4.3.3余角和补角 课件
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人教版 七上
4.3.3余角和补角
2.如图，O是直线AB上一点，求∠BOC的度数.
1.填空：周角= ,平角= ,直角= .
O
A
B
C
D
(3)若∠COD=90?,则∠AOC+∠BOD= .
(1)∠BOC= + .
(2)∠AOD= + .
360?
180?
90?
∠COD
∠BOD
∠AOC
∠COD
90?
复习回顾
如果两个角的和等于90?（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角.
∟
1
符号语言：
∵∠1+∠2=90°,
∴∠1和∠2互余.
2
探究新知
如果∠1+∠2=90°，我们可以说∠1与∠2互余，或者可以说∠1是∠2的余角，还可以说∠2是∠1的余角.
如果两个角的和等于180?（平角），就说这两个角互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角.
1
符号语言：
∵∠1+∠2=180°,
∴∠1和∠2互补.
2
探究新知
如果∠1+∠2=180°，我们可以说∠1与∠2互补，或者可以说∠1是∠2的补角，还可以说∠2是∠1的补角.
1. ∠1=20°，∠2=40°，∠3=70°，∠4=50°，
∠5=140°， ∠6=110°，∠7=130°，∠8=160°.
其中互为余角的有： ；
互为补角的有： .
∠1和∠3；
∠2和∠4
∠1和∠8；
∠2和∠5；
∠3和∠6；
∠4和∠5
练一练
∠1 ∠1的余角 ∠1的补角
15?
30?
45?
60?
75?
x
75?
165?
60?
150?
45?
135?
30?
120?
15?
105?
90?-x
180?-x
练一练
1.互余、互补都是反映两个角的数量关系，与角的位置无关.互余、互补的角是成对出现的.
2.互余的两角之和等于90°，其中任何一角都小于90°；互补的两角之和等于180°，其中的两角不可能都小于90°，也不可能都大于90.只有锐角才有余角
3.任何一个锐角的余角都小于它的补角
归纳
如图，O是直线AB上的一点，OC⊥ AB，垂足为O，则∠BOD的余角是 ，补角是 . ∠AOD的补角是 . ∠AOD的补角的余角是 .
A
B
C
D
O
∠COD
∠AOD
∠BOD
∠COD
练一练
若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.
解：设这个角是X度，则它的补角是（180-X），余角是（90-X），根据题意得：
180°-x=4(90°-x)
解得：
x=60°
这个角的度数是60°.
练一练
∴ ∠1+ ∠2= ∠2+ ∠3 = 90°
∴ ∠1= ∠3，
余角的性质：
∴ ∠2=∠4
A
B
C
N
O
M
1
2
3
4
如图，∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，求证：∠1=∠3.
如图,∠1与∠2互余,∠3与∠4互余,如果∠1=∠3,求证：∠2=∠4.
解： ∵ ∠1与∠2互余，∠2与∠3互余
A
B
C
N
O
M
1
2
3
4
解： ∵ ∠1与∠2互余,∠3与∠4互余
∴ ∠1+ ∠2= ∠3+ ∠4 = 90°
∵ ∠1= ∠3
余角的性质：同角（等角）的余角相等.
探究新知
补角的性质：
补角的性质：同角或等角的补角相等
∴ ∠1+ ∠2= ∠3+ ∠4 = 180°
∵ ∠1= ∠3，
如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，求证：∠2=∠4
2
1
3
4
证明：∵ ∠1与∠2互补，∠3与∠4互补
∴ ∠2=∠4
探究新知
例3 如图，点A，O，B在同一条直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和 ∠BOC，图中哪些角互为余角？
探究新知
解：因为A，O，B在同一直线上, 所以∠AOC和∠BOC互为补角.
又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
所以∠COD+∠COE＝ ∠AOC+ ∠BOC
＝ (∠AOC+∠BOC)
＝90°
所以， ∠COD 和∠COE互为余角，
同理， ∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和∠COE ，∠COD 和∠BOE也互为余角.
探究新知
A
B
C
N
O
M
1
2
3
4
∠AOC= ∠BOC= ∠MON= 90°
解：∠1= ∠3, ∠2= ∠4
理由如下：
∠1+ ∠2= ∠2+ ∠3 = 90°
∠1= ∠3，
同理可得∠2= ∠4
1.若OC⊥∠AB,垂足为点O ,且∠MON= 90° ,你能发现图中有哪些角相等吗？试说明理由。
练一练
(2)若直线AB与CD相交于点O ,你能发现图中有哪些角相等吗？试说明理由。
∠1= ∠3, ∠2= ∠4
A
B
C
O
D
1
2
3
4
∠1+ ∠2= ∠2+ ∠3 = 180°
∠1= ∠3，
同理可得∠2= ∠4.
练一练
例4 如图（1），货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60?的方向上,同时,在它北偏东40?、南偏西10?、西北(即北偏西45?)方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线.
O
A
南
北
西
东
60?
