人教新课标A版选修2-2第二章 推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2 反证法（29张PPT）

课件29张PPT。2.2.2　反证法1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.
2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题.1.反证法
假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.
【做一做1】 应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(　　)
①结论的否定,即假设;②原命题的条件;③公理、定理、定义等;④原命题的结论.
A.①② B.①②④
C.①②③ D.②③
解析:由反证法的定义知,应选C.
答案:C【做一做2】 否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的假设为(　　)
A.a,b,c都是奇数
B.a,b,c都是偶数
C.a,b,c中至少有两个偶数
D.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数
解析:对“恰有一个”的否定是“一个也没有或至少有两个”,故选D.
答案:D2.反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与
已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等.1.怎样理解反证法的概念?
剖析:(1)反证法不是直接去证明结论,而是先否定结论,在否定结论的基础上,运用演绎推理,导出矛盾,从而肯定结论的真实性.
(2)反证法属逻辑方法范畴,它的严谨体现在它的原理上,即“否定之否定等于肯定”.其中,第一个否定是指“否定结论(假设)”;第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”,书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”.2.反证法解题的实质是什么?
剖析:用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾,从而证明原结论正确.否定结论:对结论的反面要一一否定,不能遗漏;要注意用反证法解题,“否定结论”在推理论证中作为已知使用,导出矛盾是指在假设的前提下,逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾.3.反证法证题的步骤有哪些?
剖析:反证法的证明过程可以概括为“否定—推理—否定”,即从否定结论开始,经过正确的推理,导出逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.
用反证法证明命题“若p,则q”的过程可以用以下框图表示:
肯定条件p,否定结论q→导出逻辑矛盾→“若p,则??q”为假→“若p,则q”为真这个过程包括下面三个步骤:
(1)反设——假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真;
(2)归谬——由“反设”作为条件出发经过一系列正确的推理,得出矛盾;
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误,从而肯定原结论成立.
简单概括反证法的证明过程就是“反设→归谬→存真”.温馨提示用反证法证明数学命题,需要注意以下几点:
(1)反证法中的“反设”是应用反证法的第一步,也是关键一步.“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件.“反设”是否正确、全面,直接影响下一步的证明.做好
“反设”应明确:①正确分清题设和结论;②对结论实施正确否定;③对结论否定后,找出其所有情况.
(2)反证法的“归谬”是反证法的核心,其含义是从命题结论的题设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发,引用一系列论据进行正确推理,推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果.(3)反证法中引出矛盾的结论,不是推理本身的错误,而是开始假定的“结论的反面”是错误的,从而肯定原结论是正确的.
(4)宜用反证法证明的题型有:①一些基本命题、基本定理;②易导出与已知矛盾的命题;③“否定性”命题;④“唯一性”命题;⑤“必然性”命题;⑥“至多”“至少”类命题;⑦涉及“无限”结论的命题.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明常用反证法,通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题,然后用转化后的命题作为条件进行推理,很容易推出矛盾,从而达到证明的目的.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四用反证法证明唯一性命题
【例2】 求证:两条相交直线有且只有一个交点.
分析:根据题意写出已知、求证,再用反证法,即否定结论,把假设和已知条件结合起来去推出矛盾.
证明:已知:a与b是两条相交直线,
求证:a与b有且只有一个交点.
证明:假设结论不正确,则有两种可能:a与b无交点,或不止有一个交点.
若直线a,b无交点,题型一题型二题型三题型四则a∥b或a,b是异面直线,与已知矛盾.
若直线a,b不止有一个交点,则至少有两个交点A和B,
这样同时经过点A,B就有两条直线,
这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.
故直线a与b有且只有一个交点.
综上所述,两条相交直线有且只有一个交点.题型一题型二题型三题型四反思1.用反证法证明问题时要注意以下三点:
(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出各种可能结论,缺少任何一种可能,反证都是不完全的.
(2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.题型一题型二题型三题型四 (3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与事实矛盾等,推导出的矛盾必须是明显的.
2.注意本题反设中不能漏掉“无交点”这种情况.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 已知函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象连续不间断,且f(x)在[a,b]上单调,f(a)>0,f(b)<0.求证:函数y=f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.
证明:由于y=f(x)的图象在[a,b]上连续不间断,
又f(a)>0,f(b)<0,即f(a)·f(b)<0,
故y=f(x)在区间[a,b]上一定存在零点x0.
下面用反证法证明只有一个零点x0.
假设y=f(x)在[a,b]上还存在一个零点x1(x1≠x0),
则f(x1)=0.题型一题型二题型三题型四由函数f(x)在[a,b]上单调,且f(a)>0,f(b)<0知f(x)在[a,b]上单调递减.
若x1>x0,则f(x1)若x1f(x0),即0>0,矛盾.
因此假设不成立,即f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.题型一题型二题型三题型四用反证法证明“至多”或“至少”类命题
【例3】 已知a,b,c是互不相等的实数,求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.
分析:假设三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点→演绎推理,利用Δ≤0得出矛盾→原命题得证题型一题型二题型三题型四证明:假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点,
由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b,
得Δ1=(2b)2-4ac≤0,且Δ2=(2c)2-4ab≤0,且Δ3=(2a)2-4bc≤0.
同向不等式求和,得
4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,
所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0.
所以(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0.所以a=b=c.
这与题设a,b,c互不相等矛盾,
因此假设不成立,从而命题得证.题型一题型二题型三题型四反思1.当命题出现“至多”“至少”“唯一”等形式时,适合用反证法.
2.常见的“结论词”与“反设词”.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四