人教新课标A版选修2-2第一章 导数及其应用本章整合1（47张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版选修2-2第一章 导数及其应用本章整合1（47张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-09 10:57:02 | ||
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文档简介
课件47张PPT。本 章 整 合专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题二 利用导数确定函数的单调区间
利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一,其步骤为:
(1)确定f(x)的定义域;
(2)求导数f'(x);
(3)解不等式f'(x)>0或f'(x)<0;
(4)确定并指出函数的单调递增区间、递减区间.
特别要注意写单调区间时,相同单调性的区间之间用“和”连接或用“,”隔开,绝对不能用“∪”相连.专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题三 利用导数求函数的极值和最值
1.应用导数求函数极值的一般步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)解方程f'(x)=0的根;
(3)检验f'(x)=0的根的两侧f'(x)的符号.
若左正右负,则f(x)在此根处取得极大值;
若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值;
否则,此根不是f(x)的极值点.
2.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小值的方法与步骤:
(1)求f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将(1)求得的极值与f(a),f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个值为最小值.专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题四 利用导数证明不等式
从近几年高考题看,利用导数证明不等式这一知识点常考到,一般出现在解答题中.利用导数解决不等式问题(如证明不等式、比较大小等),其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性,而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关.因此,解决该类问题通常是构造一个函数,然后考察这个函数的单调性,结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解.其实质是这样的:
要证不等式f(x)>g(x),则构造函数φ(x)=f(x)-g(x),只需证φ(x)>0即可,由此转化成求φ(x)最小值问题,借助于导数解决.专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题五 导数的实际应用
利用导数求函数的极大(小)值,求函数在区间[a,b]上的最大(小)值或利用导数解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸,这种解决问题的方法使复杂的问题简单化,因而已逐渐成为高考的又一新热点.
1.利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法:
(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系,正确设定因变量y与自变量x,把实际问题转化为数学问题,即列出函数关系y=f(x),根据实际问题确定y=f(x)的定义域.
(2)求f'(x),令f'(x)=0,得出所有实数的解.
(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小,根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值.专题6专题1专题2专题3专题4专题52.利用导数求实际问题的最大(小)值时,应注意的问题:
(1)求实际问题的最大(小)值时,一定要符合问题的实际意义,不符合实际意义的值应舍去.
(2)在实际问题中,由f'(x)=0常常仅解到一个根,若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到,则在这个根处的函数值就是所求的最大(小)值.专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题6专题5专题六 定积分的应用
在利用定积分解决实际问题时,要注意找出被积函数和积分上、下限,用定积分求平面图形的面积是定积分的一个重要应用.
解题步骤如下:①画出图形;②确定图形范围,通过解方程组求出交点的横坐标定出积分上、下限;③确定被积函数,特别要注意分清被积函数的上、下位置;④写出平面图形面积的定积分表达式;⑤运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题61234567891234567891234567892(2016·四川高考)设直线l1,l2分别是函数f(x)= 图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,2)
C.(0,+∞) D.(1,+∞)1234567891234567893(2015·课标全国Ⅰ高考)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( )而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.
如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.
显然,当a≤0时,满足不等式g(x)0时,-x<0,
则f(-x)=ln x-3x.
故所求切线方程为y+3=-2(x-1),
即y=-2x-1.
答案y=-2x-11234567895(2016·全国甲高考)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .?1234567896(2015·课标全国Ⅱ高考)设函数f(x)=emx+x2-mx.
(1)证明:f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增;
(2)若对于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范围.
(1)证明f'(x)=m(emx-1)+2x.
若m≥0,则当x∈(-∞,0)时,emx-1≤0,f'(x)<0;
当x∈(0,+∞)时,emx-1≥0,f'(x)>0.
若m<0,则当x∈(-∞,0)时,emx-1>0,f'(x)<0;
当x∈(0,+∞)时,emx-1<0,f'(x)>0.
所以,f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增.123456789(2)解由(1)知,对任意的m,f(x)在[-1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.
所以对于任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1的充要条件是设函数g(t)=et-t-e+1,则g'(t)=et-1.
当t<0时,g'(t)<0;
当t>0时,g'(t)>0.
故g(t)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增.
又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0,故当t∈[-1,1]时,g(t)≤0.
当m∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;
当m>1时,由g(t)的单调性,知g(m)>0,即em-m>e-1;123456789当m<-1时,g(-m)>0,即e-m+m>e-1.
综上,m的取值范围是[-1,1].1234567897(2016·全国乙高考)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围;
(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.
解(1)f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).
(ⅰ)设a=0,则f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点.
(ⅱ)设a>0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.故当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,
因此f(x)在(1,+∞)单调递增.123456789故当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0;
当x∈(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0.
因此f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,
在(ln(-2a),+∞)单调递增.
又当x≤1时f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+∞).123456789?123456789当且仅当x=0时,f'(x)=0,所以f(x)在(-∞,-2),(-2,+∞)单调递增.
因此当x∈(0,+∞)时,f(x)>f(0)=-1.
所以(x-2)ex>-(x+2),(x-2)ex+x+2>0.123456789对任意a∈[0,1),f(0)+a=a-1<0,f(2)+a=a≥0.因此,存在唯一xa∈(0,2],
使得f(xa)+a=0,即g'(xa)=0.
当0当x>xa时,f(x)+a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.1234567891234567899(2016·全国丙高考)设函数f(x)=αcos 2x+(α-1)·(cos x+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A.
(1)求f'(x);
(2)求A;
(3)证明|f'(x)|≤2A.
解(1)f'(x)=-2αsin 2x-(α-1)sin x.
(2)(分类讨论)当α≥1时,
|f(x)|=|αcos 2x+(α-1)(cos x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0).因此A=3α-2.
