2020届高考培优55个专题（word版55个专题训练）

第二十四讲
以三角函数与解三角形为背景的取值范围问题
一、选择题
1．已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，A=
，且，则λ的值为（　　）
A．
B．
﹣
C．
D．
﹣
【答案】D
【解析】
如图所示：O是锐角△ABC的外心，
D、E分别是AB、AC的中点，且OD⊥AB，OE⊥AC，
设△ABC外接圆半径为R，则R，
由图得，，
则
，
同理可得，，
由得，
，
所以，
则，①
在△ABC中由正弦定理得：，
代入①得，，
则，②
由正弦定理得，、，
代入②得，2RsinCcosB+2RcosCsinB＝﹣λR；
所以2sin（C+B）＝﹣λ，即2sinλ，
解得λ，故选D．
2．在中，内角的对边分别为，若的面积为，则的最大值为（
）
A．
2
B．
4
C．
D．
【答案】C
【解析】
由题意得，，
∴，又，
∴，
∴
，
则的最大值为，故选C
3．已知函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），，对任意x∈R恒有，且在区间（，）上有且只有一个x1使f（x1）＝3，则ω的最大值为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由题意知，则，
其中，
又f(x)在（，）上有且只有一个最大值，且要求最大，则区间（，）包含的周期应最多，所以，得0<≤30，即，所以k≤19.5.分类讨论：
①.当k=19时，，此时可使成立，
当时，，
所以当或时，都成立，舍去；
②.当k=18时，，此时可使成立，
当时，，
当且仅当或时，都成立，
综上可得：ω的最大值为.
本题选择C选项.
4．在四边形中,已知是边上的点,且,,若点在线段(端点除外)上运动,则的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由
，
在中，，
，
，
在上，,，可得，
，
，
即的取值范围是，故选C.
5．已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，周期，
又存在实数，对任意实数总有成立，
，
的最小值为，故选B.
6．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（
）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
【答案】B
【解析】
由三角函数的性质可得：
，
其图象向左平移个单位所得函数的解析式为：，
函数的单调递增区间满足：，
即，
令可得函数的一个单调递增区间为：，
在上为增函数，则：，据此可得：，
则的最大值为2.
本题选择B选项.
7．在中，角，，所对的边分别为，，，且是和的等差中项，，，则周长的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
∵是和的等差中项，∴，∴，
又，则，从而，∴，
∵，∴，
所以的周长为
，
又，，，∴．
故选B．
8．若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
根据正弦函数的单调递减区间为
，所以
的单调递减区间为，可解得
，由余弦函数的单调递减区间为，所以，可解得
因为与在
上同为单调递减函数，所以其交集为，所以
所以选B
9．已知锐角的内角为，，，点为上的一点，，，，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
：中，由余弦定理可得，
，，
中，由正弦定理得，，
得，
当时，，
当时，，
为锐角三角形，
，
的取值范围为，故选A.
10．设函数.若,且，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
（特殊值法）画出的图象如图所示．
结合图象可得，当时，；当时，
，满足．
由此可得当,且时，．
故选B．
11．函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则在上的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
根据题意可知，因为其图像关于直线对称，可知，结合的范围，可以求得，从而得到，因为，则有，从而求得，所以有，所以在上的最小值是，故选D.
12．若函数
在内有且仅有一个最大值，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
,
因为函数在内有且仅有一个最大值，
所以，可得，
即的取值范围是，故选C.
13．已知函数,
其图象与直线相邻两个交点的距离为若对恒成立，则的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，
故函数的周期为
若对恒成立，即当时，
恒成立，，
故有，求得
结合所给的选项，
故选D．
14．已知函数,
其图象与直线相邻两个交点的距离为若对恒成立，则的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数,
其图象与直线相邻两个交点的距离为所以函数周期为,，由知
，又时，且
，所以解得，故选D.
15．的三个内角，
，
的对边分别为，
，
，若，
，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由cosAcosBcosC>0，可知，三角形是锐角三角形，
由题意有sinB=sin2A=2sinAcosA，
结合正弦定理有b=2acosA，
，
∵A+B+C=180°，B=2A，
∴3A+C=180°,
，
∵2A<90°，∴，
，
即的取值范围是.
本题选择D选项.
二、填空题
16．设（是坐标原点）的重心、内心分别是，且，若，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】
因为重心、内心分别是，且，所以，（r为内切圆的半径），
又.且.
解得.
所以.
当且仅当时，即为等边三角形有最小值.
17．已知均为锐角，且，则的最小值是________.
【答案】
【解析】
由cos（α-β）=3cos（α+β），可得cosαcosβ+sinαsinβ=3cosαcosβ-3sinαsinβ，同时除以cosαcosβ，
可得：1+tanαtanβ=3-3tanαtanβ，
则tanαtanβ=，又=2=．
故答案为：.
18．若两个锐角满足，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】
∵，，，
∴，令，
则，∴，即，
当且仅当时取等号，∴的最大值时.
故填：
19．在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
由题得,
所以,
所以
因为
所以
故答案为：
20．不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
令，
则原函数化为，
即，
由，
及知，
，即，
当时（1）总成立，
对，；
对，，
从而可知，故答案为.
21．已知
，若函数图象的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是__________．（结果用区间表示）
【答案】
【解析】
由题意，函数，
由的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，
则，解得，即，
函数的对称轴的方程为，
即，则，解得，
所以实数的取值范围是.
22．已知菱形，为的中点，且，则菱形面积的最大值为_______.
【答案】12
【解析】
设，则两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，，即，，设，在中，由余弦定理可知，即，
，令，则，则，当时，即时，有最大值，故答案为.
23．函数，且，，若的图像在内与轴无交点，则的取值范同是__________.
【答案】
【解析】
∵的图像在内与轴无交点
∴
∵
∴
∵由对称中心可知
∴
∵假设在区间内存在交点，可知
∴当时，
∴以上并集在全集中做补集，得
故答案为
24．的垂心在其内部，，，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
在为锐角三角形，
设，且，
所以，
所以，
又由，则，
所以，即的取值范围是.
25．在中，角的对边分别为,
,
,则角的最大值为_____；
【答案】
【解析】
在中，由角C的余弦定理可知
，又因为，
所以。当且仅当时等号成立。
26．已知的三个内角，，的对边分别为，，，若，且，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
由正弦定理，
得
即
由余弦定理
得
又
由题可知
则
即的范围
27．如图，在中，，点
在线段上，且，，则的面积的最大值为__________．
【答案】.
【解析】
由可得：，
则.
由可知：，则，
由同角三角函数基本关系可知：.
设，
在△ABD中由余弦定理可得：，
在△CBD中由余弦定理可得：，
由于，故，
即：，
整理可得：.①
在△ABC中，由余弦定理可知：，
则：，
代入①式整理计算可得：，
由均值不等式的结论可得：，
故，当且仅当时等号成立，
据此可知△ABC面积的最大值为：.
28．（安徽省宿州市2018届三模）在中，内角A,B,C的对边分别为，且满足，A为锐角，则的取值范围为__________．
【答案】.
【解析】
由结合正弦定理可得：，且，
为锐角，则：，即，据此有：
，
，
，
，
即，，
据此可得：，
则的取值范围为.
29．在圆内接四边形中,
,,则的面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】
由,,可知为直角三角形，其中∠ACB=90°，
设∠BAD=，AB=2r，则，，
在中，，即，
∴，
∴
令t=，则
当，即时，的最大值为
故答案为：
30．在中，，，成等比数列，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
在中，
由正弦定理得，
又因为构成等比数列，设公比为，则，
又由在中，，即，即，
解得，所以．
31．已知四边形中，，设与面积分别为，则的最大值为_____.
【答案】
【解析】
因为，所以，在△ABD中，由余弦定理可得，，作CE⊥BD于E，因为，所以，所以，当时，的最大值为.
故答案为：
32．已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
：由余弦定理及，得
即，再由正弦定理，得即，即所以，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为
故答案为：
33．在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为__________．
【答案】
【解析】
由题意可得，
，又平面，
平面
平面，
平面平面平面，又平面平面过作于，则平面，故，在中，
，设，则有中，
，又在中，
，在中，
，又
，则，
，
，故答案为.
34．在中，
，满足的实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】中，
，即
则；
∴由|得：
整理得：
解得
∴实数的取值范围是.
故答案为.
35．点，
分别是椭圆的左、右两焦点，点为椭圆的上顶点，若动点满足：
，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】设，由，得，则由，可得，化为，可设，
，
，
，即的最大值为，故答案为.
36．在中，设，
分别表示角，
所对的边，
为边上的高.若，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】有题设条件，所以，又
所以，得，其中，令，则，所以的最大值是。
37．在中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，若，则的最大值为________________．
【答案】
【解析】
由题得
由题得
所以,当且仅当时取等号.
所以的最大值为,故填
38．锐角中，角的对边分别为，若，则
取值范围是__________．
【答案】
【解析】由结合余弦定理可得
，即
，再由正弦定理可得，可得或（舍去），，又均为锐角，由于
可得，可得
，由可得
，故答案为.
试卷第18页，总18页
试卷第1页，总19页第二十三讲
平面向量综合问题
A组
一、选择题
1.在中，已知是边上一点，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
解析：在 ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则 ，∴ =，
2.
设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（
）
A．
B．
C．
D．
解析,若函数
的图象是一条直线，即其二次项系数为0，
0
3.
已知，，，若P点是ΔABC所在平面内一点，且，的最大值等于(
)
A．13
B．15
C．19
D．21
解析：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
则B，C，＝(1，0)＋4(0，1)＝(1，4)，即P(1，4)，所以，，因此因为
所以的最大值等于13，当，即时取等号．
4.
如图，在四边形ABCD中，
，则的值为（
）
A.2
B.
C.4
D.
解析：
二、填空题
5.
如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为
．
解析：由MN的任意性可用特殊位置法：当MN与BC重合时知m=1，n=1，故m+n=2，
6.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.
如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.
若其中,则
的最大值是________.
解析
设
，即
∴
三、解答题
7.
已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0)．(1)若，求的值；(2)若，求sin∠A的值
解:
(1)
由
得
(2)
8.已知向量满足条件，，求证：是正三角形
解：令O为坐标原点，可设
由，即
(
①
)
(
②
)
两式平方和为，，
由此可知的最小正角为，即与的夹角为，
同理可得与的夹角为，与的夹角为，
这说明三点均匀分部在一个单位圆上，
所以为等腰三角形.
9..已知两点M(－1，0)，N(1，0)，且点P使成公差小于零的等差数列.
(1)点P的轨迹是什么曲线？
(2)若点P坐标为(x0,y0),Q为与的夹角，求tanθ.
解：(1)设P(x,y）,由M(－1，0），N(1，0）得，
=－=(－1－x,－y）,
=(1－x,－y),
=－=(2,0),∴·=2(1+x),
·=x2+y2－1,
=2(1－x).于是，是公差小于零的等差数列，等价于
所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.
(2)点P的坐标为(x0,y0)
10.
已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，
　，
.
若//，求证：ΔABC为等腰三角形；
若⊥，边长c
=
2，角C
=
，求ΔABC的面积
.
证明：（1）
即，其中R是三角形ABC外接圆半径，
为等腰三角形
解（2）由题意可知
由余弦定理可知，
11.在中，，记的夹角为.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）求函数的最大值和最小值.
解
(1)由余弦定理知：，又，
所以，又即为的取值范围；
（Ⅱ），因为
，所以，因此，.
B组
一、选择题
1.把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（
）
A．
B．
C．
D．
解．把函数y=ex的图象按向量=(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平移后得到y=f(x)的图象，f(x)=
，选C。
2.设a=(4,3),a在b上的投影为,b在x轴上的投影为2,且|b|＜1,则b为（）
A.(2,14)
B.(2,-
)
C.(-2,
)
D.(2,8)
解析：设a在b的夹角为θ，则有|a|cosθ=，θ=45°，因为b在x轴上的投影为2,且|b|＜1,结合图形可知选B
3.设两个向量和其中为实数.若则的取值范围是
(
)
A.
B.
C.
D.
解析由可得，设代入方程组可得消去化简得，再化简得再令代入上式得可得解不等式得因而解得.
4.在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，，，则的可能值有
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
【解析】解法一：
（1）
若A为直角，则；
（2）
若B为直角，则；
（3）
若C为直角，则。
所以
k
的可能值个数是2，选B
解法二：数形结合．如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以
k
的可能值个数是2，选B
二、填空题
5.
如图，在中，是边上一点，则.
【分析】法一：由余弦定理得可得，
又夹角大小为，，
所以.
法二：根据向量的加减法法则有:
,此时
.
6.如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，
则
，
.
图2
解析
作,设，
,
由解得故
三、解答题
7.已知点是
且试用
解：以O为原点，OC，OB所在的直线为轴和轴建立如图3所示的坐标系.
由OA=2，，所以，
易求，设
.
8.已知向量且，函数
（I）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（II）若，分别求及的值。
（I）解；
得到的单调递增区间为
（II）
9.已知是x,y轴正方向的单位向量，设=,
=,且满足||+||=4.
⑴求点P(x,y)的轨迹C的方程.
⑵如果过点Q(0，m)且方向向量为
=(1,1)
的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当AOB的面积取到最大值时，求m的值。
解：(1)
=,
||=,且||+||=4.
点P(x,y)到点(,0)，(-,0)的距离这和为4，故点P的轨迹方程为
(2)设A(),B()依题意直线AB的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得，则+=-m,
=
因此，
当时，即m=时，
10.已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．
解
（1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，
∴.
（2）∵，，∴，
则，
11.如图，已知△ABC中，|AC|=1,∠ABC=,∠BAC=θ,记。
求关于θ的表达式;
求的值域。
解：（1）由正弦定理，得
（2）由，得
∴，即的值域为.
C组
一、选择题
1.
在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】：
，A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确.
2.设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则|FA|+|FB|+|FC|=
(A)9
(B)
6
(C)
4
(D)
3
解．设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则F为△ABC的重心，∴
A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3，
∴
|FA|+|FB|+|FC|=，选B。
3.设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是
(
)
A．三角形区域
B．四边形区域
C．五边形区域
D．六边形区域
解析
本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力.
属于创新题型.如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，答案是集合S为六边形ABCDEF，其中，
即点P可以是点A.
4.已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的
(
)
A.重心
外心
垂心
B.重心
外心
内心
C.外心
重心
垂心
D.外心
重心
内心
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
解析
二、填空题
5.在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．
解析　设D(x，y)，由＝(x－3，y)及||＝1知(x－3)2＋y2＝1，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆．
又O＋＋＝(－1,0)＋(0，)＋(x，y)＝(x－1，y＋)，
∴|＋＋|＝.
问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－)间距离的最大值．∵圆心C(3,0)与点P(1，－)之间的距离为＝，故的最大值为＋1.
6.如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则·最小值是_______________________________________．
解析　因为＝＋，所以·＝(＋)·＝·＋()2.又因为∠AOB＝60°，OA＝OB，∴∠OBA＝60°.OB＝1.所以·＝||cos
120°＝－||.所以·＝－||＋||2＝(||－)2－≥－.故当且仅当||＝时，·最小值是－.
三、解答题
7.已知向量m＝(sin
x，cos
x)，n＝(，)，x∈R，函数f(x)＝m·n.
(1)求f(x)的最大值；
(2)在△ABC中，设角A，B的对边分别为a，b，若B＝2A，且b＝2af(A－)，求角C的大小．
解　(1)f(x)＝sin
x＋cos
x＝sin(x＋)，
所以f(x)的最大值为.
(2)因为b＝2af(A－)，由(1)和正弦定理，得sin
B＝2sin2A.
又B＝2A，所以sin
2A＝2sin2A，
即sin
Acos
A＝sin2A，
而A是三角形的内角，
所以sin
A≠0，故cos
A＝sin
A，tan
A＝，
所以A＝，B＝2A＝，C＝π－A－B＝.
8.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量m＝(cos
B,2cos2－1)与向量n＝(2a－b，c)共线．
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2，S△ABC＝2，求a，b的值．
解　(1)∵m＝(cos
B，cos
C)，n＝(2a－b，c)，m∥n，
∴ccos
B＝(2a－b)cos
C，
∴sin
Ccos
B＝(2sin
A－sin
B)cos
C，
sin
A＝2sin
Acos
C，∴cos
C＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos
C，
∴a2＋b2－ab＝12，①
∵S△ABC＝absin
C＝2，
∴ab＝8，②
由①②得或.
9.在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足＝.
(1)求|－|；
(2)存在实数t≥1，使得向量x＝＋t，y＝t＋，令k＝x·y，求k的最小值．
解　(1)由＝，且A，B，D三点共线，可知||＝||.
又AD＝5，所以DB＝11.
在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝75，
在Rt△BDC中，BC2＝DB2＋CD2＝196，
所以BC＝14.
所以|－|＝||＝14.
(2)由(1)，知||＝16，||＝10，||＝14.
由余弦定理，得cos
A＝＝.
由x＝＋t，y＝t＋，
知k＝x·y
＝(＋t)·(t＋)
＝t||2＋(t2＋1)·＋t||2
＝256t＋(t2＋1)×16×10×＋100t
＝80t2＋356t＋80.
由二次函数的图象，
可知该函数在[1，＋∞)上单调递增，
所以当t＝1时，k取得最小值516.
10.已知向量＝(cos
x，sin
x),
＝，定义函数f(x)＝·.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当⊥时，求锐角x的值．
解析：(1)f(x)＝－sin
xcos
x＋sin
2x
＝－
＝－sin，
∴2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)当⊥时，f(x)＝0，
即－sin＝0,
sin＝，
又<2x＋＜，故2x＋＝，故x＝.
11．已知向量a＝(sin
θ，－2)与b＝(1，cos
θ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sin
θ和cos
θ的值；
(2)若sin(θ－φ)＝，0＜φ＜，求cos
φ的值．
解析：(1)∵a与b互相垂直，则a·b＝sin
θ－2cos
θ＝0，即sin
θ＝2cos
θ，代入sin2
θ＋cos2
θ＝1得sin
θ＝±，cos
θ＝±，
又θ∈，∴sin
θ＝，cos
θ＝.
(2)∵0＜φ＜，0＜θ＜，∴－＜θ－φ＜.
∴cos(θ－φ)＝＝.
∴cos
φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos
θcos(θ－φ)＋sin
θsin(θ－φ)＝×＋×＝.第十四讲
立体几何选择填空压轴题专练
A组
一、选择题
1．如图，矩形中，
，
为边的中点，将沿直线翻转成（平面）．若、分别为线段、的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是（
）
A.
与平面垂直的直线必与直线垂直
B.
异面直线与所成角是定值
C.
一定存在某个位置，使
D.
三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值
【答案】C
【解析】取CD的中点F，连BF,MF,如下图：
可知面MBF//
,所以A对。
取中点G,可知，如下图，可知B对。
点A关于直线DE的对为F,则面，即过O与DE垂直的直线在平面上。故C错。
三棱锥外接球的球心即为O点，所以外接球半径为。故D对。选C
2．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由三视图可知该几何体是三棱锥，其中底面是矩形，边长为6，5，高为h，所以体积
3．如图，矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是
A．｜BM｜是定值
B．点M在某个球面上运动
C．存在某个位置，使DE⊥A1
C
D．存在某个位置，使MB//平面A1DE
【答案】C
【解析】
取CD中点F，连接MF，BF，则MF//A1D且MF=A1D,FB//ED
且FB=ED所以，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MF FB cos∠MFB是定值，所以
M是在以B为圆心，MB为半径的球上，可得①②正确．由MF//A1D与
FB//ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得③不正确．故答案为：①②④．
4．如图，正四面体的顶点、、分别在两两垂直的三条射线，
，
上，则在下列命题中，错误的是(
)
A.
是正三棱锥
B.
直线与平面相交
C.
直线与平面所成的角的正弦值为
D.
异面直线和所成角是
【答案】C
【解析】①如图ABCD为正四面体，
∴△ABC为等边三角形，
又∵OA、OB、OC两两垂直，
∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC，
过O作底面ABC的垂线，垂足为N，
连接AN交BC于M，
由三垂线定理可知BC⊥AM，
∴M为BC中点，
同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，
∴N为底面△ABC中心，
∴O﹣ABC是正三棱锥，故A正确．
②将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行．
则B正确，
③由上图知：直线与平面所成的角的正弦值为,则C错误
④异面直线和所成角是，故D正确.
二、填空题
5．（2017全国1卷理）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5
cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______。
【答案】
【解析】如下图，设正三角形的边长为x，则.
，
三棱锥的体积
.
令，则，
令，
，，
.
6．已知求的直径是该球球面上的点，
，则棱锥
的体积为__________．
【答案】
【解析】设球心为,因为,所以,
.
7．在三棱锥中，
是边长为3的等边三角形，
，二面角的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】由题可得：球心O在过底面的中心G的垂直底面的直线上，又二面角的大小为120°，取AB的中点为M，SB的中点为N，故,又,过M做MH=GO，且MH垂直底面，所以，
,故球的半径为,所以球的表面积为
8．已知两平行平面间的距离为，点，点，且，若异面直线与所成角为60°，则四面体的体积为__________．
【答案】6
【解析】设平面ABC与平面交线为CE，取
,则
9．在空间直角坐标系中，四面体在坐标平面上的一组正投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示）．该四面体的体积是____．
【答案】
【解析】由图可知，
该三棱锥的底面是底为4，高为1的三角形，高为2，
故其体积为，故答案为.
10．如图，在棱长为2的正四面体中，
分别为直线上的动点，且.若记中点的轨迹为，则等于____________.（注：
表示的测度，在本题，
为曲线、平面图形、空间几何体时，
分别对应长度、面积、体积.）
【答案】
【解析】为了便于计算，将正四面体放置于如图的正方体中，可知，正方体的棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
，即
，又，即
，代入上式得
，即，即的轨迹为半径为的圆，周长为
.
B组
一、选择题
1．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6,点O在BC上,且BO=OC,过点O的直线l与直线AA1,C1D1分别交于M,N两点,则MN与面ADD1A1所成角的正弦值为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
将平面
延展与
交于
连结
，并延长与
延长线交于
，平面交
于
，
可知
等于
与
成角,，由正方体的性质可知
，
，故选
.
2．四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
根据三视图还原几何体为一个四棱锥，平面
平面，由于为等腰三角形，四边形为矩形，
，过的外心
作平面
的垂线，过矩形的中心作平面的垂线
两条垂线交于一点为四棱锥外接球的球心，在三角形
中，
，则
，
，
，
，
，
，
.选C.
3．如图是正方体的平面展开图。关于这个正方体，有以下判断：
①与所成的角为②∥平面
③
④平面∥平面
其中正确判断的序号是（
）．
A.
①
③
B.
②
③
C.
①
②
④
D.
②
③
④
【答案】C
【解析】
把正方体的平面展开图还原成正方体
，得：①与所成的角为正确；
②
不包含于平面
平面
平面
，故②正确；
③
与
是异面直线，故③不正确；
④
平面
，所以平面
平面
，故
④
正确
，正确判断的序号是①
②
④，故选C.
4．若三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，
，则该三棱锥的外接球的表面积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】如图，底面是等腰直角三角形，
是中点，所以外接球圆心在上，设外接球半径为，所以有，解得，所以该三棱锥的外接球表面积为.
故本题正确答案为A.
5．三棱锥中，侧棱底面，
，
，
，
，则该三棱锥的外接球的表面积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题，侧棱底面，
，
，
，则根据余弦定理可得
，
的外接圆圆心
三棱锥的外接球的球心到面的距离
则外接球的半径
，则该三棱锥的外接球的表面积为
6．正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】以点D为原点，DA、DC、
分别为
建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，设点P坐标为
，则
设
的夹角为，所以
，所以当
时，
取最大值
。当
时，
取最小值。因为
。故选D。
7．已知棱长为2的正方体，球与该正方体的各个面相切，则平面截此球所得的截面的面积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】因为球与各面相切，所以直径为2，且的中点在所求的切面圆上，所以所求截面为此三点构成的边长为正三角形的外接圆，由正弦定理知，所以面积，选D．
8．已知与是四面体中相互垂直的棱，若，且，则四面体的体积的最大值是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】作于，连接，因为，所以平面，作于，所以，从而，要使体积最大，则要最大，则要求最大，而，所以在时，
最大，所以，
是中点，
，所以，故选A．
二、填空题
9．
现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为
，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于______．
【答案】
【解析】椭圆的长半轴为5，短半轴为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V圆柱﹣V圆锥）=2（π×22×5﹣）=．
10．已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．
【答案】24π
【解析】
如图，正四棱锥的体积，在直角三角形中，
所以表面积为
11．球为正方体的内切球，
，
分别为棱的中点，则直线被球截得的线段长为__________．
【答案】
【解析】
设与球面交于
两点，过球心与
的截面如图，因为，
分别为棱的中点，所以可得
，根据正方体的性质可得，球为正方体的内切球，可得
，由勾股定理得，故答案为
.
