人教A版数学必修1第二章 基本初等函数2.3 幂函数 （27张PPT）

(共27张PPT)
§2.3幂函数



高中数学必修 ①人教版A
拉萨那曲第二高级中学 拉姆曲宗
知识探究（一）：幂函数的概念
思考1：如果扎西购买了单价为1元的x支水笔，他需要付的钱数为y（元），试将y表示成x的函数.
思考2：如果正方形的边长为x，面积为y，试将y表示成x的函数.
思考3：如果正方体的边长为x，体积为y，试将y表示成x的函数.

思考：以上问题中的关系式有什么共同特征？
（1）都是以自变量x为底数；
（2）指数为常数；
（3）自变量x前的系数为1;
（4）只有一项。
一、幂函数的定义：

定义：一般地，我们把形如的函数叫做幂函数，其中为自变量，为常数。
中前面的系数是1，后面没有其它项。
例1 判断下列函数哪几个是幂函数？
看未知数x是指数还是底数
二、幂函数与指数函数比较
式子 名称
常数 x y
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα

a为底数
指数
α为指数
底数
幂值
幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
幂函数
指数函数
（指数函数）
（幂函数）
（指数函数）
（幂函数）
快速反应
（指数函数）
（幂函数）
练习3：已知幂函数f(x)的图像经过点（3，27），
1）求f(x)的解析式
2）求证：f(x)是奇函数。
二、五个常用幂函数的图像和性质




定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：





定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：





函数 的图像
定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：






函数 的图像
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y=x3 … …
y=x1/2 … …
-8
-1
0
1
8
27
0
1


0
x
y












1
2
3
4
-1
-2
-3
2
4
6
8




-2
-4
-6
-8



y=x3
/
/
64



y=
x
2



定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：





函数 的图像
定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：





函数 的图像
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α取值的不同而不同.
y= x3
定义域
值 域

单调性
公共点
y = x



R
R
R
[0，+∞）

R
[0，+∞）
R
[0，+∞）
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
在R上是增函数
在（－∞,0]上是减函数，在(0, +∞）上是增函数
在R上是增函数
在(0，+∞)上是增函数
在( －∞,0)，(0, +∞）上是减函数
（1，1）
奇偶性
y = x2


下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
(1) (2) (3)
(4) (5)




4


3


2


1




-1


-2


-3






-4




-2








2




4




6







(1,1)


(2,4)


(-2,4)


(-1,1)

(-1,-1)

y=x





在第一象限内，
a >0,在(0,+∞)上为增函数;
a <0,在(0,+∞)上为减函数.


幂函数的图象都通过点(1,1)


α为奇数时,幂函数为奇函数,
α为偶数时,幂函数为偶函数.


练习：利用单调性比较大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8

（2）0.20.3 与 0.30.3

解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数,
∵5.2<5.3　∴ 5.20.8 < 5.30.8

(2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3

已知函数　　　　　　　　 是幂函数,并且是偶函数，求m的值。

练习2：

<0

>1

0<<1


0
x
y
1
1


归纳：幂函数 y=xa 在第一象限的图象特征

=1
理论
指数大于1,在第一象限为
抛物线型（凹）；
指数等于1,在第一象限为
上升的射线；
指数大于0小于1,在第一象
限为抛物线型（凸）；
指数等于0,在第一象限为
水平的射线；
指数小于0,在第一象限为
双曲线型；




α>1
0<α<1


a=1

小结： 幂函数的性质:
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);

幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α取值的不同而不同.

如果α<0,则幂函数
在(0,+∞)上为减函数。




α<0
3.如果α>0,则幂函数
在(0,+∞)上为增函数;

2.当α为奇数时,幂函数为奇函数,
当α为偶数时,幂函数为偶函数.
1.比较下列各组中的两个值的大小
作业