第44讲 机械振动和振动图象(原卷版)
1、理解简谐振动过程中回复力、位移、速度、加速度等各物理量的变化规律、振动图象的物理意义，
2、知道简谐运动、单摆及周期公式、受迫振动
一、受迫振动和共振
1．受迫振动
(1)概念：系统在 的外力(驱动力)作用下的振动。
(2)振动特征：受迫振动的频率等于 的频率，与系统的固有频率无关。
2．共振
(1)概念：驱动力的频率等于系统的 时，受迫振动的振幅最大的现象。
(2)共振条件：驱动力的频率等于系统的 。
(3)特征：共振时 最大。
(4)共振曲线：如图12-1-1所示。
二、简谐运动
1．概念
质点的位移与时间的关系遵从 的规律，即它的振动图象(x?t图象)是一条 。
2．简谐运动的表达式
(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与 的方向相反。
(2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢，(ωt＋φ0)代表简谐运动的 ，φ0叫做初相位。
3．回复力
(1)定义：使物体返回到 的力。
(2)方向：时刻指向 。
(3)来源：振动物体所受的沿 的合力。
4．简谐运动的图象
振动图象表示的是简谐运动的质点 的位移与时间的关系，是一条正弦(或余弦)曲线，如图12-1-2所示。
图12-1-2
(2)由振动图象可以确定质点振动的 和周期，以及任意时刻质点的位移、振动方向和加速度的方向。如图12-1-2所示，t1时刻质点P的运动方向沿x轴负方向。
三、单摆
1．单摆的振动可视为简谐运动的条件：最大摆角小于10°。
2．单摆做简谐运动的周期公式：T＝2π。
3．单摆做简谐运动的周期(或频率)跟 及摆球质量无关，摆长l指悬点到摆球重心的距离，g为单摆所在处的重力加速度。
1. [多选]水平弹簧振子，每隔时间t，振子的位移总是大小和方向都相同，每隔的时间，振子的速度总是大小相等、方向相反，则有( )
A．弹簧振子的周期可能小于
B．每隔的时间，振子的加速度总是相同的
C．每隔的时间，振子的动能总是相同的
D．每隔的时间，弹簧的长度总是相同的
2．[多选]一个质点在平衡位置O点附近做机械振动。若从O点开始计时，经过3 s质点第一次经过M点(如图所示)；再继续运动，又经过2 s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点还需要的时间是( )
A．8 s B．4 s C．14 s D. s
3．某振动系统的固有频率为f0，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为f。若驱动力的振幅保持不变，下列说法正确的是( )
A．当fB．当f>f0时，该振动系统的振幅随f减小而增大
C．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0
D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f
4．[多选] 如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt) m。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小g＝10 m/s2。以下判断正确的是( )
A．h＝1.7 m B．简谐运动的周期是0.8 s
C．0.6 s内物块运动的路程是0.2 m D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
5．如图所示，物体A和B用轻绳相连，挂在轻弹簧下静止不动，A的质量为m，B的质量为M，弹簧的劲度系数为k。当连接A、B的绳突然断开后，物体A将在竖直方向上做简谐运动，则A振动的振幅为( )
A. B.
C. D.
6. [多选] 一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点。t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝ s时刻x＝0.1 m；t＝4 s时刻x＝0.1 m。该振子的振幅和周期可能为( )
A．0.1 m， s B．0.1 m,8 s
C．0.2 m， s D．0.2 m,8 s
要点一 简谐运动的特征
1．动力学特征
F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
2．运动学特征
简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反。
3．运动的周期性特征
相隔T或nT的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。
4．对称性特征
(1)如图12-1-7所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
图12-1-7
(2)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。
(3)振子往复运动过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。
(4)相隔或(n为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。
5．能量特征