12．体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为线段上一点，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__________．
【答案】
【解析】设，如图，设的中心为，连接.设三棱锥的高为,在中，由勾股定理可得，即，即又，所以所以，解得，故易得，所以，当截面与垂直时，截面圆的面积有最大值，此时截面圆的半径，此时截面圆的面积为，当截面经过平均发展速度时，截面圆的面积最大
，且最大值为.
13．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（
）
A．圆
B．抛物线
C．双曲线
D．椭圆
【答案】B
【解析】
作，为垂足，则平面，作为垂足，由三垂线定理得.以分别为轴，建立空间直角坐标系，设，依题意可得.由可得，即化简可得.选.
C组
一、选择题
1．在直四棱柱
中，底面为菱形，
分别是的中点，
为的中点且，则的面积的最大值为（
）
A.
B.
3
C.
D.
【答案】B
【解析】由直四棱柱
中，底面为菱形，
分别是的中点，
为的中点且，可得为等腰三角形，设
，则
，因为，由余弦定理得
，可得
，
的面积为等于的
，
的面积的最大值为
，故选B.
2．三棱锥的体积为，
底面，且的面积为4，三边的乘积为16，则三棱锥的外接球的表面积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】∵三棱锥的体积为且的面积为4，∴，由底面，所以球心到底面的外接圆圆心的距离为1，另，
，两式相除，由正弦定理知底面的外接圆半径为1，所以三棱锥的外接球的半径为，表面积为，故选B.
3．已知矩形，
，沿直线将折成，使点在平面上的射影在内（不含边界）．设二面角的大小为，直线，
与平面所成的角分别为则（
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】如图，作于E，
是在平面内的射影，连接，易知，在矩形中，作于E，延长交于，由点必落在上，由知，从而，即，故选D．
4．如图所示，正方体的棱长为，
分别为和上的点，
，则与平面的位置关系是（
）
A.
相交
B.
平行
C.
垂直
D.
不能确定
【答案】B
【解析】如下图，连接BN交AD于点E,连，
，所以与平面平行，选B.
5．如图，动点在正方体的对角线上.过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于.设，则函数的图象大致是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设正方体的棱长为
，显然，当
移动到对角线
的中点
时，
取得唯一最大值，所以排除
；当在
上时，分别过
作底面的垂线，垂足分别为
，则
，故选B.
二、填空题
6．点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，
，若球的体积为，则动点的轨迹的长度为__________．
【答案】
【解析】如图：，内切球的半径为：
，所以正方体棱长为，取的靠B的三等分点H连接CD,DH，则NB⊥面DHC，所以M的轨迹为DHC与内切球的交线，由正方体棱长为可得O到面DCH的距离为，所以截面圆的半径为，所以M的轨迹长度为：
7．如图，在长方体中，
，点为线段上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的__________．
①当时，
平面；
②当时，
平面；
③的最大值为；
④的最小值为.
【答案】①②
【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，则,,设,.对于①，当，即，解得，
，设平面的法向量为，则由，解得，由于，所以平面成立.对于②，当时，即，解得，由可知平面成立.对于③，设，即，解得，由，其分子化简得，当时，
，故的最大值可以为钝角，③错误.对于④，根据③计算的数据，
,，在对称轴，即时取得最小值为，故④错误.
8．一光源在桌面的正上方，半径为的球与桌面相切，且与球相切，小球在光源的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是，其中，则该椭圆的长轴长为_______
【答案】8
【解析】正视图为内切一个圆,且r=2,PA=6,AB=2+x,PB=4+x,根据勾股定理解得x=6,即PA=6,AB=8,PB=10,所以长轴为8.填8.
【点睛】
对于直角三角形的内切圆有如下性质，如图AD=AE,BD=BF,CE=CF.即同一点引出的切线长相等。
9．已知空间四边形中，
，
，
，若平面平面，则该几何体的外接球表面积为__________．
【答案】
【解析】如图：由于
是等边三角形，所以到A,B,D三点距离相等的点在重心O且垂直是平面ABD的直线上，又因为，所以到B,C,D三点距离相等的点在过BD中点E且与平面BCD垂直的直线上，两直线的交点是O,所以球心为O.半径R=，
。填。
10．将边长为2，锐角为的菱形沿较短对角线折成四面体，点分另的中点，则下列命题中正确的是__________．（将正确的命题序号全填上）
①；
②是异面直线与的公垂线；
③平面；
④垂直于截面．
【答案】②③④
【解析】如图：
由题意得，
与
是异面直线，故①不正确；由等腰三角形的中线性质得
面
，又面
，
，且
，故
②正确；由三角形中位线定理可得
，在根据线面平行的判定定理可得平面，故③正确；由面得，
，又
面
，故④正确，故答案为②③④.
11．已知点为棱长等于的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时，
与夹角大小为__________．
【答案】
【解析】
由题意得，取中点，
则
，
因为，所以在以为球心的球面上，
所以，因为，
所以，所以与的夹角为.
M
D
A
B
C
B1
A1
D1
C1
P
．
．
试卷第20页，总21页
试卷第1页，总21页第十九讲
正态分布强化专题练
A组
一、选择题
1．在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若，则，
.（
）
A.
906
B.
1359
C.
2718
D.
3413
【答案】B
【解析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积
，
则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为
.
本题选择B选项.
2．2017年1月我市某校高三年级1600名学生参加了2017届全市高三期末联考，已知数学考试成绩（试卷满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为
A.
120
B.
160
C.
200
D.
240
【答案】C
【解析】结合正态分布图象的性质可得：此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为
.
本题选择C选项.
3．已知随机变量X服从正态分布
A.
0．84
B.
0．68
C.
0．32
D.
0．16
【答案】B
【解析】∵∴，
∴
∴.故选B．
4．随机变量服从正态分布,且,则
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题,又随机变量服从正态分布，则对称轴，则，可得．故本题答案选．
5．已知随机变量～，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（
）
附：若随机变量～，则，
A.
6038
B.
6587
C.
7028
D.
7539
【答案】B
【解析】由题意
，则落入阴影部分的点的个数的估计值为
，故选B.
二、填空题
6．在我校2015届高三11月月考中理科数学成绩（），统计结果显示，假设我校参加此次考试有780人，那么试估计此次考试中，我校成绩高于120分的有
人．
【答案】
【解析】
我校成绩高于分的有人.
7．已知随机变量服从正态分布，若，则______．
【答案】
【解析】
由正态分布的图象可知,故,故.
三、解答题
8．质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：
（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为，，试比较，的大小（只要求写出答案）；
（Ⅱ）估计在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一桶的质量指标大于20；
（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布．其中近似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于（14.55，38.45）的桶数，求的数学期望．
注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得
②若，则，．
【解析】（Ⅰ），.
（Ⅱ）设事件：在甲种食用油中随机抽取1桶，其质量指标不大于20，
事件：在乙种食用油中随机抽取1桶，其质量指标不大于20，
事件：在甲、乙两种食用油中随机抽取1桶，恰有一个桶的质量指标不大于20，且另一个不大于20，
则，，
∴
，
（Ⅲ）计算得：，由条件得，
从而，
∴从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于（14.55,38.45）的概率是0.6826，
根据题意得，
∴.
9．某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等极如下表：
质量指标值
等级
三等品
二等品
一等品
从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：
（1）根据以上抽样调查数据
，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定？
（2）在样本中，按产品等极用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；
（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值近似满足，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？
【解析】（1）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定.
（2）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情况有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件，故所求的概率.
（3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为
“质量提升月”活动后，产品质量指标值近似满足，则.
所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6
10．某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位：
）的数据，如下表：
x
2
5
8
9
11
y
12
10
8
8
7
（1）求出与的回归方程；
（2）判断与之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；
（3）设该地1月份的日最低气温～，其中近似为样本平均数，
近似为样本方差，求.
附：①回归方程中，
，
.
②，
，若～，则，
.
【解析】
(1)
∵令,，
,
∴
∴
∴（或者：
）
∴所求的回归方程是
(2)
由知与之间是负相关，
将代入回归方程可预测该店当日的销售量
(千克)
（或者：
）
(3)由(1)知，又由
得
从而
.
B组
一、选择题
1．已知随机变量服从正态分布，且，则=（
）
A.
0.6826
B.
0.3413
C.
0.4603
D.
0.9207
【答案】A
【解析】由正态分布的性质可得，正态分布的图象关于直线对称，则.
本题选择A选项.
2．某校高考数学成绩近似地服从正态分布，且，则的值为（
）
A.
0.49
B.
0.48
C.
0.47
D.
0.46
【答案】D
【解析】依据题设条件及正太分布的对称性可知所以，则，所以，应选答案D。
3．设随机变量服从正态分布，若，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】随机变量服从正态分布，
.
4．设随机变量服从正态分布，若，则（
）
A.
0.2
B.
0.3
C.
0.7
D.
与的值有关
【答案】C
【解析】试题分析：因为随机变量服从正态分布，所以曲线关于对称，所以，所以，故选C.
5．随机变量～，若，则为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】，
，故选D．
6．已知随机变量服从正态分布，若，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】根据正态分布密度曲线的对称性可知，若，函数的对称轴是
，所以，故选B.
7．高三某班有50名学生,一次数学考试的成绩服从正态分布:
,已知,该班学生此次考试数学成绩在115分以上的概率为(
)
A.
0.1587
B.
0.3413
C.
0.1826
D.
0.5000
【答案】A
【解析】因为数学考试的成绩服从正态分布:
,，所以该正态曲线关于
对称，
，故选A.
8．随机变量，则（
）
A．0．0215
B．0．1359
C．0．1574
D．0．2718
（参考数据：，，）
【答案】B
【解析】根据正态分布的对称性，有．
二、填空题
9．已知随机变量服从正态分布，且，则
。
【答案】
【解析】
由题设和正态分布的性质可得，即，所以。故应填。
三、解答题
10．从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（用同一组数据用该区间的中点值用代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用（i）的结果，求.
附：，若，则，
【解析】
（Ⅰ）抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为
，
，
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，
从而,
(ii)由（i）知，一件产品中质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以.
C组
一、选择题
1．2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩（试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（
）
A．80
B．100
C．120
D．200
【答案】D
【解析】正态曲线图象的对称轴为，根据其对称性可知，
成绩不低于分的学生人数约为人，故选D.
2．已知随机变量服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数的图象，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由已知得函数的图像关于直线对称，且与直线，和构成的图形面积为，所以，选A．
3．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（
）
（附：若随机变量服从正态分布，则，）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由题意
故选B．
4．设两个正态分布和曲线如图所示,则有
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由正态曲线和均值、标准差的意义，得；故选A．
5．设，其正态分布密度曲线如图所示，且，那么向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（
）
附：（随机变量服从正态分布，则，
）
A．6038
B．6587
C．7028
D．7539
【答案】B．
【解析】由题意得，，
∴，∴，
∴，故估计的个数为个，故选B．
二、填空题
6．若随机变量，且，则展开式中项的系数是__________．
【答案】1620
【解析】随机变量，均值是2，且，∴；
∴；
又展开式的通项公式为，
令，解得，不合题意，舍去；令，解得，对应的系数为；令，解得，不合题意，舍去；∴展开式中项的系数是，故答案为1620.
三、解答题
7．某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图：
（Ⅰ）求直方图中的值；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，试计算数据落在上的概率．
参考数据：若，则，
．
（Ⅲ）设生产成本为，质量指标为，生产成本与质量指标之间满足函数关系假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．
【解析】
（Ⅰ）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，从而
．
由题设条件及食品的质量指标的频率分布直方图，得食品生产成本分组与频率分布表如下：
组号
1
2
3
4
5
6
7
分组
频率
0.02
0.09
0.22
0.33
0.24
0.08
0.02
根据题意，生产该食品的平均成本为
．
8．未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如图所示（单位：μm）．
（I）计算平均值μ与标准差σ
（Ⅱ）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ）；该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件．度量其内径分别为（单位：μm）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.002．
【解析】
（I）平均值μ==105μm
方差==36，标准差σ=6
（Ⅱ）需要进一步调试，Z服从正态分布N（105，36），
P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，∴内径在（87，123）之外的概率为0.0026，
而86 （87，123），根据3σ原则，若机器异常，需要进一步调试．
9．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：
（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.
附：
若则，。
【解析】
（I）抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为
，
．
（II）（i）由（I）知，服从正态分布，从而
．
（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以．
10．某市需对某环城快速车道进行限速，为了调研该道路车速情况，于某个时段随机对辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：
经计算：样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于或车速大于是需矫正速度.
（1）从该快速车道上所有车辆中任取个，求该车辆是需矫正速度的概率；
（2）从样本中任取个车辆，求这个车辆均是需矫正速度的概率；
（3）从该快速车道上所有车辆中任取个，记其中是需矫正速度的个数为，求的分布列和数学期望.
【解析】（1）记事件为“从该快速车道上所有车辆中任取个，该车辆是需矫正速度”，
因为，
由样本条形图可知，所求的概率为
.
（2）记事件为“从样本中任取个车辆，这个车辆均是需矫正速度”
由题设可知样本容量为，又需矫正速度个数为个，故所求概率为.
（3）需矫正速度的个数服从二项分布，即，
∴，
，
，
因此的分布列为
由，知数学期望.
4
1第四十六讲
填空题压轴题精选
A组
1、如果对定义在R上的函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“H函数”。给出下列函数：
①；②；③；④。
以上函数是“H函数”的所有序号为______。
【答案】：①③
【解析】：由已知对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，等价于不等式，
即函数是定义在R上的增函数；
①为增函数，满足条件；
②函数在定义域上不单调，不满足条件；
③，，函数在R上单调递增，满足条件；
④，当x>0时，函数单调递增，当x<0时，函数单调递减，不满足条件。
综上满足“H函数”的函数为①③。
2、定义在R上的，满足且，则的值为
。
【答案】：1006
【解析】：①令，有；令，有；
②令，则有，即；
从而，故。
3、如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线，各段弧所在的圆经过同一点（点不在上）且半径相等。设第段弧所对的圆心角为，则____________。
【答案】：
【解析】：如图连接三个圆心与弧的交点，得到一个六边形；
因为三个圆的半径相等，则六边形为正六边形；
从而；
故。
4、设圆C位于抛物线与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为_________。
【答案】：。
【解析】：为使圆的半径取到最大值，显然圆心应该在x轴上且与直线相切；
设圆的半径为，则圆的方程为，将其与联立得：，
令，并由，得：。
5、若实数a，b，c满足，，则c的最大值是
。
【答案】：
【解析】：由，得，所以.
由题设得
，
所以
。
6、（2016全国一卷16）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则b=
。
【答案】：
【解析】：设与和的切点分别为，；
由导数的几何意义知，则有；
又切点在曲线上，可得；
联立解得
从而由得出。
7、已知椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是，若（0＜λ＜4），则离心率e的取值范围是　　
。
【答案】：
【解析】：由已知A（﹣a，0），B（a，0），（﹣c，0），（c，0）；
因为，
则；
又0＜λ＜4，则有（0＜e＜1）；
解得；
故答案为。
8、若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是_________。
【答案】：
【解析】：曲线表示以为圆心，以1为半径的圆，
曲线表示过定点，
与圆有两个交点，故也应该与圆有两个交点，
由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，
两种相切分别对应，由图可知，m的取值
范围应是。
9、已知函数，存在，使得，则的最大值为_________。
【答案】：
【解析】：由题意，则，
又，故令y，则，
当时，，当，；
从而函数在上单调递增，在上单调递减，
故x=e时，函数取得最大值，即的最大值为。
10、在平面直角坐标系中,设定点，是函数()图象上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为_______。
【答案】：-1或
【解析】：由题意设则有
令，则，对称轴；
（1）当时，；
因为点之间的最短距离为，则有；
解得：或（舍去）；
（2）当时，，则有；
解得：
或（舍去）；
综上或。
B组
1、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a，b，c，，则=_________。
【答案】：4
【解析】：方法一：考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。
当A=B或a=b时满足题意，此时有：，，，
，=
4。
（方法二），
由正弦定理，上式。
2、过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则的值为___________。
【答案】：
【解析】：
代入得：
设
又
3、已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为
。
【答案】：
【解析】：因为在△ABC中，a=2，
则根据正弦定理可得
，即；
由基本不等式可得
，则，当且仅当b=c=2时取等号；
此时△ABC为等边三角形，它的面积为。
4、设是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集为
。
【答案】：
【分析】：令，则，则为增函数，
不等式可化为，
即，由，
故不等式的解集为。
5、已知函数满足：
则_______。
【答案】：
【解析】：取x=1，y=0得
法一：通过计算，寻得周期为6。
法二：取x=n
，y=1，有，
同理
联立得：
故。
6、已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为
。
【答案】：5
【解析】:如图连接OA、OD作OE⊥AC，OF⊥BD垂足分别为E、F，
设圆心O到AC、BD的距离分别为，
因为AC⊥BD于M，则四边形OEMF为矩形；
又点，从而有；
则四边形ABCD的面积为，
当且仅当时取等号；
故四边形的面积的最大值为5。
7、（15年福建理科）已知，，若
点是
所在平面内一点，且，则的最大值为
。
【答案】：13
【解析】：由题意建立如图所示的坐标系，可得A(0，0)，B(，0)，C(0，t)，
因为，则P（1，4）；
从而；
则，
当且仅当，即时等号成立；
故的最大值为13。
8、已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________。
【答案】：或
【解析】：方法一：显然.
（1）当与相切时，，此时恰有3个互异的实数根；
（2）当直线与函数相切时，，此时恰有2个互异的实数根；
结合图象可知或。
方法二：显然，所以；
令，则；
因为，所以；
结合图象可得或。
9、若函数=的图像关于直线对称，则的最大值是______。
【答案】：16
【解析】由图像关于直线=－2对称，则
0==，
0==，解得=8，=15，
∴=，
∴==
=
当∈(－∞,)∪(－2,
)时，＞0，
当∈(,－2)∪(,+∞)时，＜0，
∴在（－∞，）单调递增，在（，－2）单调递减，在（－2，）单调递增，在（，+∞）单调递减，故当=和=时取极大值，==16。
10、已知正数满足：则的取值范围是
。
【答案】：[e，7]
【解析】：由已知条件可化为：
。
设，则题目转化为：
已知满足，求的取值范围。
作出（）所在平面区域（如图）。求出的切
线的斜率，设过切点的切线为，
则，要使它最小，须。
从而的最小值在处，为。此时，点在上之间。
当（）对应点时，
，
则的最大值在处且
故的取值范围为，即的取值范围是。
C组
1、设，为单位向量，非零向量，，。若，的夹角为，则的最大值等于__________。
【答案】：2
【解析】：由已知；
则，当x＝0时，；
当x≠0时，；
故的最大值为2。
2、在面积为2的中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是________。
【答案】：
【解析】：由题设知，的面积为1，以B为原点，BC所在直线为轴，过点B与直线BC垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，设，
则；
从而，
当且仅当时取等号，故的最小值是。
3、已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是
。
【答案】：(1，)
【解析】：方法一：因为在中，由正弦定理得
则由已知，得，即，且知点P在双曲线的右支上；
设点由焦点半径公式，得，
则有，解得；
由双曲线的几何性质知，整理得
解得，故椭圆的离心率。
方法2：由方法一知由双曲线的定义知：；
，即，
由双曲线的几何性质知：，则有，即；
化简得：
解得，故椭圆的离心率。
如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为　
。
【答案】：
【解析】：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则E（，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0），
从而
，，设
，
因为
则有，解得；
从而；
又因为，则，
故当取最大值1时，。
5、（2015全国一卷16）在平面四边形ABCD中则AB的取值范围是________。
【答案】：
【解析】：如图所示，延长BA，CD交于点E，
则在△ADE中，∠DAE=105 ，∠ADE=45 ，∠E=30 ；
设，
因为BC=2，则；
从而；
则有，
又；
故的取值范围是。
6、数列满足，则的前项和为
。
【答案】：1830
【解析】：因为，
所以，，，，，，
……，，，。
由，可得；
由，可得；
……
由，可得；
从而
又，，，…，，，
所以
；
从而；
因此。
7、已知点为圆与圆的公共点，，
，若，则点与直线：上任意一点之间的距离的最小值为
。
【答案】：2
【解析】：设则圆，
圆，；
故是关于的方程的两根；
因此由韦达定理得，所以点在圆上，其到直线距离就是点与直线上任意一点之间的距离的最小值，为
8、（2015天津理）在等腰梯形
中,已知
，动点
和
分别在线段
和
上，且，
则的最小值为
。
【答案】：
【解析】：因为，
，
，
，
当且仅当即时的最小值为。
9、已知函数。对于不相等的实数，，设，。现有如下命题：
(1)
对于任意不相等的实数，，都有；
(2)
对于任意的及任意不相等的实数，，都有；
(3)
对于任意的，存在不相等的实数，，使得;
(4)
对于任意的，存在不相等的实数，，使得.
其中的真命题有_________________(写出所有真命题的序号）。
【答案】：(1)
(4)
【解析】：(1)设>，函数单调递增，所有>，->0，
则=>0，所以正确；
(2)设>,则->0,则
，可令=1，=2，
，则，所以错误；
(3)因为，由（2）得：，分母乘到右边，右边即为，所以原等式即为=，
即为=，令，
则原题意转化为对于任意的，函数存在不相等的实数，使得函数值相等，，则，则，
令，且，可得为极小值。若，则，即，单调递增，不满足题意，所以错误。
(4)由(3)
得=，则，设，有，使其函数值相等，则不恒为单调。
，，恒成立，单调递增且，。所以先减后增，满足题意，所以正确。
10、设函数
记集合,则所对应的的零点的取值集合为___________；
(2)若___________。(写出所有正确结论的序号)
①
②
③若
【答案】：(1)
(2)①②③
【解析】：(1)由题意知,所以方程可化为,即又,所以当时此时;当时,无解.所以的零点的取值集合为。
①令，
则，因为所以，
即，所以是单调递减函数，所以在上，
又，
所以
②又因为是单调递减函数，所以在一定存在零点,即,此时不能构成三角形的三边.
③由余弦定理易知,即,又，且连续，所以故①②③都正确。第十三讲
空间向量与立体几何综合
A组
1、
选择题
1、已知是非零向量，若向量是平面的一个法向量，则“”是“向量所在的直线平行于平面”的（
）条件
A.
充分不必要
B.
必要不充分
C.
充分必要
D.
既不充分也不必要
答案：B
2、已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（　　）
A．1
B.
C.
D.
【解析】
D
与互相垂直，
解得，故选D．
3、在空间直角坐标系中，平面的法向量为,
已知，则P到平面的距离等于
（　　）
A．
B.
C.
D.
【解析】B
因为向量在平面OAB的法向量投影的绝对值为P到平面OAB的距离，所以
4、如图，空间四边形中，，分别是，的中点，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：
如图所示，连结，则由是的中点
可得，又，故
二、填空题
5、若,,则为邻边的平行四边形的面积为
．
【答案】
【解析】
因为,所以,故所求的平行四边形的面积为.
6、如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是（
）
A．21
B．22
C．23
D．25
【答案】B
【解析】在上取点，使得，则面，连结，则．在平面上，以所在直线为轴，以所在直线为轴，由题意可知，点轨迹为抛物线，其方程为，点坐标为，设，则（其中，当时，，故．
三、解答题
7．（2017年北京卷理）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．
（I）求证：M为PB的中点；
（II）求二面角B-PD-A的大小；
（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
【解析】（I）设交点为，连接.
因为平面，平面平面，所以.
因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.
（II）取的中点，连接，.
因为，所以.
又因为平面平面，且平面，所以平面.
因为平面，所以.
因为是正方形，所以.
如图建立空间直角坐标系，则，，，
，.
设平面的法向量为，则，即.
令，则，.于是.
平面的法向量为，所以.
由题知二面角为锐角，所以它的大小为.
（III）由题意知，，.
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
8．如图，在四棱锥P—ABCD中，
，，且四边形ABCD为菱形，，.
（1）求证：；
（2）求平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值。
【解析】（1）证：取AB边中点G，连接PG，DG，DB。
∵
∴
………2分
又∵四边形ABCD为菱形且
∴为等边三角形
∴
又∵
∴
又∵
∴
………5分
（2）又∵，，
且
∴
∴以G为原点，GA，GD，GP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则
∴G(0，0，0),，，
∴，
∵，且，
∴
∴为的法向量，且
设为的法向量
令，则，且
∴∴
又平面PAB与平面PCD所成二面角的平面角为锐角，故所求二面角的平面角的余弦值为。
9、如图，在斜三棱柱中，点O是的中点，平面.
已知,.
(1)求证：;
(2)求与平面所成角的正弦值.
【解析】建立如图所示空间直角坐标系O-xyz,
则,,,,
（1）,,,
(2)设,设平面的一个法向量是，则，
令，得
与平面所成角的正弦值为.
10、如图，四边形中，，，，面，，且.
