人教新课标A版选修2-3第一章 计数原理1.3.1 二项式定理（24张PPT）

课件24张PPT。1.3　二项式定理1.3.1　二项式定理1.理解二项式定理及二项展开式的特征,掌握二项展开式的通项.
2.正确运用二项展开式展开或化简某些二项式,运用通项求某些特定项、二项式系数或项的系数.
3.二项式定理的逆用是对二项式定理考查的一个重点,对应二项式的结构特征,要寻找每一项的规律与联系,学习中应注意次数的变化及系数与组合数的联系.12归纳总结二项式(a+b)n的展开式有(n+1)项,是和的形式,各项的幂指数的规律是:
(1)各项的次数都等于二项式的幂指数n.
(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.【做一做1】 写出(a+2b)6的展开式. 122.二项展开式的通项
名师点拨1.利用二项展开式的通项可以求出展开式中任意指定的项(或系数).如常数项、有理项等.
2.(a+b)n与(b+a)n的值相同,但展开式的第k项却不一定相同.【做一做2】 (x-y)8的二项展开式中,第4项的系数为　　　　　.(用数字回答)?
答案:-561212题型一题型二题型三题型四(2)化简(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).
分析(1)可直接用二项式定理展开或先对括号内式子化简再展开.
(2)分析式子的结构形式,逆用二项式定理求解.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思1.形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开,对于形式较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式(a+b)n的展开式是正确解答与二项式定理有关的问题的前提.
2.逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点,a的指数是从高到低,b的指数是从低到高,a,b的指数和都相等,如果项的系数是正负相间,那么是(a-b)n的形式.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四(1)求n;
(2)求含x2的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
分析利用展开式的通项公式,求出当x的次数为0时n的值,再求解第(2)问、第(3)问.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思1.求二项展开式的特定项常见题型及处理措施:
(2)求常数项.对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项).
(3)求有理项.对于有理数,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解.
(4)求整式项.求二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.
提醒:在实际求解时,若通项中含有根式,宜把根式化为分数指数幂,以减少计算中的错误.
2.常见问题:求常数项(未知量的指数为零),求有理项(项的指数为整数),求某一项.注意某项的系数与某项的二项式系数的区别.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四答案:(1)7　(2)1　(3)2 题型一题型二题型三题型四【例3】 (1)用二项式定理证明1110-1能被100整除;
(2)求9192被100除所得的余数.
分析利用二项式定理证明整除问题的关键是判断所证式子与除数之间的联系,要掌握好对式子的拆分,如本例的第(1)小题,可以利用1110=(10+1)10的展开式进行证明,第(2)小题则可利用9192=(100-9)92的展开式,或利用(90+1)92的展开式进行求解.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四解法二
前91项均能被100整除,剩下两项和为92×90+1=8 281,显然8 281除以100所得余数为81.
反思利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题,通常需将底数化成两数的和或差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 (1)试求2 02060除以7所得的余数;
(2)求证:32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四正解:由展开式通项得T4= =-10×2x2=-20x2,则第4项的系数为-20.
答案:D
反思求某一项的二项式系数或某项的系数,主要是利用通项求出相应的项,但要注意某一项的二项式系数与系数的区别.