振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。
要点二 简谐运动的图象
1．图象信息
(1)由图象可以看出质点振动的振幅、周期。
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。
(3)可以确定某时刻质点的回复力、加速度和速度的方向。
①回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度的方向在图象上总是指向t轴；
②速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，若下一时刻位移增加，速度方向就是远离t轴；若下一时刻位移减小，速度方向就是指向t轴；
图12-1-9
2．图象特征
(1)简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，是正弦曲线还是余弦曲线取决于质点初始时刻的位置。
(2)图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹。
(3)任一时刻图线上过该点切线的斜率数值表示该时刻振子的速度大小。正负表示速度的方向，正时沿x轴正方向，负时沿x轴负方向。
要点三 单摆周期公式的应用
1．受力特征：重力和细线的拉力
(1)回复力：如图12-1-12所示摆球重力沿切线方向上的分力，F回＝－mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
(2)向心力：如图12-1-12所示细线的拉力F和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力，F向＝F－mgcos θ。
①当摆球在最高点时，F向＝＝0，F＝mgcos θ；
②当摆球在最低点时，F向＝，F向最大，F＝mg＋m 。
2．周期公式：T＝2π
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离，要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在圆弧的圆心。
(2)g为当地重力加速度，只要测出单摆的摆长l、周期T，就可以根据g＝4π2，求出当地的重力加速度g。
要点一 简谐运动的特征
例1 如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是( )
A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向左
B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度完全相同
D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐减小
【答案】A
【解析】t＝0.8 s时弹簧振子处于平衡位置，并正在向左运动，故速度方向向左，A正确；由题中图象得振子的位移x＝12sint cm，故t＝0.2 s时，x＝6 cm，故B错误；t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的位移方向相反，由a＝知，加速度方向相反，C错误；t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的位移逐渐变小，故振子逐渐靠近平衡位置，其速度逐渐变大，故D错误。
针对训练1. 做简谐运动的物体，当它每次经过同一位置时，可能不同的物理量是( )
A．位移 B．速度 C．加速度 D．回复力
要点二 简谐运动的图象
例2、弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v。
(1)求弹簧振子振动周期T；
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.0 s内通过的路程；
(3)若B、C之间的距离为25 cm，从平衡位置计时，写出弹簧振子位移表达式，并画出弹簧振子的振动图象。
【答案】 (1)1.0 s (2)200 cm (3)x＝12.5sin2πt(cm) 图象见解析图
【解析】(1)弹簧振子简谐运动示意图如图所示。由对称性可得：T＝0.5×2 s＝1.0 s。
(2)若B、C之间距离为25 cm，则振幅A＝×25 cm＝12.5 cm，振子4.0 s内通过的路程s＝×4×12.5 cm＝200 cm。
(3)根据x＝Asinωt，A＝12.5 cm，ω＝＝2π rad/s
得x＝12.5sin2πt(cm)。振动图象为：
针对训练2. 某个质点的简谐运动图象如图所示，求振动的振幅和周期。
图12-1-11
要点三 单摆周期公式的应用
例3、如图所示，长度为l的轻绳上端固定在O点，下端系一小球(小球可以看成质点)。在O点正下方，距O点处的P点固定一颗小钉子。现将小球拉到点A处，轻绳被拉直，然后由静止释放小球。点B是小球运动的最低位置，点C(图中未标出)是小球能够到达的左方最高位置。已知点A与点B之间的高度差为h，h?l。A、B、P、O在同一竖直平面内。当地的重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是( )
A．点C与点B高度差小于h B．点C与点B高度差等于h
C．小球摆动的周期等于 D．小球摆动的周期等于
【答案】BC