（1）求证：面；
（2）若二面角的大小为，求与面所成角的正弦值.
【解析】（1）证明：设交于，连接，在中，由余弦定理可得：.
∴，∴，
∵，∴∽.
∴，∴，
又，∴四边形为平行四边形.
∴.
又∵面，面，
∴面.
（2）∵面
∴，，
分别以所在直线建立如图所示空间直角坐标系，
则，设，则
∴，，
设平面的法向量为，则
，即，
取，有
易知平面的一个法向量
∴
解得
∴，易知面的一个法向量，
∴
∴直线与面所成角的正弦为.
11、如图，已知边长为6的菱形与相交于，将菱形沿对角线折起，使．
（1）若是的中点，求证：在三棱锥中，直线与平面平行；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在三棱锥中，设点是上的一个动点，试确定点的位置，使得．
【解析】（1）证明：因为点是菱形的对角线的交点，
所以是的中点，
又点是棱的中点，
所以是的中位线，，
因为平面平面，
所以平面
（2）解：由题意可知，，
因为，所以，
又因为菱形，所以，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以．　
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，所以．
因为，所以平面，
平面的法向量与平行，
所以平面的一个法向量为，
，
因为二面角的平面角是锐角
所以二面角的余弦值为
（3）解：设，因为是线段上的一个动点，设，
即，
所以，
则，
由，得：，即，
解得：
所以点的坐标为
12．（2017年全国1卷理）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA=PD=AB=DC,,求二面角A-PB-C的余弦值.
【解析】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.
又AB
平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
（2）在平面内做，垂足为，
由（1）可知，平面，故，可得平面.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.
由（1）及已知可得，，，.
所以，，，.
设是平面的法向量，则
，即，
可取.
设是平面的法向量，则
，即，
可取.
则，
所以二面角的余弦值为.
B组
1、
选择题
1、已知平面的法向量为,点不在内,则直线与平面的位置关系为
A．
B．
C．与相交不垂直
D．
【答案】D
【解析】
,而点不在内,故
2、在正方体中,若是的中点,则异面直线与所成角的大小是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
如图建系,设正方形棱长为2,则,,
则,,∵,即,
即异面直线与所成角为.
3、空间四边形中,,,,点在上,且,点为中点,则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由题意
；又
,,,．故选B．
4、正四棱柱中，，则与平面所成角的正弦值等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系，则，设为平面的一个法向量，则，取，设与平面所成的角为，则
二、填空题
5、如图3，在棱长为的正方体内（含正方体表面）任取一点，则的概率
.
【解析】由几何概型的计算公式得.
6、在直三棱柱中,底面ABC为直角三角形,,.
已知Ｇ与Ｅ分别为和的中点,Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）.
若,则线段的长度的最小值为
.
【答案】
【解析】
建立直角坐标系,以Ａ为坐标原点,ＡＢ为ｘ轴,ＡＣ为ｙ轴,ＡＡ１为ｚ轴,则（
）,,,（）.所以,.
因为,所以,由此推出
.又,
,从而有
.
三、解答题
7、如图，在三棱柱中，已知，，，.
（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值.
【解析】（1）连结，在中，
∵
∴.
又，∴由勾股定理的逆定理，得为直角三角形.
∴.
∵，，,
∴平面.
∵平面
∴
（2）在中，∵,,则由勾股定理的逆定理，得为直角三角形，
∴.
以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，.
设平面的法向量为.
由.
令，则平面的一个法向量为.
设平面的法向量为.
由.
令，则平面的一个法向量为.
设二面角的平面角为，易知为锐角.
∴.
8、如图，四棱锥中，底面是平行四边形，且平面，，与底面所成角为.
（I）证明：平面平面；
（II）求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.
【解析】（I）
底面是平行四边形，且,
又平面，
，面…
平面平面
（II）平面，与底面所成角为
在中，
在中，
，故
，
设与相交于点，取的中点，连结，则
平面，平面
以分别为轴方向建立空间直角坐标系，则
，
,
，，
设平面的法向量
由
得
，取
，
则
故平面的一个法向量为
由
得
，取
，则
平面的一个法向量
设平面与平面所成二面角为，且因为为锐角.
，即平面与平面所成二面角的余弦值为
9、如图，在空间几何体中，平面平面，与都是边长为2的等边三角形，，点在平面上的射影在的平分线上，已知和平面所成角为.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【解析】证明：由题意知，与都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则.又∵平面平面，平面,作平面,那么，根据题意，点落在上，∵和平面所成角为，∴.∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴.∵平面，平面，∴平面
（2）由已知，两两互相垂直，故以为轴，
轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，得.
∴,设平面的一个法向量为.
∵,∴.令∴取
又∵平面的一个法向量，
∴.
又由图知，所求二面角的平面角为锐角，∴二面角的余弦值.
10、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，，．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）若二面角大小的为
，求的长．
【解析】（1）∵AD
//
BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，
∴CD
//
BQ
(2分)
∵∠ADC=90°
∴∠AQB=90°
即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面MQB，∴平面MQB⊥平面PAD
(5分)
（2）∵PA=PD，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
(6分)
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则，，，，
由
，且，得
所以
又，
∴
平面MBQ法向量为
由题意知平面BQC的法向量为
∵二面角M-BQ-C为60°
∴，∴
∴
（C组）
2、
选择题
1、在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（
）
A．
B．且
C．且
D．且
【答案】D
【解析】
三棱锥在平面上的投影为，所以，
设在平面、平面上的投影分别为、，则在平面、上的投影分别为、，因为，，所以，
故选D.
2、已知棱长为2的正方体，是过顶点圆上的一点，为中点，则与面所成角余弦值的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，连结，交于点，过作的垂线交延长，交于，结合图形得与面所成角余弦值是与面所成角余弦值的最小值，过作的平行线交圆于，此时与面所成角余弦值的取最大值，由此能求出与面所成角余弦值的取值范围．
3、如图，正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以,设平面的法向量为,则由题设,即,令,则,所以由平面,则,即,也即,所以.因平面的法向量为,故与平面所成角的正弦值,正切值,令,则,所以,即,所以应选D.
4、在正三棱锥中，底面边长，侧棱，，分别是线段，上的动点（可以和端点重合），则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A.
【解析】如下图所示，设，，，，
∴
，∴当，时，
，当，或时，，即的取值范围是，故选A.
二、填空题
5、直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1、A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为
【解析】
如图，分别以C1B1，C1A1，C1C为x，y，z轴，建立坐标系，
令CA＝2，则A（0，2，2），B（2，0，2），
M（1，1，0），N（0，1，0）．　∴　＝（－1，1，－2），
＝（0，－1，－2）．
cos＝＝＝，
6、如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为
.
【解答】：（求解对照）以A为坐标原点，AB为轴，AQ为轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则
设，其中，
，
，令，则
当，即M在Q时，取最大值.
三、解答题
7、三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示．设，分别是线段，的中点，为线段上的点，且．
（1）
证明：为线段的中点；
（2）
求二面角的余弦值．
【解析】（1）由三棱锥及其侧视图、俯视图知，在三棱锥中：
平面平面，．设为的中点，连接，．于是，且，所以平面，进而．
因为，分别为线段，的中点，所以，又，于是．
假设不是线段的中点，则直线与直线是平面内相交直线，从而平面，这与矛盾．所以是线段的中点．
（2）过作交于，因为，所以；又因为，所以即为二面角的平面角．连接，在中，，（其中），所以．
8、如图，矩形中，（），将其沿翻折，使点到达点的位置，且二面角的直二面角.
（1）求证：平面平面；
（2）设是的中点，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围.
【解析】（Ⅰ）二面角为直二面角，
平面
平面
平面平面
（Ⅱ）解法1：如图，以为坐标原点，以长为一个单位长度，
建立如图空间直角坐标系，
则
则
设平面的法向量为
则，取，则
同理设平面的法向量为
解法2：过作于，过作于，连，则
则二面角的平面角为
为的中点
由，得
9、如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，,为棱的中点.
（Ⅰ）证明:；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若为中点，棱上是否存在一点，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【解析】（Ⅰ）证明：因为底面，
　所以．
　因为，
　所以.
由于，
所以有．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………４分
（Ⅱ）解：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），
　不妨设，可得，，，
　.
由为棱的中点，得.
　向量,.
　设为平面的法向量，则即．
　不妨令，可得（1,1,1）为平面的一个法向量.
所以
.
　所以，直线与平面所成角的正弦值为.
（Ⅲ）解：向量，，.
　由点在棱上，设.
　故
.
　由，得，
　因此，，解得.
所以
.
10、如图1，在等腰梯形中，，，，
为中点，点分别为的中点．将沿折起到的位置，使得平面平面（如图2）．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）侧棱上是否存在点，使得平面
若存在，求出的值；若不
存在，请说明理由．
【解析】（Ⅰ）如图1，在等腰梯形中，
由，，，为中点，
所以为等边三角形．如图2,
　
因为为的中点，所以．
又因为平面平面，
且平面平面，
所以平面，所以．
（Ⅱ）连结，由已知得，又为的中点，
所以．
由（Ⅰ）知平面，
所以，
所以两两垂直．
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系（如图）．
因为，易知．
所以，
所以．
设平面的一个法向量为，
由
得
即
取，得．
设直线与平面所成角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（Ⅲ）假设在侧棱上存在点，使得平面．
设，．
因为，
所以．
易证四边形为菱形，且，
又由（Ⅰ）可知，，所以平面．
所以为平面的一个法向量．
由，得．
所以侧棱上存在点，使得平面，且．
A
P
B
C
D
A
P
B
C
D
G
G
A
P
B
C
D
x
y
z
图3
M
N
A
C
B
z
x
y
C1
B1
A1
z
y
x
E
B
C
D
A
P
A1
xzX
yzX
zzX
F
O
B
C
D
E
P
PAGE
1第十五讲
排列组合与二项式定理
A组
1、
选择题
1．(2017全国2卷理)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（
）
A．12种
B．18种
C．24种
D．36种
【答案】D
【解析】
,故选D。
2．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有
(　　)
A．12种
B．18种
C．36种
D．54种
答案　B
【解析】先放1、2的卡片有C种，再将3、4、5、6的卡片平均分成两组再放置，有种，故共有种．
3．甲、乙、丙、丁和戊名同学进行数学应用知识比赛，决出第名至第名（没有重名次）.
已知甲、乙均未得到第名，且乙不是最后一名，则人的名次排列情况可能有（
）
A．种
B．种
C．种
D．种
【答案】C[
【解析】由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有种情况；再排甲，也有种情况；余下人有种排法．故共有种不同的情况,故选C.
4．(2017年全国3卷理)(+)(2-)5的展开式中33的系数为（
）
A．-80
B．-40
C．40
D．80
【答案】C
【解析】由
展开式的通项公式：
可得：
当
时，
展开式中
的系数为
当
时，
展开式中
的系数为
，
则
的系数为
.
本题选择C选项.
4．已知的展开式中含的项的系数为30，则（
）
A.
B.
C.6
D-6
【答案】D.
【解析】
，令，可得，故选D.
5．某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（
）
A．30
B．600
C．720
D．840
【答案】C
【解析】．
二、填空题
6．（2017天津卷理）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）
【答案】
【解析】
6．的展开式中的系数是
.（用数字填写答案）
【答案】
【解析】由题意，二项式展开的通项，令，得，则的系数是.
7．若展开式的二项式系数之和为128，则展开式中的系数为______.
【答案】35
【解析】由题意，，展开式通项为，令，，故的系数为．
三、解答题
8．给图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色,每个区域只染一种颜色,且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择,则共有多少不同的染色方案.
【解析】先染ABC有种,若A,F不相同,则F,E,D唯一;若AF相同,讨论EC,若EC相同,D有2种,则,若EC不相同,D有1种,则.所以一共有++=
96种.
9．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲,分别按
下列要求,各有多少种不同选法 (用数字作答)
(1)男、女同学各2名.
(2)男、女同学分别至少有1名.
(3)在(2)的前提下,男同学甲与女同学乙不能同时选出.
【解析】(1)
所以男、女同学各2名共有1440种选法.
(2)
所以男、女同学分别至少有1名共有2880种选法,
(3)
所以在(2)的前提下,男同学甲与女同学乙不能同时选出共有2376种选法.
10．在二项式的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，求有理数都互不相邻的概率
【解析】展开式通项为（），由题意，．所以当时为整数，相应的项为有理数，因此题二项式展开式中共有9项，其中有3项是有理数，6项是无理数，所求概率为．
11．设，求的展开式中常数项。
【解析】，
的展开式的通项为，所以所求常数项为．
B组
2、
选择题
1、二项式的展开式中的系数为15，则（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【解析】二项式的展开式的通项是，令得的系数是，因为的系数为，所以，即，解得：或，因为，所以，故选C．
2、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（
）
（A）144个
（B）120个
（C）96个
（D）72个
【答案】B
【解析】
据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有个.所以共有个.选B.
3、已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（
）
A.
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，
所以二项式中奇数项的二项式系数和为.
4、若的展开式中的二项式系数之和为64，则该展开式中的系数是（
）
A．15
B．
C．20
D．
【答案】A
【解析】由题意得，因此，从而，因此展开式中的系数是选A.
二、填空题
5、的展开式中的系数是________(用数字作答).
【答案】
【解析】二项展开式通项为，令，解得，因此的系数为.
6、已知，则____.[]
【答案】1
【解析】在已知式中，令得①，令得②，①－②得，所以．
三、解答题
7、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数有多少种。
【解析】四棱锥为.下面分两种情况，即①与同色.各个点的不同的染色方法：点有种；点有；点有种.点有种.
共有种不同的方法.
②与不同色讨论.点有种；点有；点有种.与不同色有种；点有种.
共有种不同的方法.
综上，共有种不同的染色方法.
8、在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中各项的系数和.
【解析】（1）写出二项式的展开式的特征项，当的指数是1,2,3时，把1,2,3代入整理出这些项的系数的值即：.（2）根据上一问得出的结论令即可.解题的关键是写出展开式的特征项，利用特征项的特点解决问题，注意代数式的整理，特别是当分母上带有变量时注意整理.
解：展开式的通项为,…
由已知：成等差数列，
∴
（1）
（2）令，各项系数和为
9、在二项式的展开式中，恰好第五项的二项式系数最大．
（1）求展开式中各项的系数和；
（2）求展开式中的有理项．
【解析】在展开式中，恰好第五项的二项式系数最大，则展开式有9项，∴
．
∴
二项式中，令
，展开式中各项的系数和为．
（2）通项公式为
，r=0，1，2，…，8．
当为整数，即时，展开式是有理项，有理项为第3、6、9项，即；
；．
10、已知展开式的二项式系数和为512，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【解析】（1）根据二项式的系数和即为，可得，因此可将变形为
，其二项展开式的第为，故令，可得；（2）首先令令，再令令，得，
从而.
（1）由二项式系数和为512知，
2分，
，∴
6分；
（2）令，
令，得，
∴
12分．
C组
3、
选择题
1、的展开式中，的系数为(
)
（A）10
（B）20
（C）30
（D）60
【答案】C
【解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选
C.
2、某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（
）
A.72
B.120
C.144
D.3
解：先排歌舞，有种不同排法，再插入小品和相声，若小品插入两边，则不合题意；若两个小品插入中间的两个空，×^×^×，则1个相声可以插入中间和两边6个位置的任意一个，有种；若两个小品插入2个中间位置中的1个和两边中任意一个位置，则1个相声只能插入2个中间位置中的另一个，有，由加法原理和乘法原理得，共有。
点评：本题考查加法原理、乘法原理、排列、组合，涉及分类讨论，属中档题。
易错提醒：排列组合问题最易多或少。如：先排2个小品，再插入1个相声，再插入3个歌舞，得或，都是错误的。正确分类是解决这类问题最常用的方法。
3、
的展开式中
的系数为（　　）
A．60
B．50
C．40
D．20
【答案】A
【解析】故展开式中的系数为，故选A．
4、已知实数满足，，且，则（
）
A．或
B．或
C．1
D．3
【答案】B
【解析】
，令，得；令，得；又
，得，解得的值为1或．
二、填空题
5、的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．
【答案】
【解析】由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．
6、在的展开式中，项的系数为
（结果用数值表示）．
【答案】
【解析】因为，所以项只能在展开式中，即为，系数为
三、解答题
7、
求展开式中的常数项
【解析】第一个展开式中的指数依次是，
第二个展开式中的指数依次是
根据多项式乘法规则，常数项只能是第一个展开式中的指数是的项与第二个展开式中的指数是对应项的乘积，根据二项式定理中的通项公式，得所求常数项为[]
8、编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，不同的放法有多少种？
【解析】根据A球所在位置分三类：
(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步计数原理得，此时有＝6种不同的放法；
(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步计数原理得，此时有＝6种不同的放法；
(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C、D、E，有＝6种不同的放法，根据分步计数原理得，此时有＝18种不同的放法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．
9、有5名男生和3名女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定要担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
【解析】　(1)先选后排．符合条件的课代表人员的选法有种，排列方法有种，所以满足题意的选法有
(种).
(2)除去该女生后，即相当于挑选剩余的7名学生担任四科的课代表，有＝840(种)选法.
(3)先选后排．从剩余的7名学生中选出4名有种选法，排列方法有种，所以选法共有
(种).
(4)先从除去该男生和该女生的6人中选出3人，有种选法，该男生的安排方法有种，其余3人全排列，有种，因此满足题意的选法共有＝360(种).
10、【2016高考江苏卷】
（1）求
的值；
（2）设m，nN
，n≥m，求证：
（m+1）+（m+2）+（m+3）+…+n+（n+1）=（m+1）.
【解析】1）
（2）当时，结论显然成立，当时
又因为
所以
因此
A
B
C
D
E
F
（第7题图）第五十三讲创新型问题
A组
一、选择题
1.
在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：
当时，；
当时，。
则函数的最大值等于（
）
（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）
A.
B.
1
C.
6
D.
12
解析：
A中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B中12＝0.5不是整数，即整数集不满足条件；C中有理数集满足条件；D中不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C。
2.对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是(　　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝x2
C．f(x)＝tan
x
D．f(x)＝cos(x＋1)
解析：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a-x），则称f（x）为准偶函数，∴函数的对称轴是x=a，a≠0，
选项A函数没有对称轴；选项B、函数的对称轴是x=0，选项C，函数没有对称轴．
函数f（x）=cos（x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项D正确．
故选：
D　
3、给出函数的一条性质：“存在常数M，使得对于定义域中的一切实数均成立。”则下列函数中具有这条性质的函数是
（
）
A．
B．
C．
D．
解析：看函数是否有最大值，只有D正确
4、设，都是定义在实数集上的函数，定义函数：，
．若，，则
A．B．
C．D．
解析：对于A，因为，所以当x＞0时，f（f（x））=f（x）=x；当x≤0时，f（x）=x2≥0，特别的，x=0时x=x2，此时f（x2）=x2，
所以，故A正确；
对于B，由已知得（f g）（x）=f（g（x））=，0对于C，由已知得（g f）（x）=g（f（x））=，显然不等于g（x），故C错误；
对于D，由已知得（g g）（x）=，显然不等于g（x），故D错误．
故选A．
5、x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．增函数
D．周期函数
解析：本题主要考查函数的图像和性质．当x∈[0,1)时，画出函数图像(图略)，再左右扩展知f(x)为周期函数．故选D.
二、填空题
6、现定义一种运算“”：
对任意实数，
。设，若函数的图象与轴恰有三个公共点，则实数的取值范围是_________．
【解析】=，
∵函数f(x)的图象与轴恰有三个交点，的图像与y=-k的图像有三个交点，∴的图像如图所示，
根据图像得：，∴.实数的取值范围是
7、若直线l与曲线C满足下列两个条件：
(i)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(ii)曲线C在点P附近位于直线l的两侧．则称直线l在点P处“切过”曲线C.
下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①直线l：y＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3；
②直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2；
③直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝sin
x；
④直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝tan
x；
⑤直线l：y＝x－1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y＝ln
x.
解析：对于①，由，得则y′|x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，∴命题①正确；
对于②，由，得，则y′|x=-1=0，而直线l：x=-1的斜率不存在，在点P（-1，0）处不与曲线C相切，∴命题②错误；
对于③，由y=sinx，得y′=cosx，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，
又时x＜sinx，时x＞sinx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，∴命题③正确；
对于④，由y=tanx，得y′＝1cos2x，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，又时tanx＜x，时tanx＞x，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，∴命题④正确；
对于⑤，由y=lnx，得，则y′|x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x-1，
由g（x）=x-1-lnx，得，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．
∴g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．∴y=x-1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，命题⑤错误．∴正确的命题是①③④．
8.
对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数，请你根据上面探究结果，计算
试题分析：由题意，，所以，
令，解得，又所以函数的对称中心为，
所以
三、解答题
9、先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
已知，，求证，
证明：构造函数
因为对一切xR，恒有≥0，所以≤0,
从而得，
（1）若，，请写出上述结论的推广式；
（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。
解：（1）若，，
求证：
(4)
（2）证明：构造函数
(6)
(9)
(11)
因为对一切xR，都有≥0，所以△=≤0,
从而证得：.
(14)
10、设函数
a
为
常数且a∈(0,1).
(1)
当a=时,求f(f());
(2)
若x0满足f(f(x0))=
x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶周期点,证明函数有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;
(3)
对于(2)中x1,x2,设A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2,0),记△ABC的面积为s(a),求s(a)在区间[,]上的最大值和最小值.
【答案】解:(1)当时,
(
当时,由解得x=0,由于f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;
当时由解得
因
故是f(x)的二阶周期点;
当时,由解得
因故不是f(x)的二阶周期点;
当时,解得
因
故是f(x)的二阶周期点.
因此,函数有且仅有两个二阶周期点,,.
(3)由(2)得
则
因为a在[,]内,故,则
故
B组
一、选择题
1、对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为
A．
B．
C．
D．
解析：选项A中，区间都可以是“等可域区间”；选项C，D中，函数均为增函数且与不可能有两个交点；选项B中，“等可域区间”为．故选B.
2、定义集合A、B的一种运算：，若，，则中的所有元素数字之和为
（
）
A．9
B．14
C．18
D．21
解析;
中的元素数为2,3,4,5,
则中的所有元素数字之和为14
.
选B
3、(2015届湖北省黄冈中学等八校高三第二次模拟考试）对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为
A．
B．
C．
D．
【答案】B解析：选项A中，区间都可以是“等可域区间”；选项C，D中，函数均为增函数且与不可能有两个交点；选项B中，“等可域区间”为．故选B.
4、若函数在实数集上的图象是连续不断的，且对任意实数存在常数使得恒成立，则称是一个“关于函数”．现有下列“关于函数”的结论：①常数函数是“关于函数”；②“关于2函数”至少有一个零点；③是一个“关于函数”．其中正确结论的个数是
(
).
A．1
B．2
C．3
D．0
【答案】B解析：①对任一常数函数，存在,有
所以有，所以常数函数是“关于函数”②“关于2函数”为
，当函数不恒为0时有与同号
定义在实数集上的函数的图象是连续不断的，图象与轴无交点，即无零点。③对于设存在使得，即存在使得，也就是存在使得，也就是存在使得，此方程有解，所以③正确。故正确是①③，故选：B
5、某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　)
A．y＝[]　　　　　　　　　　　
B．y＝[]
C．y＝[]
D．y＝[]
解析：当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系，用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为y＝[]．
答案：B
二、填空题
6、若集合具有以下性质：①，；②若，则；且时，，
则称集合是“完美集”．给出以下结论：
①集合是“完美集”；②有理数集是“完美集”；
③设集合是“完美集”，若,，则；
④设集合是“完美集”，若,，则必有；
⑤对任意的一个“完美集”，若，且，则必有．
其中正确结论的序号是　　　　　　　．
【答案】②③④⑤解析：①－1，1，但是，不是“完美集”；②有理数集肯定满足“完美集”的定义；
③0，，0－=－，那么；
④对任意一个“完美集”A，任取，若中有0或1时，显然；下设均不为0，1，而
，那么，所以，进而，结合前面的算式，；
⑤，若，那么，那么由(4)得到：．
故答案为②③④⑤。
7、给定min=
，已知函数f(x)
=
min+
4，若动直线y=与函数y=
f(x)的图象有3个交点，它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1+x2+x3的范围为　　　　　
（4,5）
8、已知
（1）,
求的最小值
（2）P、Q关于点（1，2）对称，若点P在曲线C上移动时，点Q的轨迹是函数的图象，求曲线C的轨迹方程。
（3）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从可抽象出的性质，试分别写出一个具体的函数，抽象出下列相应的性质
由
可抽象出
由
可抽象出
解析：(1)
等号当x=2时成立，
(2)设P(x,y)则Q(2-x,4-y)
由4－y=lg(2－x)可得：y=4－lg(2－x)
(3)
h(x)=_______y=2x等_______,
９’
φ(x)=____y=lgx等__11’
三、解答题
9、将连续正整数1，2，…，n(n∈N
)从小到大排列构成一个数123…n，F(n)为这个数的位数(如n＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率．
(1)求p(100)；
(2)当n≤2014时，求F(n)的表达式；
(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)＝f(n)－g(n)，S＝{n|h(n)＝1，n≤100，n∈N
}，求当n∈S时p(n)的最大值．
解：(1)当n＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p(100)＝.
