人教版八年级上数学教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：55【基础】分式方程含答案

分式方程的解法及应用（基础）

【学习目标】
1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．
2. 会列出分式方程解简单的应用问题．
【要点梳理】
【 分式方程的解法及应用 知识要点】
要点一、分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
要点二、分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
要点三、解分式方程产生增根的原因
方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.
产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.
要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.
（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.
要点四、分式方程的应用
分式方程的应用主要就是列方程解应用题.
列分式方程解应用题按下列步骤进行：
（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；
（2）设未知数；
（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
（4）解这个分式方程；
（5）验根，检验是否是增根；
（6）写出答案.
【典型例题】
类型一、判别分式方程
1、下列方程中，是分式方程的是（ ）．
A． B．
C． D．，（，为非零常数）
【答案】B；
【解析】A、C两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数；D项中的方程尽管含有分母，但分母中不含未知数，由定义知这三个方程都不是分式方程，只有B项中的方程符合分式方程的定义．
【总结升华】要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数．
类型二、解分式方程
2、 解分式方程（1）；（2）．
【答案与解析】
解：（1），
将方程两边同乘，得
．
解方程，得．
检验：将代入，得．
∴ 是原方程的解．
（2），
方程两边同乘以，得．
解这个方程，得．
检验：把代入最简公分母，得2×5×1＝10≠0．
∴ 原方程的解是．
【总结升华】将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项．特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根．
举一反三：
【变式】解方程：．
【答案】
解：，
方程两边都乘，得，
解这个方程，得，
检验：当时，，
∴ 是增根，
∴ 原方程无解．
类型三、分式方程的增根
3、（2019春?安岳县期中）若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值．
【思路点拨】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【答案与解析】
解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得
2（x+2）+mx=3（x﹣2）
∵最简公分母为（x+2）（x﹣2），
∴原方程增根为x=±2，
∴把x=2代入整式方程，得m=﹣4．
把x=﹣2代入整式方程，得m=6．
综上，可知m=﹣4或6．
【总结升华】增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
举一反三：
【变式】如果方程有增根，那么增根是________．
【答案】；
提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分母或可得．所以增根是．
类型四、分式方程的应用
4、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?
【思路点拨】本题的等量关系为：甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．
【答案与解析】
解：设甲班每小时种棵树，则乙班每小时种棵树．
由题意可得，解这个方程，得．
经检验是原方程的根且符合题意．
所以(棵)．
答：甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树．
【总结升华】解此题的关键是设出未知数后，用含的分式表示甲、乙两班种树所用的时间．
举一反三：
【变式】（2019?淮安）王师傅检修一条长600米的自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修管道长度是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成任务，王师傅原计划每小时检修管道多少米？
【答案】
解：设原计划每小时检修管道x米．
由题意，得．
解得 ．
经检验，是原方程的解．且符合题意．
答：原计划每小时检修管道50米．
【巩固练习】
一.选择题
1．下列关于的方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．解分式方程，可得结果( )．
A. B. C. D.无解
3．要使的值和的值互为倒数，则的值为( )．
A.0 B.－1 C. D.1
4．已知，若用含的代数式表示，则以下结果正确的是( )．
A. B. C. D.
5．（2019?周口校级一模）若关于的分式方程有增根，则m的值是（　　）
A. B. C. D. 或
6．（汉阳区期末）一项工程需在规定日期完成，如果甲队独做，就要超规定日期1天，如果乙队单独做，要超过规定日期4天，现在由甲、乙两队共做3天，剩下工程由乙队单独做，刚好在规定日期完成，则规定日期为（　　）
　 A． 6天 B． 8天 C． 10天 D．7.5天
二.填空题
7. 当＝______时，分式与的值互为相反数．
8．仓库贮存水果吨，原计划每天供应市场吨，若每天多供应2吨，则要少供应______天．
9．（2019?齐河县二模）分式方程的解为　 　．
10．当＝______时，关于的方程的根是1．
11．若方程有增根，则增根是______．
12．关于的方程的解是负数，则的取值范围为____________．
三.解答题
13.（2019?贺州）解分式方程：=﹣．
14. 甲、乙两地相距50，A骑自行车，B乘汽车，同时从甲城出发去乙城．已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，B中途休息了0.5小时还比A早到2小时，求自行车和汽车的速度．
15.有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】C；
【解析】C选项中分母不含有未知数，故不是分式方程.
2. 【答案】D；
【解析】是原方程的增根.
3. 【答案】B；
【解析】由题意，化简得：解得.
4. 【答案】C；
【解析】由题意，化简得：，所以选C.
5. 【答案】C；
【解析】把x=2代入整式方程：m﹣x﹣1=3x﹣6，解得：m=3.
6. 【答案】B；
【解析】解：设工作总量为1，规定日期为x天，则若单独做，甲队需x+1天，乙队需x+4天，根据题意列方程得：
3（+）+=1，
解方程可得x=8，
经检验x=8是分式方程的解，
故选B．
二.填空题
7. 【答案】18；
【解析】，解得.
8. 【答案】；
【解析】原计划能供应天，现在能供应天，则少供应天.
9. 【答案】x=﹣2；
【解析】解：去分母得：x（x+1）+1=（x+1）（x﹣1），
去括号，得：x2+x+1=x2﹣1，
移项、合并同类项，得：x=﹣2，
检验得（x+1）（x﹣1）=3≠0，
所以方程的解为：x=﹣2，
故答案为：x=﹣2．
10.【答案】；
【解析】将代入原方程，得，解得.
11.【答案】；
【解析】原方程化为：，解得，经检验是增根.
12.【答案】且a≠0；
【解析】原方程化为，解得.x≠-1，解得a≠0.
三.解答题
13.【解析】
解：原方程可化为：=﹣，
两边同时乘以（2x+1）（2x﹣1）得：x+1=3（2x﹣1）﹣2（2x+1），
x+1=6x﹣3﹣4x﹣2，
解得：x=6．
经检验：x=6是原分式方程的解．
∴原方程的解是x=6．
14.【解析】
解：设自行车的速度为，汽车的速度为，
由题意，，
解方程得：

经检验，是原方程的根，
.所以自行车的速度为12，汽车的速度是30.
答：自行车的速度为12，汽车的速度是30.
15.【解析】
解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，
则：．
解方程得：．
经检验：是原方程的根．
所以个位上的数字为：＝3＋1＝4．
所以这个两位数是：3×10＋4＝34．
答：这个两位数是34．