2019-2020学年江苏省无锡市江阴市澄西片九年级（上）期中数学试卷试题及答案
文档属性
| 名称 | 2019-2020学年江苏省无锡市江阴市澄西片九年级（上）期中数学试卷试题及答案 |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 369.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-05 00:00:00 | ||
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文档简介
2019-2020学年江苏省无锡市江阴市澄西片九年级（上）
期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列图形中对称轴最多的是（ ）
A．线段 B．等边三角形 C．圆 D．正方形
2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+y2＝1 B．ax2+bx+c＝0 C． D．x2+1＝0
3．（3分）关于x的方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，，AE＝2cm，则AC的长是（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
5．（3分）如图，在△ABC外任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，连接DE，EF，DF，得△DEF，则下列说法错误的是（ ）
A．△ABC与△DEF是位似图形
B．△ABC与△DEF是相似图形
C．△ABC与△DEF的周长比为1：2
D．△ABC与△DEF的面积比为4：1
6．（3分）如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为2，8，则图中三个阴影三角形面积之和为（ ）
A．23 B．19 C．21 D．12
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）
8．（3分）太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（ ）
A． B．15 C．10 D．
9．（3分）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
10．（3分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ）
A．CD+DF＝4 B．CD﹣DF＝23 C．BC+AB＝24 D．BC﹣AB＝2
二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）
11．（2分）在比例尺为1：500000的某省地图上，量得A地到B地的距离约为20厘米，则A地到B地的实际距离约为 千米．
12．（2分）已知，则 ．
13．（2分）方程2x﹣4＝0的解也是关于x的方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值为 ．
14．（2分）若关于x的方程x2+kx﹣12＝0的两根均是整数，则k的值可以是 ．（只要求写出两个）．
15．（2分）在平行四边形ABCD中，E为靠近点D的AD的三等分点，连结BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为 ．
16．（2分）如图，在直角三角尺ABC中，∠C＝90°，把直角三角尺ABC放置在圆上，AB经过圆心O，AC与⊙O相交于D，E两点，点C，D，E的刻度分别是0cm，2cm，5cm，BC与⊙O相切于F点，那么⊙O的半径是 cm．
17．（2分）有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是 cm2．（结果保留π）
18．（2分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是 ．
三、解答题（共10小题，满分84分）
19．（9分）（1）（x﹣1）2＝4；
（2）（2x+3）2﹣2x﹣3＝0 （3）x2+4x﹣7＝0
20．（8分）已知关于x的方程 x2﹣5x﹣m2﹣2m﹣7＝0．
（1）若此方程的一个根为﹣1，求m的值；
（2）求证：无论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．
（1）求证：△ADE∽△MAB；
（2）求DE的长．
22．（8分）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ落在地面上的影子PM＝1.8m，落在墙上的影子MN＝1.1m，求木竿PQ的长度．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AD＝4，求AC的长．
24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
25．（7分）（1）如图1，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证：．（这个比值叫做AE与AB的黄金比．）
（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）
26．（8分）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：
（1）填空：每天可售出书 本（用含x的代数式表示）；
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
27．（10分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，点M，点N同时从点A出发，点M沿边AB以4cm/s的速度向点B运动，点N从点A出发，沿边AC以3cm/s的速度向点C运动，（点M不与A，B重合，点N不与A，C重合），设运动时间为xs．
（1）求证：△AMN∽△ABC；
（2）当x为何值时，以MN为直径的⊙O与直线BC相切？
（3）把△AMN沿直线MN折叠得到△MNP，若△MNP与梯形BCNM重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
28．（10分）阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理﹣﹣“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得：
AB2+AC2＝2AD2+2BD2．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：