(2)F(n)＝
(3)当n＝b(1≤b≤9，b∈N
)，g(n)＝0；
当n＝10k＋b(1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N
，b∈N)时，g(n)＝k；
当n＝100时，g(n)＝11，即g(n)＝
1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N
，b∈N，
同理有f(n)＝
由h(n)＝f(n)－g(n)＝1，可知n＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，
所以当n≤100时，S＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}．
当n＝9时，p(9)＝0.
当n＝90时，p(90)＝＝＝.
当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N
)时，p(n)＝＝＝，由y＝关于k单调递增，故当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N
)时，p(n)的最大值为p(89)＝.
又<，所以当n∈S时，p(n)的最大值为.
C组
一、选择题
1、　定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝；④f(x)＝ln
|x|.
则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为(　　)
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
答案　C
解析　等比数列性质，anan＋2＝a，①f(an)f(an＋2)＝aa＝(a)2＝f2(an＋1)；
②f(an)f(an＋2)＝＝≠f2(an＋1)；③f(an)f(an＋2)＝＝2
＝f2(an＋1)；④f(an)f(an＋2)＝ln
|an|ln
|an＋2|≠(ln
|an＋1|)2＝f2(an＋1)．
2．对于函数f(x)，若任意的a，b，c∈R，f(a)，f(b)，f(c)为某一三角形的三边长，则称f(x)为“可构造三角形函数”．已知函数f(x)＝是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是(　　)
A．[，2]
B．[0,1]
C．[1,2]
D．(0，＋∞)
答案　A解析　因为对任意的实数x1，x2，x3∈R，都存在以f(x1)，f(x2)，f(x3)为三边长的三角形，故f(x1)＋f(x2)>f(x3)对任意的x1，x2，x3∈R恒成立．由f(x)＝＝1＋，
设ex＋1＝m(m>1)，则原函数可化为f(m)＝1＋(m>1)，当t>1时，函数f(m)在(1，＋∞)上单调递减，所以f(m)∈(1，t)，此时2f(x3)对任意的x1，x2，x3∈R恒成立，需t≤2，所以1当t＝1时，f(x)＝1，显然满足题意；当t<1时，函数f(m)在(1，＋∞)上单调递增，
所以y∈(t,1)，此时2tf(x3)对任意的x1，x2，x3∈R恒成立，需满足2t≥1，所以≤t<1.综上t∈[，2]，故选A.
3.
定义：区间的长度等于，函数的定义域为，值域为，若区间的长度的最小值为，则实数的值为D
A．
B．2
C．
D．4
二、填空题
4．若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)＝2log2
x，f2(x)＝log2
(x＋2)，f3(x)＝(log2
x)2，f4(x)＝log2(2x)．则“同形”函数是________．
答案　f2(x)与f4(x)解析　f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，将其向下平移1个单位得到f(x)＝log2x，再向左平移2个单位，即得到f2(x)＝log2(x＋2)的图象．故根据新定义得，f2(x)＝log2
(x＋2)与f4(x)＝log2
(2x)为“同形”函数．
5.定义函数那么下列命题中正确的序号是_________.（把所有可能的图的序号都填上）.
①函数为偶函数；②函数为周期函数，且任何非零实数均为其周期；
③方程有两个不同的根.
5.【答案】①
【命题立意】本题考查了新定义的概念的理解，函数的性质及推理能力.
【解析】由题意可知成立，所以函数为偶函数，①正确；②不是周期函数，所以错误；时，为有理数，所以在此处没有根，，是有理数，所以只有一个根，③错误.
6．下图展示了由区间(0,4)到实数集R的一个映射过程：区间(0,4)中的实数m对应数轴上的点M(如图1)，将线段AB围成一个正方形，使两端点A，B恰好重合(如图2)，再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y轴上(如图3)，点A的坐标为(0,4)，若图3中直线AM与x轴交于点N(n,0)，则m的象就是n，记作f(m)＝n.现给出以下命题：
①f(2)＝0；②f(x)的图象关于点(2,0)对称；③f(x)在区间(3,4)上为常数函数；
④f(x)为偶函数．其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．
答案　①②③解析　如图所示．
①由定义可知2的象为0.即f(2)＝0；②由图象可知关于点(2,0)对称的两点的象互为相反数，即其图象关于点(2,0)对称；③结合图形可知m∈(3,4)时其象为定值，即函数在此区间上为常数函数；④因为函数的定义域为[0,4]，不关于原点对称，故函数不是偶函数．综上可知命题①②③是正确的．
7．已知函数y＝f(x)(x∈R)．对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．
答案　(2，＋∞)解析　由已知得＝3x＋b，所以h(x)＝6x＋2b－.h(x)>g(x)恒成立，即6x＋2b－>，3x＋b>恒成立．
在同一坐标系内，画出直线y＝3x＋b及半圆y＝(如图所示)，可得>2，即b>2，故答案为(2，＋∞)．
8．、以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin
x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：
①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“ b∈R， a∈D，f(a)＝b”；
②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；
③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x) B；
④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x>－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
解析：对于①，根据题中定义，f(x)∈A 函数y＝f(x)，x∈D的值域为R，由函数值域的概念知，函数y＝f(x)，x∈D的值域为R b∈R， a∈D，f(a)＝b，所以①正确；对于②，例如函数f(x)＝|x|的值域(0,1]包含于区间[－1,1]，所以f(x)∈B，但f(x)有最大值1，没有最小值，所以②错误；对于③，若f(x)＋g(x)∈B，则存在一个正数M1，使得函数f(x)＋g(x)的值域包含于区间[－M1，M1]，所以－M1≤f(x)＋g(x)≤M1，由g(x)∈B知，存在一个正数M2，使得函数g(x)的值域包含于区间[－M2，M2]，所以－M2≤g(x)≤M2，亦有－M2≤－g(x)≤M2，两式相加得－(M1＋M2)≤f(x)≤M1＋M2，于是f(x)∈B，与已知“f(x)∈A”矛盾，故f(x)＋g(x) B，即③正确；对于④，如果a>0，那么x→＋∞，f(x)→＋∞，如果a<0，那么x→－2，f(x)→＋∞，所以f(x)有最大值，必须a＝0，此时f(x)＝在区间(－2，＋∞)上，有－≤f(x)≤，所以f(x)∈B，即④正确，故填①③④.
答案：①③④
三、解答题
9、，，┅，，，，┅，分别表示实数，，┅，中的最小者和最大者．
（1）作出函数＝｜＋3｜＋2｜－1｜（∈R）的图像；
（2）在求函数＝｜＋3｜＋2｜－1｜（∈R）的最小值时，有如下结论：
＝，＝4．请说明此结论成立的理由；
（3）仿照（2）中的结论，讨论当，，┅，为实数时，
函数＝＋＋┅＋∈R，＜＜┅＜∈R的最值．
解：（1）图略；
（2）当∈（－∞，－3）时，是减函数，
当∈－3，1）时，是减函数，
当∈1，＋∞）时，是增函数，
∴＝，＝4．
（3）当＋＋┅＋＜0时，＝，，┅，；
当＋＋┅＋＞0时，＝，，┅，；
当＋＋┅＋＝0时，＝，，
＝，．
10、已知真命题:“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数
是奇函数”.
(1)将函数的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标;
(2)求函数
图像对称中心的坐标;
(3)已知命题:“函数
的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数
是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).
【答案】(1)平移后图像对应的函数解析式为,
整理得,
由于函数是奇函数,
由题设真命题知,函数图像对称中心的坐标是.
(2)设的对称中心为,由题设知函数是奇函数.
设则,即.
由不等式的解集关于原点对称,得.
此时.
任取,由,得,
所以函数图像对称中心的坐标是.
(3)此命题是假命题.
举反例说明:函数的图像关于直线成轴对称图像,但是对任意实数和,函数,即总不是偶函数.
修改后的真命题:
函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数”.第十八讲
统计与统计案例
A
组
1、选择题
1．某书法社团有男生30名，女生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生和3名女生①该抽样一定不是系统抽样；②该抽样可能是随机抽样；③该抽样不可能是分层抽样；④男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率，其中说法正确的为（
）
A．①②③
B．②③
C．
③④
D．①④
【答案】B
【解析】由题意得，从男生名，女生名，从中抽取一个人的样本，恰好抽到了名男生和名女生，该抽样应该是简单的随机抽样，其中男生被抽到的概率为，女生被抽到的概率为，所以只有②③是正确的，故选B.
2.如下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）。已知甲组数据的中位数为，乙组数据的平均数为，则的值分别为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由中位数的定义可知，因，故，应选C。
3．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算的结果，认为成立的可能性不足1%，那么的一个可能取值为(
)
A．7.897
B.6.635
C.
5.024
D.
3.841
【答案】A
【解析】由题这种血清能起到预防感冒的作用为99%的有效率，显然所以选A.
4．下列说法正确的是
（
）
A．在统计学中,回归分析是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法
B．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点
中的一个点
C．在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高
D．在回归分析中,相关指数为的模型比相关指数为的模型拟合的效果差
【答案】C
【解析】A．回归分析反映两个变量相关关系的数学方法，由建立回归方程来预报变量的情况。错误；
B．线性回归方程对应的直线，过其样本数据平均数点，错误；
D．相关指数越大，则相关性越强，模型的拟合效果越好。
错误；
C．在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高.
正确。
2、填空题
5．甲、乙、丙三名射击运动员在某次测试中各射击20次，三人的测试成绩如下表
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩环数78910频数6446
丙的成绩环数78910频数4664
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的平均数，则的大小关系为

；分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则的大小关系为

．
【答案】；
6．某班有55人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为5的样本，已知3号、25号、47号同学在样本中，那么样本中还有两个同学的学号分别为
和
。
【答案】14和36
3、解答题
7．
某生产企业对其所生产的甲、乙两种产品进行质量检测，分别各抽查10件产品，检测其重量的误差，测得数据如下（单位：）：
甲：13
15
14
14
9
14
21
9
10
11
乙：10
14
9
1
15
21
23
19
22
16
（Ⅰ）画出样本数据的茎叶图，并指出甲，乙两种商品重量误差的中位数；
（Ⅱ）计算甲种商品重量误差的样本方差；
（Ⅲ）根据茎叶图分析甲、乙两种产品的质量．
【解析】
茎叶图如图．
甲，乙两种商品重量误差的中位数分别为，．
（Ⅱ）．
∴
甲种商品重量误差的样本方差为
＝11．6
（Ⅲ）由茎叶图知，乙产品的重量误差的中位数高于甲产品的重量误差的中位数，而且由茎叶图可以大致看出乙产品的重量误差的的标准差要大于甲产品的重量误差的的标准差，说明甲产品的质量较好，而且较稳定．
8．某工厂36名工人的年龄数据如下表：
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
1
40
2
44
3
40
4
41
5
33
6
40
7
45
8
42
9
43
10
36
11
31
12
38
13
39
14
43
15
45
16
39
17
38
18
36
19
27
20
43
21
41
22
37
23
34
24
42
25
37
26
44
27
42
28
34
29
39
30
43
31
38
32
42
33
53
34
37
35
49
36
39
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的平均值和方差；
（3）求这36名工人中年龄在内的人数所占的百分比．
【解析】
（1）根据系统抽样的方法，抽取容量为9的样本，应分为9组，每组4人．
由题意可知，抽取的样本编号依次为：2，6，10，14，18，22，26，30，34，
对应样本的年龄数据依次为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．
（2）由（1），得，
．
（3）由（2），得，∴，由表可知，这36名工人中年龄在内共有23人，所占的百分比为．
9．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
（1）请在图中画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力。
【解析】
（1）如图所示．
（2）＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
＝62＋82＋102＋122＝344，
，＝4－0.7×9＝－2.3，
故线性回归方程为＝0.7x－2.3.
（3）由回归直线方程，当x＝9时，＝6.3－2.3＝4，
所以预测记忆力为9的同学的判断力约为4.
10．2016年全国两会，即中华人民共和国第十二届全国人民代表大会第四次会议和中国人民政治协商会议第十二届全国委员会第四次会议，分别于2016年3月5日和3月3日在北京开幕．为了解哪些人更关注两会，某机构随机抽取了年龄在岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示，其分组区间为：．把年龄落在区间和内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”，经统计“青少年人”与“中老年人”的人数之比为9：11．
（1）求图中的值；
（2）若“青少年人”中有15人在关注两会，根据已知条件完成下面的列联表，根据此统计结果能否
有99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会？
关注
不关注
合计
青少年人
15
中老年人
合计
50
50
100
附参考公式：，其中．
临界值表：
0.05
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
【解析】
（1）依频率分布直方图可知：
，
解之，得，
（2）依题意可知：“青少年人”共有人，
“中老年人”共有100-45=55人，完成的列联表如下：
关注
不关注
合计
青少年人
15
30
45
中老年人
35
20
55
合计
50
50
100
结合列联表的数据得：
因为，
所以有超过99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会
B组
1、选择题
1．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示;
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为(
)
A、3
B、4
C、5
D、6
【答案】B
【解析】根据茎叶图中的数据得，成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取
(人)，故选B.
2．从实验小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为（
）
A．3
B．25
C．30
D．35
【答案】C
【解析】由图知，（0．035+a+0．020+0．010+0．005）×10=1，解得a=0．03
∴身高在[120，130]内的学生人数在样本的频率为0．03×10=0．3
故身高在[120，130]内的学生人数为0．3×100=30
3．已知与之间的一组数据：
0
1
2
3
3
5.5
7
已求得关于与的线性回归方程为，则的值为（
）
A．1
B．0.85
C．0.7
D．0.5
【答案】D
【解析】因,故将其代入,可得.应选D.
4．在一次独立性检验中，得出2×2列联表如下：
y1
y2
合计
x1
200
800
1000
x2
180
m
180+m
合计
380
800+m
1180+m
最后发现，两个分类变量x和y没有任何关系，则m的可能值是（
）
A．200
B．720
C．100
D．180
【答案】B
【解析】由独立性检验，已知使两个分类变量无关，则可得；
2、填空题
5．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，
已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是
.
【答案】.
【解析】设图中从左到右的第1小组的频率为,则第2小组的频率为,第3小组的频率为,由频率分布直方图的性质，得：
，
解得：，
第2小组的频率为，又已知第2小组的频数为12，
报考飞行员的学生人数是：.
故答案应填：.
6．某村有2500人，其中青少年1000人，中年人900人，老年人600人，为了调查本村居民的血压情况，采用分层抽样的方法抽取一个样本，若从中年人中抽取36人，从青年人和老年人中抽取的个体数分别为，则直线上的点到原点的最短距离为___________．
【答案】
【解析】，因此直线上的点到原点的最短距离为
3、解答题
7．今年的西部决赛勇士和雷霆共进行了七场比赛，经历了残酷的“抢七”比赛，两队的当家球星库里和杜兰特七场比赛的每场比赛的得分如下表：
第一场
第二场
第三场
第四场
第五场
第六场
第七场
库里
26
28
24
22
31
29
36
杜兰特
26
29
33
26
40
29
27
（1）绘制两人得分的茎叶图；
（2）分析并比较两位球星的七场比赛的平均得分及得分的稳定程度.
【解析】
（1）如图
（2）库里的平均得分分
方差.
杜兰特的平均得分分
方差.
∴，则这七场比赛库里的平均得分低于杜兰特，但库里的得分更稳定一些.
8．100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示.
（1）估计这100名学生的数学成绩落在[50,60）中的人数；
（2）求频率分布直方图中a的值；
（3）估计这次考试的中位数
（结果保留一位小数）.
【解析】
（1）由图可知落在[50,60）的频率为0.01×10＝0.1
由频数＝总数×频率，从而得到该范围内的人数为100×0.1＝10.
（2）由频率分布直方图知组距为10，频率总和为1，可列如下等式：（0.01+0.015+0.03++0.01+a）×10＝1
解得a＝0.035.
（3）前两个小矩形面积为0.01×10＋0.015×10＝0.25.
第三个小矩形的面积为0.035×10=0.35
∵中位数要平分直方图的面积．
9．甲、乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布
统计表如下：
甲校
分组
[70,80）
[80,90）
[90,100）
[100,110）
频数
3
4
8
15
分组
[110,120）
[120,130）
[130,140）
[140,150]
频数
15
3
2
乙校
分组
[70,80）
[80,90）
[90,100）
[100,110）
频数
1
2
8
9
分组
[110,120）
[120,130）
[130,140）
[140,150]
频数
10
10
3
甲校
乙校
总计
优秀
非优秀
总计
（1）计算，的值；
（2）若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率；
（3）根据以上统计数据完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异．
【解析】
（1）甲校抽取110×60人，
乙校抽取110×=50人，
故x＝10，
y＝7，
（2）估计甲校优秀率为，
乙校优秀率为＝40%．
（3）表格填写如图，
甲校
乙校
总计
优秀
15
20
35
非优秀
45
30
75
总计
60
50
110
k2＝≈2．83＞2．706
又因为1－0．10＝0．9，故有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．
10．下表提供了甲产品的产量（吨）与利润（万元）的几组对照数据．
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（2）计算相关指数的值，并判断线性模型拟合的效果．
参考公式：，
【解析】
（1）
∴，
，
∴，∴
∴关于的线性回归方程
（2）
∴∴线性模型拟合的效果较好
C组
1、选择题
1．某学校高一、高二、高三年级分别有720、720、800人，现从全校随机抽取56人参加防火防灾问卷调查．先采用分层抽样确定各年级参加调查的人数，再在各年级内采用系统抽样确定参加调查的同学，若将高三年级的同学依次编号为001，002，…，800，则高三年级抽取的同学的编号不可能为（
）
A．001，041，……761
B．031，071，……791
C．027，067，……787
D．055，095，……795
【答案】D
【解析】由根据分层抽样可得高三年级抽取出20人，利用系统抽样可分成40组得到的数据特征应成等差数列,经计算答案中的数据不是的整数倍,因此这组数据不合系统抽样得到的,故应选D.
2．已知一组数据的平均数是，方差是，那么另一组数据的平均数，方差是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为数据的平均数是，方差是，所以，
因此数据的平均数为：，
方差为：.
3．已知关于某设备的使用年限（单位：年）和所支出的维修费用（单位：万元）有如下的统计资料，
由上表可得线性回归方程，若规定当维修费用时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用年限的最大值为（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】C
【解析】由已知表格得：，
，
由于线性回归直线恒过样本中心点，所以有：，解得：，
所以线性回归方程，
由得：解得：，
由于，
所以据此模型预报该设备使用年限的最大值为9.
故选C.
4．在一次实验中，采集到如下一组数据：
-2.0
-1.0
0
1.00
2.00
3.00
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则的函数关系与下列（
）类函数最接近（其中为待定系数）
A．
B
.
C.
D.
【答案】B
【解析】由表格数据逐个验证，观察图象，类似于指数函数，分析选项可知模拟函数为y=a+bx．
故选B．
2、填空题
5．一个总体中的80个个体编号为0,1,2，…，79，并依次将其分为8个组，组号为0,1，…，9，要用（错位）系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，即规定先在第1组随机抽取一个号码，记为，依次错位地得到后面各组的号码，即第组中抽取个位数为（当）或（当）的号码，在时，所抽到的第8组的号码是
.
【答案】73
【解析】第1组抽取号码为，第8组抽取号码为
6．给出下列命题：
①线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
②由变量和的数据得到其回归直线方程，则一定经过点；
③从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
④在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；
⑤在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量增加个单位，其中真命题的序号是
．
【答案】②④⑤
【解析】线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故①错；回归直线方程一定经过样本中心点，所以②正确；③的抽样方式为系统抽样，故③错；由在含有一个解释变量的线性模型中，R2恰好等于相关系数r的平方。显然，R2取值越大，意味着残差平方和越小，也就是模型的拟合效果越好，故④正确；由回归直线方程可知，当解释变量每增加一个单位时，预报变量增加个单位的解释是正确的，故⑤正确；所以正确的序号为②④⑤。
3、解答题
7．偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差（单位：分）与物理偏差（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下：
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学偏差
20
15
13
3
2
-5
-10
-18
物理偏差
6.5
3.5
3.5
1.5
0.5
-0.5
-2.5
-3.5
（1）若与之间具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；
（2）若该次考试该数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由（1）的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩．
参考数据：
【解析】
（1）由题意，，
，
，
所以，
故线性回归方程为，
（2）由题意，设该同学的物理成绩为，则物理偏差为：．
而数学偏差为128-120=8，
∴，解得，
所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分
8.某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]．
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生数学成绩的平均分；
（3）若这100名学生数学成绩某些分数段的人数（x）与物理成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求物理成绩在[50,90）之外的人数．
分数段
[50,60）
[60,70）
[70,80）
[80,90）
x∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
【解析】
（1）由频率分布直方图知：
（2a＋0．02＋0．03＋0．04）×10＝1，解得a＝0．005
（2）由频率分布直方图知这100名学生数学成绩的平均分为：
55×0．005×10＋65×0．04×10＋75×0．03×10＋85×0．02×10＋95×0．005×10＝73（分）．
（3）由频率分布直方图知数学成绩在[50,60），[60,70），[70,80），[80,90）各分数段的人数依次为：
0．005×10×10=5,
0．04×10×100=40,
0．03×10×100＝30,
0．02×10×100＝20．
由题中给出的比例关系知物理成绩在上述各分数段的人数依次为：5,40×＝20,30×＝40,20×＝25．
故物理成绩在[50,90）之外的人数为100－（5＋20＋40＋25）＝10
9．2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏．某国际组织用分层抽样的方法从心理专家、核专家、地质专家三类专家中抽取若干人组成研究团队赴日本工作，有关数据见表1（单位：人）．核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响，随机选取了110只羊进行了检测，并将有关数据整理为不完整的2×2列联表（表2）．
表1
相关人员数
抽取人数
心理专家
24
x
核专家
48
y
地质专家
72
6
表2
高度辐射
轻微辐射
合计
身体健康
30
A
50
身体不健康
B
10
60
合计
C
D
E
（1）求研究小组的总人数；
（2）写出表2中A、B、C、D、E的值，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关．
【解析】
（1）依题意知＝＝，
解得y＝4，x＝2.
所以研究小组的总人数为2＋4＋6＝12.
（2）根据列联表特点得A＝20，B＝50，C＝80，D＝30，E＝110.
可求得χ2＝≈7.486＞6.635
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关
10．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
46.6
56.3
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中
，
=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
【解析】
（Ⅰ）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型.
（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于=，
∴=563-68×6.8=100.6.
∴关于的线性回归方程为，
∴关于的回归方程为.
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当=49时，年销售量的预报值
=576.6，
.
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值
，
∴当=，即时，取得最大值.
故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.第二十讲
三角变换及综合应用
A组
选择题
1、若，，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案C
解析:，且
，
又，且
从而
故选C．
2、若，则为（
）
A．5
B．-1
C．6
D．
答案A
解析：由题可知
两式联立可得
3、已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案C
解析：，，解得：，
从而．故选C．
4、若都是锐角，且，，则（
）
A．
B．
C．或
D．或
答案A
解析：都是锐角，且，，所以，，从而，故选A．
填空题
5、已知，且，则的值为________．
答案
解析：.由，平方得，进而得，，由于
，代入得
6、若、均为锐角，且，，则
．
答案
解析：由于都是锐角，所以，又，，
所以，，．
解答题
7、已知向量.
（1）当时，求的值；
（2）设函数，已知在中，内角的对边分别为若，求的取值范围.
解析：（1）因为，所以，所以.
所以.
（2）.
由正弦定理，得.所以或.
因为，所以,所以
因为
，所以
所以.
8、已知函数，．
（1）求的值；
（2）若，，求．
解析：（1）因为，
所以；
（2）因为，，则。
所以，。
9、在△中，角的对边分别是，已知向量，，且．
（1）求的值；
（2）若，的面积，求的值．
解析：（1）,
由正弦定理，得，
化简，得﹒
﹒
又,．
（2）,
，．
，﹒①
，由余弦定理得，
，②
由①②，得，从而（舍去负值），.
10、已知满足．
（1）将表示为的函数，并求的单调递增区间；
（2）已知三个内角的对边分别为，若，且，求面积的最大值．
解析：（1）
，所以，
令，得
的单调递增区间是
（2），∴，
又，∴，∴．
在中由余弦定理有，
可知（当且仅当时取等号），
∴，即面积的最大值为．
B组
选择题
1、已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案D
解析：因为，结合及，得，又，所以,所以.故选D．
2、若，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案C
解析：，整理，得，解得或．又，所以.故选C．
3、已知,则等于
（
）
A．
B．
C．
D．
答案D
解析：由已知，得，即，所以．因为，所以.故选D．
4、已知均为锐角，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案C
解析：由题意得，因为，则，又均为锐角，所以，所以
，又均为锐角，所以，所以，故选C.
