人教版八年级上册13.3 等腰三角形——用分类讨论思想解等腰三角形讲义(附答案)

用分类讨论思想解等腰三角形
一、　顶角和底角的分类讨论
思想方法：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．21世纪教育网版权所有
例1：等腰三角形是有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？
解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，
故一腰上的高与底边的夹角为26°；
②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°.
故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.

例2：如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，求该等腰三角形各内角的度数．
解：设∠A，∠B，∠C是该等腰三角形的三个内角，且∠A＝∠B.设∠A＝x°，则∠B＝2x°.
①若∠B是顶角，则∠A，∠C是底角，于是有∠C＝∠A＝x°
.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴x＋2x＋x＝180.解得x＝45°，故∠A＝∠C＝45，∠B＝90°
.②若∠B是底角，因为∠A≠∠B，所以∠A是顶角，∠C＝∠B＝2x°.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴2x＋2x＋x＝180.解得x＝36，故∠A＝36°，∠B＝∠C＝72°.
综上所述，等腰三角形的各内角为45°、45°、90°或36°、72°、72°.

二、　腰长和底长的分类讨论
思想方法：在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”，哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论．判定的依据是：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边．21
例3：若一个等腰三角形的三边长均满足(x－2)(x－4)＝0，求此等腰三角形的周长．
解：.据题意，得x＝2、x＝4都满足(x－2)(x－4)＝0.
从而可知等腰三角形的三边长有四种可能情况：2、2、4或2、4、4或2、2、2
或4、4、4.
其中，根据三角形的三边关系知，以2、2、4为边不能构成三角形，而其他三种情况均符合条件．因此，所求等腰三角形的周长为6或10或12.

例4：若等腰三角形一腰上的中线分周长为9 cm和12 cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长．
解：如图，由于条件中中线分周长的两部分，并没有指明哪一部分是9 cm、哪一部分是12 cm，
因此，应有两种情形：
若设这个等腰三角形的腰长为x cm，底边长为y cm，于是根据题意，得或
解得或即当腰长是6 cm时，底边长是9 cm；当腰长是8 cm时，底边长是5 cm.　

三、　锐角、直角和钝角三角形的分类讨论
思想方法：根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角和钝角三角形．不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同，比如锐角三角形腰上的高在这个三角形的内部；直角三角形腰上的高在顶角的顶点上；钝角三角形腰上的高在这个三角形的外部，因此在解答时需要分类讨论．
例5：已知△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交成50°的角，求底角的度数．
解：由题意可判断该三角形不可能是直角三角形、可能是锐角三角形或钝角三角形，故分两种情况讨论：①如图1，垂直平分线DE与腰AC相交，且∠AED＝50°，则∠A＝40°，所以∠B＝∠C＝70°；
②如图2，当AB的垂直平分线DE与腰AC的反向延长线相交，且∠AED＝50°，则∠EAD＝40°，∠BAC＝140°，所以两底角∠B＝∠C＝20°.综上可知，等腰三角形的底角为70°或20°。

例6：一个等腰三角形一边上的高等于另一边的一半，则等腰三角形底角的度数是多少？
解：设∠A为顶角，则∠ABC、∠ACB为底角．
(1)若∠A为锐角，如图1，作BD⊥AC于点D，根据题意有BD＝AB，∠BDA＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝∠ACB＝75°；
(2)若∠A为直角，根据题意“等腰三角形一边上的高等于另一边的一半”，这种情况无解；
(3)若∠A为钝角，有三种情况：
①如图2，作AD⊥BC于点D，根据题意有：AD＝AB，∠ADB＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°；
②如图3，作BD⊥CA的延长线于点D，根据题意有：BD＝BC，∠ADB＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°；③如图4，作BD⊥CA的延长线于点D，根据题意有：BD＝AB，∠ADB＝90°，∴∠BAD＝30°，∠ABC＝∠ACB＝15°.综上所述，等腰三角形底角的度数是75°、30°或15°.　


例7：AC为等腰△ABD的腰BD上的高，且∠CAB＝60°.求这个三角形各内角的度数．
解：.①如图1，高AC在△ABD的内部，因为∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，所以∠B＝30°.因为BA＝BD，所以∠BAD＝∠D＝75°；
②如图2，高AC在△ABD的外部，因为∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，所以∠ABC＝30°，所以∠ABD＝150°.因为BA＝BD，所以∠BAD＝∠D＝15°；
③如图3，高AC在△ABD的外部，因为∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，所以∠B＝30°.因为DA＝DB，所以∠BAD＝∠B＝30°，所以∠ADB＝120°.