1.3.3 函数的最大（小）值与导数 课件（28张PPT）

课件28张PPT。1.3.3　函数的最大(小)值与导数1.理解最值的概念,了解函数的最值与极值的区别和联系.
2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).1.函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最值
一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值,并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.【做一做1】 设在区间[a,b]上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)内可导,有以下三个命题:
①若f(x)在[a,b]上有最大值,则这个最大值必是[a,b]上的极大值;
②若f(x)在[a,b]上有最小值,则这个最小值必是[a,b]上的极小值;
③若f(x)在[a,b]上有最值,则最值必在x=a或x=b处取得.
其中真命题共有(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个解析:由于函数的最值可能在区间[a,b]的端点处取得,也可能在区间[a,b]内取得,而当最值在区间端点处取得时,其最值必不是极值,因此命题①②③都不是真命题.
答案:A2.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
【做一做2】 函数f(x)=x3-3x(-1　　　　　　　　　　　　　
A.有最大值,但无最小值
B.既有最大值,也有最小值
C.既无最大值,也无最小值
D.无最大值,但有最小值解析:f'(x)=3x2-3=3(x2-1).
因为-1所以3(x2-1)<0,即f'(x)<0.
所以f(x)是(-1,1)内的减函数,f(1)答案:C1.如何理解函数的极值和最值?
剖析:(1)π极值反映的是函数在某一点附近的局部性质:如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点,那么在点x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值;最值反映的是函数在整个定义域内的性质:如果x0是函数y=f(x)的最大(小)值点,那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在定义域内的所有函数值.
(2)函数在一个闭区间上若存在最值,则最大(小)值只能有一个;而极大(小)值可能不止一个,也可能没有.如常数函数没有极值.
(3)函数的极值点不可能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点.(4)在区间I上,函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线.若函数f(x)在区间I上只有一个极值,且是极大(小)值,则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值.2.函数y=f(x)在区间(a,b)内的最值情况如何?
剖析:在区间(a,b)内,当函数f(x)的图象是一条连续的曲线时,f(x)在(a,b)内不一定有最值.常见的有以下几种情况:
如图,图①中的函数y=f(x)在(a,b)内有最大值而无最小值;
图②中的函数y=f(x)在(a,b)内有最小值而无最大值;
图③中的函数y=f(x)在(a,b)内既无最大值也无最小值;
图④中的函数y=f(x)在(a,b)内既有最大值也有最小值.题型一题型二题型三题型四?题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思求解函数在固定区间上的最值,在熟练掌握求解步骤的基础上,还需注意以下几点:
(1)对函数进行准确求导;
(2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值;
(3)在比较极值与端点函数值的大小时,有时需要利用作差或作商,甚至需要分类讨论.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四由函数的最值求参数的值
【例2】 如果f(x)=ax3-6ax2+b,那么是否存在实数a,b,使f(x)在[-1,2]上取最大值3,最小值-29?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
分析:解答本题可先求f'(x),然后确定f(x)在[-1,2]上的单调性及最值,最后建立方程组求a,b.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四所以当x=0时,f(x)取极小值,f(0)=b.
又f(2)=b-16a,f(-1)=b-7a,由于a<0,
所以f(2)>f(-1)>f(0).
所以当x=0时,f(x)取最小值,即b=-29;
当x=2时,f(x)取最大值,
即-16a-29=3,所以a=-2.
综上所述,a=2,b=3或a=-2,b=-29.反思1.用导数求函数的最值和求函数的极值方法类似,当给定区间是闭区间时,极值要和区间端点的函数值进行比较,并且要注意极值点是否在区间内.
2.当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时,可考虑用导数的方法求解.题型一题型二题型三题型四?题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四?题型一题型二题型三题型四?题型一题型二题型三题型四?题型一题型二题型三题型四反思在本例第(2)小题中,将证明不等式成立问题转化为研究一个函数的最大值问题,可以使问题变得容易.?题型一题型二题型三题型四?题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四?题型一题型二题型三题型四