填空题
5、已知,那么的值是
．
答案
解析：利用和差角公式将，展开，，，可求得，，两式相除有，代入可求得其值为.
6、在中，角的对边分别为，若，边的中线长为1，则的最小值为
.
答案
解析：因为，
所以，
由正弦定理得，，
设中点为，则，
①
又由余弦定理得②，①②得，由①得，所以，故答案为.
三、解答题
7、已知函数.
（Ⅰ）若是某三角形的一个内角，且求角的大小；
（Ⅱ）当时，求的最小值及取得最小值时的集合.
解析：（Ⅰ）
.由即
所以或
解得或
因为是某三角形的一个内角,
所以，所以或.
（Ⅱ）由（1）知，
因为，
所以
所以，
所以当且仅当，即时，取得最小值，
即的最小值为，此时的取值集合为.
8、已知函数．设时取得最大值．
（1）求的最大值及的值；
（2）在中，内角的对边分别为，且，求的值．
解析
（1）由题意，
．
又，则．
故当，即时，．
（2）由（1）知．
由，即．又．
则，即．故．
9、设函数其中若且图象的两条对称轴间的最近距离是．
（1）求函数的解析式；
（2）若是的三个内角，且求的取值范围．
解析：（1）由条件，
又图象的两条对称轴间的最近距离是，所以周期为，，．
（2）由，知
是的内角，
从而
由
即.
10、在中，三边所对应的角分别是，已知成等比数列.
（1）若，求角的值；
（2）若外接圆的面积为，求面积的取值范围.
答案（1）；（2）.
解析：（1），
又∵成等比数列，得，由正弦定理有，
∵，∴，得，即，
由知，不是最大边，∴.
（2）∵外接圆的面积为，∴的外接圆的半径，
由余弦定理，得，又，
∴.当且仅当时取等号，又∵为的内角，∴，
由正弦定理，得.
∴的面积，
∵，∴，∴.
C组
选择题
1、若，且，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
答案A
解析：由得，即，因为，所以，所以①，平方得②，①②联立再由解得，所以，故选A．
2、函数的一条对称轴方程为，则
（
）
A．
B．
C．
D．
答案B
解析:由已知，函数的一条对称轴方程为，则，即，所以.
3、在中，已知，给出以下四个论断
①
②
③
④
其中正确的是（
）
(A)①③
（B）②④
（C）①④
（D）②③
答案B
解析：由，因为
，所以，不一定为1，①错；又，所以也不一定等于，③错；而，④正确；因为，
，从而肯定有，所以②正确；综上可知选B.
4、若，且为第二象限角，则（
）
A、
B、
C、
D、
答案B
解析:由得
所以，即；因为为第二象限角，所以
则.由两角和的正切公式有.
故正确答案为B.
填空题
5、已知为第三象限的角，则
.
答案
解析:因为为第三象限角，所以，又所以，于是有
，所以.
6、已知，若，化简______________．
答案
解析：，，
又，则，所以
三、解答题
7、在中，内角所对的边分别为，已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
解析:（Ⅰ）在中，由及，可得，
又由，有,所以
；
（Ⅱ）在中，由，可得，
所以，
所以
.
8、已知都是锐角，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当取最大值时，求的值．
解析：（Ⅰ）
.
（Ⅱ）
当且仅当即时，
.
9、已知向量，
（Ⅰ）当时，求函数的值域；
（Ⅱ）不等式当时恒成立，求的取值范围.
解析：（Ⅰ），所以
即
当时，，，
所以当时，函数的值域是；
（Ⅱ）在时的最小值为1，所以函数，既
；由正弦函数图象易得不等式的解集为．
10、已知．，其中、为锐角，且．
（1）求的值；
（2）若，求及的值．
解析：（1）由，得，
得，得．
（2），．
，.
当时，．
当时，．
为锐角，.
1
/
14第五十五讲
恒成立问题
A组题
一
选择题
1.若不等式对于一切成立，则的取值范围是（
）
A．0
B.
–2
C.
D.-3
【答案】C
【解析】
解：设，则对称轴为
若，即时，则在上是减函数，应有
若，即时，则在上是增函数，应有恒成立，故
若，即，则应有恒成立，故
综上，有故选C
2.已知不等式对任意都成立，那么实数的取值范围为
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题设知“对都成立，即对都成立。设（），
则是一个以为自变量的一次函数。恒成立，则对，为上的单调递增函数。
所以对，恒成立的充分必要条件是，，，于是的取值范围是
3.若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　　　　）
(
O
)(A)
(B)
(C)
（D）
【答案】B
【解析】：对,不等式恒成立
则由一次函数性质及图像知，即。
4.已知不等式(x+y)(
+
)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为(
)
A.2
B.4
C.6
D.8
解析：不等式(x+y)()≥9对任意正实数x，y恒成立，则≥≥9，∴
≥2或≤－4(舍去)，所以正实数a的最小值为4，选B．
二
填空题
若函数的定义域为R，则实数
的取值范围________________.
【答案】
分析：该题就转化为被开方数在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论.
解：依题意，当时，
恒成立，
所以，①当
此时
②当
有
综上所述，的定义域为时，
不论为何实数，直线与曲线恒有交点，则的范围_______________
【答案】
【解析】：，，当时，联想到直线与圆的位置关系，则有点必在圆上或圆内，即点到圆心距离不大于半径，则有，得
三
解答题
7.已知，（1）如果对一切，恒成立，求实数的取值范围；（2）如果对，恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）；
（2）或或，
解得或或，
∴的取值范围为．
8.设，若不等式恒成立，求的取值范围。
解：若设，则为上半圆。
设为过原点，为斜率的直线。
在同一坐标系内
作出函数图象
依题意，半圆恒在直线上方时，只有时成立，即a的取值范围为。
（1）已知两函数，，对任意，存在，使得，求实数m的取值范围
（2）已知函数，，其中，．
对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
解析：对任意，存在，使得等价于在上的最小值不大于在上的最小值0，既，∴
（1）【分析：】思路、对在不同区间内的两个函数和分别求最值，即只需满足即可．
令；
令,
故(1)对称轴，即时，，由
解得,（注意到的范围）从而得的范围：
(2)对称轴时，，由
解得,（注意到的范围）从而得无解：;
(3)对称轴时，，由
解得或，（注意到的范围）从而得的范围：;;
综合（1）（2）（3）知实数的取值范围是：
10.（1）对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
（2）对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
（3）对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：令
（1）在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使对任意实数，不等式恒成立，只需.
故实数的取值范围是
（2）在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使对任意实数，不等式恒成立，只需.
故实数的取值范围是
（3）的最小值为3，，故实数的取值范围是
B组题
一
选择题
已知，若，使得，则实数的取值范围是（　　）
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为时，
时，
故只需
已知，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是
（
）　　
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】根据对于意的，总存在，使得，得到函数在的值域是在上值域的子集
求导函数可得：，∴函数在上单调减，在上单调增
∴在上值域是；
时，函数在上单调增，∴在的值域是
∴且
∴
时，，满足题意
时，函数在上单调减，∴在的值域是
∴且
综上知的取值范围是
故选C
已知集合，集合，则（　　）
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】集合
由集合，可知的定义域为
不等式有解，
即不等式在上有解
令，可得，令，可得，再由当时，，当时，，可得当时取得最大值为1
要使等式在上有解，只要小于或等于的最大值即可
即成立，所以集合
所以
故选C
设，函数，若对任意的，都有成立，则的取值范围为
（
）
A.
B.
C,
D.
【答案】D
【解析】求导函数，可得
∴
，令，
∵
当时，在上单调增，
∴
当时，在上单调减，在上单调增，
∴恒成立
当时，在上单调减
∴恒成立
综上，
二
填空题
．设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为　　．
【答案】4
【解析】由题意，，
当时，，函数是减函数，，只需即可，解得，与已知矛盾。
当时，令，解得
①当时，为递增函数
②当时，为递减函数
③当时，为递增函数
所以，且，且即可
由即，解得
由，解得
由，解得
综上，为所求
6.若不等式对任意都成立，则实数取值范围是_________．
【答案】
【解析】显然时，有或
令
①当时，对任意的，在上递减，，此时的最小值为0，不适合题意
②当时，对任意的，
函数在上单调递减，在上单调递增
∴的最小值为，解得
∴实数取值范围是
三
解答题
7.已知两函数，。
（1）对任意，都有成立，求实数的取值范围
（2）存在，使成立，求实数的取值范围
（3）对任意，都有，求实数的取值范围
（4）存在，都有，求实数的取值范围
解析：
设，问题转化为时，恒成立，故。
令，得或。由导数知识，可知在单调递增，在单调递减，在单调递增，且，
，，
∴，由，得。
（2）据题意：存在，使成立，即为：在有解，故，由（1）知，于是得。
（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意，都有成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，的取值在上具有任意性，∴要使不等式恒成立的充要条件是：
∵∴
，
∵在区间上只有一个解。
∴，即.
（4）存在，都有，等价于，由(3)得，，
点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。
8.已知函数．（１）求的单调区间；（２）若不等式　恒成立，求实数的取值组成的集合．
解：（１）由已知得．因为，所以当
．
故区间为的单调递减区间，区间为的单调递增区间．
（２）①当时，．
令，
则．
由（１）知当时，有，所以，
即得在上为增函数，所以，所以．
②当时，．
由①可知，当时，为增函数，所以，
所以．
综合以上得．故实数的取值组成的集合为
9.已知函数和
（I）若函数与函数的图像在处的切线平行，求的值；
（II）设，当时，恒成立，求实数的取值范围
解：（I）∵
∵若函数与函数的图像在处的切线平行
（II）
在是单调减函数，在是单调增函数.
∴当时，有
当时，有
∵当时，恒成立
∴满足条件的的值满足下列不等式组
①或②
不等式组①的解集为空集，解不等式组②得
综上所述，满足条件的的取值范围是
10..已知函数（1）求函数的最大值；（2）设，求在上的最大值；(3)　试证明：对，不等式恒成立．
解：（１）∵，
令得
显然是上方程的解
令，则∴函数在上单调增
∴是方程的唯一解
∵当时，当时
∴函数在上单调递增，在上单调递减　∴当时函数有最大值
（２）由（１）知函数在上单调递增，在上单调递减
故①当即时在上单调递增
∴
②当时在上单调递减
∴
③当，即时
由（１）知当时，
∴在上恒有，当且仅当时“＝”成立
∴对任意的恒有
∵　
　∴
即对，不等式恒成立．
C组题
一
选择题
三次函数在内恒为正值，则的取值范围是
（
）．
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：方法1：可以看作，且
的图象和类似，只是在一，三象限，
由于，讨论第一象限即可
直线过点，斜率为．
观察可知在范围内，直线与相切的斜率是的最大值．
对求导得相切的斜率，相切的话，的最大值为．
相切即是有交点，
则的最大值为，
那么．
方法2：，
时，在上单调增，只需，显然成立；
时，令
，
在上单调增，在上单调减；
如果即，只需，显然成立；
如果即，只需，即，矛盾舍去；
如果即，必须
，即，即：
综上：
已知函数，若对任意的，存在实数满足，使得，则的最大值为
(
)
．
A.1
B.2
C.3
D.4
.【答案】C
【解析】当时，作函数与的图象如下，
，对，存在实数满足，使得成立，正确；
当时，作函数与的图象如下，
，对，存在实数满足，使得成立，正确
当时，作函数与的图象如下，
，对，存在实数满足，使得成立，正确
当时，作函数与的图象如下，
，不正确
故选
已知函数，其中是的导函数.对满足的一切的值，都有，则实数的取值范围
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
解法1.由题意，这一问表面上是一个给出参数的范围，解不等式的问题，实际上，把以为变量的函数，改为以为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即
令，则对，恒有，即，从而转化为对，恒成立，又由是的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到.为此
只需
即解得.故时，对满足的一切的值，都有.
解法2.考虑不等式.
由知,,于是,不等式的解为
.
但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑的条件,还应进一步完善.
为此,
设.
不等式化为恒成立,即.
由于在上是增函数,则,
在上是减函数,则
所以,
.
故时，对满足的一切的值，都有.
，其中为实数，为任意给定的自然数，且，如果当时有意义，则的取值范围
（
）。
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】本题即为对于，有恒成立。
这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求的范围，可先将分离出来，得，对于恒成立。
构造函数，则问题转化为求函数在上的值域。
由于函数在上是单调增函数，
则在上为单调增函数。于是有的最大值为：，从而可得。
二
填空题
存在使得不等式成立，则实数的取值范围是　　．
【答案】
解：不等式，即，
令的图象是关于对称的一个字形图形，其象位于第一、二象限；
，是一个开口向下，关于轴对称，最大值为的抛物线；
要存在，使不等式成立，则的图象应该在第二象限和的图象有交点，两种临界情况，①当时，的右半部分和在第二象限相切：
的右半部分即，
联列方程，只有一个解；
即，即，得：；
此时恒大于等于，所以取不到；
所以；
②当时，要使和在第二象限有交点，
即的左半部分和的交点的位于第二象限；
无需联列方程，只要与轴的交点小于2即可；
与轴的交点为，所以，
又因为，所以；
综上，实数的取值范围是：
故答案为：
6.设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是
。
【解析】(分离变量法)
依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立。
当时函数取得最小值，所以，
即，解得或。
另解（函数法）：
依据题意得在上恒定成立，
即0在上恒成立。
令,则
∴在上恒成立，令
∴且
∴得或
三
解答题
7.已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数．
(I)求的值；
(II)
若在上恒成立，求的取值范围．
(Ⅲ)
讨论关于的方程的根的个数。
解：（I）是奇函数，则恒成立.
（II）又在上单调递减，
∴只需
∴（其中）恒成立
令
则
.
（III）由（I）知
令，，
当上为增函数；
上为减函数，
当时，而，
、在同一坐标系的大致图象如图所示，
∴①当时，方程无解.
②当时，方程有一个根.
③当时，方程有两个根.
8.已知函数，（1）当时，判断在定义域上的单调性；（2）若在上的最小值为，求的值；（3）若在上恒成立，求的取值范围
解：（1）由题意：的定义域为，且．
，故在上是单调递增函数．
（2）由（1）可知：
①
若，则，即在上恒成立，此时在上为增函数，
②
若，则，即在上恒成立，此时在上为减函数，
．
③
若，令得，
当时，∴在上为减函数，
当时，在上为增函数，
综上可知：．
（3）．又
令，
在上是减函数，，即，
在上也是减函数，．令得，
∴当在恒成立时，
9.对于函数，若存在实数，使成立，则称为的不动点。
（1）当时，求的不动点；
（2）若对于任何实数，函数恒有两相异的不动点，求实数的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若的图象上两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的取值范围。
解
（1）当时，
设为其不动点，即
则
的不动点是－1，2.
（2）由得：.
由已知，此方程有相异二实根，
恒成立，即
即对任意恒成立.
设，直线是线段AB的垂直平分线，
记的中点由（2）知
化简得：时，等号成立）;
又在上单调递减，且值域为，所以在值域为。
从而在的值域为，即
10.设函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若不等式在上恒成立，求k的最大值．
解　(1)函数的定义域为，
，由，得；
由，得
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)法一　由已知在上恒成立，
得，
令，
则，
设，
则，
所以函数在上单调递增．
而，
由零点存在定理，知存在，使得，
即，
又函数在上单调递增，
所以当时，；
当时，
从而当时，；
当时，，
所以在上的最小值为
因此在上恒成立等价于
由，知，所以的最大值为
法二　由题意，在上恒成立．
设，
则，
(ⅰ)当时，则，
所以单调递增，，
即恒成立．
(ⅱ)当时，则在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，只需即可，
即.
设，
，则单调递减，
因为
所以的最大值为第五十二讲
数形结合
A组
一、选择题
1.
函数f(x)=，如果方程f(x)=a有且只有一个实根，那么a满足(
)
A.a<0
B.0≤a<1
C.a=1
D.a>1
答案：C
解析
：由图知a=1时，图象只有一个交点，故选C.
2.已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：B　
解析：由题意可得，当x>0时，y＝f(－x)与y＝g(x)的图象有交点，即g(x)＝f(－x)有正解，即x2＋ln(x＋a)＝(－x)2＋e－x－有正解，即e－x－ln(x＋a)－＝0有正解，令F(x)＝e－x－ln(x＋a)－，则F′(x)＝－e－x－<0，故函数F(x)＝e－x－ln(x＋a)－在(0，＋∞)上是单调递减的，要使方程g(x)＝f(－x)有正解，则存在正数x使得F(x)≥0，即e－x－ln(x＋a)－≥0，所以a≤，又y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以a<＝，选B.
3.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)
A.7
B.6
C.5
D.4
答案：B
解析.根据题意，画出示意图，如图所示，
则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.
因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.
要求m的最大值，
即求圆C上的点P到原点O的最大距离.
因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，
即m的最大值为6.
4.设平面点集A＝{(x，y)|(y－x)·(y－)≥0}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为(　　)
A.π
B.π
C.π
D.
答案：D
解析：因为对于集合A，(y－x)≥0，
所以或其表示的平面区域如图.
对于集合B，(x－1)2＋(y－1)2≤1表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆及其内部区域，其面积为π.
由题意意知A∩B所表示的平面图形为图中阴影部分，曲线y＝与直线y＝x将圆(x－1)2＋(y－1)2＝1分成S1，S2，S3，S4四部分.因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1与y＝的图象都关于直线y＝x对称，从而S1＝S2，S3＝S4，而S1＋S2＋S3＋S4＝π，所以S阴影＝S2＋S4＝.
二、填空题
5.已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称.若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________.
答案：(2，＋∞)
解析　由已知得
＝3x＋b，所以h(x)＝6x＋2b－.h(x)>g(x)恒成立，即6x＋2b－>，3x＋b>恒成立.
在同一坐标系内，画出直线y＝3x＋b及半圆y＝(如图所示)，可得>2，即b>2，故答案为(2，＋∞).
6．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．
【解析】　∵|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c，且三者成等比数列，则|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，即4c2＝(a－c)·(a＋c)，得a2＝5c2，∴e＝＝.
【答案】　
三、解答题
7.已知函数f(x)＝2ln
x－x2＋ax(a∈R)．
(1)当a＝2时，求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；
(2)若函数g(x)＝f(x)－ax＋m在上有两个零点，求实数m的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝2ln
x－x2＋2x，f′(x)＝－2x＋2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率k＝f′(1)＝2，则切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
(2)g(x)＝2ln
x－x2＋m，
则g′(x)＝－2x＝.
∵x∈，∴当g′(x)＝0时，x＝1.
当0；
当1故g(x)在x＝1处取得极大值g(1)＝m－1.
又g＝m－2－，g(e)＝m＋2－e2，g(e)－g＝4－e2＋<0，则g(e)∴g(x)在上的最小值是g(e)．
g(x)在上有两个零点的条件是
解得1∴实数m的取值范围是.
8.已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cos
x的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度.
(1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；
(2)已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在[0,2π)内有两个不同的解α，β.
①求实数m的取值范围；
②证明：cos(α－β)＝－1.
解
法一　(1)将g(x)＝cos
x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y＝2cos
x的图象，再将y＝2cos
x的图象向右平移个单位长度后得到y＝2cos的图象，故f(x)＝2sin
x.
从而函数f(x)＝2sin
x图象的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z).
(2)①f(x)＋g(x)＝2sin
x＋cos
x＝＝sin(x＋φ)
.
依题意，sin(x＋φ)＝在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当＜1，故m的取值范围是(－，).
②证明　因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0，2π)内的两个不同的解。
所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝.
当1≤m＜时，α＋β＝2，即α－β＝π－2(β＋φ)；
当－＜m＜1时，α＋β＝2，即α－β＝3π－2(β＋φ).
所以cos(α－β)＝－cos
2(β＋φ)＝2sin2(β＋φ)－1＝2－1＝－1.
法二　(1)解　同法一.
(2)①解　同法一.
②证明　因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0，2π)内的两个不同的解，
所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝.
当1≤m＜时，α＋β＝2，即α＋φ＝π－(β＋φ)；
当－＜m＜1时，α＋β＝2，即α＋φ＝3π－(β＋φ)；
所以cos(α＋φ)＝－cos(β＋φ).
于是cos(α－β)＝cos[(α＋φ)－(β＋φ)]
＝cos(α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)
＝－cos2(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)
＝－＋＝－1.
9．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
解：(1)连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.
在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.
在Rt△EBG中，可得BE＝，
故DF＝.
在Rt△FDG中，可得FG＝.
在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝，
从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.
又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.
因为EG 平面AEC，
所以平面AEC⊥平面AFC.
(2)如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系G xyz.
由(1)可得A(0，－，0)，E(1，0，)，
F，C，所以＝(1，，)，＝.
故cos〈，〉＝＝－.
所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.
10.
已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．
解：(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为
bx＋cy－bc＝0，
则原点O到该直线的距离d＝＝.由d＝c，得a＝2b＝2，
解得离心率＝＝.
(2)方法一：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①
依题意，圆心M(－2，1)是线段AB的中点，且|AB|＝.
易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得
(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由x1＋x2＝－4，得－＝－4，
解得k＝.
从而x1x2＝8－2b2.
于是|AB|＝|x1－x2|＝＝.
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.
方法二：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.②
依题意，点A，B关于圆心M(－2，1)对称，且|AB|＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，
两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0.
易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，
所以AB的斜率kAB＝＝.
因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0.
所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2.
于是|AB|＝|x1－x2|＝＝.
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.
B组
一、选择题
1.已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别为2,4,8，则的单调递增区间是（
）
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】A
【解析】：因为函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，所以函数的周期为6，所以并且函数的时取得最大值，所以函数的单调增区间为
．故选A．
2.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为(　　)
A．(0，－1)
B.
C.
D．(－1，1)
【答案】　D　由＝，得＝.
又由正弦定理得＝，所以＝，
即|PF1|＝|PF2|.又由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝.因为|PF2|是△PF1F2的一边，所以有a－c<0，所以e2＋2e－1>0(03.设函数f(x)=若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
4.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
【答案】　A　设h(x)＝.∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴h(－x)＝＝＝h(x)．
∴h(x)是偶函数．
∵xf′(x)－f(x)＜0，
∴h′(x)＝′＝＜0.
∴h(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数，且h(±1)＝0，如图所示，
可知满足f(x)＞0的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．
二、填空题
5.一条光线从点(－2,－3)射出,经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切,则反射光线所在直线的斜率为
答案：k＝－或k＝－
解析：[圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(-3,2),半径r＝1.(-2,-3)关于y轴的对称点为(2,-3).如图所示,反射光线一定过点(2,-3)且斜率k存在,∴反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x-2),即kx-y-2k－3＝0.
∵反射光线与已知圆相切,
∴＝1,整理得12k2＋25k＋12＝0,解得k＝－或k＝－.
6.已知函数f(x)＝若方程f(x)＝x＋a在区间[－2，4]内有3个不等实根，则实数a的取值范围是________．
答案：－2当－2≤x≤4时，函数
f(x)＝作出函数f(x)的图像如图所示．
设y＝x＋a，则当直线y＝x＋a经过点B，C时，函数f(x)的图像与直线y＝x＋a有3个交点，此时a＝1；当直线y＝x＋a，经过点E，F时，函数f(x)的图像与直线y＝x＋a有4个交点，此时a＝0；当直线y＝x＋a经过点H，G时，函数f(x)的图像与直线y＝x＋a有2个交点，此时a＝－2.所以由图可知实数a的取值范围是－2INCLUDEPICTURE"YM127.TIF"
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三、解答题
7.(如图，在四棱锥P ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.
(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；
(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．
解：以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A xyz，
则各点的坐标为B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．
(1)因为AD⊥平面PAB，
所以是平面PAB的一个法向量，＝(0，2，0)．
因为＝(1，1，－2)，＝(0，2，－2),．
设平面PCD的法向量为m＝(x，y，z)，
则m·＝0，m·＝0，
即
令y＝1，解得z＝1，x＝1.
所以m＝(1，1，1)是平面PCD的一个法向量．
从而cos〈，m〉＝＝，
所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.
(2)因为＝(－1，0，2)，设＝λ＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)，
又＝(0，－1，0)，则＝＋＝(－λ，－1，2λ)，
又＝(0，－2，2)，
从而cos〈，〉＝＝.
设1＋2λ＝t，t∈[1，3]，则cos2〈，〉＝＝≤.
当且仅当t＝，即λ＝时，
|cos〈，〉|的最大值为.
因为y＝cos
x在上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．
又因为BP＝＝，
所以BQ＝BP＝.
