24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
※教学目标※
【知识与技能】
让学生通过自主探索来认识扇形，掌握弧长和扇形面积的计算公式，并学会运用弧长和扇形面积公式解决一些实际问题.
【过程与方法】
让学生经历弧长和扇形面积公式的推导过程，培养学生自主探索的能力；在利用弧长和扇形面积公式解题中，培养学生应用知识的能力，空间想象能力和动手画图能力，体会由一般到特殊的数学思想.
【情感态度】
通过现实生活图片的欣赏，让学生感受到美的生活离不开数学，激发学生学习数学的兴趣；通过对弧长和扇形面积公式的自主探究，让学生获得亲自参与研究探索的情感体验；通过同桌的讨论、交流和解决问题的过程，让学生更多的展示自己，建立自信，树立正确的价值观.
【教学重点】
弧长和扇形面积公式的推导.
【教学难点】
弧长和扇形面积公式的应用.
※教学过程※
一、情境导入
在田径二百米跑比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？每位运动员弯路的展直长度相同吗？
2、探索新知
1.弧长公式
思考1（1）半径为R的圆,周长是多少？（C=2πR）
（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？（360）
（3）1°圆心角所对弧长是多少？ （）
（4）若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长是多少？（）
（5）140°圆心角所对的弧长是多少？（）
探究 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示的管道的展直长度L（结果取整数）.
解：由弧长公式，可得的长(mm).
因此要求的展直长度L=2×700+1570=2970(mm).
2.扇形面积公式
如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
思考2 扇形面积的大小与哪些因素有关？
从扇形的定义可知，扇形的面积大小与扇形的半径和圆心角有关.扇形的半径越长，扇形面积越大；扇形的圆心角越大，扇形面积越大.
思考3 n°的圆心角所对的扇形面积是多少？
归纳总结 n°的圆心角所对的扇形面积=，∴扇形的面积公式为
或.
3、掌握新知
例1 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径为0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m2）.
解：连接OA，OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交于点C，连接AC.
∵OC=0.6m，DC=0.3m，
∴OD=OC-DC=0.3(m).
∴OD=DC.又AD⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC=AO=OC.
从而∠AOD=60°，∠AOB=120°.
有水部分的面积
S=S扇形OAB-S△OAB=
例2 如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径作⊙O′，⊙O的半径OC交⊙O′于点B，则与之间的关系是（ ）
A.两弧所含的度数相等 B.两弧是等弧
C.两弧的长度相等 D.弧AC的长度大
分析：设∠AOB=θ，⊙O′的半径O′A=r，则OA=2r，∠AO′B=2∠AOB=2θ，
∵的长度==，的长度==，∴两弧的长度相等．
答案：C
四、巩固练习
1.弧长相等的两段弧是等弧吗？
2.如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角是81°.这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小数点后一位）？
3.如图，正三角形ABC的边长为a，D，E，F，分别为的中点，以A，B，C三点为圆心，长为半径作圆.求图中阴影部分的面积.
答案：1.不一定.
2.根据题意,得12=，解得R=8.5.
3.连接AD.由题意,得CD=，AC=a，故AD==，则图中阴影部分的面积为×a×-3×=-=.
五、归纳小结
通过这节课的学习，你知道弧长和扇形面积公式之间有什么联系吗？你能用这些公式解决实际问题吗？
※布置作业※
从教材习题24.4中选取.
※教学反思※
本节课从复习圆周长公式入手，根据圆心角与所对弧长之间的关系，推导出了弧长公式.后又用类比的方法，推出扇形面积，两个公式的推导中，都渗透着由“特殊到一般”，再由“一般到特殊”的辩证思想，再由学生比较两个公式时，又很容易得出两者之间的关系，明确了知识间的联系.
第2课时 圆锥的侧面积和全面积
※教学目标※
【知识与技能】
掌握圆锥的特征，弄清圆锥侧面展开图中各元素与圆锥中各元素之间的对应关系；会推导、计算圆锥的侧面积和全面积.
【过程与方法】
通过对圆锥侧面积的推导，体会空间图形平面化的数学方法；发展类比和转化的数学思想；进一步培养空间观念.
【情感态度】
通过对实际问题的分析，体会数学的实用价值；在小组活动中培养合作交流能力和探究精神.
【教学重点】
1.理解圆锥侧面积和全面积的公式及其有关计算.
2.培养学生空间观念及空间图形与平面图形相互转化的思想.
【教学难点】
1.利用圆锥的侧面积和全面积的公式解决实际问题.
2.圆锥侧面展开图（扇形）中各元素与圆锥各元素之间的关系.
※教学过程※
一、情境导入
（课件出示生活中常见的圆锥的图片）圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周所成的图形.你知道圆锥各部分的名称吗？
二、探索新知
1.圆锥的相关概念
连接圆锥顶点和低面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形.
问题 圆锥有多少条母线？圆锥的母线有什么性质？
（圆锥有无数条母线，圆锥的母线长相等.）
2.圆锥的侧面积和全面积
设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为 l ，扇形的弧长为 2πr ，因此圆锥的侧面积为 ，圆锥的全面积为 .
3、掌握新知
例 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡搭建20个底面积为12m2，高为3.2m，外围高1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡 (π取3.142，结果取整数) ？
解：如图是一个蒙古包的示意图.
根据题意，下部圆柱的底面积为12m2，高h2=1.8m；上部圆锥的高h1=3.2-1.8=1.4(m）.圆柱的底面半径r=≈1.954(m），侧面积为2π×1.954×1.8≈22.10(m2）.圆锥的母线长l=≈2.404(m），侧面展开扇形的弧长为2π×1.954≈12.28(m2），圆锥的侧面积为×2.404×12.28≈14.76(m2）.因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡20×(22.10+14.76)≈738(m2）.
四、巩固练习
1.已知圆锥的高是30cm,母线长是50cm，则圆锥的侧面积是 .
2.已知圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则这个圆锥的侧面积为 cm2.
3.圆锥的底面直径为80cm.母线长为90cm，它的全面积为 .
4.扇形的半径为30,圆心角为120°用它做一个圆锥模型的侧面,这个圆锥的底面半径为 ，高为 .
答案：1.2000πcm2 2.20π 3.520πcm2 4.10，20
五、归纳小结
本节课你学到了什么知识？你有什么认识？
※布置作业※
从教材习题21.3中选取．
※教学反思※
1.在本节课从观察圆锥模型开始，通过猜想侧面展开图的形状，然后由老师具体操作验证结论的正确性，并能运用所学知识推导出圆锥的侧面积和全面积公式，培养了学生观察、猜想、探索等方面的能力.
2.本小节教材是复习圆周长公式推出弧长公式，复习圆面积公式推出扇形面积公式，是在小学基础知识上的提升，圆柱和圆锥的侧面积计算，是将立体图形转化为平面图形，通过具体操作，学生可以获得直观的感受，对于学习高中立体几何有很大的帮助.