解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，
同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，
为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，DE＝y，
∴AB2+AC2＝AE2+BE2+AE2+CE2＝…
（1）请你完成小明剩余的证明过程；
理解运用：
（2）①在△ABC中，点D为BC的中点，AB＝6，AC＝4，BC＝8，则AD＝ ；
②如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA＝2，点B和点C在⊙O上，且∠BAC＝90°，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为 ；
拓展延伸：
（3）小明解决上述问题后，联想到《能力训练》上的题目：如图4，已知⊙O的半径为5，以A（﹣3，4）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值．
请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值．
2019-2020学年江苏省无锡市江阴市澄西片九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列图形中对称轴最多的是（ ）
A．线段 B．等边三角形 C．圆 D．正方形
【解答】解：线段有2条对称轴；等边三角形有3条对称轴；
圆有无数条对称轴；
正方形有4个对称轴．
对称轴最多的是圆．
故选：C．
2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+y2＝1 B．ax2+bx+c＝0 C． D．x2+1＝0
【解答】解：A、∵方程x+y2＝1中含有两个未知数，未知数的最高次数是2，故是二元二次方程，故本选项错误；
B、∵方程ax2+bx+c＝0中a、b、c是否是常数不确定，故此方程不能确定是几次，故本选项错误；
C、∵方程中含有分式，是分式方程，故本选项错误；
D、∵方程x2+1＝0中含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，故此方程是一元二次方程．
故选：D．
3．（3分）关于x的方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【解答】解：根据题意得△＝22﹣4c＝0，
解得c＝1．
故选：A．
4．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，，AE＝2cm，则AC的长是（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵，AE＝2cm，
∴，
∴AC＝6（cm），
故选：C．
5．（3分）如图，在△ABC外任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，连接DE，EF，DF，得△DEF，则下列说法错误的是（ ）
A．△ABC与△DEF是位似图形
B．△ABC与△DEF是相似图形
C．△ABC与△DEF的周长比为1：2
D．△ABC与△DEF的面积比为4：1
【解答】解：根据位似的定义可得：△ABC与△DEF是位似图形，也是相似图形，位似比是2：1，则周长的比是2：1，因而面积的比是4：1，故A、B、D正确，C错误．
故选：C．
6．（3分）如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为2，8，则图中三个阴影三角形面积之和为（ ）
A．23 B．19 C．21 D．12
【解答】解：△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为2，8，
又∵A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2，
∴∠OB2A2＝∠OB3A3，∠A2B1B2＝∠A3B2B3，
∴△B1B2A2∽△B2B3A3，
∴，
∴，
∵，△A3B2B3的面积是8，
∴△A2B2A3的面积为，
同理可得：△A3B3A4的面积＝2×S△A3B2B3＝2×8＝16；
△A1B1A2的面积S△A2B1B21
∴三个阴影面积之和＝4+16+1＝21．
故选：C．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）
【解答】解：如图所示：
∵点A，B，C的坐标为（1，4），（5，4），（1，﹣2），
∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，
∴△ABC的外接圆的圆心是斜边BC的中点，
∴△ABC外接圆的圆心坐标是（，），
即（3，1）．
故选：D．
8．（3分）太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（ ）
A． B．15 C．10 D．
【解答】解：由题意得：DC＝2R，DE＝10，∠CED＝60°，
∴可得：DC＝DEsin60°＝15．
故选：B．
9．（3分）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
【解答】解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，
∴AMAB8＝4（cm），OD＝OC＝5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，
∴OM3（cm），
∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），
∴AC4（cm）；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，
∵OC＝5cm，
∴MC＝5﹣3＝2（cm），
在Rt△AMC中，AC2（cm）．
故选：C．
10．（3分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ）
A．CD+DF＝4 B．CD﹣DF＝23 C．BC+AB＝24 D．BC﹣AB＝2
【解答】解：如图，
设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，
∵将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，
∴OG＝DG，
∵OG⊥DG，
∴∠MGO+∠DGC＝90°，
∵∠MOG+∠MGO＝90°，
∴∠MOG＝∠DGC，
在△OMG和△GCD中，
∴△OMG≌△GCD，
∴OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2．
∵AB＝CD，
∴BC﹣AB＝2．
设AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半径为r，
⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r（a+b﹣c），
∴c＝a+b﹣2．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2＝（a+b﹣2）2，
整理得2ab﹣4a﹣4b+4＝0，
又∵BC﹣AB＝2即b＝2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4＝0，
解得（舍去），
∴，
∴BC+AB＝24．
再设DF＝x，在Rt△ONF中，FN，OF＝x，ON，
由勾股定理可得，
解得x＝4，
∴CD﹣DF，CD+DF．
综上只有选项A错误，
故选：A．
二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）
11．（2分）在比例尺为1：500000的某省地图上，量得A地到B地的距离约为20厘米，则A地到B地的实际距离约为 100 千米．
【解答】解：2010000000厘米＝100千米；
故答案为100．
12．（2分）已知，则 ．
【解答】解：由已知，得
，
即．
13．（2分）方程2x﹣4＝0的解也是关于x的方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值为 ﹣3 ．
【解答】解：2x﹣4＝0，
解得：x＝2，
把x＝2代入方程x2+mx+2＝0得：
4+2m+2＝0，
解得：m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14．（2分）若关于x的方程x2+kx﹣12＝0的两根均是整数，则k的值可以是 4或﹣4，答案不唯一 ．（只要求写出两个）．
【解答】解：∵﹣12＝2×（﹣6）＝6×（﹣2）＝﹣3×4＝﹣4×3等等，
∴k＝2+（﹣6）＝﹣4，或6+（﹣2）＝4，或k＝±1，
故填空答案：4或﹣4．
答案不唯一．
15．（2分）在平行四边形ABCD中，E为靠近点D的AD的三等分点，连结BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为 ．
【解答】解：在?ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AD的三等分点，
∴AEADBC，
∵AD∥BC，
∴，
∵AC＝12，
∴AF12．
故答案为：．
16．（2分）如图，在直角三角尺ABC中，∠C＝90°，把直角三角尺ABC放置在圆上，AB经过圆心O，AC与⊙O相交于D，E两点，点C，D，E的刻度分别是0cm，2cm，5cm，BC与⊙O相切于F点，那么⊙O的半径是 3.5 cm．
【解答】解：如图连接OF，作OM⊥DE于M．
∵∠C＝∠CFO＝∠CMO＝90°，
∴四边形CFOM是矩形，
∴OF＝CM，
由题意可知CD＝2，DE＝3，∵OM⊥DE，
∴DM＝ME＝1.5，
∴OF＝CM＝CD+DM＝3.5，
故答案为3.5
17．（2分）有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是 60π cm2．（结果保留π）
【解答】解：圆锥的母线10cm，
圆锥的底面周长2πr＝12πcm，
圆锥的侧面积lR12π×10＝60πcm2．
故答案为：60π．
18．（2分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是 4.8 ．
【解答】解：如图，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴PQ是⊙F的直径，
设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则FD⊥AB．
∴FC+FD＝PQ，
∴CF+FD＞CD，
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ＝CD有最小值
∴CD＝BC?AC÷AB＝4.8．
故答案为4.8．
三、解答题（共10小题，满分84分）
19．（9分）（1）（x﹣1）2＝4；
（2）（2x+3）2﹣2x﹣3＝0
（3）x2+4x﹣7＝0
【解答】解：（1）∵（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝±2，
∴x＝3或x＝﹣1；
（2）∵（2x+3）2﹣2x﹣3＝0，
∴（2x+3）（2x+3﹣1）＝0，
∴2x+3＝0或2x+2＝0，
∴x或x＝﹣1；
（3）∵x2+4x﹣7＝0，
∴x2+4x+4＝11，
∴（x+2）2＝11，
∴x＝﹣2±；
20．（8分）已知关于x的方程 x2﹣5x﹣m2﹣2m﹣7＝0．
（1）若此方程的一个根为﹣1，求m的值；
（2）求证：无论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【解答】（1）解：把x＝﹣1代入x2﹣5x﹣m2﹣2m﹣7＝0得1+5﹣m2﹣2m﹣7＝0，解得m1＝m2＝﹣1，
即m的值为1；
（2）证明：△＝（﹣5）2﹣4（﹣m2﹣2m﹣7）
＝4（m+1）2+49，
∵4（m+1）2≥0
∴△＞0，
∴方程都有两个不相等的实数根．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．
（1）求证：△ADE∽△MAB；
（2）求DE的长．
【解答】证明：（1）∵在矩形ABCD中，DE⊥AM于点E，
∴∠B＝90°，∠BAD＝90°，∠DEA＝90°，
∴∠BAM+∠EAD＝90°，∠EDA+∠EAD＝90°，
∴∠BAM＝∠EDA，
在△ADE和△MAB中，∵∠AED＝∠B，∠EDA＝∠BAM，
∴△ADE∽△MAB；
（2）∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，
∴BM，
∴AM，
由（1）知，△ADE∽△MAB，
∴，
∴，
解得，DE．
22．（8分）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ落在地面上的影子PM＝1.8m，落在墙上的影子MN＝1.1m，求木竿PQ的长度．
【解答】解：过N点作ND⊥PQ于D，
∴，
又∵AB＝2m，BC＝1.6m，PM＝1.8m，NM＝1.1m，
∴QD2.25，
∴PQ＝QD+DP＝QD+NM＝2.25+1.1＝3.35（m）．
答：木竿PQ的长度为3.35米．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AD＝4，求AC的长．
【解答】（1）证明：连接OC
∵OA＝OC
∴∠OAC＝∠OCA
∵AC平分∠DAB
∴∠DAC＝∠OAC
∴∠DAC＝∠OCA
∴OC∥AD
∵AD⊥CD∴OC⊥CD
∴直线CD与⊙O相切于点C；