【解析】由机械能守恒定律可知，点C与点B高度差等于h，选项A错误，B正确；由单摆周期公式可知，小球摆动的周期等于π＋π＝，选项D错误，C正确。
针对训练3. 做简谐振动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的1/2，则单摆振动的 ( )
A．频率、振幅都不变 B．频率、振幅都改变
C．频率不变、振幅改变 D．频率改变、振幅不变
1．跳绳是一种健身运动，某运动员一分钟跳180次，假定在每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的，为了算出该运动员跳起的最大高度，我们（ ）
A．不能将跳绳中的运动员视为质点 B．可以将运动中的绳子视为质点
C．将跳绳运动看作简谐振动 D．将在空中的运动员看作只受重力的作用
2．下列运动中可以看作机械振动的是（ ）
A．声带发声 B．音叉被移动
C．火车沿斜坡行驶 D．秋风中树叶落下
3．做简谐运动的物体，当其位移为负时，以下说法正确的是（ ）
A．速度一定为正值，加速度一定为负值
B．速度一定为负值，加速度一定为正值
C．速度不一定为负值，加速度不一定为正值
D．速度不一定为负值，加速度一定为正值
4．一质点做简谐运动，则下列说法中正确的是（ ）
A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
B．质点通过平衡位置时，速度为零，加速度最大
C．质点每次通过平衡位置时，加速度不一定相同，速度也不一定相同
D．质点每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
5．下列振动中是简谐运动的是：（ ）
A．手拍乒乓球的运动
B．思考中的人来回走动
C．轻质弹簧的下端悬挂一个钢球，上端固定组成的振动系统
D．从高处下落到光滑水泥地面上的小钢球的运动
6．简谐运动属于（ ）
A．匀变速运动 B．匀速直线运动
C．变加速运动 D．匀加速直线运动
7．关于简谐运动，以下说法正确的是（ ）
A．物体通过平衡位置时，合外力一定为零
B．振子做减速运动时，加速度在减小
C．振子向平衡位置运动时，加速度方向与速度方向相反
D．振子远离平衡位置运动时，加速度方向与速度方向相反
8. 如图所示，一弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间沿x轴做简谐运动，B、C两点间的距离为30cm。在t＝0时刻，振子从O、B两点间的P点以速度v向B点运动。在t＝0.4s时刻，振子速度第一次变为﹣v．在t＝0.6时刻，振子速度第二次变为﹣v．求：
（1）弹簧振子的周期，并写出振子的位移表达式；
（2）从t＝0时刻开始，4s内振子经过的路程；
（3）与经过P点时的回复力大小相等且加速度正在减小的时刻。
课时检测
一、选择题(每小题10分，共70分)
1．关于简谐运动的位移、速度和加速度的关系，下列哪些说法正确（ ）
A．位移减小时，加速度增大，速度增大
B．位移方向总跟加速度的方向相反，跟速度方向相同
C．物体运动方向指向平衡位置时，速度方向跟位移方向相反；背向平衡位置时，速度方向跟位移方向相同
D．物体朝左运动时，加速度方向跟速度方向相同；朝右运动时，加速度的方向跟速度的方向相反
2．弹簧振子在做简谐运动时，若某一过程中振子的速率在减小，则此时振子的（ ）
A．位移可能在减小 B．速度与位移方向一定相反
C．回复力一定在增大 D．加速度与速度方向可能相同
3．做简谐运动的单摆，摆长为0.9m，t＝0时刻摆球从左端最大位移A处由静止释放，O为平衡位置，B为右端最大位移处，则t＝2s时，摆球正在（ ）
A．从A→O，速度增大 B．从O→B，速度减小
C．从B→O，速度增大 D．从O→A，速度减小
4．一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图象如图所示，由图可知（ ）
A．质点振动的频率是4Hz，振幅是2cm B．0～3s内，质点通过的路程为6cm
C．1s末质点运动速度为0 D．t＝3s时，质点的振幅为零
5．如图为同一实验中甲、乙两个单摆的振动图象，从图象可知甲、乙摆长之比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：1 D．2：3
6．某弹簧振子沿x轴做简谐运动的位移﹣时间图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．t＝1s时，振子的速度为零，加速度沿x轴负向且最大
B．t＝2s时，振子的速度和加速度都沿x轴正向，加速度最大
C．t＝3s时，振子的速度为零，加速度沿x轴负向且最大
D．t＝4s时，振子的速度和加速度都沿x轴负向，加速度最大
7．如图所示是在同一地点甲乙两个单摆的振动图象，下列说法正确的是（ ）
A．甲乙两个单摆的振幅之比是1：3 B．甲乙两个单摆的周期之比是1：2
C．甲乙两个单摆的摆长之比是4：1 D．甲乙两个单摆的振动的最大加速度之比是1：4
二、计算题(共30分)
8．一质点做简谐运动，其位移与时间的关系如图所示。
（1）在t＝1.5×10﹣2s到t＝2×10﹣2s的振动过程中，质点的回复力、速度、动能、势能如何变化？
（2）在t＝0到t＝8.5×10﹣2s时间内，质点的路程、位移各多大？
9．如图所示为一弹簧振子的振动图象，求：
（1）该弹簧振子振动的振幅、周期各是多少；
（2）该弹簧振子简谐运动的表达式；
10．一水平弹簧振子做简谐运动，其位移和时间关系如图所示。
（1）求振子的振幅、周期各为多大？