（1）
O
A
南
北
西
东
60?
（2）
画法 以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东和北之间.射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向.
同理可得，射线OC的方向就是南偏西10°，即货轮C所在的方向.
射线OD的方向就是西北方向（北偏西45°），即海岛D所在的方向.
40°
10°
B
C
D
45°
方位角的定义：
以正北、正南的方向为基准，描述运动的方向，如图OA北偏东30°，OB为南偏东50°，这样的表示方向的角叫做方位角.
30°
50°
O
A
B
探究新知
如图，射线OA表示北偏东 ，射线OB表示 ，射线OC表示 ，也叫 ，射线OD表示 .
O
A
B
60°
50°
C
D
45°
60°
南偏东50°
西北方向
北偏西45°
正西方向
练一练
1.若一个角为50°，则它的余角等于 .
A. 50° B. 40° C. 130° D. 60°
2.∠1和∠2互余，且∠1- ∠2= 30°，则∠1和∠2的度数分别为 .
60°、 30°
B
课堂练习
3.如果∠1+∠2=180°，而∠2与∠3互补，那么∠1与∠3的数量关系是________．
4.若一个角的3倍等于这个角的补角，则这个角等于________．
∠1=∠3
45°
5.如图，射线OA表示北偏东30°，画出表示下列方向的射线.
O
A
30°
C
40°
(1).北偏西40°.
(3).南偏东30°.
(2).西南方向.
北偏西
南偏东
西南方向
D
45°
30°
B
6.如图，若直线AB与直线CD交于点O，OA平分∠COF，OE⊥CD．
(1)写出图中与∠EOB互余的角；
(2)若∠AOF=30°，求∠BOE和∠DOF的度数．
A
B
C
D
F
E
（1）解：∵OA平分∠COF， ∴∠COA=∠FOA=∠BOD，
∵OE⊥CD，
∴∠EOB+∠BOD=90°，
∴∠COA+∠EOB=90°，∠FOA+∠EOB=90°，
∴与∠EOB互余的角是：∠COA，∠FOA，∠BOD.
（2）解：∵∠AOF=30°，由（1）知∠COA=∠FOA=∠BOD=30°， ∴∠DOF=180°﹣∠FOA﹣∠BOD=120°，
∵OE⊥CD，
∴∠BOE=90°﹣30°=60° .
1.余角和补角的定义及其性质定理.
2.方位角的定义.
3.运用方程解决有关余角和补角的问题.
课堂小结
探究新知
第139页
第6题、第8题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
人教版 七上
4.3.3余角和补角
2.如图，O是直线AB上一点，求∠BOC的度数.
1.填空：周角= ,平角= ,直角= .
O
A
B
C
D
(3)若∠COD=90?,则∠AOC+∠BOD= .
(1)∠BOC= + .
(2)∠AOD= + .
360?
180?
90?
∠COD
∠BOD
∠AOC
∠COD
90?
复习回顾
如果两个角的和等于90?（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角.
∟
1
符号语言：
∵∠1+∠2=90°,
∴∠1和∠2互余.
2
探究新知
如果∠1+∠2=90°，我们可以说∠1与∠2互余，或者可以说∠1是∠2的余角，还可以说∠2是∠1的余角.
如果两个角的和等于180?（平角），就说这两个角互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角.
1
符号语言：
∵∠1+∠2=180°,
∴∠1和∠2互补.
2
探究新知
如果∠1+∠2=180°，我们可以说∠1与∠2互补，或者可以说∠1是∠2的补角，还可以说∠2是∠1的补角.
1. ∠1=20°，∠2=40°，∠3=70°，∠4=50°，
∠5=140°， ∠6=110°，∠7=130°，∠8=160°.
其中互为余角的有： ；
互为补角的有： .
∠1和∠3；
∠2和∠4
∠1和∠8；
∠2和∠5；
∠3和∠6；
∠4和∠5
练一练
∠1 ∠1的余角 ∠1的补角
15?
30?
45?
60?
75?
x
75?
165?
60?
150?
45?
135?
30?
120?
15?
105?
90?-x
180?-x
练一练
1.互余、互补都是反映两个角的数量关系，与角的位置无关.互余、互补的角是成对出现的.
2.互余的两角之和等于90°，其中任何一角都小于90°；互补的两角之和等于180°，其中的两角不可能都小于90°，也不可能都大于90.只有锐角才有余角
3.任何一个锐角的余角都小于它的补角
归纳
如图，O是直线AB上的一点，OC⊥ AB，垂足为O，则∠BOD的余角是 ，补角是 . ∠AOD的补角是 . ∠AOD的补角的余角是 .
A
B
C
D
O
∠COD
∠AOD
∠BOD
∠COD
练一练
若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.
解：设这个角是X度，则它的补角是（180-X），余角是（90-X），根据题意得：
180°-x=4(90°-x)
解得：
x=60°
这个角的度数是60°.
