课件26张PPT。6.1 平方根、立方根
第1课时 平方根第6章 实数1课堂讲解平方根的定义
平方根的性质及其运算2课时流程逐点
导讲练课堂小结课后作业 “卡西尼”号土星探测器历经了 80多个月的飞行，成 功进入环绕土星运行的轨道.要使土星探测器飞离地球， 它的速度需大于v2，计算v2的公式为
(其中g取 9.8 m/s2，r取 6.4×106 m)
上式中的v2如何计算呢？1知识点平方根的定义问题1
装修房屋，选用了某种
型号的正方形地砖，这种地
砖4块正好铺1 m2,如图，问
这种地砖一块的边长 是多少?设一块正方形地砖的边长为 x m，根据题意，
有
这是已知一个数的平方，求这个数的问题.(来自《教材》) 一般地，如果一个数的平方等于a , 那么这个
数叫做a 的平方根（square root)，也叫做二次方根.下列叙述正确的是( )
A．若a存在平方根，则a>0
B．16的平方根是4
C．5的平方根是±
D．5的平方根是C 例1 A中，因为02＝0，所以0也有平方根，是0本身，
故此选项错误；B中，因为(±4)2＝16，所以16的
平方根是±4，故此选项错误；因为5的平方根是
± ，所以C正确，D错误．导引： 本题应用定义法．根据平方根的定义求出m
的值，再根据乘方的定义求出m2的值．如果x2＝a，那么下列说法错误的是( )
A. 若x确定，则a的值是唯一的
B. 若a确定，则x的值是唯一的
C. a是x的平方
D. x是a的平方根B“± ”的意义是( )
A．a的平方根
B．a的相反数
C．当a≥0时，± 是a的平方根
D．以上均不正确C2知识点平方根的性质及其运算 一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数.
我们用 表示a的正的平方根，读作“根号a，其
中a叫做被开方数(radicand). 另一个负的平方根记
为 .在0的平方根是0, 即 =0.负数没有平方根.平方根的性质：
(1)一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数；
(2)0的平方根是0；
(3)负数没有平方根． 平方根的表示方法：
正数a有两个平方根，一个是a的算术平
方根 ,另一个是 ，它们互为相反
数.这两个平方根合起来可以记作
读作“正、负根号a”.(来自《教材》)判断下列各数是否有平方根，为什么？
25； ； 0.016 9； -64.
因为正数和零都有平方根，负数没有平方根，
所以25, , 0.016 9都有平方根；-64没有平
方根.例2解： 本题应用性质判断法．根据平方根的性质，结合所给数据的正负情况判断各数是否有平方根．1.开平方：
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方（extraction of square root), a叫做被开方数.
2.要点精析：
(1)一个正数的正的平方根就是它的算术平方根． (2)平方与开平方是互逆运算．开平方与加、减、乘、除、乘方一样是一种运算，即：
运算名称：加、减、乘、除、乘方、开平方(非负数)．
运算结果：和、差、积、商、幂、平方根(互为相反数)． 例3 求下列各数的平方根：
（1） 64；（2） （3） 0.000 4；
（4） (-25)2；（5）11.解：（1）因为（±8）2 = 64,所以64的平方根是±8，
即± = ±8;
（2）因为 所以 的平方是 ，
即
（3）因为（±0.02)2 = 0.000 4,所以 0.000 4 的平
方根是±0.02，即± =±0.02;（4）因为（± 25)2 = (-25)2,所以（-25）2的平方
根是±25，即
（5）11的平方根是下列说法正确的是( )
A．任何数的平方根都有两个
B．一个正数的平方根的平方就是这个数
C．负数也有平方根
D．非负数的平方根都有两个B下列说法错误的是( )
A．－4是16的平方根
B．4是16的平方根
C．±4是16的平方根
D．16的平方根是－4D1. 定义：若x2=a，则x叫做a的平方根.
2. 性质：一个正数有两个平方根，他们互为相反数；
0的平方根是0；负数没有平方根.