（2）从t＝0到t＝8.5×10﹣2s的时间内，振子通过的路程为多大？
（3）从t＝2.0×10﹣2s时振子的位移。
第44讲 机械振动和振动图象(解析版)
1、理解简谐振动过程中回复力、位移、速度、加速度等各物理量的变化规律、振动图象的物理意义，
2、知道简谐运动、单摆及周期公式、受迫振动
一、受迫振动和共振
1．受迫振动
(1)概念：系统在周期性的外力(驱动力)作用下的振动。
(2)振动特征：受迫振动的频率等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关。
2．共振
(1)概念：驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大的现象。
(2)共振条件：驱动力的频率等于系统的固有频率。
(3)特征：共振时振幅最大。
(4)共振曲线：如图12-1-1所示。
二、简谐运动
1．概念
质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x?t图象)是一条正弦曲线。
2．简谐运动的表达式
(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
(2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢，(ωt＋φ0)代表简谐运动的相位，φ0叫做初相位。
3．回复力
(1)定义：使物体返回到平衡位置的力。
(2)方向：时刻指向平衡位置。
(3)来源：振动物体所受的沿振动方向的合力。
4．简谐运动的图象
振动图象表示的是简谐运动的质点偏离平衡位置的位移与时间的关系，是一条正弦(或余弦)曲线，如图12-1-2所示。
图12-1-2
(2)由振动图象可以确定质点振动的振幅和周期，以及任意时刻质点的位移、振动方向和加速度的方向。如图12-1-2所示，t1时刻质点P的运动方向沿x轴负方向。
三、单摆
1．单摆的振动可视为简谐运动的条件：最大摆角小于10°。
2．单摆做简谐运动的周期公式：T＝2π。
3．单摆做简谐运动的周期(或频率)跟振幅及摆球质量无关，摆长l指悬点到摆球重心的距离，g为单摆所在处的重力加速度。
1. [多选]水平弹簧振子，每隔时间t，振子的位移总是大小和方向都相同，每隔的时间，振子的速度总是大小相等、方向相反，则有( )
A．弹簧振子的周期可能小于
B．每隔的时间，振子的加速度总是相同的
C．每隔的时间，振子的动能总是相同的
D．每隔的时间，弹簧的长度总是相同的
【答案】AC
【解析】水平弹簧振子每隔时间t，振子的位移总是大小和方向都相同，说明时间t为周期的整数倍，每隔时间，振子的速度总是大小相等、方向相反，说明是半个周期的奇数倍，故t为周期的奇数倍，即t＝(2n＋1)T，其中(n＝0,1,2,3…)，故T＝，当n＝1时，周期T＝<，故A选项正确；每隔时间，振子的速度总是大小相等、方向相反，根据a＝－，振子的加速度总是大小相等，方向相反，故B选项错误；每隔时间，振子的速度总是大小相等、方向相反，故动能相同，故C选项正确；每隔时间，如果振子处于平衡位置，则弹簧的长度相同；如果振子位于平衡位置两侧，则弹簧的长度不同。故D选项错误。
2．[多选]一个质点在平衡位置O点附近做机械振动。若从O点开始计时，经过3 s质点第一次经过M点(如图所示)；再继续运动，又经过2 s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点还需要的时间是( )
A．8 s B．4 s C．14 s D. s
【答案】CD
【解析】设题图中a、b两点为质点振动过程的最大位移处，若开始计时时刻，质点从O点向右运动，O→M过程历时3 s，M→b→M运动过程历时2 s，显然，＝4 s，T＝16 s。质点第三次经过M点还需要的时间Δt3＝(T－2) s＝(16－2) s＝14 s，故选项C正确。
若开始计时时刻，质点从O点向左运动，O→a→O→M运动过程历时3 s，M→b→M运动过程历时2 s，显然，＋＝4 s，T＝ s。质点第三次经过M点还需要的时间Δt3′＝(T－2) s＝ s＝ s，故选项D正确。
3．某振动系统的固有频率为f0，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为f。若驱动力的振幅保持不变，下列说法正确的是( )
A．当fB．当f>f0时，该振动系统的振幅随f减小而增大
C．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0
D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f
【答案】BD
【解析】由共振曲线可知：当驱动力的频率f等于固有频率f0时受迫振动的振幅最大，二者不等时驱动力的频率越接近固有频率时，受迫振动的振幅越大，当f4．[多选] 如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt) m。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小g＝10 m/s2。以下判断正确的是( )
A．h＝1.7 m B．简谐运动的周期是0.8 s
C．0.6 s内物块运动的路程是0.2 m D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
【答案】AB