8.【湖南省师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学2016届高三四校联考】如图，四棱锥中，，，与都是等边三角形.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
【解析】（1）取的中点，连接，则为正方形，过作平面，垂足为，连接，，，，由和都是等边三角形可知，∴，即点为正方形对角线的交点，故，从而平面，∴，∵是的中点，是的中点，，因此；
（2）由（1）可知，，，两两垂直，以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立如图所示的直角坐标系，设，则，，，，，设平面的法向量，，，取，得，即，∵平面，设平面的法向量为，取，由图象可知二面角的大小为锐角，∴二面角的余弦值为.
9.平面直角坐标系xOy中,椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是,抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
①求证：点M在定直线上；
②直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S1,△PDM的面积为S2,求的最大值及取得最大值时点P的坐标.
解（1）　由题意知＝,可得a2＝4b2,因为抛物线E的焦点F,所以b＝,a＝1,所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1.
(2)①证明　设P(m>0),由x2＝2y,可得y′＝x,所以直线l的斜率为m,因此直线l的方程为y－＝m(x－m).即y＝mx－.
设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).联立方程得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0.
由Δ>0,得0)
且x1＋x2＝,因此x0＝,将其代入y＝mx－,得y0＝,因为＝－.
所以直线OD方程为y＝－x,联立方程得点M的纵坐标yM＝－,
所以点M在定直线y＝－上.
②解　由①知直线l的方程为y＝mx－,令x＝0,得y＝－,所以G,
又P,F,D,
所以S1＝·|GF|·m＝,
S2＝·|PM|·|m－x0|＝××＝.所以＝.
设t＝2m2＋1,则＝＝＝－＋＋2,当＝,
即t＝2时,取到最大值,
此时m＝,满足(
)式,所以P点坐标为.
因此的最大值为,此时点P的坐标为.
10.　某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．
(1)求a，b的值；
(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
解：(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．
将其分别代入y＝，
得解得
(2)①由(1)知，y＝(5≤x≤20)，则点P的坐标为，
设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，y′＝－，
则l的方程为y－＝－(x－t)，由此得A，B.
故f(t)＝
＝，t∈[5，20]．
②设g(t)＝t2＋，则g′(t)＝2t－.令g′(t)＝0，解得t＝10.
当t∈(5，10)时，g′(t)＜0，g(t)是减函数；
当t∈(10，20)时，g′(t)＞0，g(t)是增函数．
从而，当t＝10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min＝300，
此时f(t)min＝15.
C组
一、选择题
1.已知定义在R上的函数满足：记函数g(x)=
f(x)
-log4(x+l)，则函数g(x)在区间内零点个数是（
）
A．12
B．11
C．10
D．9
【答案】C
【解析】如图:函数的零点的个数就是函数与函数交点的个数.
2.已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】　B　由题意知，设x0∈(－∞，0)，
使得f(x0)＝g(－x0)，
即x＋ex0－＝(－x0)2＋ln(－x0＋a)，
∴ex0－ln(－x0＋a)－＝0.
令y1＝ex－，y2＝ln(－x＋a)，要使得函数图象的交点A在y轴左侧，如图，则ln
a<＝ln
e，∴a方法点拨：首先由存在关于y轴对称的点，建立f(x)与g(x)之间的联系，然后将函数的零点转化为两个函数图象的交点．
3.如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x(0【答案】　D　当x逐渐增大时，y也逐渐增大，故y随x的增大而增大，故排除B.下面定量分析：当x＝时，弧长所对的圆心角为∠FOG＝.可求得l向上移动的距离为1－1×cos＝1－，故此时BE＝＝.又易知BC＝＝，故y＝BE＋BC＋CD＝2BE＋BC＝2×＋＝.
因为
<
＝，
所以函数f(x)的图象是下凹型．故选D.
4.如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)
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"../../吕芳/数学理/SXT27.TIF"
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"../../吕芳/数学理/10/SXT27.TIF"
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"../../莫成程/2016/数学/理/SXT27.TIF"
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"../../莫成程/2016/2016版大高考%20数学/整理文件/大高考5年真题3年模拟/理/SXT27.TIF"
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"../../莫成程/2016/2016版大高考%20数学/整理文件/大高考5年真题3年模拟/理/真题/SXT27.TIF"
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"../../莫成程/2016/2016版大高考%20数学/整理文件/大高考5年真题3年模拟/理/学生/SXT27.TIF"
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"F:\\2016-7-6\\32理\\SXT27.TIF"
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答案：B
[当点P沿着边BC运动，即0≤x≤时，在Rt△POB中，|PB|＝|OB|tan∠POB＝tan
x，在Rt△PAB中，|PA|＝＝，则f(x)＝|PA|＋|PB|＝＋tan
x，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；
当点P与点C重合，即x＝时，由上得f＝＋tan＝＋1，又当点P与边CD的中点重合，即x＝时，△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f＝|PA|＋|PB|＝＋＝2，知f＜f，故又可排除D.综上，选B.]
二、填空题
5.如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．
已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15
m，AC＝25
m，∠BCM＝30°，则tan
θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)
【解析】　如图，过点P作PD⊥BC，垂足为D.
∵平面MCB⊥平面ABC，且平面MCB∩平面ABC＝BC，
∴PD⊥平面ABC.
连接AD，∴∠PAD为由点A观察点P的仰角θ.设CD＝x，∵∠BCM＝30°，
∴PD＝x.
在Rt△ABC中，AB＝15，AC＝25，
∴sin∠ACB＝＝，
∴cos∠ACB＝.由余弦定理得
AD＝
＝.
∴tan
θ＝＝＝，
∴当－＝0，即x＝时，
tan
θ最大，最大值为.
【答案】　
6.在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是
.
【答案】（，）
【解析】　方法一：如图所示，过点C作CE∥AD于点E，则∠CEB＝75°，∴CE＝BC＝2，∠BCE＝30°.
∴BE2＝BC2＋CE2－2BC·CE·cos∠BCE＝4＋4－8×＝8－4.
此时，BE＝－.
延长CD交BA的延长线于点F，则△BCF为等腰三角形，且∠CFB＝30°，FC＝FB，
∴cos∠CFB＝
＝＝.
解得FB＝＋.
由题意可知，
－＜AB＜＋.
方法二：如图所示，延长BA，CD交于点E.
则可知在△ADE中，∠DAE＝105°，
∠ADE＝45°，∠E＝30°.
设AD＝x，
CD＝m，
在△AED中，由正弦定理得，AE＝x，DE＝x.
∵BC＝2，在△BCE中，由正弦定理得，
＝，
即sin
30°·＝2sin
75°，
∴x＋m＝＋.
∵m＞0，∴0＜x＜4.而AB＝x＋m－x＝＋－x，
∴AB的取值范围是(－，＋)．
【答案】　(－，＋)
三、解答题
7.如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10，0)，点C的坐标为(0，10)．分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9.连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N
，1≤i≤9)．
(1)求证：点Pi(i∈N
，1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；
(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积比为4∶1，求直线l的方程．
解：(1)方法一：依题意，过Ai(i∈N
，1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x＝i，Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为y＝x.
设Pi的坐标为(x，y)，由
得y＝x2，即x2＝10y.
所以点Pi(i∈N
，1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2＝10y.
方法二：点Pi(i∈N
，1≤i≤9)都在抛物线E：x2＝10y上．
证明如下：过Ai(i∈N
，1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x＝i，
Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为y＝x.
由解得Pi的坐标为.
因为点Pi的坐标都满足方程x2＝10y，
所以点Pi(i∈N
，1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2＝10y.
(2)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋10.
由得x2－10kx－100＝0，
此时Δ＝100k2＋400>0，直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M，N.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则
因为S△OCM＝4S△OCN，所以|x1|＝4|x2|.
又x1·x2<0，所以x1＝－4x2，
分别代入①和②，得eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3x2＝10k，,－4x＝－100，))
解得k＝±.
所以直线l的方程为y＝±x＋10，即3x－2y＋20＝0或3x＋2y－20＝0.
8.一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)求曲线C的方程；
(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
图1　　　　　　　　　　图2
解：(1)设点D(t，0)(|t|≤2)，N(x0，y0)，
M(x，y)，依题意，
＝2，且||＝||＝1，
INCLUDEPICTURE"16湖北理理解答题答案3.tif"
INCLUDEPICTURE
"16湖北理理解答题答案3.tif"
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所以(t－x，－y)＝2(x0－t，y0)，且eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x0－t）2＋y＝1，,x＋y＝1.))
即且t(t－2x0)＝0.
由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，
于是t＝2x0，故x0＝，y0＝－，代入x＋y＝1，可得＋＝1.
即所求的曲线C的方程为＋＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝×4×4＝8.
当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋m.
由消去y，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.
因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0，即m2＝16k2＋4.①
又由
可得P；
同理可得Q.
由原点O到直线PQ的距离为d＝和|PQ|＝|xP－xQ|，可得
S△OPQ＝|PQ|·d＝|m||xP－xQ|＝|m|＝.②
将①代入②得，S△OPQ＝＝8.
当k2>时，S△OPQ＝8
＝8>8；
当0≤k2<时，S△OPQ＝8
＝8.
因为0≤k2<，则0<1－4k2≤1，≥2，所以S△OPQ＝8≥8.
当且仅当k＝0时取等号．
所以当k＝0时，S△OPQ的最小值为8.
综上可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.
9.如图,将长为4,宽为1的长方形折叠成长方体ABCD－A1B1C1D1的四个侧面,记底面上一边AB＝t(0(1)当长方体ABCD－A1B1C1D1的体积最大时,求二面角B－A1C－D的值；
(2)线段A1C上是否存在一点P,使得A1C⊥平面BPD,若有,求出P点的位置,没有请说明理由.
解
法一　(1)根据题意,长方体体积为V＝t(2－t)×1＝t(2－t)≤＝1,
当且仅当t＝2－t,即t＝1时体积V有最大值为1,
所以当长方体ABCD－A1B1C1D1的体积最大时,底面四边形ABCD为正方形,
作BM⊥A1C于M,连接DM,BD,
因为四边形ABCD为正方形,所以△A1BC与△A1DC全等,故DM⊥A1C,所以∠BMD即为所求二面角的平面角.
因为BC⊥平面AA1B1B,所以△A1BC为直角三角形,
又A1B＝,A1C＝,所以BM＝＝＝,同理可得,DM＝,在△BMD中,根据余弦定理有：cos∠BMD＝＝－,
因为∠BMD∈(0°,180°),所以∠BMD＝120°,即此时二面角B－A1C－D的值是120°.
(2)若线段A1C上存在一点P,使得A1C⊥平面BPD,则A1C⊥BD
又A1A⊥平面ABCD,所以A1A⊥BD,所以BD⊥平面A1AC.所以BD⊥AC,
底面四边形ABCD为正方形,即只有ABCD为正方形时,线段A1C上存在点P满足要求,否则不存在.由(1)知,所求点P即为BM⊥A1C的垂足M,
此时,A1P＝＝＝.
法二　根据题意可知,AA1,AB,AD两两垂直,以AB为x轴,AD为y轴,AA1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系：
(1)长方体体积为V＝t(2－t)×1＝t(2－t)≤＝1,当且仅当t＝2－t,即t＝1时体积V有最大值为1.
所以当长方体ABCD－A1B1C1D1的体积最大时,底面四边形ABCD为正方形,则A1(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),＝(1,0,－1),＝(0,1,0),
设平面A1BC的法向量m＝(x,y,z),则
取x＝z＝1,得：m＝(1,0,1),
同理可得平面A1CD的法向量n＝(0,1,1),所以,cos〈m,n〉＝＝,
又二面角B－A1C－D为钝角,故值是120°.(也可以通过证明B1A⊥平面A1BC写出平面A1BC的法向量)
(2)根据题意有B(t,0,0),C(t,2－t,0),D(0,2－t,0),若线段A1C上存在一点P满足要求,不妨＝λ(λ＞0),可得P(λt,λ(2－t),1－λ)＝(λt－t,λ(2－t),1－λ),＝(－t,2－t,0),
即：解得：t＝1,λ＝.
即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P,位置是线段A1C上A1P∶PC＝2∶1处.
10.已知函数有两个零点.
（I）求a的取值范围；
（II）设x1，x2是的两个零点，证明：+x2<2.
解：⑴
由已知得：
①
若，那么，只有唯一的零点，不合题意；
②
若，那么，
所以当时，，单调递增
当时，，单调递减
即：
↓
极小值
↑
故在上至多一个零点，在上至多一个零点
由于，，则，
根据零点存在性定理，在上有且仅有一个零点．
而当时，，，
故
则的两根，，
，
因为，故当或时，
因此，当且时，
又，根据零点存在性定理，在有且只有一个零点．
此时，在上有且只有两个零点，满足题意．
③
若，则，
当时，，，
即，单调递增；
当时，，，即，单调递减；
当时，，，即，单调递增．
即：
+
0
-
0
+
↑
极大值
↓
极小值
↑
而极大值
故当时，在处取到最大值，那么恒成立，即无解
而当时，单调递增，至多一个零点
此时在上至多一个零点，不合题意．
④
若，那么
当时，，，即，
单调递增
当时，，，即，
单调递增
又在处有意义，故在上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．
⑤
若，则
当时，，，即，
单调递增
当时，，，即，
单调递减
当时，，，即，
单调递增
即：
+
0
-
0
+
↑
极大值
↓
极小值
↑
故当时，在处取到最大值，那么恒成立，即无解
当时，单调递增，至多一个零点
此时在上至多一个零点，不合题意．
综上所述，当且仅当时符合题意，即的取值范围为．
⑵
由已知得：，不难发现，，
故可整理得：
设，则
那么，当时，，单调递减；当时，，单调递增．
设，构造代数式：
设，
则，故单调递增，有．
因此，对于任意的，．
由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有
令，则有
而，，在上单调递增，因此：
整理得：．第七讲
以函数与导数为背景的取值范围问题专题
一、单选题
1．已知函数，关于x的方程，有5个不同的实数解，则m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
设
，则，由解得，当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，当时，函数取得极大值也是最大值为.
方程化为解得或.
画出函数的图象如图：
根据图象可知的取值范围是时，方程由5个解.
故选C.
2．已知函数
，在函数图象上任取两点，若直线的斜率的绝对值都不小于，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，在单调递减，
设.设则在上单调递减，则对恒成立，则对恒成立，
则，解之得或.又，所以.
3．已知函数，在函数图象上任取两点，若直线的斜率的绝对值都不小于5，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，在单调递减.
，，.设，则.
设，则在上单调递减，
则对恒成立.
则对恒成立，则，即，
解之得或.
又，所以.
4．设是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
因为当时，，构造函数，当时，，即在上单调递减，又因为，所以当，，，，当，，，，又因为为奇函数，所以当时，，由，得
或，解得，选择C
5．已知是减函数，且y=有三个零点，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
当，单调递减，
可得在恒成立。
当，恒成立，可得，而，所以，
当，恒成立，可得，而，所以，
故.
由题意知：与图象有三个交点，
当时，只有一个交点，不合题意，
当时，由题意知，和为两个图象交点，只需在有唯一零点。
时，，即有唯一解。
令，.令得，
所以，单调递减；时，，单调递增。
，
时，，时，，
所以要使在有唯一解，
只需或.
故选D.
6．设函数若关于的方程有四个不同的解且则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
画出函数的图像如下图所示，根据对称性可知，和关于对称，故.由于，故.令，解得，所以.
，由于函数在区间为减函数，故，故选A.
7．设函数，其中，，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
设，
由题意知,存在唯一的整数使得在直线的下方，
，
∴当时，，当时，，
∴当时，取最小值，
当时，，当时，，
直线恒过定点且斜率为，故且，解得,故选：B．
8．对于任意的，关于x的方程在上有三个根，则实数a的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
原方程可以化成，取，.
，
当时，，故在上为减函数；
当时，，故在上为增函数；
当时，，故在上为增函数；
，，，
，故，在上为增函数.
因为关于的方程在有三个不同的实数根，故
，故，解答，故选A.
9．若为奇函数，则满足的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
为奇函数，∴
，求得
，可得．
不等式足，即
，即
．
再根据
在R上单调递增，可得
，
故选B.．
10．若函数在上为增函数，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
依题意可得.
因为的增函数，故在上恒成立，
当时，，令，则
即，
令，则，故，解得.
当，则，令，则
即，该不等式在恒成立.
综上，，故选D.
11．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由题意可以作出函数与的图象，如图所示．
若不等式恒成立，必有，其中是过点的切线斜率．设切点为，因为，所以
，解得，所以，故
12．已知曲线与直线相切，且满足条件的值有且只有3个，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由题意得：，设切点，
则其切线的斜率为，
所以切线方程为，又点在切线上，
∴，即，
由题意得，方程有三个不同的实数解，记，
则，当时，令，解得或，令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∵，，∴要使方程有三个不同的实数解，
则，解得，实数的取值范围是，故选B
13．若函数在上为增函数，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
依题意可得对x恒成立，令x+1=t(1即a对t恒成立.
设g(t)=
a，t.
当a>0时，
解得.
当a<0时，g(0)=，-=，t恒成立.
综上，的取值范围为.
故选B.
14．若函数在上为增函数，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
依题意可得对x恒成立，
即a对x恒成立.
设g(x)=
a，x.
当a>0时，
解得.
当a<0时，g(0)=，-=，x恒成立.
综上，的取值范围为.
故选B.
15．若函数在上是单调函数，且存在负的零点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
当时，,所以函数在上只能是单调递增函数，又存在负的零点，而当时，f(0)=1+a，当时，f（0）=3a-2，0<3a-21+a，解得
.
故选B.
16．设函数在定义域上是单调函数，且，若不等式对恒成立，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
由题意易知为定值，不妨设，则，
又，故，解得：，
即函数的解析式为，，
由题意可知：对恒成立，
即对恒成立，
令，则，
据此可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
函数的最小值为，
结合恒成立的结论可知：的取值范围是.
本题选择D选项.
17．已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
的几何意义，
表示点与点连线斜率，
实数在区间内，故和在内，
不等式恒成立，
函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1
,
故函数的导数大于1在内恒成立，
在内恒成立，
由函数的定义域知，，
所以在内恒成立，
由于二次函数在上是单调递增函数，
故时，在上取最大值为，
，，故选C.
18．已知函数，若方程有4个不同的实数解，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由得到，
令，则得，整理得．
由得，当时，；
当时，，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时．
所以函数的值域为．
画出函数的图象如下图所示．
由题意可得“方程有4个不同的实数解”等价于“方程有两个大于的不等实根”，
由于有两个不等实根，
所以只需方程有两个不同于上述方程的实根，
结合图象可得且，
所以实数的取值范围是．
故选B．
19．若函数（其中是自然对数的底数），且函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
由，可得，作出函数的图象，而表示过原点且斜率为的直线，由图可知，当时，与有两个不同
的交点，满足题意；
过原点作的切线，设切点为，因为，
所以切线方程为，将代入，得，
此时切线的斜率为，也即当时，与相切，
由图可知，当时，与有两个不同的交点，满足题意；
综上可知，实数的取值范围是．
答案选D
20．已知函数，.若不等式对所有的，都成立，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由得，对任意，都成立，故，即对都成立.构造函数，其中.，故当时，即单调递增，最大值为，故.
21．设函数是定义在上周期为的函数，且对任意的实数，恒，当时，．若在上有且仅有三个零点，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
是偶函数，
根据函数的周期和奇偶性作出的图象如图所示,
在上有且仅有三个零点，
和的图象在上只有三个交点，
结合图象可得
，解得，
即的范围是，故选C.
22．设函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
整理得，如图，
为了满足不等式恒成立，则，
且在处的切线斜率，，
所以，，
所以得，
综上，。故选A。
23．已知函数
在区间内有唯一零点，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由题意
在区间内有唯一实数解
令
，解得
，
∴函数在区间[1，e]上单调递增，
则
，则的取值范围为.
故选A.
24．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
依题意，存在，使得
，即
；因而，即函数
与
的图像在
上有交点；如图所示，可知若函数
与的图象在上有交点，则当
时，满足
，即
；易知当
时，函数
与的图象在上恒有交点，故
的取值范围是
，故选B.
25．已知不等式对于恒成立,则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
不等式对于恒成立，等价于，对于恒成立，令，则，在上恒成立，，时，，的取值范围是，故选C.
26．已知函数，若方程恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
因为
，作图，由与相切
得
，由与相切得设切点
，如图可得实数的取值范围是，选B.
27．已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
由正弦函数图像得
，所以
，选D.
28．已知函数（且），若函数的图象上有且仅有两个点关于轴对称，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
关于轴对称函数为，时，与的图象有且仅有一个交点，函数的图象上有且仅有两个点关于轴对称，符合题意，当时，要使与的图象有且仅有一个交点，则，综上所述，的取值范围是,，故选D.
29．已知函数，要使函数的零点个数最多，则k的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
因为，
所以，
可得在上递减，在递增，
所以，有最小值，且时，，
所以，时，最多有两个根，
最多有2个根，
即在有两个根时，
的零点最多为4个，
，解得，故选B.
30．已知函数若当方程有四个不等实根，，，（）时，不等式恒成立，则实数的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
当时，，所以，由此画出函数的图象如下图所示，由于，故.且.所以，，由分离参数得，，令，则上式化为，即，此方程有实数根，判别式大于或等于零，即，解得，所以，故答案为：B
31．设函数，则使得成立的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，所以，为上的偶函数，
又，当时，，故在上为增函数.
因，由
得到，
故，或，选D.
32．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
根据题意，设，
其导数
，
又由当时，，
则有
，
即函数在
上为减函数，
又由，
则在区间上，，
又由，则，
在区间上，，
又由，则，
则在和上，，
又由为奇函数，则在区间和上，都有，
或，
解可得或，
则的取值范围是，故选D.
33．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
不等式即，
结合可得恒成立，即恒成立，
构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增，
故恒成立，即恒成立，
令，则，
当时，单调递减；当时，单调递增；
则的最小值为，
据此可得实数的取值范围为.
本题选择D选项.
34．设，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
恰有3个零点，则恰有3个根，
令，即
与恰有3个交点，
，
当时，，所以在上是减函数；
当时，，
当时，，
当时，，
所以在时增函数，在时减函数，且，
所以
故选A．
35．已知函数，若和图象有三条公切线，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
设公切线与分别相切于点,
,，
解得，代入化简得
，
函数在区间递增，在区间递减，在区间递增，
且，可知无上界，即时，
方程有三解，故选A.
36．对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=ex﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（　　）
A．
B．
C．
[2，3]
D．
[2，4]
【答案】C
【解析】
：，为单调递增的函数，且是函数唯一的零点，由互为“零点相邻函数”，则的零点在之间。
（1）当有唯一的零点时，，解得，解得满足题意；
（2）当在之间有唯一零点时，,解得
;
（3）当在之间有两个点时，,解得
综上所述，解得。故选C。
37．定义在上的偶函数的导函数为，若对任意的实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
是上的偶函数，则函数也是上的偶函数，
对任意的实数，都有恒成立，
则.
当时，，当时，，
即偶函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
不等式即，
据此可知，则或.
即实数的取值范围为.
本题选择B选项.
38．对于函数和，设，若所有的，都有，则称和互为“零点相邻函数”.与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
：，为单调递增的函数，且是函数唯一的零点，由互为“零点相邻函数”，则的零点在之间。
（1）当有唯一的零点时，，解得，解得满足题意；
（2）当在之间有唯一零点时，,解得
;
（3）当在之间有两个点时，,解得
综上所述，解得。故选D。
39．已知函数，，实数，满足.若，，使得成立，则的最大值为（
）
A．
3
B．
4
C．
5
D．
【答案】A
【解析】
由
可知函数在区间上单调递增，
函数的最大值，
函数的最小值为，
，
结合函数平移的结论和对勾函数的性质绘制函数图象如图所示，
当时，函数有极小值，
当时，函数有极大值，
令可得：或，
据此可知，的最大值为.
本题选择A选项.
40．已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
若函数有两个零点，
则函数的图象与有且仅有两个交点，
在同一坐标系内画出函数的图象与的图象如下：
由图可得：当时，满足条件；
由时与相切得：
0时，满足条件；
故，
故选：D．
41．已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
绘制函数的图象如图所示，
令，由题意可知，方程在区间上有两个不同的实数根，
令，由题意可知：
，据此可得：.
即的取值范围是.
本题选择D选项.
二、填空题
42．若，不等式恒成立，则正实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式eλx0恒成立，
即为（eλx
）min≥0，
设f（x）＝eλx，x＞0，f′（x）＝λeλx，
令f′（x）＝0，可得eλx，
由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，
可得y＝eλx和y有且只有一个交点，
设为（m，n），当x＞m时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜m时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（x）在x＝m处取得极小值，且为最小值．
即有eλm，令eλm0，
可得m＝e，λ．
则当λ时，不等式eλx0恒成立．
故答案为.