3. 平方根与开平方间的关系：
(1)开平方是求平方根的运算；
(2)平方根是开平方运算的结果. 必做: 完成教材P5练习T1，T3，T4（只求
平方根），教材P8习题6.1T1，T2（只求
平方根），T5
课件38张PPT。6.1 平方根、立方根
第2课时 算术平方根第6章 实数1课堂讲解算术平方根的定义及其运算
用计算器求一个正数的算术平方根
算术平方根的简单应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结课后作业(1)根据图填空：
x2=_______,
y2=_______,
z2=_______,
w2=_______,
(2)x,y,z,w中哪些是有理数?哪些是无理数?你能表示它们吗?2x2+1y2+1z2+11知识点算术平方根的定义 如图所示，每个小正
方形的边长是，我们通过
剪开，拼接会得到大正方
形，我知道小正方形的面
积是1，因为右边的大正方形是由左边的两个小正方形剪拼成的，所以大正方形的面积是2.因为正方形的面积是边长乘一边长，所以a2＝2，那么a等于多少呢？ 我们也就是找一个数，使它的平方等于2，由
于正方形的边长是正数，所以就是找一个正数，
使这个正数的平方等于2，我们把a叫做2的算术平
方根，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那
么这个正数x就叫做a的算术平方根.定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a， 即x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根．
规定：0的算术平方根是0.
表示方法：正数a的算术平方根表示为 读作 “根号a”．a叫做被开方数.下列说法中，正确的是( )
A．9的平方根是±3，应表示为92＝±3
B．±3是9的平方根，应表示为± ＝3
C．把9开平方能得到9的平方根，即 ＝±3
D．9的算术平方根是3，应表示为 ＝3D例1 正确把握并准确运用平方根、算术平方根的定义．导引：必须弄清以下符号的意义：
± (a≥0)表示非负数a的平方根； (a≥0)
表示非负数a的算术平方根；把非负数a开平方，
求它的平方根可用± 表示．1 算术平方根等于它本身的数是__________；
________的算术平方根等于它的相反数．
2 (中考·滨州)5的算术平方根为( )
A. B．25
C．±25 D．±0和10A用计算器求一个正数的算术平方根知2－讲知识点21.用计算器开平方
大多数计算器都有 键，用它可以求出一 个正数的算术平方根(或其近似值)，应注意的是，不同型号的计算器按键的顺序可能不同，使用计算器时，一定要按照说明书进行操作．用计算器求下列各式的值：(精确到0.01)．
(1) (2) (3) (4)(1)依次按键 ，
显示：1.414213562,精确到0.01，得
(2) (3)
(4)在计算器上一次键入：
即可得 ≈0.85. 例1 解：(来自教材)分数利用除法输入时不要忘记加括号.本章引言中提到的速度v2是第二宇宙速度，
其中g取9.8m/s2 ,r取6.4×106m，用计算器可求得注意计算器的正确使用方法．先按 键，然后
按数字键，最后按 键，计算器显示的结果
就是该数的算术平方根(或其近似值)． 例2 用计算器求下列各式的值：
(1) (2) (结果精确到0.01)．=导引：解：(1)依次按键 ，
显示：99.所以 ＝99.
(2)依次按键 ，
显示：3.316 624 79.所以 ≈3.32. 40C用计算器计算，若按键顺序为
，相应算式是( )
A. ×5－0×5÷2＝
B．( ×5－0×5)÷2＝
C. －0.5÷2＝
D．( －0.5)÷2＝3知识点算术平方根的简单应用(1)正数的算术平方根是一个正数；
(2)0的算术平方根是0；
(3)负数没有算术平方根；
(4)被开方数越大，对应的算术平方根也越大.例2 求下列各数的平方根和算术平方根：
(1)1; (2)81; (3) 64 ； (4) (-3)2.(1)因为(±1)2 = 1, 所以1的算术平方根是±1,即
1的算术平方根是1.
(2)因为(±9)2 = 81, 所以81的算术平方根是±9,
即 81的算术平方根是9.解：(来自《教材》)(3)因为(±8)2 = 64, 所以64的算术平方根是±8,即
64的算术平方根是8.
(4) (-3)2 = 9.