【解析】由小物块的运动方程可知，＝2.5π，T＝0.8 s，故B正确。0.6 s内物块运动了个周期，故路程应为0.3 m，C错误。t＝0.4 s时物块运动了半个周期，正向下运动，与小球运动方向相同，故D错误。t＝0.6 s时，物块的位移y＝－0.1 m，小球下落距离H＝gt2＝1.8 m，由题图可知，h＝H＋y＝1.7 m，故A正确。
5．如图所示，物体A和B用轻绳相连，挂在轻弹簧下静止不动，A的质量为m，B的质量为M，弹簧的劲度系数为k。当连接A、B的绳突然断开后，物体A将在竖直方向上做简谐运动，则A振动的振幅为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、B静止时弹簧被拉长，形变量为x1，根据胡克定律得出kx1＝(M＋m)g，得出x1＝，A物体做简谐运动的平衡位置是回复力为零的位置，弹簧的弹力等于物体A的重力，此时弹簧的伸长量为x2，根据胡克定律kx2＝mg可以得出x2＝，由初始位置的弹簧伸长量减去平衡位置的弹簧伸长量就是简谐运动的振幅，故振幅A＝x1－x2＝，A选项正确，其他选项错误。
6. [多选] 一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点。t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝ s时刻x＝0.1 m；t＝4 s时刻x＝0.1 m。该振子的振幅和周期可能为( )
A．0.1 m， s B．0.1 m,8 s
C．0.2 m， s D．0.2 m,8 s
【答案】ACD
【解析】若振子的振幅为0.1 m，(s)＝T，则周期最大值为 s，A项正确，B项错误，若振子的振幅为0.2 m，由简谐运动的对称性可知，当振子由x＝－0.1 m处运动到负向最大位移处再反向运动到x＝0.1 m处，再经n个周期时所用时间为 s，如图①，则T＝(s)，所以周期的最大值为 s，且t＝4 s时刻x＝0.1 m，故C项正确；当振子由x＝－0.1 m经平衡位置运动到x＝0.1 m处，再经n个周期时所用时间为 s，如图②，则T＝(s)，所以此时周期的最大值为8 s，且t＝4 s时，x＝0.1 m，故D项正确。
要点一 简谐运动的特征
1．动力学特征
F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
2．运动学特征
简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反。
3．运动的周期性特征
相隔T或nT的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。
4．对称性特征
(1)如图12-1-7所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
图12-1-7
(2)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。
(3)振子往复运动过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。
(4)相隔或(n为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。
5．能量特征
振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。
要点二 简谐运动的图象
1．图象信息
(1)由图象可以看出质点振动的振幅、周期。
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。
(3)可以确定某时刻质点的回复力、加速度和速度的方向。
①回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度的方向在图象上总是指向t轴；
②速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，若下一时刻位移增加，速度方向就是远离t轴；若下一时刻位移减小，速度方向就是指向t轴；
图12-1-9
2．图象特征
(1)简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，是正弦曲线还是余弦曲线取决于质点初始时刻的位置。
(2)图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹。
(3)任一时刻图线上过该点切线的斜率数值表示该时刻振子的速度大小。正负表示速度的方向，正时沿x轴正方向，负时沿x轴负方向。
要点三 单摆周期公式的应用
1．受力特征：重力和细线的拉力
(1)回复力：如图12-1-12所示摆球重力沿切线方向上的分力，F回＝－mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
(2)向心力：如图12-1-12所示细线的拉力F和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力，F向＝F－mgcos θ。
①当摆球在最高点时，F向＝＝0，F＝mgcos θ；
②当摆球在最低点时，F向＝，F向最大，F＝mg＋m 。
2．周期公式：T＝2π
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离，要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在圆弧的圆心。