（2）解：连接BC，则∠ACB＝90°．
∵∠DAC＝∠OAC，∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴AC2＝AD?AB，
∵⊙O的半径为3，AD＝4，
∴AB＝6，
∴AC＝2．
24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵∠ACD＝60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD＝2∠ACD＝120°，
∴∠DOP＝180°﹣120°＝60°，
∵∠APD＝30°，
∴∠ODP＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴OD⊥DP，
∵OD为半径，
∴DP是⊙O切线；
（2）解：∵∠P＝30°，∠ODP＝90°，OD＝3cm，
∴OP＝6cm，由勾股定理得：DP＝3cm，
∴图中阴影部分的面积S＝S△ODP﹣S扇形DOB3×3（π）cm2
25．（7分）（1）如图1，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证：．（这个比值叫做AE与AB的黄金比．）
（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）
【解答】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，
∴设AB＝2x，BC＝x，则ACx，
∴AD＝AE＝（1）x，
∴．
（2）解：底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如图：
①过点B作EB⊥AB，作AB的垂直平分线交AB于点D，使BE＝BD，
②连接AE，以E为圆心，BE长为半径画弧，使EF＝BE，
③以B为圆心AF长为半径画弧，以A为圆心，AB长为半径画弧，交点为C，
则△ABC即为所求．
．
26．（8分）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：
（1）填空：每天可售出书 （300﹣10x） 本（用含x的代数式表示）；
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
【解答】解：（1）∵每本书上涨了x元，
∴每天可售出书（300﹣10x）本．
故答案为：（300﹣10x）．
（2）设每本书上涨了x元（x≤10），
根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）＝3750，
整理，得：x2﹣20x+75＝0，
解得：x1＝5，x2＝15（不合题意，舍去）．
答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．
27．（10分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，点M，点N同时从点A出发，点M沿边AB以4cm/s的速度向点B运动，点N从点A出发，沿边AC以3cm/s的速度向点C运动，（点M不与A，B重合，点N不与A，C重合），设运动时间为xs．
（1）求证：△AMN∽△ABC；
（2）当x为何值时，以MN为直径的⊙O与直线BC相切？
（3）把△AMN沿直线MN折叠得到△MNP，若△MNP与梯形BCNM重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
【解答】（1）证明：∵，∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ABC．（4分）
（2）解：在Rt△ABC中，BC10．
由（1）知△AMN∽△ABC．
∴
∴MN＝5x，
∴⊙O的半径r
可求得圆心O到直线BC的距离d
∵⊙O与直线BC相切
∴．解得x
当x时，⊙O与直线BC相切．（8分）
（3）解：当P点落在直线BC上时，则点M为AB的中点．（9分）
故以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤1时，y＝S△PMN＝6x2，
∴当x＝1时，y最大＝6×12＝6．（11分）
②当1＜x＜2时，设MP交BC于E，NP交BC于F
MB＝8﹣4x，MP＝MA＝4x
∴PE＝4x﹣（8﹣4x）＝8x﹣8
y＝S△MNP﹣S△PEF（13分）
∴当时，y最大＝8．
综上所述，当时，y值最大，最大值是8．（14分）
28．（10分）阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理﹣﹣“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得：
AB2+AC2＝2AD2+2BD2．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：
解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，
同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，
为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，DE＝y，
∴AB2+AC2＝AE2+BE2+AE2+CE2＝…
（1）请你完成小明剩余的证明过程；
理解运用：
（2）①在△ABC中，点D为BC的中点，AB＝6，AC＝4，BC＝8，则AD＝ ；
②如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA＝2，点B和点C在⊙O上，且∠BAC＝90°，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为 4 ；
拓展延伸：
（3）小明解决上述问题后，联想到《能力训练》上的题目：如图4，已知⊙O的半径为5，以A（﹣3，4）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值．
请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，
同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，DE＝y，
∴AB2+AC2＝2AE2+（x+y）2+（x﹣y）＝2AE2+2x2+2y2、
＝2AE2+2BD2+2DE2＝2AD2+2BD2．
（2）①∵AB2+AC2＝2AD2+2BD2，
∴62+42＝2AD2+2×42，
∴AD
②如图3中，
∵AF是△ABC的中线，EF是△AEO的中线，OF是△BOC的中线，
∵2EF2+2AE2＝AF2+OF2，
2AF2+2BF2＝AB2+AC2，
OF2＝OB2﹣BF2，
∴4EF2＝2OB2﹣4AE2＝2OB2﹣OA2，