因为(±3)2 = 9, 所以9的平方根是±3, 也就是
(-3)2的平方根是±3，即 (-3)2的
算术平 方根是3. 根据平方根与算术平方根的定义及平方与开平方互为逆运算求一个正数的平方根和算术平方根． 例3 求下列各数的算术平方根：
(1)64； (2)
(3)0.36; (4) 导引：根据算术平方根的定义求一个非负数的算术
平方根,只要找到一个负数的平方等于这个非
负数即可．解：(1)因为82＝64 ，所以 64的算术平方根是8，即
(2)因为 所以 的算术平方根
是 ， (3)因为0.62＝0.36，所以0.36的算术平方根是0.6，
即
(4)因为 92＝81，所以 ＝9.
而32＝9，所以 的算术平方根是3.(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是
求哪个数的算术平方根，分清求 的算
术平方根与81的算术平方根的不同意义，
不要被表面现象迷惑．(2)求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，
因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根
十分有用．
注意：求 的值实质就是求81的算术平方根，
求 的算术平方根实质是求9的算术平方根． 1.要点精析：
(1)算术平方根 具有双重非负性：
①a是非负数，即a≥0；
②算术平方根 是非负数，即 ≥0.
(2)算术平方根是它本身的数只有0和1.2.性质：
(1)正数的算术平方根是一个正数；
(2)0的算术平方根是0；
(3)负数没有算术平方根；
(4)a(a≥0)越大，它的算术平方根也越大. 已知有理数x，y满足 ＋(y＋1)2＝0，则x－y等于( )
A．3 B．－3 C．1 D．－1例4 A根据算术平方根的性质知 ≥0，根据平方的性质知(y＋1)2≥0.因为 ＋(y＋1)2＝0，根据非负数的性质“如果几个非负数的和等于零，那么这几个非负数都等于零”得 ＝0，(y＋1)2＝0，所以x＝2，y＝－1.所以x－y＝2－(－1)＝3.导引： 本题应用性质判断法和方程思想．根据算术平方根、平方的性质，结合非负数的性质，得到方程，求出x，y的值，再代入代数式中求值．(中考·杭州) ＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
设 ＝a，则下列结论正确的是( )
A．a＝441 B．a＝4412
C．a＝－21 D．a＝21BD(1) 中，被开方数a是______，即a___0；
是________，即 ___0，即非负数的
算术平方根是________；负数没有算术平
方根，即当a____0时， 无意义．非负数≥非负数≥非负数<下列算式有意义的是( )
A. B．( )2
C． D.C1. 表示的是a的算术平方根，由算术平方根的
定义知它具有“双重”非负性：a≥0， ≥0，
即算术平方根及它的被开方数都为非负数．
2.用计算器求一个正数的算术根，有时是准确数，有时是近似数．
3.对于所有的算术平方根，被开方数越大，对 应
的算术平方根也越大；反之亦然． 必做: 完成教材P5练习T2，T4，
教材P8习题6.1T2.
课件32张PPT。6.1 平方根、立方根
第3课时 立方根第6章 实数1课堂讲解立方根的定义及其运算
立方根的简单应用2课时流程当堂作业逐点
导讲练课堂小结课后作业某化工厂使用半径为1m的
一种球形储气罐储藏气体.
现在要造一个新的球形储
气罐，如果它的体积是原
来的8倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少
倍？如果储气罐的体积是原来的4倍呢？1知识点立方根的定义及其运算 问题
要做一个容积是64dm3的正方体木箱，如图，问它的棱长是多少？
设正方体的棱长为xdm，
根据题意，有x3=64.
这是已知一个数的立方，
求这个数的问题.(来自教材) 一般地，如果一个数的立方等于a, 那么这个数叫
做a的立方根（cube root)，也叫做三次方根，记
作 ，读 作“三次根号a”，其中a叫做被开方
数，3叫做根指数 (radical exponent).1．立方根：一般地，如果一个数的立方等于a，
那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．
表示方法：一个数a的立方根，用符号“ ”表示，读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数．
2．开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方．例1下列说法正确的是（ B）
A. 负数没有立方根 B. -9的立方根是
C. =3
D. 任何正数都有两个立方根，它们互为相反数.
任何一个数都有唯一的立方根，所以选项A,D不正
确，因为33=27，所以 故选项C也不正确，
选项B正确.知1—讲解析：判断一个数x是不是某数a的立方根，就看x3是不是等于a.