练一练
∴ ∠1+ ∠2= ∠2+ ∠3 = 90°
∴ ∠1= ∠3，
余角的性质：
∴ ∠2=∠4
A
B
C
N
O
M
1
2
3
4
如图，∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，求证：∠1=∠3.
如图,∠1与∠2互余,∠3与∠4互余,如果∠1=∠3,求证：∠2=∠4.
解： ∵ ∠1与∠2互余，∠2与∠3互余
A
B
C
N
O
M
1
2
3
4
解： ∵ ∠1与∠2互余,∠3与∠4互余
∴ ∠1+ ∠2= ∠3+ ∠4 = 90°
∵ ∠1= ∠3
余角的性质：同角（等角）的余角相等.
探究新知
补角的性质：
补角的性质：同角或等角的补角相等
∴ ∠1+ ∠2= ∠3+ ∠4 = 180°
∵ ∠1= ∠3，
如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，求证：∠2=∠4
2
1
3
4
证明：∵ ∠1与∠2互补，∠3与∠4互补
∴ ∠2=∠4
探究新知
例3 如图，点A，O，B在同一条直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和 ∠BOC，图中哪些角互为余角？
探究新知
解：因为A，O，B在同一直线上, 所以∠AOC和∠BOC互为补角.
又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
所以∠COD+∠COE＝ ∠AOC+ ∠BOC
＝ (∠AOC+∠BOC)
＝90°
所以， ∠COD 和∠COE互为余角，
同理， ∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和∠COE ，∠COD 和∠BOE也互为余角.
探究新知
A
B
C
N
O
M
1
2
3
4
∠AOC= ∠BOC= ∠MON= 90°
解：∠1= ∠3, ∠2= ∠4
理由如下：
∠1+ ∠2= ∠2+ ∠3 = 90°
∠1= ∠3，
同理可得∠2= ∠4
1.若OC⊥∠AB,垂足为点O ,且∠MON= 90° ,你能发现图中有哪些角相等吗？试说明理由。
练一练
(2)若直线AB与CD相交于点O ,你能发现图中有哪些角相等吗？试说明理由。
∠1= ∠3, ∠2= ∠4
A
B
C
O
D
1
2
3
4
∠1+ ∠2= ∠2+ ∠3 = 180°
∠1= ∠3，
同理可得∠2= ∠4.
练一练
例4 如图（1），货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60?的方向上,同时,在它北偏东40?、南偏西10?、西北(即北偏西45?)方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线.
O
A
南
北
西
东
60?
（1）
O
A
南
北
西
东
60?
（2）
画法 以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东和北之间.射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向.
同理可得，射线OC的方向就是南偏西10°，即货轮C所在的方向.
射线OD的方向就是西北方向（北偏西45°），即海岛D所在的方向.
40°
10°
B
C
D
45°
方位角的定义：
以正北、正南的方向为基准，描述运动的方向，如图OA北偏东30°，OB为南偏东50°，这样的表示方向的角叫做方位角.
30°
50°
O
A
B
探究新知
如图，射线OA表示北偏东 ，射线OB表示 ，射线OC表示 ，也叫 ，射线OD表示 .
O
A
B
60°
50°
C
D
45°
60°
南偏东50°
西北方向
北偏西45°
正西方向
练一练
1.若一个角为50°，则它的余角等于 .
A. 50° B. 40° C. 130° D. 60°
2.∠1和∠2互余，且∠1- ∠2= 30°，则∠1和∠2的度数分别为 .
60°、 30°
B
课堂练习
3.如果∠1+∠2=180°，而∠2与∠3互补，那么∠1与∠3的数量关系是________．
4.若一个角的3倍等于这个角的补角，则这个角等于________．
∠1=∠3
45°
5.如图，射线OA表示北偏东30°，画出表示下列方向的射线.
O
A
30°
C
40°
(1).北偏西40°.
(3).南偏东30°.
(2).西南方向.
北偏西
南偏东
西南方向
D
45°
30°
B
6.如图，若直线AB与直线CD交于点O，OA平分∠COF，OE⊥CD．
(1)写出图中与∠EOB互余的角；
(2)若∠AOF=30°，求∠BOE和∠DOF的度数．
A
B
C
D
F
E
（1）解：∵OA平分∠COF， ∴∠COA=∠FOA=∠BOD，
∵OE⊥CD，
∴∠EOB+∠BOD=90°，
∴∠COA+∠EOB=90°，∠FOA+∠EOB=90°，
∴与∠EOB互余的角是：∠COA，∠FOA，∠BOD.
（2）解：∵∠AOF=30°，由（1）知∠COA=∠FOA=∠BOD=30°， ∴∠DOF=180°﹣∠FOA﹣∠BOD=120°，
∵OE⊥CD，
∴∠BOE=90°﹣30°=60° .
1.余角和补角的定义及其性质定理.
2.方位角的定义.
3.运用方程解决有关余角和补角的问题.
课堂小结
探究新知
第139页
第6题、第8题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php