∴EF2OB2OA2＝16，
∴EF＝4（负根以及舍弃），
故答案为．4．
（3）如图4中，连接OA，取OA的中点E，连接DE．
由（2）的②可知：DE2═OB2OA2，
∴DE
在△ADE中，AE，DE，
∵AD≤AE+DE，
∴AD长的最大值为10．
期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列图形中对称轴最多的是（ ）
A．线段 B．等边三角形 C．圆 D．正方形
2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+y2＝1 B．ax2+bx+c＝0 C． D．x2+1＝0
3．（3分）关于x的方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，，AE＝2cm，则AC的长是（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
5．（3分）如图，在△ABC外任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，连接DE，EF，DF，得△DEF，则下列说法错误的是（ ）
A．△ABC与△DEF是位似图形
B．△ABC与△DEF是相似图形
C．△ABC与△DEF的周长比为1：2
D．△ABC与△DEF的面积比为4：1
6．（3分）如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为2，8，则图中三个阴影三角形面积之和为（ ）
A．23 B．19 C．21 D．12
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）
8．（3分）太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（ ）
A． B．15 C．10 D．
9．（3分）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
10．（3分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ）
A．CD+DF＝4 B．CD﹣DF＝23 C．BC+AB＝24 D．BC﹣AB＝2
二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）
11．（2分）在比例尺为1：500000的某省地图上，量得A地到B地的距离约为20厘米，则A地到B地的实际距离约为 千米．
12．（2分）已知，则 ．
13．（2分）方程2x﹣4＝0的解也是关于x的方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值为 ．
14．（2分）若关于x的方程x2+kx﹣12＝0的两根均是整数，则k的值可以是 ．（只要求写出两个）．
15．（2分）在平行四边形ABCD中，E为靠近点D的AD的三等分点，连结BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为 ．
16．（2分）如图，在直角三角尺ABC中，∠C＝90°，把直角三角尺ABC放置在圆上，AB经过圆心O，AC与⊙O相交于D，E两点，点C，D，E的刻度分别是0cm，2cm，5cm，BC与⊙O相切于F点，那么⊙O的半径是 cm．
17．（2分）有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是 cm2．（结果保留π）
18．（2分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是 ．
三、解答题（共10小题，满分84分）
19．（9分）（1）（x﹣1）2＝4；
（2）（2x+3）2﹣2x﹣3＝0 （3）x2+4x﹣7＝0
20．（8分）已知关于x的方程 x2﹣5x﹣m2﹣2m﹣7＝0．
（1）若此方程的一个根为﹣1，求m的值；
（2）求证：无论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．
（1）求证：△ADE∽△MAB；
（2）求DE的长．
22．（8分）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ落在地面上的影子PM＝1.8m，落在墙上的影子MN＝1.1m，求木竿PQ的长度．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AD＝4，求AC的长．
24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
25．（7分）（1）如图1，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证：．（这个比值叫做AE与AB的黄金比．）
（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）
26．（8分）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：
（1）填空：每天可售出书 本（用含x的代数式表示）；
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
27．（10分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，点M，点N同时从点A出发，点M沿边AB以4cm/s的速度向点B运动，点N从点A出发，沿边AC以3cm/s的速度向点C运动，（点M不与A，B重合，点N不与A，C重合），设运动时间为xs．
（1）求证：△AMN∽△ABC；
（2）当x为何值时，以MN为直径的⊙O与直线BC相切？
（3）把△AMN沿直线MN折叠得到△MNP，若△MNP与梯形BCNM重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
28．（10分）阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理﹣﹣“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得：
AB2+AC2＝2AD2+2BD2．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：
解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，
同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，
为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，DE＝y，
∴AB2+AC2＝AE2+BE2+AE2+CE2＝…