(2)g为当地重力加速度，只要测出单摆的摆长l、周期T，就可以根据g＝4π2，求出当地的重力加速度g。
要点一 简谐运动的特征
例1 如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是( )
A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向左
B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度完全相同
D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐减小
【答案】A
【解析】t＝0.8 s时弹簧振子处于平衡位置，并正在向左运动，故速度方向向左，A正确；由题中图象得振子的位移x＝12sint cm，故t＝0.2 s时，x＝6 cm，故B错误；t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的位移方向相反，由a＝知，加速度方向相反，C错误；t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的位移逐渐变小，故振子逐渐靠近平衡位置，其速度逐渐变大，故D错误。
针对训练1. 做简谐运动的物体，当它每次经过同一位置时，可能不同的物理量是( )
A．位移 B．速度 C．加速度 D．回复力
【答案】B
【解析】在简谐振动中的位移是指从平衡位置到所在位置的有向线段，它每次经过同样的位置，故位移相同；而回复力与位移成正比、方向相反，故回复力也相同；由牛顿第二定律可知加速度也相同；而速度是矢量，有方向，每次过同一位置时速度方向可能相同，可能相反，所以速度可能不同。故选B。
要点二 简谐运动的图象
例2、弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v。
(1)求弹簧振子振动周期T；
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.0 s内通过的路程；
(3)若B、C之间的距离为25 cm，从平衡位置计时，写出弹簧振子位移表达式，并画出弹簧振子的振动图象。
【答案】 (1)1.0 s (2)200 cm (3)x＝12.5sin2πt(cm) 图象见解析图
【解析】(1)弹簧振子简谐运动示意图如图所示。由对称性可得：T＝0.5×2 s＝1.0 s。
(2)若B、C之间距离为25 cm，则振幅A＝×25 cm＝12.5 cm，振子4.0 s内通过的路程s＝×4×12.5 cm＝200 cm。
(3)根据x＝Asinωt，A＝12.5 cm，ω＝＝2π rad/s
得x＝12.5sin2πt(cm)。振动图象为：
针对训练2. 某个质点的简谐运动图象如图所示，求振动的振幅和周期。
【答案】A
【解析】由图读出振幅A＝10 cm，
简谐运动方程x＝Asin，
代入数据－10＝10sin，得T＝8 s。
要点三 单摆周期公式的应用
例3、如图所示，长度为l的轻绳上端固定在O点，下端系一小球(小球可以看成质点)。在O点正下方，距O点处的P点固定一颗小钉子。现将小球拉到点A处，轻绳被拉直，然后由静止释放小球。点B是小球运动的最低位置，点C(图中未标出)是小球能够到达的左方最高位置。已知点A与点B之间的高度差为h，h?l。A、B、P、O在同一竖直平面内。当地的重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是( )
A．点C与点B高度差小于h B．点C与点B高度差等于h
C．小球摆动的周期等于 D．小球摆动的周期等于
【答案】BC
【解析】由机械能守恒定律可知，点C与点B高度差等于h，选项A错误，B正确；由单摆周期公式可知，小球摆动的周期等于π＋π＝，选项D错误，C正确。
针对训练3. 做简谐振动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的1/2，则单摆振动的 ( )
A．频率、振幅都不变 B．频率、振幅都改变
C．频率不变、振幅改变 D．频率改变、振幅不变
【答案】C
【解析】由单摆周期公式T＝2π知，周期只与l、g有关，与m和v无关，周期不变，频率不变。改变质量前，设摆球运动的最低点与最高点的高度差为h，最低点速度为v，则mgh＝mv2；质量改变后，4mgh′＝×4m×2，可知h′≠h，振幅改变，故选C。
1．跳绳是一种健身运动，某运动员一分钟跳180次，假定在每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的，为了算出该运动员跳起的最大高度，我们（ ）
A．不能将跳绳中的运动员视为质点 B．可以将运动中的绳子视为质点
C．将跳绳运动看作简谐振动 D．将在空中的运动员看作只受重力的作用
【答案】D
【解析】A、在对运动员进行研究时，只研究运动员上下的运动，可以把运动员当作质点。B、绳子在运动的过程中要考虑其形状可能对运动员产生的影响，所以不能看作质点。C、由于运动员在跳绳的过程中脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的，该时间内运动员看作不动，所以不能将跳绳运动看作简谐振动。D、运动员跳绳的过程中向上、向下运动的速度都比较小，受到的空气的阻力可以忽略不计，所以可以将在空中的运动员看作只受重力的作用。
2．下列运动中可以看作机械振动的是（ ）
A．声带发声 B．音叉被移动