当0<α<1时,将f(x)变形为
f(x)=2αcos2x+(α-1)cos x-1.
(构造函数)
令g(t)=2αt2+(α-1)t-1,则A是|g(t)|在[-1,1]上的最大值,123456789123456789
利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一,其步骤为:
(1)确定f(x)的定义域;
(2)求导数f'(x);
(3)解不等式f'(x)>0或f'(x)<0;
(4)确定并指出函数的单调递增区间、递减区间.
特别要注意写单调区间时,相同单调性的区间之间用“和”连接或用“,”隔开,绝对不能用“∪”相连.专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题三 利用导数求函数的极值和最值
1.应用导数求函数极值的一般步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)解方程f'(x)=0的根;
(3)检验f'(x)=0的根的两侧f'(x)的符号.
若左正右负,则f(x)在此根处取得极大值;
若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值;
否则,此根不是f(x)的极值点.
2.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小值的方法与步骤:
(1)求f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将(1)求得的极值与f(a),f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个值为最小值.专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题四 利用导数证明不等式
从近几年高考题看,利用导数证明不等式这一知识点常考到,一般出现在解答题中.利用导数解决不等式问题(如证明不等式、比较大小等),其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性,而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关.因此,解决该类问题通常是构造一个函数,然后考察这个函数的单调性,结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解.其实质是这样的:
要证不等式f(x)>g(x),则构造函数φ(x)=f(x)-g(x),只需证φ(x)>0即可,由此转化成求φ(x)最小值问题,借助于导数解决.专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题五 导数的实际应用
利用导数求函数的极大(小)值,求函数在区间[a,b]上的最大(小)值或利用导数解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸,这种解决问题的方法使复杂的问题简单化,因而已逐渐成为高考的又一新热点.
1.利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法:
(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系,正确设定因变量y与自变量x,把实际问题转化为数学问题,即列出函数关系y=f(x),根据实际问题确定y=f(x)的定义域.
(2)求f'(x),令f'(x)=0,得出所有实数的解.
(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小,根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值.专题6专题1专题2专题3专题4专题52.利用导数求实际问题的最大(小)值时,应注意的问题:
(1)求实际问题的最大(小)值时,一定要符合问题的实际意义,不符合实际意义的值应舍去.
(2)在实际问题中,由f'(x)=0常常仅解到一个根,若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到,则在这个根处的函数值就是所求的最大(小)值.专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题6专题5专题六 定积分的应用
在利用定积分解决实际问题时,要注意找出被积函数和积分上、下限,用定积分求平面图形的面积是定积分的一个重要应用.
解题步骤如下:①画出图形;②确定图形范围,通过解方程组求出交点的横坐标定出积分上、下限;③确定被积函数,特别要注意分清被积函数的上、下位置;④写出平面图形面积的定积分表达式;⑤运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题61234567891234567891234567892(2016·四川高考)设直线l1,l2分别是函数f(x)= 图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,2)
C.(0,+∞) D.(1,+∞)1234567891234567893(2015·课标全国Ⅰ高考)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( )而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.
如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.
显然,当a≤0时,满足不等式g(x)
则f(-x)=ln x-3x.
故所求切线方程为y+3=-2(x-1),
即y=-2x-1.
答案y=-2x-11234567895(2016·全国甲高考)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .?1234567896(2015·课标全国Ⅱ高考)设函数f(x)=emx+x2-mx.
(1)证明:f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增;
(2)若对于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范围.
(1)证明f'(x)=m(emx-1)+2x.
若m≥0,则当x∈(-∞,0)时,emx-1≤0,f'(x)<0;
当x∈(0,+∞)时,emx-1≥0,f'(x)>0.
若m<0,则当x∈(-∞,0)时,emx-1>0,f'(x)<0;
当x∈(0,+∞)时,emx-1<0,f'(x)>0.
所以,f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增.123456789(2)解由(1)知,对任意的m,f(x)在[-1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.
所以对于任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1的充要条件是设函数g(t)=et-t-e+1,则g'(t)=et-1.
当t<0时,g'(t)<0;
当t>0时,g'(t)>0.
故g(t)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增.
又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0,故当t∈[-1,1]时,g(t)≤0.
当m∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;
当m>1时,由g(t)的单调性,知g(m)>0,即em-m>e-1;123456789当m<-1时,g(-m)>0,即e-m+m>e-1.
综上,m的取值范围是[-1,1].1234567897(2016·全国乙高考)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围;
(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.
解(1)f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).
(ⅰ)设a=0,则f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点.
(ⅱ)设a>0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.故当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,
因此f(x)在(1,+∞)单调递增.123456789故当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0;
当x∈(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0.
因此f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,
在(ln(-2a),+∞)单调递增.
又当x≤1时f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+∞).123456789?123456789当且仅当x=0时,f'(x)=0,所以f(x)在(-∞,-2),(-2,+∞)单调递增.
因此当x∈(0,+∞)时,f(x)>f(0)=-1.
所以(x-2)ex>-(x+2),(x-2)ex+x+2>0.123456789对任意a∈[0,1),f(0)+a=a-1<0,f(2)+a=a≥0.因此,存在唯一xa∈(0,2],
使得f(xa)+a=0,即g'(xa)=0.
当0
(1)求f'(x);
(2)求A;
(3)证明|f'(x)|≤2A.
解(1)f'(x)=-2αsin 2x-(α-1)sin x.
(2)(分类讨论)当α≥1时,
|f(x)|=|αcos 2x+(α-1)(cos x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0).因此A=3α-2.
当0<α<1时,将f(x)变形为
f(x)=2αcos2x+(α-1)cos x-1.
(构造函数)
令g(t)=2αt2+(α-1)t-1,则A是|g(t)|在[-1,1]上的最大值,123456789123456789