43．已知函数f1（x）=﹣ax2，f2（x）=x3+x2，f（x）=f1（x）+f2（x），设f（x）的导函数为f′（x），若不等式f1（x）＜f′（x）＜f2（x）在区间（1，+∞）上恒成立，则a的取值范围为_____．
【答案】
【解析】
f（x）=﹣ax2+x3+x2=x3+（1﹣a）x2，f′（x）=3x2+2（1﹣a）x，
f1（x）＜f′（x）＜f2（x）在区间（1，+∞）上恒成立，
即﹣ax2＜3x2+2（1﹣a）x＜x3+x2恒成立，
﹣ax2＜3x2+2（1﹣a）x，可化为（a+3）x+2（1﹣a）＞0，
，解得﹣3≤a≤5①；
3x2+2（1﹣a）x＜x3+x2可化为2a＞﹣x2+2x+2，
而﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3＜3，
∴2a≥3，即②，
由①②可得，
∴实数a的取值范围是，故答案为．
44．若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
由题意可将函数有三个不同的零点转化为函数y=a与有三个不同的交点，如图所示：
当时，的图象易得，当时，函数g(x)=，==0，x=1,
在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，如图所示：
有三个不同的交点，a＞3
故答案为：
45．已知函数若函数存在5个零点，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】
先作出函数y=2f(x)的图像如图所示(图中黑色的曲线)，
当a=1时，函数y=|2f(x)-1|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1只有四个交点，即函数存在4个零点，不合题意.
当1＜a＜3时，函数y=|2f(x)-a|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1有5个交点，即函数存在5个零点，符合题意.
当a=3时，函数y=|2f(x)-3|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1有6个交点，即函数存在6个零点，不符合题意.
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
46．设，若函数在上的最大值与最小值之差为2，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
设，
则，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
∵，，，
∴函数的值域为，最大值与最小值之差为2，
∴函数的值域为，最大值与最小值之差也为2．
∵函数在上的最大值与最小值之差为2，
∴或，
解得或.
∴实数的取值范围为．
故答案为．
47．已知函数f（x）＝lg（1－x）－lg（1＋x），函数g（x）＝2－（a＞0且a≠1）．若当x∈[0，1）时，函数f（x）与函数g（x）的值域的交集非空，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
依题意，；
当时,
是减函数，
当时,时单调递减,
，；
当时,
时单调递增,
显然不符合题意；
综上所述，实数的取值范围为
.
48．设是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，.在区间内关于的方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
如图所示，当﹣6，可得图象．
根据偶函数的对称性质画出[0，2]的图象，再据周期性：对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），
画出[2，6]的图象．
画出函数y=loga（x+2）（a＞1）的图象．
∵在区间（﹣2，6]内关于x的f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，
∴loga8＞3，loga4＜3，
∴4＜a3＜8，
解得＜a＜2．
故答案为：
49．不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
令，
则原函数化为，
即，
由，
及知，
，即，
当时（1）总成立，
对，；
对，，
从而可知，故答案为.
50．已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
作出函数的图象，
令,可得
,
画出直线
,平移可得当时，
直线和函数有两个交点,
则的零点有两个，
故的取值范围是，故答案为.
51．已知函数在上连续，对任意都有；在中任意取两个不相等的实数，都有恒成立；若，则实数的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
由可知函数关于直线对称；在中任意取两个不相等的实数，都有恒成立；可知函数在区间上单调递减，由对称性可知函数在区间上单调递增，不妨设，则由可得
，整理得，即，解得或，所以实数的取值范围是．
答案为：
52．已知函数，若对任意，有>0
或>0
成立，则实数
的取值范围是____________
【答案】-3【解析】
由
,得，故对时，恒成立，
由
,得，故对时，不成立，
从而对任意，
恒成立，
画出函数的图象，由图可知，
函数的图象开口向上，
且两个零点都大于1,
可得满足，解得，
则实数的取值范围是，故答案为.
53．已知函数（是自然对数的底）.若函数的最小值是，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
当时，
（当且仅当时取等号），当时，
，因此
54．已知函数,若,则的取值范围是____________
.
【答案】
【解析】
，
，
是偶函数，
时，，
在上递增，
由是偶函数可得在上递减，
，
化为，，
等价于，或，
或，
即的取值范围是，故答案为.
55．已知直线与圆相交于两点，点，且，若，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
由，
消去y得：（k2+1）x2-（2k+2）x+1=0，①
设P（x1，y1）Q（x2，y2），
∵，
∴=0，
（x1，y1-b）（x2，y2-b）=0，即x1 x2+（y1-b）（y2-b）=0
∵y1=kx1，y2=kx2，
∴（1+k2）x1 x2-kb（x1+x2）+b2=0，
∴
即
，
∵，
设
，在区间上单调递增，求得
，可得，，解得：1＜k＜或k＞，
k的取值范围（．
56．已知函数，，，使，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
，使，即g(x)的值域是的子集
g(x)[]
，
当a≤-1时，f(x)[]，即≤，解得a
当-1即≤，不等式组无解
当a>1时，f(x)[]，即≤，不等式组无解
综上所述，a的范围为
57．已知函数的定义域为D，当时，恒成立，则实数的取值范围是__________
【答案】
【解析】
【详解】
令，解得，所以函数的定义域为，
当时，恒成立，即为成立，
又因为在其定义域上是增函数，
故，所以，
故答案是.
58．已知函数，，对一切，恒成立，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】
因为，代入解析式可得
分离参数a可得
令（
）
则，令解得
所以当0＜x＜1，，所以h（x）在（0，1）上单调递减
当1＜x，，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以h（x）在x=1时取得极小值，也即最小值．
所以h（x）≥h（1）=4．
因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
所以a≤h（x）min=4．
所以a的取值范围为
59．已知不等式对任意正整数恒成立，则实数取值范围是__________．
【答案】
【解析】
由题意，，且，或，且，
∴，且，或，且，
∴，或，
∵n为正整数，
∴n=4或5，
∴4 m 5，
故答案为：[4,5].
60．已知，，若，使得成立，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
，
则可知在单调递增，在单调递减.故.
在单调递减，在单调递增.故.
，使得成立，则，所以.
61．已知函数，偶函数的图像与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
为偶函数，
令，可得，
令，则
在和上单调递减
由洛必达法则知
恒成立，
只有一解
则的取值范围为
62．已知关于x的不等式＞0在[1，2]上恒成立，则实数m的取值范围为___________
【答案】
【解析】
①当时，函数外层单调递减，
内层二次函数：
当，即时，二次函数在区间内单调递增，函数单调递减，
，解得：；
当，即时，无意义；
当，，即时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先递增后递减，
则需，无解；
当，即时，二次函数在区间内单调递减，函数单调递增，
，无解.
②当时，函数外层单调递增，
，二次函数单调递增，函数单调递增，
所以，解得：.
综上所述：或.
63．已知函数其中，若函数的图象上恰好有两对关于y轴对称的点，则实数的取值范围为____．
【答案】
【解析】
已知函数其中，若函数的图象上恰好有两对关于y轴对称的点，
即时，与，有两个交点，恒过（1，0），中是函数的零点，所以必须满足，
解得
．
故答案为：．
64．已知函数．若对任意实数，总存在实数，使得成立，求实数
的取值集合为____．
【答案】．
【解析】
令，，
所以函数h(x)在上递增，在上递减，
又，所以，当且仅当时等号成立，
因为对任意实数，总存在实数，使得成立，
且过原点的直线与切于点，
所以函数f(x)的图象是不间断的，故．
所以实数
的取值集合为.
故答案为：
65．已知函数记，若，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
由题意，条件可转化为函数，在上存在零点，
所以方程有根，所以函数与的图象有交点的横坐标在上，
所以函数的图象为顶点在直线上移动的折线，
如图所示，可得，即，所以实数的取值范围是.
66．函数满足,,当时,
,过点且斜率为的直线与在区间上的图象恰好有个交点,则的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
∵，
∴，即，
∴函数的周期为．
由时，
，
则当时，，故，
因此当时，
．
结合函数的周期性，画出函数图象如下图所示．
又过点且斜率为的直线方程为．
结合图象可得：
当时，
．与联立消去整理得，
由，得或(舍去)，
此时，故不可能有三个交点；
当时，点与点连线的斜率为，此时直线与有两个交点，又，
若同相切，将两式联立消去y整理得
，
由，得或(舍去)，
此时
，
所以当时有三个交点．
综上可得的取值范围为．
67．已知函数有两个极值，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
,由题意知有两个零点，
由可得，
即有两个交点，
如图所示，考查临界条件：设与的切点为，
即，，则，
切线方程为.
把代入切线方程可得，，
据此可得：，即，
实数的取值范围为.
68．定义为中的最大值，函数的最小值为，如果函数在上单调递减，则实数的范围为__________
【答案】
【解析】
根据题意，，
则，
分析可得，当时，取得最小值2，则有
，
则，若为减函数，
必有，
解可得：，即m的取值范围为；
故答案为：．
69．函数的图象如图所示，关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是__________
【答案】
【解析】
根据函数的图象，设，
关于的方程有三个不同的实数解，
即为有两个根，且一个在上，一个在上，
设，
①当有一个根为1时，，此时另一个根为，符合题意；②当没有根为1时，则，解得，
综上可得，的取值范围是，故答案为.
试卷第4页，总38页
试卷第1页，总38页第六讲
导数构造辅导助函数问题选择填空题专练
A组
一、选择题
1．已知是函数的导函数，当时
，成立，记，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，所以函数在上单调递减，又，所以，选C.
2．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
构造函数，则，由已知，为偶函数，所以，又，即，当时，，即，所以函数在单调递减，又，所以
，即．
3．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立.则有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由且，则，设，则，所以在上是增函数，所以，即，即．故选A．
4．函数是定义在上的可导函数，其导函数为且有，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
依题意，有，故是减函数，原不等式化为，即.
5．定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
构造函数，在上单调递减，故等价于.
6．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f（x）>0的解集是（
）
A．（－2,0）∪（2，＋∞）
B．（－2,0）∪（0,2）
C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）
D．（－∞，－2）∪（0,2）
【答案】D
【解析】
因为当时，有恒成立，即恒成立，所以在内单调递减．因为，所以在内恒有；在内恒有．又因为是定义在上的奇函数，所以在内恒有；在内恒有．又不等式的解集，即不等式的解集．故答案为：，选D.
7．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
考虑取特殊函数，是奇函数，且，，当时，>0，满足题设条件.直接研究函数，图象如下图，可知选B答案.
8．定义在的函数的导函数为,对于任意的,恒有,则的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】B
【解析】
构造函数，因，故在上单调递增，则，即，也即，所以，应选B。
9．已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数满足，则不等的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
令，则；，，
可构造函数，，为减函数．
又，可得；，使成立，
即；
10．设，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
令，则，因此在上单调递，减，从而，选D.
11．已知在上非负可导，且满足，对于任意正数，若，则必有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
构造函数,则由可知函数是单调递减函数,因为,所以,即,也即,因此应选D．
12．已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则下列结论正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
令
∵f′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0，g（x）递增，∴g（1）＞g（0），即，
∴f（1）＞ef（0），
二、填空题
13．定义在上的函数满足：，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为
．
【答案】
【解析】
设，则，，，，在定义域上单调递增，，，又，，．故答案为．
B组
一、选择题
1．已知函数对定义域内的任意都有，且当时其导函数满足，若，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4-x），∴f（x）关于直线x=2对称；
又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x） f′（x）（x-2）＞0，
∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增；
同理可得，当x＜2时，f（x）在（-∞，2）单调递减；
∵2＜a＜4，∴，
∴2＜4-
＜3，又4＜＜16，f（）=f（4-
），f（x）在（2，+∞）上的单调递增；
∴f（）＜f（3）＜f（）
2．已知为定义在上的可导函数，且对于恒成立（为自然对数的底），则（
）
A．
B．
C．
D．与大小不确定
【答案】C
【解析】
令，则，所以在上单调递减。有即，所以，故选C.
3．已知函数满足，且的导函数，则的解集为（
）
A．
B.
C．
D．
【答案】B
【解析】
令F（x）=f（x）-x，则
F'（x）=f'（x）-＜0，
∴函数F（x）在R上单调递减函数，
∵，
∴f（x）-x＜f（1）-，
即F（x）＜F（1），
根据函数F（x）在R上单调递减函数可知x＞1
4．已知在实数集R上的可导函数，满足是奇函数，且，则不等式的解集是（
）
A.（-∞，2）
B.（2，+∞）
C.（0，2）
D.（-∞，1）
【答案】A
【解析】
令,则,因,故,所以,函数是单调递减函数,又因为是奇函数,所以且,所以原不等式可化为,由函数的单调性可知,应选A.
5．若,则(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
设当时，函数单调递减，由可得
6．设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为（
）
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】
令，为奇函数，在上
，
在上递减，在上也递减，由
知，在
上递减，可得，即实数的取值范围为，故选B.
7．已知定义在上的函数和满足，且，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
因为，所以，所以，又，得；令，又因为，所以，所以在上单调递减；所以
，故选D.
8．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
根据已知条件可构造函数，则为偶函数，由可知可求得导函数，因为当时，，所以，则当时，，所以在区间上有，在区间上有，又，可知的解集应该为，所以本题的正确选项为B.
9．定义在上的可导函数满足，且，则的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
因为，所以，令，则为上的减函数，又因为，所以，所以的解为即的解集为，故选A.
10．设函数在R上的导函数为，在上，且，有，则以下大小关系一定正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
由，可得，设则，所以是上的奇函数，又在上，即，所以在上是减函数，又是上的奇函数，所以是上的减函数，所以，即，因此，故答案填.
11．已知是函数()的导函数，当时，，记
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由题意得，设，则，所以当时，函数的单调递减函数，又，所以，即，故选C.
二、填空题
12．已知定义在R上的可导函数满足，若，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
令,则,故函数在上单调递减,又由题设可得,故,即,答案为．
C组
一、选择题
1．已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
因为为偶函数，所以，因此．令，则原不等式即为．又，，所以，所以函数在R是减函数，所以由得，故选B．
2．定义在上的单调递减函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
因为在上函数单调递减，则．又因，所以，且．设，所以，即函数在上单调递增．所以，即，，，故选C．
3．已知函数的导数为，且对恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
设,则,
对恒成立,且在上递增,故选D.
4．已知是上的减函数，其导函数满足，那么下列结论中正确的是（
）
A．，
B．当且仅当，
C．，
D．当且仅当，
【答案】C
【解析】
因为，是定义在上的减函数，，所以，所以，所以，所以函数在上单调递增，而时，，则，当时，故，又是定义在上的减函数，所以时，也成立，∴对任意成立．
5．设，则，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
令，则，所以函数为增函数，所以，所以，即，所以；又因为，所以，故应选.
6．设奇函数在上存在导数,且在上,若,则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
令，因为，所以函数的奇函数，因为时，，所以函数在为减函数，又题意可知，，所以函数在上为减函数，所以，即，所以，所以，故选B.
7．设为函数的导函数，已知，则下列结论正确的是(
)
A．在单调递增
B．在单调递减
C．在上有极大值
D．在上有极小值
【答案】不
【解析】
由，得，从而，令，则，∴，
令，则（），
令，即，因此当时，是增函数，
令，即，因此当时，是减函数，
由，得，
∴在上有极大值，也是最大值．
∴，即，当且仅当时，，
∴在上为减函数．
故选B．
8．已知定义在上的函数，满足；(其中是的导函数，是自然对数的底数)，则的范围为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
设，则，所以函数在区间上单调递增，所以，即；令，则，所以函数在区间上单调递减，所以，即，综上，故选B.
9．若函数是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
当时,构造函数,,所以函数在上为减函数,由于,所以函数为奇函数,所以函数在上为减函数.且,所以不等式解集为.故选D.
10．已知定义在上的可导函数满足：，则与的大小关系是（
）
A．>
B．<
C．
=
D．
不确定
【答案】A
【解析】
设因为所以为R上的减函数，又因为所以，即所以>.故选A.
二、填空题
11．已知函数是上的奇函数，是上的偶函数，且有，当时，有，则的解集为
.
【答案】
【解析】
构造函数,则函数是上的奇函数.
且,当时，有，即,所以函数在上为增函数,且,则函数在上为增函数,且,的解为或.的解集为.
试卷第2页，总15页
试卷第1页，总15页第五讲函数与方程综合
A组
一、选择题
1．（2018全国卷Ⅰ）已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数存在
2个零点，即关于的方程有2
个不同的实根，
函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象，
如图所示，
由图可知，，解得，故选C．
2.已知实数，满足，，则函数的零点所在的区间是（
）
A.
B.
C.
D.
【解析】，，，，又，，，从而由零点存在定理可知在区间上存在零点．故选B.
3.已知函数，．若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图所示，方程有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线的斜率大于坐标原点与点的连续的斜率，且小于直线的斜率时符合题意，故选．
4.设函数，则函数(
）
A．在区间，内均有零点
B．在区间，内均无零点
C．在区间内有零点，在内无零点
D．在区间内无零点，在(内有零点
【解析】的定义域为，，故在上递减，又
，故选D.
5.
已知函数满足：，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】由的周期为，又是偶函数，且时，，故可示意在上图象，有4个零点转化为函数与在上有4个交点，由图象知，故选C.
6.已知方程有两个实根，则实数的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.[1,
＋∞)
【解析】设，原题转化为函数在上有两个零点（可以相同），则
解得，故选B.
7.（2016高考新课标2卷理）已知函数满足，若函数与图像的交点为则（
）
A.
0
B.
C.
D.
【解析】由于，不妨设，与函数的交点为，故，故选B.（客观上函数与有共同的对称中心，所以它们的所有交点
关于对称
二、填空题
8．（2018年全国卷Ⅲ）函数在的零点个数为________．
【答案】3
【解析】由题意知，，所以，，所以，，当时，；当时，；当时，，均满足题意，所以函数在的零点个数为3．
9．（2017年高考全国3卷理）设函数则满足的x的取值范围是_________。
【答案】
【解析】由题意：
，函数
在区间
三段区间内均单调递增，且：
，
据此x的取值范围是：
.
10．若函数f(x)=
-x-m无零点,则实数m的取值范围是
.
【解析】原题转化为函数所表示的上半圆与斜率为1的平行线系没有公共点的问题，
画图，可得或.
11．设常数使方程在闭区间上恰有三个解，则
.
【解析】原方程可变为，作出函数的图象，再作直线，从图象可知
函数在上递增，在上递减，在上递增，只有当时，才有
三个交点，，所以.
12.（2016高考山东卷理）已知函数
其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是________________.
【解析】画出函数图象如下图所示：
由图所示，要有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得.
13.（2018年高考上海卷）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
（单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
(2)设该地上班族总人数为，则自驾人数为，乘公交人数为．
因此人均通勤时间，整理得：，
则当，即时，单调递减；
当时，单调递增．
实际意义：当有的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．
适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．
B组
一、选择题
1.设函数，．若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，，则下列判断正确的是(　　)
A．，
B．，
C．，
D．，
【解析】依题意，示意图象，可知，且异号，而，故选B.
2.已知函数,则关于的零点叙述正确的是(
)
A.当时,函数有两个零点
B.函数必有一个零点是正数
C.当时,函数有两个零点
D.当时,函数只有一个零点
【解析】函数的零点可转化为函数与图象的交点情况研究，选B.
3.已知函数，，若对于任意实数，与的值至少有一个为正数,则实数的取值范围是(　　)
A.
B.
C.

D.
【解析】依题意，不符；时，则对于，当时，显然，不符；时，则对于，，由，需对称轴：或，
解得，故选B.
4.函数的零点个数为 (　　)
A.
9
B.
10
C.
11
D.
12
【解析】示意函数与的图象可确定选D.
5.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有对，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【解析】依题意，需要在轴左侧图象对称到轴右侧，即，需要其图象与
原轴右侧图象至少有个公共点，不能满足条件，只有，如图，
此时，只需在时，的纵坐标大于，即，得.
6.已知实数若关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围为（
）A．
B．
C．
D．
【解析】做出函数的图象，如图所示，由图可知，当时直线与的图象有两个交点，当时直线与的图象有一个交点，题意要求方程有三个不同的实根，则方程必有两不等实根，且一根小于1，一根不小于1，当，即时，方程的两根为1和，符合题意；当，即时，方程有两个不等实根，且一根小于1，一根大于1，符合题意.综上由.
7.(2018年江苏卷)若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．
【答案】–3
【解析】由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以
，
8.
设函数.
（1）若，则的最小值为______；（2）若恰有个零点，则实数的取值范围是
．
【解析】（1）当时，若，；当时，，则
时，
（2）时，无零点；不符；时，有一个零点；，符合；，有个零点；，符合.
综上得或
9.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是
.
【解析】由题意，问题等价于方程与方程的根的个数和为，
若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组有解，∴，从而；
若方程无解，方程有2个根：则可知关于的不等式组有解，从而
，综上，实数的取值范围是.
10.已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________
．
【解析】在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为
与图象恰有四个交点．当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点．把代入，得，即，由，得，解得或．又当时，与仅两个交点，或．
三、解答题
11.设函数（为常数，是自然对数的底数）.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.
【解析】（I）函数的定义域为，
由可得，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（II）由（I）知，时，函数在内单调递减，
故在内不存在极值点；
当时，设函数，
因为，
当时，当时，，单调递增，故在内不存在两个极值点；
当时，得时，，函数单调递减，
时，，函数单调递增，
所以函数的最小值为，
函数在内存在两个极值点；
当且仅当，
解得，
综上所述，函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为.
C组
一、选择题
1.记方程①：，方程②：，方程③：，其中是正实数.当成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（
）
A.方程①有实根，且②有实根
B.方程①有实根，且②无实根
C.方程①无实根，且②有实根
D.方程①无实根，且②无实根
【解析】按D考虑，则由，故选D.
2.若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于(
)
A．6
B．7
C．8
D．9
【解析】依题得，则这三个数适当排序排成等比数列必有，
这三个数适当排序后成等差数列应有，解得
则，故，选D.
3.已知函数
函数
，其中，若函数
恰有4个零点，则的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【解析】由得，
所以，即
,所以恰有4个零点等价于方程
有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.
故选D.
4.定义在上的函数满足下列两个条件：（1）对任意的恒有成立；（2）当
时，．记函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（
）
【解析】∵对任意的恒有成立，且当
时，，
∴.由题意得的函数图象是过定点的直线，如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合），∴可得k的范围为.
5.设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为(
)
A．
B．
C．
D．
【解析】设，依题，则是奇函数，又在上，可判断
在上递减，不等式可转化为，则，得，
故选B.
6.定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】由题意得：，所以当时与有五个交点，
其中与的两个交点关于对称，和为8；与的
两个交点关于对称，和为-8；与的一个交点，值为；因此
所有零点之和为，故选B.
二、填空题
7.（2018年高考浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是
___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．
【答案】
8.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为
个．
【解析】函数的零点个数等价于函数的图象与直线的图象的交点的个数．由已知条件作出函数的图象与直线的图象，如下图．由图可知，函数的图象与直线的图象有6个交点．
9.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
.
【解析】令，得，设，即，原问题转化为直线与函数
只有一个交点且此交点的横坐标为正，由，得，且
在递增，在上递减，在上递增，可知，由图象得.
10.
函数若互不相等，且，则的取值范围为
．
【解析】示意图象，由互不相等，且，不妨令，应有
得
得，，则
，可判断函数在上递增，故
三、解答题
11.
已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【解析】（1）由，得，解得．
（2），，
当时，，经检验，满足题意．当时，，经检验，满足题意．
当且时，，，．
是原方程的解当且仅当，即；是原方程的解当且仅当，即．
于是满足题意的．
综上，的取值范围为．
（3）当时，，，
所以在上单调递减．
函数在区间上的最大值与最小值分别为，．
即，对任意成立．
因为，所以函数在区间上单调递增，时，
有最小值，由，得．
故的取值范围为． 第十六讲
古典概型与几何概型
A组
选择题
从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数是0的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】：D
【解析】：根据计数原理，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有个，其中个位数是0的两位数有个，因此由古典概型可知个位数是0的概率。
2、锅中煮有芝麻馅汤圆个，花生馅汤圆个，豆沙馅汤圆个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取个汤圆，则每种汤圆都至少取到个的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】：C
【解析】：本题考察古典概型。由题目条件可知总的舀法为：，而所求事件可分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆，豆沙馅汤圆取得个数分别按1，1，2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率
。
3、如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是(　　)
A．1－
B.－
C.
D.
