点，∴直线l与⊙O只有一个交点，并且圆心O到直线l的距离是垂线段OA，即是⊙O的半径.∴直线l与⊙O相切.
归纳总结 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
符号语言：∵直线l⊥OA，且l 经过⊙O上的A点，∴直线l是⊙O的切线.
在此定理中，题设是“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切线”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线,下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：
思考2 将思考1中的问题反过来，如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
分析：∵直线l是⊙O的切线，切点为A，∴圆心O到l的距离等与半径.∴OA是圆心到直线l的距离.∴OA⊥直线l.
归纳总结 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
符号语言：∵直线l是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥直线l.
3、掌握新知
例1 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O上相切与点D.求证：AC是⊙O的切线.
分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了.而OD是的半径，因此需要证明OE=OD.
证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.
∵⊙O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB.
又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线.
∴OE=OD，即OE是⊙O的半径.
∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴AC是⊙O的切线．
例2 如图，AB为⊙O直径,C是⊙O上一点,D在AB的延长线上,
∠DCB=∠A．
（1）CD与⊙O相切吗？若相切，请证明，若不相切，请说明理由．
（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．
答案：（1）CD与⊙O相切.
理由如下：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC.∵AB是直径，∴∠ACB=90°.∴∠A+
∠OBC=90°.∵∠DCB=∠A，∠OCB=∠OBC，∴∠DCB+∠OCB=90°，即∠OCD=90°.∵OC是半径，∴CD与⊙O相切.
（2）在Rt△OCD中，∠D=30°，∴∠COD=60°.∴∠A=30°.∴∠BCD=30°.
∴BC=BD=10.∴AB=20.∴⊙O的半径为10.
4、巩固练习
1.如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB.求证：AT是⊙O的切线.
2.如图，AB是⊙O的直径，直线l1，l2是⊙O的切线，A，B是切点.l1，l2有怎样的位置关系？证明你的结论.
3.已知，O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作⊙O.求证：⊙O与AC相切.
答案：1.证明：∵AB=AT，∴∠ATB=∠ABT=45°.∴∠BAT=90°， 即AB⊥AT .∵AB是⊙O的直径，∴AT是⊙O的切线.
2.l1∥l2.证明如下：∵直线l1，l2是⊙O的切线，∴l1⊥AB，l2⊥AB，∴l1∥l2.
3.证明：过O作OE⊥AC，垂足为E.∵O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，∴OE=OD.∵OE⊥AC，∴⊙O与AC相切.
五、归纳小结
通过这堂课的学习你有什么收获？知道了哪些新知识？学到了哪些作辅助线的方法？
※布置作业※
从教材习题24.2中选取．
※教学反思※
本课主要采用“教师引导，学生探究、发现”的教学方法，培养学生的动手实践能力，逻辑推理能力，探索新知的能力，充分体现学生的主体地位.在本课的学习过程中学生主要使用探究式的学习方法.根据平面几何的特点，尽量让学生在动口说、动脑想、动手操作中获得更多的参与机会，从中学会分析、解决问题的方法.
第3课时 切线长定理
※教学目标※
【知识与技能】
理解切线长的概念，掌握切线长定理．了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念.
【过程与方法】
在折叠、发现、探究的过程中再次体现圆的轴对称美，从而培养学生的观察、分析、归纳能力.通过列方程解决问题，感受数与形的统一.
【情感态度】
通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度.
【教学重点】
切线长定理及其运用.
【教学难点】
切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题.
※教学过程※
1、复习导入
回顾切线的判定方法及切线的性质定理？
问题1 经过⊙O上一个已知点A，作已知圆的切线怎样作？能作几条？
问题2 经过圆外一点P，如何准确地作已知⊙O的切线？
2、探索新知
从上面的复习，我们可以知道，过⊙O上任一点A都可以作一条切线，并且只有一条.那么经过圆外一点P，如何准确地作已知⊙O的切线？
（连接OP，以OP为直径作⊙O′交⊙O于A，B两点，作射线PA，PB，则PA，PB为⊙O的切线，切点为A，B.）
归纳总结 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长.
切线与切线长的区别：圆的切线是直线，而切线长是一条线段长，不是直线.
探究 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B.沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
分析：连接OA和OB.
∵PA和PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP.
又OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP.
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
归纳总结 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
思考 如图是一块三角形铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？
因为三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等.所以，如图，分别作∠B，∠C的平分线BM，CN，设它们相交于点I，归纳总结 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
3、掌握新知
例1 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，
F，且AB=9，BC=14，CA=13.求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x，则AE=x，
CD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC，可得（13-x）+（9-x）=14.
解得x=4.因此AF=4，BD=5，CE=9.
例2 如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B 两点，连
接OP交⊙O于点D.若PA=4cm，PD=2cm,求半径OA的长.
解：设OA=x cm，OP=OD+PD=（x+2）cm.
∵PA=4cm,
由勾股定理，得PA2+OA2=OP2，
即42+x2=(x+2)2.
解得x=3.
所以，半径OA的长为3cm.
例3 如图，在△ABC中，O是内心，∠BOC=100°，则∠A= .
分析：∵O是内心，∴BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线.
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）.又∠BOC=120°，∴∠OBC+
∠OCB=60°∴∠ABC+∠ACB=120°.∴∠A=180°-120°=60°.
答案：60°
4、巩固练习
1.如图，△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=75°，点O是△ABC的内心.求∠BOC的度数.
2.△ABC的内切圆半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积.
答案：1.
2.解：如图，设内心为O,与内切圆的切点分别为D，E，F，连接OA，OB，OC,则S=(AB+BC+AC)r=lr.
五、归纳小结
本节课你学到了哪些知识？用到了哪些数学思想方法？应注意哪些概念之间的区别？
※布置作业※
从教材习题24.2中选取．
※教学反思※
在本节课教学中，对本课的重点学习内容能组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结。尤其是切线长的基本图形研究环节，学生能充分利用已有的知识和新课内容结合，把切线长定理和圆的对称性紧密结合，体现了本节课知识点的工具性.
