人教新课标A版选修2-3第二章 随机变量及其分布2.3.2 离散型随机变量的方差（27张PPT）

课件27张PPT。2.3.2　离散型随机变量的方差1.理解离散型随机变量的方差以及标准差的意义,会根据分布列求方差和标准差.
2.掌握方差的性质,两点分布、二项分布的方差的求解公式,会利用公式求它们的方差.121.离散型随机变量的方差
(1)设离散型随机变量X的分布列为
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.
(3)D(aX+b)=a2D(X).12知识拓展离散型随机变量的分布列、均值和方差都是从整体上描述随机变量的.离散型随机变量的分布列反映了随机变量取各个值的可能性的大小,均值则反映了随机变量取值的平均水平.在实际问题中仅靠均值还不能完善地说明随机变量的特征,还必须研究变量取值的集中与分散状况,即要研究其偏离平均值的离散程度,这就需要求出方差.12【做一做1-1】 已知ξ的分布列为
则D(ξ)等于(　　)
A.0.7 B.0.61 C.-0.3 D.0
解析:E(ξ)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,则D(ξ)=(-1+0.3)2×0.5+(0+0.3)2×0.3+(1+0.3)2×0.2=0.245+0.027+0.338=0.61.
答案:B
【做一做1-2】 若随机变量ξ的方差D(ξ)=1,则D(2ξ+1)的值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:D(2ξ+1)=4D(ξ)=4.
答案:C12【做一做1-3】 已知随机变量X的分布列如下表所示,则X的方差为　　　　　.?
解析:由条件知,x=0.5.
E(X)=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,
所以D(X)=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+(5-3.2)2×0.5=3.56.
答案:3.56122.两点分布、二项分布的方差
(1)若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p).
(2)若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p).求离散型随机变量的方差的步骤是什么
剖析求离散型随机变量的方差常分为以下三步:①列出随机变量的分布列;②求出随机变量的均值;③求出随机变量的方差.
【示例】 编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设学生编号与其所坐座位编号相同的学生的个数是X,求D(X).题型一题型二题型三题型四【例1】 袋中有20个大小、形状、质地相同的球,其中标记0的有10个,标记n的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.
(1)求ξ的分布列、均值和方差;
(2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求a,b的值.
分析(1)根据题意,由古典概型概率公式求出分布列,再利用均值、方差的公式求解.
(2)运用E(η)=aE(ξ)+b,D(η)=a2D(ξ)求a,b.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列,而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果.同时还要能正确求出每一个结果出现的概率.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 袋中有大小、形状、质地相同的3个球,编号分别为1,2,3.从袋中不放回地每次取出1个球,若取到的球的编号为奇数,则取球停止.用X表示所有被取到的球的编号之和,则X的方差为　　　.?题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四解:由题意,得0.1+a+2a+0.1+0.2=1,0.1+0.2+0.4+0.1+b=1,解得a=0.2,b=0.2.
则XA,XB的分布列分别为题型一题型二题型三题型四先比较它们的均值:
E(XA)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,
E(XB)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125,
所以,它们的均值相同,再比较它们的方差:
D(XA)=(110-125)2×0.1+(120-125)2×0.2+(125-125)2×0.4+(130-125)2×0.1+(135-125)2×0.2=50,
D(XB)=(100-125)2×0.1+(115-125)2×0.2+(125-125)2×0.4+(130-125)2×0.1+(145-125)2×0.2=165.
因为D(XA)反思在解决此类实际问题时,应先比较均值,均值较大的质量好.若均值相等,再比较方差,方差较小的数据较稳定,质量较好.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η,且ξ,η的分布列分别为
(1)求a,b的值;
(2)计算ξ,η的均值与方差,并依此分析甲、乙的技术状况.
分析本题考查分布列性质,均值与方差的应用,比较技术水平、机器性能、产品质量,通常要同时考虑均值和方差.题型一题型二题型三题型四解:(1)由离散型随机变量分布列的性质,得a+0.1+0.6=1,解得a=0.3;
同理0.3+b+0.3=1,解得b=0.4.
(2)E(ξ)=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3,
E(η)=1×0.3+2×0.4+3×0.3=2;
D(ξ)=(1-2.3)2×0.3+(2-2.3)2×0.1+(3-2.3)2×0.6=0.81,
D(η)=(1-2)2×0.3+(2-2)2×0.4+(3-2)2×0.3=0.6.
由于E(ξ)>E(η),说明在一次射击中,甲的平均得分比乙高,但D(ξ)>D(η),说明甲得分的稳定性不如乙,因此甲、乙两人技术水平都不够全面,各有优势与劣势.题型一题型二题型三题型四【例3】 A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根据市场分析,X1和X2的分布列分别为
(1)在A,B两个项目上各投资100万元,Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2);
(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目,(100-x)万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取得最小值.题型一题型二题型三题型四分析本题已知随机变量X1,X2的分布列,从而可以求出Y1,Y2的分布列,再利用求方差的公式和性质解决即可.
解:(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为
E(Y1)=5×0.8+10×0.2=6,
D(Y1)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4;
E(Y2)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,
D(Y2)=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思解均值与方差的综合问题时需要注意:
(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差三个是紧密联系的,一般在试题中综合在一起考查,其解题的关键是求出分布列;
(2)在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性质,简化概率计算;
(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一些复杂的计算.若随机变量X服从两点分布、超几何分布或二项分布可直接利用对应公式求解.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图.
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,均值E(X)及方差D(X).题型一题型二题型三题型四分析(1)先由频率分布直方图计算出日销售量不低于100和日销售量低于50的概率.再由3天中连续2天日销售量不低于100,可分为第1,2天或第2,3天日销售量不低于100两种情况,从而由独立事件概率公式求值.
(2)由题意知随机变量X服从二项分布,则可列出分布列及求出均值、方差.
解:(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.
因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,
P(A2)=0.003×50=0.15,
P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四易错点:对方差性质掌握不准确致错
【例4】 已知随机变量X的分布列为
求E(X),D(X),D(-2X-3).
错解:E(X)=0×0.2+1×0.2+2×a+3×0.2+4×0.1=1.2+2a,
D(X)=[0-(1.2+2a)]2×0.2+[1-(1.2+2a)]2×0.2+[2-(1.2+2a)]2×a+[3-(1.2+2a)]2×0.2+[4-(1.2+2a)]2×0.1=(1.2+2a)2×0.2+(0.2+2a)2×0.2+(0.8-2a)2×a+(1.8-2a)2×0.2+(2.8-2a)2×0.1,D(-2X-3)=-2D(X).
错因分析忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械地套用公式,且对D(ax+b)=a2D(x)应用错误.题型一题型二题型三题型四正解:∵0.2+0.2+a+0.2+0.1=1,
∴a=0.3.
∴E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.
D(X)=(0-1.8)2×0.2+(1-1.8)2×0.2+(2-1.8)2×0.3+(3-1.8)2×0.2+(4-1.8)2×0.1=1.56.
D(-2X-3)=4D(X)=6.24.
反思在求均值、方差时,要注意对随机变量分布列的性质及均值、方差性质的应用.