C．火车沿斜坡行驶 D．秋风中树叶落下
【答案】A
【解析】A、根据机械振动的定义：物体在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，通常简称为振动；声带带的振动发出声音是在其平衡位置附近的振动。
B、音叉被移动、火车沿斜坡行驶都是单方向的运动，不是在其平衡位置附近的振动。D、秋风中树叶落下不是在其平衡位置附近作往复运动。
3．做简谐运动的物体，当其位移为负时，以下说法正确的是（ ）
A．速度一定为正值，加速度一定为负值
B．速度一定为负值，加速度一定为正值
C．速度不一定为负值，加速度不一定为正值
D．速度不一定为负值，加速度一定为正值
【答案】D
【解析】若位移为负，由a＝﹣ 可知加速度a一定为正，因为振子每次通过同一位置时，速度可能在两种不同的方向，所以速度可正可负；
4．一质点做简谐运动，则下列说法中正确的是（ ）
A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
B．质点通过平衡位置时，速度为零，加速度最大
C．质点每次通过平衡位置时，加速度不一定相同，速度也不一定相同
D．质点每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
【答案】D
【解析】A、若位移为负值，由a＝﹣，可知加速度一定为正值，而速度有两种可能的方向，所以速度不一定为正值。B、质点通过平衡位置时，速度最大，加速度为零。
C、质点每次通过平衡位置时，位移相同，加速度一定相同，而速度不一定相同，。
D、质点每次通过同一位置时，位移相同，加速度一定相同，因为速度有两种可能的方向，所以速度不一定相同。
5．下列振动中是简谐运动的是（ ）
A．手拍乒乓球的运动
B．思考中的人来回走动
C．轻质弹簧的下端悬挂一个钢球，上端固定组成的振动系统
D．从高处下落到光滑水泥地面上的小钢球的运动
【答案】C
【解析】A、手拍乒乓球的运动和思考中的人来回走动没有规律，不是简谐运动；
C、轻质弹簧的下端悬挂一个钢球，上端固定组成的振动系统，钢球以受力平衡处为平衡位置上下做简谐运动；D、从高处下落到光滑水泥地面上的小钢球的运动过程为自由落体，不是简谐运动，；
6．简谐运动属于（ ）
A．匀变速运动 B．匀速直线运动
C．变加速运动 D．匀加速直线运动
【答案】C
【解析】根据简谐运动的特征：a＝﹣，可知物体的加速度大小和方向随位移的变化而变化，位移作周期性变化，加速度也作周期性变化，所以简谐运动是变加速运动。
7．关于简谐运动，以下说法正确的是（ ）
A．物体通过平衡位置时，合外力一定为零
B．振子做减速运动时，加速度在减小
C．振子向平衡位置运动时，加速度方向与速度方向相反
D．振子远离平衡位置运动时，加速度方向与速度方向相反
【答案】D
【解析】A、弹簧振子做简谐运动时，回复力为F＝﹣kx，当振子通过平衡位置时，位移x＝0，则回复力F＝0，但物体受到的合外力不一定等于0，如单摆在最低点受到的合外力提供向心力B、振子做减速运动时，正离开平衡位置，位移在增大，由a＝﹣可知，加速度在增。C、振子向平衡位置运动时，加速度方向指向平衡位置，速度也指向平衡位置，两者方向相同D、振子远离平衡位置运动时，加速度指向平衡位置，速度方向离开平衡位置，两者方向相反。
8. 如图所示，一弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间沿x轴做简谐运动，B、C两点间的距离为30cm。在t＝0时刻，振子从O、B两点间的P点以速度v向B点运动。在t＝0.4s时刻，振子速度第一次变为﹣v．在t＝0.6时刻，振子速度第二次变为﹣v．求：
（1）弹簧振子的周期，并写出振子的位移表达式；
（2）从t＝0时刻开始，4s内振子经过的路程；
（3）与经过P点时的回复力大小相等且加速度正在减小的时刻。
【答案】（1）x＝15sin（t+）（cm）；（2）195cm；（3）t＝0.4+n×＝（0.6n+0.4）s（n＝0、1、2、3……）。
【解析】（1）由对称性可知，＝0.1+0.2
解得：T＝1.2s
振幅A＝＝15cm
由于t＝0及t＝0.4s振子的位移相同而速度等大反向，故
初相位为：φ＝
角频率为：ω＝＝rad/s
所以振子的位移表达式为：x＝15sin（t+）（cm）
（2）4s内周期数为：＝3+
令t＝＝0.4s，代入位移表达式解得：x＝7.5cm
所以振子的路程l＝12A+2（A﹣x）＝195cm
（3）与经过P点时的回复力大小相等且加速度正在减小的时刻为：
t＝0.4+n×＝（0.6n+0.4）s（n＝0、1、2、3……）
课时检测
一、选择题(每小题10分，共70分)
1．关于简谐运动的位移、速度和加速度的关系，下列哪些说法正确（ ）
A．位移减小时，加速度增大，速度增大
B．位移方向总跟加速度的方向相反，跟速度方向相同
C．物体运动方向指向平衡位置时，速度方向跟位移方向相反；背向平衡位置时，速度方向跟位移方向相同
D．物体朝左运动时，加速度方向跟速度方向相同；朝右运动时，加速度的方向跟速度的方向相反
【答案】C
【解析】A、位移增大时，加速度a＝﹣增大，但物体做减速运动，速度减小；
BC、加速度a＝﹣，负号表示加速度方向与位移方向总相反；靠近平衡位置是加速，位移方向与速度方向相反；
D、加速度的方向总是与物体的位移方向相反。
2．弹簧振子在做简谐运动时，若某一过程中振子的速率在减小，则此时振子的（ ）
A．位移可能在减小 B．速度与位移方向一定相反
C．回复力一定在增大 D．加速度与速度方向可能相同
【答案】C