求一个数的立方根，应先找到一个立方等于所求数的数，再求立方根.问题1：
根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？
1. 因为23=8 ，所以8的立方根是 （ ）；
2. 因为(0.5)3=0.125 ，所以0.125的立方根是（ ）；
3.因为(0)3=0 ，所以0的立方根是（ ）；
4.因为(-2)3=-8 ，所以8的立方根是（ ）；20.50-2性质：
(1)正数的立方根是正数；
(2)负数的立方根是负数；
(3)0的立方根是0；
(4)
(5)例2 求下列各式的值: 做开平方或开立方运算时，一般都是利用它们的定义，运用平方或立方法去掉根号；当被开方数不是单独一个数时，则需先将它们进行化简，再进行开方运算． 例3 求下列各式的值: 若 是5的立方根，则b＝______，若
＝－2，则a＝______.1－82 分析下列四句话：
①因为(－2)3＝－8，所以－2是－8的立方根；
②因为43＝64，所以64是4的立方根；
③把2立方与把8开立方互为逆运算；
④把4立方与把4开平方互为逆运算．
其中正确的是____________．(填序号)①③3 下列说法正确的是( )
A．0.8的立方根是0.2
B．1的立方根为±1
C．－1的立方根是－1
D．－25没有立方根C4 下列说法：
①负数没有立方根；②一个数的立方根不是正数
就是负数；③一个正数或负数的立方根和这个数
同号，0的立方根是0；④如果一个数的立方根是
这个数本身，那么这个数必是1或0.
其中错误的是( )
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④B2知识点立方根的简单应用 求一个数的立方根的运算叫做开立方
（extraction of cubic root )，a叫做被开方数. 例4 求下列各数的立方根：
(1) 27； (2) -64 ； (3) 0.解:(1)因为33= 27,所以27的立方根是3,即
(2)因为(-4)3= -64 , 所以-64的立方根是-4,
即
(3)因为03=0,所以0的立方根是0, 即 利用立方运算求一个的立方根，要注意正数有
一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立
方根是0.1 下列各式中，正确的是( )
A. ＝±2 B. ＝5
C. ＝2 D． ＝－2
2 (中考·河北)当x＝－8时， 的值是 ( )
A．－8 B．－4
C．4 D．±4BC名称关系平方根与立方根的区别与联系：(1)平方根等于它本身的数只有0，而立方根等于它
本身的数有－1，0和1；
(2)负数也有立方根．导引：根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x
－2＝4，2x＋y＋7＝27，从而解出x，y，最后
代入x2＋y2求其算术平方根即可． 例5 已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根
是3，求x2＋y2的算术平方根． 解：∵x－2的平方根是±2，
∴x－2＝4.所以x＝6.
∵ 2x＋y＋7的立方根是3，
∴ 2x＋y＋7＝27.
把x＝6代入，解得y＝8，
∴ x2＋y2＝62＋82＝100.
∴x2＋y2的算术平方根为10. 总 结知2－讲本题先根据平方根和立方根的定义中平方根
中被开方数等于平方根的平方，立方根中被开方数
等于立方根的立方这一关系，运用方程思想列方程
求出x，y的值，再根据算术平方根的定义求出
x2＋y2的算术平方根．1 下列说法：
①正数都有平方根；②负数都有平方根；
③正数都有立方根；④负数都有立方根．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个C2 如果一个数的立方根与其算术平方根相同，那么这个数是( )
A．1 B．0或1
C．0或±1 D．任意非负数B平方根与立方根的区别与联系：
主要区别：
(1)正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有
平方根．
(2)正数有一个立方根，仍为正数；负数有一个立方
根，仍为负数．联系：
(1)0的平方根和立方根都是0.
(2)都是开方运算的结果． 必做: 完成教材P7练习T1-T4，
完成教材P习题6.1T7-T10