（1）请你完成小明剩余的证明过程；
理解运用：
（2）①在△ABC中，点D为BC的中点，AB＝6，AC＝4，BC＝8，则AD＝ ；
②如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA＝2，点B和点C在⊙O上，且∠BAC＝90°，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为 ；
拓展延伸：
（3）小明解决上述问题后，联想到《能力训练》上的题目：如图4，已知⊙O的半径为5，以A（﹣3，4）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值．
请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值．
2019-2020学年江苏省无锡市江阴市澄西片九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列图形中对称轴最多的是（ ）
A．线段 B．等边三角形 C．圆 D．正方形
【解答】解：线段有2条对称轴；等边三角形有3条对称轴；
圆有无数条对称轴；
正方形有4个对称轴．
对称轴最多的是圆．
故选：C．
2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+y2＝1 B．ax2+bx+c＝0 C． D．x2+1＝0
【解答】解：A、∵方程x+y2＝1中含有两个未知数，未知数的最高次数是2，故是二元二次方程，故本选项错误；
B、∵方程ax2+bx+c＝0中a、b、c是否是常数不确定，故此方程不能确定是几次，故本选项错误；
C、∵方程中含有分式，是分式方程，故本选项错误；
D、∵方程x2+1＝0中含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，故此方程是一元二次方程．
故选：D．
3．（3分）关于x的方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【解答】解：根据题意得△＝22﹣4c＝0，
解得c＝1．
故选：A．
4．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，，AE＝2cm，则AC的长是（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵，AE＝2cm，
∴，
∴AC＝6（cm），
故选：C．
5．（3分）如图，在△ABC外任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，连接DE，EF，DF，得△DEF，则下列说法错误的是（ ）
A．△ABC与△DEF是位似图形
B．△ABC与△DEF是相似图形
C．△ABC与△DEF的周长比为1：2
D．△ABC与△DEF的面积比为4：1
【解答】解：根据位似的定义可得：△ABC与△DEF是位似图形，也是相似图形，位似比是2：1，则周长的比是2：1，因而面积的比是4：1，故A、B、D正确，C错误．
故选：C．
6．（3分）如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为2，8，则图中三个阴影三角形面积之和为（ ）
A．23 B．19 C．21 D．12
【解答】解：△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为2，8，
又∵A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2，
∴∠OB2A2＝∠OB3A3，∠A2B1B2＝∠A3B2B3，
∴△B1B2A2∽△B2B3A3，
∴，
∴，
∵，△A3B2B3的面积是8，
∴△A2B2A3的面积为，
同理可得：△A3B3A4的面积＝2×S△A3B2B3＝2×8＝16；
△A1B1A2的面积S△A2B1B21
∴三个阴影面积之和＝4+16+1＝21．
故选：C．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）
【解答】解：如图所示：
∵点A，B，C的坐标为（1，4），（5，4），（1，﹣2），
∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，
∴△ABC的外接圆的圆心是斜边BC的中点，
∴△ABC外接圆的圆心坐标是（，），
即（3，1）．
故选：D．
8．（3分）太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（ ）
A． B．15 C．10 D．
【解答】解：由题意得：DC＝2R，DE＝10，∠CED＝60°，
∴可得：DC＝DEsin60°＝15．
故选：B．
9．（3分）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
【解答】解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，
∴AMAB8＝4（cm），OD＝OC＝5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，
∴OM3（cm），
∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），
∴AC4（cm）；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，
∵OC＝5cm，
∴MC＝5﹣3＝2（cm），
在Rt△AMC中，AC2（cm）．
故选：C．
10．（3分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ）
A．CD+DF＝4 B．CD﹣DF＝23 C．BC+AB＝24 D．BC﹣AB＝2
【解答】解：如图，
设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，
∵将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，
∴OG＝DG，
∵OG⊥DG，
∴∠MGO+∠DGC＝90°，
∵∠MOG+∠MGO＝90°，
∴∠MOG＝∠DGC，
在△OMG和△GCD中，
∴△OMG≌△GCD，
∴OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2．
∵AB＝CD，
∴BC﹣AB＝2．
设AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半径为r，
⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r（a+b﹣c），
∴c＝a+b﹣2．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2＝（a+b﹣2）2，