【解析】A、振子的速率在减小，则动能减小、势能增加，故振子必定从平衡位置向最大位移处运动，振子的位移在增大；
B、由A分析知，振子从平衡位置向最大位移运动，速度与位移同方向；
C、回复力的大小与位移大小成正比，故回复力的数值一定增大；
D、振子从平衡位置向最大位移运动，速度与位移同方向，而加速度的方向始终与位移的方向相反，所以加速度与速度方向相反；
3．做简谐运动的单摆，摆长为0.9m，t＝0时刻摆球从左端最大位移A处由静止释放，O为平衡位置，B为右端最大位移处，则t＝2s时，摆球正在（ ）
A．从A→O，速度增大 B．从O→B，速度减小
C．从B→O，速度增大 D．从O→A，速度减小
【答案】A
【解析】该单摆的周期：T＝2π＝2×3.14×＝1.88s，计时开始时摆球置于左端最大位移处，
当t＝2s时，T＜t＜1.25T，此时小球正从左端最大位移处向平衡位置运动，即从A→O，速度正在增大。
4．一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图象如图所示，由图可知（ ）
A．质点振动的频率是4Hz，振幅是2cm B．0～3s内，质点通过的路程为6cm
C．1s末质点运动速度为0 D．t＝3s时，质点的振幅为零
【答案】B
【解析】A、由图读出周期T＝4s，振幅为2cm，则频率 f＝＝0.25Hz；
B、0～3s内，质点通过的路程为3A＝6cm；
C、由图象可知1s末质点位于平衡位置，速度最大；
D、在t＝3 s时，质点的位移为零，不是振幅为零，质点的振幅等于振子的位移最大值，保持不变。
5．如图为同一实验中甲、乙两个单摆的振动图象，从图象可知甲、乙摆长之比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：1 D．2：3
【答案】C
【解析】由题图知：甲、乙两个单摆的周期分别为8s和8s，故：
根据单摆的周期公式T＝可得：L＝
则
6．某弹簧振子沿x轴做简谐运动的位移﹣时间图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．t＝1s时，振子的速度为零，加速度沿x轴负向且最大
B．t＝2s时，振子的速度和加速度都沿x轴正向，加速度最大
C．t＝3s时，振子的速度为零，加速度沿x轴负向且最大
D．t＝4s时，振子的速度和加速度都沿x轴负向，加速度最大
【答案】C
【解析】A．t＝1s时，振子的位移为负向最大，速度为零，加速度为正的最大值；
B．t＝2s时，振子位于平衡位置正在向上运动，振子的位移为零，速度为正向最大，加速度为0；
C．t＝3s时，振子位于正方向上最大位移处，速度为零，加速度负向最大；
D．t＝4s时，振子位于平衡位置正在向下运动，振子的速度为负向最大，加速度为0；
7．如图所示是在同一地点甲乙两个单摆的振动图象，下列说法正确的是（ ）
A．甲乙两个单摆的振幅之比是1：3 B．甲乙两个单摆的周期之比是1：2
C．甲乙两个单摆的摆长之比是4：1 D．甲乙两个单摆的振动的最大加速度之比是1：4
【答案】C
【解析】A、由位移的最大值读出振幅，结合图象可得甲乙两个单摆的振幅之比A甲：A乙＝3：1；
B、根据图象可知，甲乙两个单摆的周期之比T甲：T乙＝4：2＝2：1；
C、根据周期公式：T＝2π可知：L＝，甲乙两个单摆的摆长之比；
D、根据恢复力公式F＝﹣以及牛顿第二定律得：最大加速度为，由于两个单摆球的质量未知，无法求解最大加速度之比；
二、计算题(共30分)
8．一质点做简谐运动，其位移与时间的关系如图所示。
（1）在t＝1.5×10﹣2s到t＝2×10﹣2s的振动过程中，质点的回复力、速度、动能、势能如何变化？
（2）在t＝0到t＝8.5×10﹣2s时间内，质点的路程、位移各多大？
【答案】（1）在t＝1.5×10﹣2s到2×10﹣2s的振动过程中，质点的回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大。
（2）在t＝0到8.5×10﹣2s时间内，质点通过的位移为2cm，路程为34cm。
【解析】（1）由图可知在1.5×10﹣2 s～2×10﹣2 s的振动过程中，质点的位移变大，远离平衡位置，则回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大。
（2）从t＝0至8.5×10﹣2s时间内为个周期，质点的路程为s＝17A＝17×2cm＝34cm，位移为2cm。
9．如图所示为一弹簧振子的振动图象，求：
（1）该弹簧振子振动的振幅、周期各是多少；
（2）该弹簧振子简谐运动的表达式；
【答案】（1）5cm。（2）x＝5sin0.5πt cm。
【解析】（1）弹簧振子的周期为 T＝4s，振幅 A＝5cm
（2）由公式ω＝，得ω＝0.5π rad/s；故该振子简谐运动的表达式为 x＝Asinωt＝5sin0.5πt cm。
10．一水平弹簧振子做简谐运动，其位移和时间关系如图所示。
（1）求振子的振幅、周期各为多大？
（2）从t＝0到t＝8.5×10﹣2s的时间内，振子通过的路程为多大？
（3）从t＝2.0×10﹣2s时振子的位移。
【答案】（1）振子的振幅为2cm、周期为2×10﹣2s；（2）34cm；（3）﹣2cm。
【解析】（1）由图可知振子的振幅为A＝2cm，周期为T＝2×10﹣2s；
（2）因振动是变速运动，因此只能利用其周期性求解，即一个周期内通过的路程为4个振幅，本题中
因此通过的路程为
（3）由图象可知从t＝2.0×10﹣2s时振子在负最大位移处，位移为﹣2cm
