6.4.1 极差、方差和标准差学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学八年级上册同步学案
第六章　数据的分析
4　数据的离散程度
第1课时　极差、方差和标准差
要 点 讲 解
要点一　极差
1. 定义：极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.
2. 极差的单位与数据的单位一致.
3. 极差是刻画数据离散程度的一个统计量，极差表示的是最大数据与最小数据的“距离”，这个“距离”越大表明这组数据的离散程度也越大，“距离”越小表明这组数据的离散程度也越小.
经典例题1　计算下面各组数据的极差.
(1)－5，6，4，0，1，7，5.
(2)11，12，13，14，15，16.
解析：根据极差的定义计算最大值与最小值的差.
解：(1)这组数据的最大值为7，最小值为－5，所以7－(－5)＝12，即这组数据的极差为12.
(2)这组数据的最大值为16，最小值为11，所以16－11＝5，即这组数据的极差为5.
要点二　方差和标准差
1. 方差：
(1)定义：在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方和的平均数，叫做这组数据的方差，用s2表示.
(2)计算公式：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].
2. 标准差：
(1)定义：标准差是衡量一组数据稳定性的另一个重要的量，它等于方差的算术平方根.
(2)计算公式：s＝.
(3)方差、标准差是衡量一组数据波动大小的量.方差、标准差越大，数据波动越大；方差、标准差越小，数据波动越小，这组数据就越稳定.
(4)方差的单位是原数据单位的平方，标准差的单位与原数据单位一致.
经典例题2　数据98，99，100，101，102的方差为________.
解析1：因为＝(98＋99＋100＋101＋102)＝100，所以s2＝[(98－100)2＋(99－100)2＋…＋(102－100)2]＝2.
解析2：选取一个适当的数a＝100可得一组新数据：－2，－1，0，1，2.
因为′＝(－2－1＋0＋1＋2)＝0，所以s′2＝[(－2－0)2＋(－1－0)2＋(0－0)2＋(1－0)2＋(2－0)2]＝2.所以原数据方差为s2＝2.
答案：2
点拨：当一组数据较大时，可以同时减去一个适当的数，使原数据变小，但方差不变.若一组数据的每个数据都变为原来的k倍，则所得的一组新数据的方差将变为原来数据方差的k2倍.
易错易混警示　在实例中分析数据的波动情况所用的方法不准确
在平均数相等或相接近的情况下，方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小，数据的波动越小，说明数据越稳定.
经典例题3　甲、乙两台机床同时加工直径为100mm的零件，为了检验产品的质量，从产品中各抽出6件进行测量，测得数据(单位：mm)如下：
甲机床：99　100　98　100　100　103
乙机床：99　100　102　99　100　100
试说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求.
解：甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100(mm)，乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100(mm)；
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋…＋(103－100)2]＝，s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋…＋(100－100)2]＝1.因为甲＝乙，s＞s，所以乙机床加工的这种零件更符合要求.
点拨：本题易出现只根据平均数的大小来判断产品是否符合要求，这样不符合实际，而应结合数据整体的波动情况来考虑.
当 堂 检 测
1. 一组数据2，3，2，3，5的极差是(　　)
A. 6 B. 3 C. 1.2 D. 2
2. 一个运动员连续射击5次，所得环数分别是8，6，10，7，9，则这个运动员本次射击所得环数的标准差为(　　)
A. 2 B. C. 0 D.
3. 甲、乙两个样本，甲样本的方差是0.105，乙样本的方差是0.055，那么样本(　　)
A. 甲的波动比乙大 B. 乙的波动比甲大
C. 甲、乙的波动一样大 D. 甲、乙的波动无法确定
4. 在一次定点投篮训练中，五位同学投中的个数分别为3，4，4，6，8，则关于这组数据说法不正确的是(　　)
A. 平均数是5 B. 中位数是6
C. 众数是4 D. 方差是3.2
5. 数据1，－1，0，4的方差是 .
6. 绝对值不超过3的所有整数组成的一组数据的极差是 ，方差是 .
7. 有一组数据如上：2，3，a，5，6，它们的平均数是4，则这组数据的标准差是 .
8. 在射击比赛中，某运动员6次射击成绩(单位：环)为：7，8，10，8，9，6，计算这组数据的方差为 .
9. 某学期的五次数学测验中，小强和小华的成绩如下(单位：分)：
小强：88，90，92，88，92；小华：86，94，92，88，90.
分别求出他们的成绩的平均数和方差，并由此判断谁的成绩比较稳定.
10. 甲、乙两名同学最近四次的数学测验成绩(单位：分)如下表：
第一次
第二次
第三次
第四次
甲
75
70
85
90
乙
85
82
75
78
(1)根据表中数据，分别求出甲、乙两名同学这四次数学测验成绩的平均数；
(2)根据表中数据，分别求出甲、乙两名同学这四次数学测验成绩的方差，你认为哪位同学的成绩较稳定？
当堂检测参考答案
1. B 2. B 3. A 4. B
5. 3.5
6. 6 4
7.
8.
9. 解：小强平均成绩为90分，方差为3.2.小华的平均成绩为90分，方差为8.故小强的成绩比较稳定.
10. 解：(1)甲＝×(75＋70＋85＋90)＝80(分)，乙＝×(85＋82＋75＋78)＝80(分).　
(2)经计算，甲、乙两位同学这四次数学测验成绩的方差分别为s＝62.5，s＝14.5，甲的方差大于乙的方差，所以乙的成绩较稳定.