整理得2ab﹣4a﹣4b+4＝0，
又∵BC﹣AB＝2即b＝2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4＝0，
解得（舍去），
∴，
∴BC+AB＝24．
再设DF＝x，在Rt△ONF中，FN，OF＝x，ON，
由勾股定理可得，
解得x＝4，
∴CD﹣DF，CD+DF．
综上只有选项A错误，
故选：A．
二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）
11．（2分）在比例尺为1：500000的某省地图上，量得A地到B地的距离约为20厘米，则A地到B地的实际距离约为 100 千米．
【解答】解：2010000000厘米＝100千米；
故答案为100．
12．（2分）已知，则 ．
【解答】解：由已知，得
，
即．
13．（2分）方程2x﹣4＝0的解也是关于x的方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值为 ﹣3 ．
【解答】解：2x﹣4＝0，
解得：x＝2，
把x＝2代入方程x2+mx+2＝0得：
4+2m+2＝0，
解得：m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14．（2分）若关于x的方程x2+kx﹣12＝0的两根均是整数，则k的值可以是 4或﹣4，答案不唯一 ．（只要求写出两个）．
【解答】解：∵﹣12＝2×（﹣6）＝6×（﹣2）＝﹣3×4＝﹣4×3等等，
∴k＝2+（﹣6）＝﹣4，或6+（﹣2）＝4，或k＝±1，
故填空答案：4或﹣4．
答案不唯一．
15．（2分）在平行四边形ABCD中，E为靠近点D的AD的三等分点，连结BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为 ．
【解答】解：在?ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AD的三等分点，
∴AEADBC，
∵AD∥BC，
∴，
∵AC＝12，
∴AF12．
故答案为：．
16．（2分）如图，在直角三角尺ABC中，∠C＝90°，把直角三角尺ABC放置在圆上，AB经过圆心O，AC与⊙O相交于D，E两点，点C，D，E的刻度分别是0cm，2cm，5cm，BC与⊙O相切于F点，那么⊙O的半径是 3.5 cm．
【解答】解：如图连接OF，作OM⊥DE于M．
∵∠C＝∠CFO＝∠CMO＝90°，
∴四边形CFOM是矩形，
∴OF＝CM，
由题意可知CD＝2，DE＝3，∵OM⊥DE，
∴DM＝ME＝1.5，
∴OF＝CM＝CD+DM＝3.5，
故答案为3.5
17．（2分）有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是 60π cm2．（结果保留π）
【解答】解：圆锥的母线10cm，
圆锥的底面周长2πr＝12πcm，
圆锥的侧面积lR12π×10＝60πcm2．
故答案为：60π．
18．（2分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是 4.8 ．
【解答】解：如图，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴PQ是⊙F的直径，
设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则FD⊥AB．
∴FC+FD＝PQ，
∴CF+FD＞CD，
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ＝CD有最小值
∴CD＝BC?AC÷AB＝4.8．
故答案为4.8．
三、解答题（共10小题，满分84分）
19．（9分）（1）（x﹣1）2＝4；
（2）（2x+3）2﹣2x﹣3＝0
（3）x2+4x﹣7＝0
【解答】解：（1）∵（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝±2，
∴x＝3或x＝﹣1；
（2）∵（2x+3）2﹣2x﹣3＝0，
∴（2x+3）（2x+3﹣1）＝0，
∴2x+3＝0或2x+2＝0，
∴x或x＝﹣1；
（3）∵x2+4x﹣7＝0，
∴x2+4x+4＝11，
∴（x+2）2＝11，
∴x＝﹣2±；
20．（8分）已知关于x的方程 x2﹣5x﹣m2﹣2m﹣7＝0．
（1）若此方程的一个根为﹣1，求m的值；
（2）求证：无论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【解答】（1）解：把x＝﹣1代入x2﹣5x﹣m2﹣2m﹣7＝0得1+5﹣m2﹣2m﹣7＝0，解得m1＝m2＝﹣1，
即m的值为1；
（2）证明：△＝（﹣5）2﹣4（﹣m2﹣2m﹣7）
＝4（m+1）2+49，
∵4（m+1）2≥0
∴△＞0，
∴方程都有两个不相等的实数根．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．
（1）求证：△ADE∽△MAB；
（2）求DE的长．
【解答】证明：（1）∵在矩形ABCD中，DE⊥AM于点E，
∴∠B＝90°，∠BAD＝90°，∠DEA＝90°，
∴∠BAM+∠EAD＝90°，∠EDA+∠EAD＝90°，
∴∠BAM＝∠EDA，
在△ADE和△MAB中，∵∠AED＝∠B，∠EDA＝∠BAM，
∴△ADE∽△MAB；
（2）∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，
∴BM，
∴AM，
由（1）知，△ADE∽△MAB，
∴，
∴，
解得，DE．
22．（8分）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ落在地面上的影子PM＝1.8m，落在墙上的影子MN＝1.1m，求木竿PQ的长度．
【解答】解：过N点作ND⊥PQ于D，
∴，
又∵AB＝2m，BC＝1.6m，PM＝1.8m，NM＝1.1m，
∴QD2.25，
∴PQ＝QD+DP＝QD+NM＝2.25+1.1＝3.35（m）．
答：木竿PQ的长度为3.35米．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AD＝4，求AC的长．
【解答】（1）证明：连接OC
∵OA＝OC
∴∠OAC＝∠OCA
∵AC平分∠DAB
∴∠DAC＝∠OAC
∴∠DAC＝∠OCA
∴OC∥AD
∵AD⊥CD∴OC⊥CD
∴直线CD与⊙O相切于点C；
（2）解：连接BC，则∠ACB＝90°．
∵∠DAC＝∠OAC，∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴AC2＝AD?AB，
∵⊙O的半径为3，AD＝4，
∴AB＝6，
∴AC＝2．
24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵∠ACD＝60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD＝2∠ACD＝120°，
∴∠DOP＝180°﹣120°＝60°，
∵∠APD＝30°，
∴∠ODP＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴OD⊥DP，
∵OD为半径，
∴DP是⊙O切线；
（2）解：∵∠P＝30°，∠ODP＝90°，OD＝3cm，
∴OP＝6cm，由勾股定理得：DP＝3cm，
∴图中阴影部分的面积S＝S△ODP﹣S扇形DOB3×3（π）cm2
25．（7分）（1）如图1，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证：．（这个比值叫做AE与AB的黄金比．）
（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）
【解答】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，
∴设AB＝2x，BC＝x，则ACx，
∴AD＝AE＝（1）x，
∴．
（2）解：底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如图：
①过点B作EB⊥AB，作AB的垂直平分线交AB于点D，使BE＝BD，
②连接AE，以E为圆心，BE长为半径画弧，使EF＝BE，
③以B为圆心AF长为半径画弧，以A为圆心，AB长为半径画弧，交点为C，
则△ABC即为所求．
．
26．（8分）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：
（1）填空：每天可售出书 （300﹣10x） 本（用含x的代数式表示）；
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
【解答】解：（1）∵每本书上涨了x元，
∴每天可售出书（300﹣10x）本．
故答案为：（300﹣10x）．
（2）设每本书上涨了x元（x≤10），
根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）＝3750，
整理，得：x2﹣20x+75＝0，
解得：x1＝5，x2＝15（不合题意，舍去）．
答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．
27．（10分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，点M，点N同时从点A出发，点M沿边AB以4cm/s的速度向点B运动，点N从点A出发，沿边AC以3cm/s的速度向点C运动，（点M不与A，B重合，点N不与A，C重合），设运动时间为xs．
（1）求证：△AMN∽△ABC；
（2）当x为何值时，以MN为直径的⊙O与直线BC相切？
（3）把△AMN沿直线MN折叠得到△MNP，若△MNP与梯形BCNM重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
【解答】（1）证明：∵，∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ABC．（4分）
（2）解：在Rt△ABC中，BC10．
由（1）知△AMN∽△ABC．
∴
∴MN＝5x，
∴⊙O的半径r
可求得圆心O到直线BC的距离d
∵⊙O与直线BC相切
∴．解得x
当x时，⊙O与直线BC相切．（8分）
（3）解：当P点落在直线BC上时，则点M为AB的中点．（9分）
故以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤1时，y＝S△PMN＝6x2，
∴当x＝1时，y最大＝6×12＝6．（11分）
②当1＜x＜2时，设MP交BC于E，NP交BC于F
MB＝8﹣4x，MP＝MA＝4x
∴PE＝4x﹣（8﹣4x）＝8x﹣8
y＝S△MNP﹣S△PEF（13分）
∴当时，y最大＝8．
综上所述，当时，y值最大，最大值是8．（14分）
28．（10分）阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理﹣﹣“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得：
AB2+AC2＝2AD2+2BD2．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：
解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，
同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，
为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，DE＝y，
∴AB2+AC2＝AE2+BE2+AE2+CE2＝…
（1）请你完成小明剩余的证明过程；
理解运用：
（2）①在△ABC中，点D为BC的中点，AB＝6，AC＝4，BC＝8，则AD＝ ；
②如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA＝2，点B和点C在⊙O上，且∠BAC＝90°，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为 4 ；
拓展延伸：
（3）小明解决上述问题后，联想到《能力训练》上的题目：如图4，已知⊙O的半径为5，以A（﹣3，4）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值．
请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，
同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，DE＝y，
∴AB2+AC2＝2AE2+（x+y）2+（x﹣y）＝2AE2+2x2+2y2、
＝2AE2+2BD2+2DE2＝2AD2+2BD2．
（2）①∵AB2+AC2＝2AD2+2BD2，
∴62+42＝2AD2+2×42，
∴AD
②如图3中，
∵AF是△ABC的中线，EF是△AEO的中线，OF是△BOC的中线，
∵2EF2+2AE2＝AF2+OF2，
2AF2+2BF2＝AB2+AC2，
OF2＝OB2﹣BF2，
∴4EF2＝2OB2﹣4AE2＝2OB2﹣OA2，
∴EF2OB2OA2＝16，
∴EF＝4（负根以及舍弃），
故答案为．4．
（3）如图4中，连接OA，取OA的中点E，连接DE．
由（2）的②可知：DE2═OB2OA2，
∴DE
在△ADE中，AE，DE，
∵AD≤AE+DE，
∴AD长的最大值为10．
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