【答案】：A
【解析】：本题考察几何概型以及面积的相关计算。如图设阴影部分两块的面积分别为，，OA＝R，则，
=，故而所求概率。
4、（2016重庆二诊理5）在区间[1，4]上任取两个数，则所取两个数的和大于3的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】：D
【解析】：在区间[1，4]上任取两个数记作（x，y），则基本事件构成集合，面积，满足条件的事件，
如图阴影面积；
故所求概率。
二、填空题
从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数则这七个数的中位数是6的概率为___________。
【答案】：
【解析】：从0到9十个数字中任取七个不同的数有种取法，要使七个数字的中位数是6，则6，7，8，9必须取，然后再从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，有种取法，故所求概率。
6、投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为
。
【答案】：
【解析】：投掷两颗骰子，共向上的点数m、n，用(m，n)记录基本事件，则基本事件构成集合。因为，则它为实数的等价条件是，又m、n均为正整数，从而m＝n。故所求事件有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)基本事件共6个，Ω中共有36个基本事件，则P＝＝。
7、已知正方体内有一个内切球O，则在正方体内任取点M，点M在球O内的概率是
。
【答案】：
【解析】：设正方体棱长为a，则正方体的体积，内切球的体积为，故点M在球O内的概率为。
8、若区域，在区域M内的点的坐标为，则的概率是________。
【答案】：
【解析】：本题考察几何概型及线性规划的综合应用。如图，区域M是以(－2，0)，(2，0)，(0，－2)，(0，2)为顶点的正方形，其中满足的是直线y＝x和y＝－x所夹的如图所示的阴影部分，显然阴影部分的面积恰好是区域M面积的一半，故所求的概率为。
三、解答题
9、某校高三有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校。求这三所高校中每个学校都至少有一名同学报考的概率。
【答案】：
【解析】：因为每名学生都有3种报考方法，所以5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试的报考方法总数为种。
三所高校中每个学校都至少有一名同学报考有两种情形：
（1）三所学校报名人数为3，1，1，共有种；
（2）三所学校报名人数为2，2，1，共有种；
所以三所高校中每个学校都至少有一名同学报考的方法总数为60+90=150种，
故所求概率。
10、某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.
（1）根据茎叶图计算样本均值；
（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率.
【解析】：本题考查统计中的茎叶图、样本均值、用样本估计总体、古典概型等知识，除应用频率估算概率外，还特别要注意基本公式的应用.
（1）样本均值；
（2）样本中优秀工人为2名，频率为，由此估计该车间12名工人中有名优秀工人；
（3）由于12名工人中有4名优秀工人，任取2人恰有1名优秀工人的概率。
B组
一、选择题
1、某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】：B
【解析】：10位同学参赛演讲顺序共有种；
一班有3位同学恰好被排在一起有种方法；
将一班的同学捆在一起与其他的5位同学共6个对象排成一列有种方法；
二班的2位同学插入以上6个对象所形成的7个间隙有种方法；
根据分布计数原理：一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起共有种方法；
故所求概率。
2、10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】：D
【解析】：方法一（直接法）：本题考察古典概型。由题意知试验所包含的所有基本事件数为，至少有一人中奖包括：一人中奖，两人中奖，三人中奖，其基本事件数为。则所求概率。
方法二（正难则反）：所求事件的对立事件是没有人中奖，其基本事件数为。则至少有1人中奖的概率。
3、已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】：D
【解析】：本题的关键是找出使△APB的最大边是AB的临界条件。如图，
在矩形ABCD中，以AB为半径作圆交CD分别于E，F，当点P在线段EF上运动时满足题设要求，所以E、F为CD的四等分点，设，则在直角三角形ADF中，
，所以。
4、（2016全国卷12）从区间随机抽取个数构成个数对其中两数的平方和小于的数共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（
）
B.
C.
D.
【答案】：C
【解析】：由题意得在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影部分中，由几何概型知；
故而有，即。
二、填空题
5、某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为
。
【答案】：
【解析】:6位乘客进入车厢的方案共有种，6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的方案有种，从而所求概率。
6、在区间[-3，3]上随机取一个数x，使得|x+1|-|x-2|1成立的概率为__________。
【答案】：
【解析】：设，则；
由，解得，即当时，；
由几何概型公式得所求概率为。
7、连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，设向量与向量的夹角为θ，则的概率是________。
【答案】：
【解析】：由题目条件可，
因为，则有。
满足条件的概率，
显然的概率与的概率相等，
从而的概率为，
因此满足的概率为。
8、已知关于x的二次函数。设集合P＝{－1，1，2，3，4，5}，Q＝{－2，－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中任取一个数作为a和b的值，函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为________。
【答案】：
【解析】：抛物线的对称轴为。
因为y＝f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，则有且，即且。
①若a＝1，则b＝－2，－1；
②若a＝2，则b＝－2，－1，1；
③若a＝3，则b＝－2，－1，1；
④若a＝4，则b＝－2，－1，1，2；
⑤若a＝5，则b＝－2，－1，1，2，
从而该事件包含基本事件数为16，所有基本事件数为6×6=36；
因此所求概率。
三、解答题
9、一个袋中装有黑球，白球和红球共n()个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．
（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设表示摸出的2个球中红球的个数,求随机变量的概率分布及数学期望；
（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少
【解析】：（1）设袋中黑球的个数为(个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A，则，解得；
设袋中白球的个数为(个)，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，则，
化简得，解得或(舍)．
从而红球的个数为(个)．
故随机变量的取值为0，1，2，分布列是
0
1
2
的数学期望．
（2）设袋中有黑球个，则…）
设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C，
则；
当时，最大，最大值为。
10、某市公租房房屋位于A.B.C三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中:
（Ⅰ）若有2人申请A片区房屋的概率;
（Ⅱ）申请的房屋在片区的个数的分布列与期望。
【解析】：（Ⅰ）所有可能的申请方式有种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有种，
从而恰有2人申请A片区房源的概率为。
（Ⅱ）的所有可能值为1，2，3。
，，
综上知，的分布列为：
1
2
3
从而有
C组
一、选择题
1、节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在4秒内为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(　
　)
A.
B.
C.
D.
【答案】：C
【解析】：由于两串彩灯第一次闪亮相互独立且在通电后4秒内任一时刻等可能发生，所以总的基本事件为如图所示的正方形的面积，而要求的是第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的基本事件为如图所示的阴影部分的面积。
如图所示，根据几何概型的计算公式可知它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是。
2、在二项式的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为（
）
A.
　　
B.
　　
C.
　　
D.
【答案】：D
【解析】：因为展开式中只有第五项的二项式系数最大，所以，其通项公式为，当时，项为有理项，
展开式的9项全排列为种，所有的有理项互不相邻可把6个无理项全排，把3个有理项插入形成的7个空中，有，
所以有理项互不相邻的概率为。
3、以平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】：A
【解析】：已平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形共有个，从中取出两个三角形共有种，其中两个三角形共面的结果有种，故两个三角形不共面的概率。
4、向边长分别为的三角形区域内随机投一点M，则该点M与三角形三个顶点距离都大于1的概率为（
）
A．　　　　　　B.
　　　　
C.
　　　　
D.
　
【答案】：A
【解析】：设△ABC的三边AB=5，BC=6，AC=，
根据余弦定理可得，，则，
所以△ABC的面积；
而在△ABC的内部且离点A距离小于等于1的点构成的区域的面积为，
同理可得在△ABC的内部且离点B、C距离小于等于1的点构成的区域的面积分别为，，所以在△ABC内部，且与三角形三个顶点距离都大于1的平面区域的面积为，
根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为。
二、填空题
5、连续投掷两次骰子得到的点数分别为m、n，向量与向量的夹角记为，则的概率为
。
【答案】：
【解析】：连续投掷两次骰子的点数m、n，构成的向量，共有36个，因为与的夹角，则，
即，从而有n又满足要求的向量有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(51)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)共15个，
故所求概率。
6、某中学早上8点开始上课，若学生小张与小王均在早上7:40至8:00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为
。
【答案】：
【解析】：设设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y。(x，y)可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400；
则小张比小王至少早5分钟到校事件作出符合题意的图象，
如图，符合题意的区域为△ABC，
联立解得C(55，60)；联立得B(40，35)，
则，
由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率。
7、某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为__________(用数字作答)。
【答案】：
【解析】：基本事件总数为，事件“相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课”所包含的基本事件可分为三类：
第一类：三节艺术课各不相邻有；
第二类：有两节艺术课相邻有；
第三类：三节艺术课相邻有.
由古典概型概率公式得所求概率为。
8、已知平面区域，直线和曲线有两个不同的交点，直线与曲线C围成的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为，若，则实数m的取值范围是
。
【答案】：[0，1]
【解析】：如图，不难发现直线恒过定点( 2，0)，平面区域为如图所示的上半
圆，直线过( 2，0)，(0，2)时，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为，此时，
当直线与x轴重合时，；
故实数m的取值范围是[0，1]。
三、解答题
9、美国次贷危机引发2008年全球金融动荡，波及中国股市，甲、乙、丙、丁四人打算趁目前股市低迷之际“抄底”.若四人商定在圈定的6只股票中各自随机购买一只（假定购买时每支股票的基本情况完全相同）。
（Ⅰ）求甲、乙、丙、丁四人恰好买到同一只股票的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙、丁四人中至多有两人买到同一只股票的概率；
（Ⅲ）由于国家采取了积极的救市措施，股市渐趋“回暖”。若某人今天按上一交易日的收盘价20元/股，买入某只股票1000股（10手），且预计今天收盘时，该只股票比上一交易日的收盘价上涨10%（涨停）的概率为0.6，持平的概率为0.2，否则将下跌10%（跌停），求此人今天获利的数学期望（不考虑佣金，印花税等交易费用）。
【解析】：（1）四人恰好买到同一只股票的概率；
（2）（方法1）四人中有两人买到同一只股票的概率；
四人中每人买到不同的股票的概率；
所以四人中至多有两人买到同一只股票的概率
（方法2）四人中有三人恰好买到同一只股票的概率
所以四人中至多有两人买到同一只股票的概率；
（3）每股今天获利钱数ξ的分布列为：
ξ
2
0
－2
P
0.6
0.2
0.2
所以，10手股票在今日交易中获利钱数的数学期望为
1000＝1000×[2×0.6＋0×0.2＋(－2)×0.2]＝800。
10、某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数）。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为x。
（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（2）求使取得最大值的整数m。
【解析】（1）因为事件A=“学生甲收到李老师所发信息”与事件B=“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以相互独立，
由于P(A)=P(B)=，则，
故所求概率。
（2）当k=n时，m只能取n，有P(X=m)=P(X=n)=1；当k此时，
当时，P(X=m)
，
假如成立，则当能被n+2整除时，，故P（X=m）在和处取得最大值；当不能被n+2整除时，处达最大值。（注：[x]表示不超过x的最大整数）
下面证明。
因为，所以，
而，故，显然，
因此。第四十二讲
圆锥曲线高考选择填空压轴题专练
A组
一、选择题
1．过抛物线：
上一点作两条直线分别与抛物线相交于，
两点，连接，若直线的斜率为1，且直线，
与坐标轴都不垂直，直线，
的斜率倒数之和为3，则（
）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
【答案】D
【解析】设直线
的斜率分别为
，因为点
在抛物线
上，所以
，故直线
的方程为
，代入抛物线方程得
，其解为
和
，则
，同理可得
，则由题意，得
，化简，得
,
故选D.
2．已知双曲线，抛物线，
与有公共的焦点，
与在第一象限的公共点为，直线的倾斜角为，且，则关于双曲线的离心率的说法正确的是（）
A.
仅有两个不同的离心率且
B.
仅有两个不同的离心率且
C.
仅有一个离心率且
D.
仅有一个离心率且
【答案】C
【解析】
的焦点为
，
双曲线交点为，即
，设
横坐标为
，则
，
，
可化为
，
，
只有一个根在
内，故选C.
3．已知点、是椭圆的左右焦点，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，若为锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由于为锐角三角形，则，
，
，
或，又，则
，选.
4．已知是双曲线的左右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点,交另一条渐近线于点，且,则该双曲线的离心率为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由
到渐近线
的距离为
，即有
，则
，在
中，
，化简可得
，即有
，即有
，故选A.
5．焦点为的抛物线：
的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（
）
A.
或
B.
C.
或
D.
【答案】A
【解析】
过作与准线垂直，垂足为，则，则当取得最大值时，
必须取得最大值，此时直线与抛物线相切，可设切线方程为与联立，消去得，所以，得．则直线方程为或．故本题答案选．
6．设是双曲线的右顶点，
是右焦点，若抛物线的准线上存在一点，使，则双曲线的离心率的范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】抛物线的准线方程为,正好是双曲的右准线.由于AF=
,所以AF弦,圆心,半径圆上任取一点P,
,现在转化为圆与准线相交问题.所以,解得.填A.
7．中心为原点的椭圆焦点在轴上，
为该椭圆右顶点，
为椭圆上一点，
，则该椭圆的离心率的取值范围是
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设椭圆标准方程为，设P(x,y)，点P在以OA为直径的圆上。圆的方程：
，化简为，
可得。则所双可得，选B.
8．正三角形的两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点，则满足条件的三角形的个数为（
）
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
【答案】C
【解析】
由题可知其焦点为作倾斜角为与倾斜角为的直线，分别与抛物线相交天两点．如图，则均为正三角形．故本题答案选．
9．设为抛物线的焦点，曲线与相交于点，直线恰与曲线相切于点，
交的准线于点，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由解得，又对，
，所以，化简得，所以，
，故选B．
10．已知点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】设抛物线上点的坐标为
圆心
与抛物线上的点的距离的平方：
令
，
则
，
由导函数与原函数的关系可得函数在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，函数的最小值为
，
由几何关系可得：
的最小值为
.
本题选择A选项.
11．已知椭圆：
（）的一个焦点为，离心率为，过点的动直线交于，
两点，若轴上的点使得总成立（为坐标原点），则（
）
A.
B.
2
C.
D.
【答案】B
【解析】在椭圆中，
得，故，故椭圆的方程为，
设，
，由题意可知，当直线斜率不存在时，
可以为任意实数，
当直线斜率存在时，可设直线方程为，联立方程组，
得，∴，
，
使得总成立，即使得为的平分线，
即有直线和的斜率之和为0，即有，由，
，即有，
代入韦达定理，可得，化简可得，故选B.
二、填空题
12．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点，
是上一点（不与重合），若以线段为直径的圆恰好经过，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】根据抛物线的对称性设，则，所以直线的方程为，由，取，
，所以直线的方程是，联立，解得点的横坐标，所以点在抛物线的准线上运动，当点的坐标是时，
最小，最小值是2.
13．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，若直线与圆相切于点且，则双曲线的离心率值为__________．
【答案】
【解析】设双曲线的左焦点为，由圆心可知，
，又，可知，且，由双曲线的定义得，
，
中，
.
14．已知抛物线的焦点为，过抛物线上点的切线为，过点作平行于轴的直线，过作平行于的直线交于，若，则的值为__________．
【答案】
【解析】设
，由
，得
，则当
时，
，所以过
且与
平行的直线方程为
，代入
，得
，解得,故答案为
.
B组
一、选择题
1．两条抛物线，
，联立方程消去项，得直线，称直线为两条抛物线和的根轴，若直线分别与抛物线，
及其根轴交于三点，则（
）
A.
2
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】抛物线，
的根轴为，所以
，故选A．
2．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，
是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设椭圆的长半轴长为
，双曲线的实半轴常为
,故选B.
3．设点分别为双曲线：
的左、右焦点，若在双曲线左支上存在一点，满足，点到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由题意知，可知是等腰三角形，
在直线的投影是中点，可得，由双曲线定义可得，则，又，知，可得，解得．故本题答案选．
4．已知椭圆：
（）的一个焦点为，离心率为，过点的动直线交于，
两点，若轴上的点使得总成立（为坐标原点），则（
）
A.
2
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意可得椭圆方程为，很显然AB斜率不存在时，t可以为任意实数，
当直线的斜率存在时，设AB的方程为其中,
联立直线与椭圆的方程可得：
，
则：
由知直线PA与PB的斜率之和为0，则：
，
整理得：
,
故：
,
解得：
.
本题选择A选项.
5．已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足，
，则的最小值是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
，
∴点
的轨迹为以为以点
为圆心，1为半径的圆，
，
越小，
越小，
结合图形知，当
点为椭圆的右顶点时，
取最小值
最小值是
故选：C．
6．如图，两个椭圆的方程分别为和（，
），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线、，若、的斜率之积恒为，则椭圆的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意知，外层椭圆方程为
，设切线的方程为代入内层椭圆消去得:
由化简得同理得所以选A.
7．已知双曲线的左焦点是，离心率为，过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆在轴右侧交于点，若在抛物线上，则
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】双曲线的渐近线方程为 ，据题意，可设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为：
，解方程组 得 或 ．则 点的坐标为 ．又点在抛物线上，得．可化为　，可知．故本题答案选
8．在平面直角坐标系中，已知抛物线，点是
的准线
上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，则面积的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设,因为，则过点的切线均过点，则，即是方程的两根，则，设直线的方程为，联立，得，则，即，则，即的面积的最小值为2；故选B.
9．已知双曲线C：
的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A、B，虚轴的上、下端点分别为C、D，若线段BC与双曲线的渐近线的交点为E，且，则双曲线的离心率为
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根据双曲线的性质可以得到，
，
，
，双曲线的渐近线方程，直线方程：
，联立得到，即点，所以是线段的中点，又因为，所以，而，
，故，因为，所以，因为，即，所以，故选C
10．已知为坐标原点，
分别是双曲线的左右焦点，
为的左顶点，
为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线与轴交点为，
，则的离心率为（
）
A.
B.
2
C.
D.
【答案】B
【解析】由可令,得.则,可得的方程为,令,知,又且,可得,所以,即.故本题答案选.
11．过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点，以为直径的圆的方程为，则（
）
A.
B.
C.
或
D.
【答案】A
【解析】过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，以为直径的圆的方程为，可得弦长的坐标横坐标为，圆的半径为可得弦长为，设直线与抛物线的交横坐标为则，可得，故选A.
二、填空题
12．已知过点的直线与相交于点，过点的直线与相交于点，若直线与圆相切，则直线与的交点的轨迹方程为__________.
【答案】
【解析】设直线AC，BD的斜率分别为
，则直线AC，BD的方程分别为：
，据此可得：
，
则：
，
直线CD的方程为：
，
整理可得：
直线与圆相切，则：
，
据此可得：
，
由于：
，
两式相乘可得：
即直线与的交点的轨迹方程为.
C组
一、选择题
1．已知是双曲线上的三个点，
经过原点,
经过右焦点,若且,则该双曲线的离心率是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】做出如图因为
经过原点,
经过右焦点,
可得为矩形，设AF=a,则根据双曲线定义可知，在得得
2．已知圆：
和两点，
，若圆上存在点，使得，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由题意可得点P的轨迹方程是以位直径的圆，当两圆外切时有：
，
即的最小值为1.
本题选择D选项.
3．已知抛物线的焦点为，点．若射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，且，则点的纵坐标为（　）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】根据题意画图如下：
由，可得，
所以，可得，
得，代入，得。选D.
4．已知分别为双曲线的右焦点和右顶点，过作轴的垂线在第一象限与双曲线交于点，
的延长线与双曲线在第一象限的渐近线交于点，若,则双曲线的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】过Q作QR⊥x轴与R，如图，由题意设F（c，0），则由OA=a得AF=c-a，将x=c代入双曲线得P，则直线AP的斜率为，所以直线AP的方程为，与渐近线联立，得x=，所以AR=，根据相似三角形及，得AF=）AR，即代入，得
5．已知椭圆的左、右焦点分别为过作一条直线（不与轴垂直）与椭圆交于两点，如果恰好为等腰直角三角形，该直线的斜率为
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
设，则，
，于是，又，所以，所以，
，因此，
，直线斜率为，由对称性，还有一条直线斜率为，故选C．
6．已知双曲线的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，直线过与双曲线交于，
两点，若，
，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（
）
A.
和
B.
和
C.
和
D.
和
【答案】C
【解析】解：由题意可知：
，
由，可得：
，即
，
由双曲线的定义可得：
，
取
的中点
，连结
，则：
，
由勾股定理可得：
，即：
，
整理可得：
，由双曲线的性质可得：
，
则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为
和
.
本题选择C选项.
7．已知双曲线（，
），过其左焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】是双曲线通径，
，由题意，即，
，即，解得（舍去），故选D．
8．已知抛物线的焦点为，准线为，
为上一点，
垂直于点分别为，
的中点，
与轴相交于点，若，则等于（
）
A.
B.
1
C.
2
D.
4
【答案】B
【解析】
分别是
的中点，
，且
轴，
，由抛物线定义知，
为正三角形，则
，正三角形边长为
，
，又可得为正三角形，
，故选C.
9．过双曲线：
（，
）的左焦点作圆：
的切线，设切点为，延长交双曲线于，若点为线段的中点，则双曲线的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】取双曲线右焦点,连接，由题意可知，
为直角三角形，且由勾股定理可知，
，选A.
10．已知双曲线的离心率为，圆心在轴的正半轴上的圆与双曲线的渐近线相切，且圆的半径为2，则以圆的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设双曲线渐近线的方程为
，圆心坐标为，因为圆与直线相切由点到直线距离公式可得
，即
，又因为离心率为
，可得
，所以抛物线的方程为
，故选B.
11．已知双曲线的右顶点为为坐标原点,以为圆心的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点,若且,则双曲线的离心率为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由图知是等边三角形，设中点是，圆的半径为，则，
，
，因为，所以，
，即，所以，即，
，从而得，故选B．
12．在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点,若的垂心为的焦点，则的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】设，
，
焦点为，由题意，即，所以，又，
，
，
，
，而，即，
，
，
，所以，故选C．
二、填空题
13．椭圆的左,右焦点分别为,,过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于,
两点,则△的内切圆面积最大值是________.
【答案】
【解析】令直线：
，与椭圆方程联立消去得，可设，则，
．可知，又，故．三角形周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，则内切圆半径，其面积最大值为．故本题应填．
试卷第8页，总22页
试卷第1页，总22页第四十三讲圆锥曲线小题精选
A组
一、选择题
1．已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴过点的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
如图取与重合，则由直线同理由,故选A.
2．如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的渐近线的斜率为（
）
A．
B．
C.
D．
【答案】C
【解析】
由已知，，又为等边三角形，所以
，所以.在中，，，，，由余弦定理得，所以，，所以，故选C.
3．已知命题：直线与直线之间的距离不大于1，命题：椭圆与双曲线有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（
）
A．
B．
C.
D．
【答案】B
【解析】
对于命题，将直线平移到与椭圆相切，设这条平行线的方程为，联立方程组，消去得.由得，所以，椭圆上的点到直线最近距离为直线与的距离，所以命题为假命题，于是为真命题.对于命题，椭圆与双曲线有相同的焦点，故为真命题.从而为真命题，故选B.
3．如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点，且，若为等边三角形，则的面积为（
）
A．1
B．
C.
D．2
【答案】C
【解析】
由已知，，又为等边三角形，所以
，所以.在中，，，，，由余弦定理得，所以，，所以双曲线方程为，又在双曲线上，所以，解得，即.
所以，故选C.
4．已知点是抛物线上一点，且它在第一象限内，焦点为坐标原点，若，，则此抛物线的准线方程为（
）
A．
B．
C.
D．
【答案】D
【解析】
因为，所以，.又，所以，准线方程为，故选D.
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若，则等于（
）
A．8
B．6
C.
4
D．2
【答案】B
【解析】
因为直线过椭圆的右焦点，由椭圆的定义，在中，.又，所以，故选B.
6．设，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由双曲线的定义可得，，由，，则有，即有，即有，即，则，即有，则．故选B．
7．已知双曲线的左焦点为，点、在双曲线上，是坐标原点，若四边形为平行四边形，且四边形的面积为，则双曲线的离心率为（
）
A．
B．2
C.
D．
【答案】D
【解析】
设，∵四边形为平行四边形，∴，∵四边形的面积为，
∴，即，∴，代入双曲线方程得，∵，∴.故选D.
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
双曲线的一条渐近线为双曲线方程为，
,将代入得,当;当,故选C.
9．已知是双曲线上的不同三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率（
）
A．
B．
C.
D．
【答案】B
【解析】
设，所以，故.
10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点、，若，则双曲线的渐近线方程为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
因为过作圆的切线分别交双曲线的左右两支于点，且，所以，设切点为，则利用三角形的相似可得，所以，所以，代入双曲线的方程，整理可得，所以双曲线的渐近线方程为，故选C.
B组
一、选择题
1．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，.这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形.若，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
设椭圆和双曲线的半焦距为，，由于是以为底边的等腰三角形，若，即有，由椭圆的定义可得，由双曲线定义可得，即由，再由三角形的两边之和大于第三边，可得，可得，既有，由离心率公式可得，由于，则由，则的取值范围是，故选C.
2．过椭圆：的左顶点且斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在轴上的射影恰好为右焦点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由题意可知，所以直线的斜率为，即，解得，故选C.
3．抛物线在第一象限内图像上的一点处的切线与轴交点的横坐标记为，其中，若，则等于（
）
A．21
B．32
C．42
D．64
【答案】C
【解析】
抛物线可化为，在点处的切线方程为所以切线与轴交点的横坐标为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，故选C.
4．设分别为双曲线的左、右焦，双曲线上存在一点使得，则该双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
不妨设右支上点的横坐标为，由焦半径公式得，因为，所以，所以，所以，所以，所以，故选B．
5．已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
设到的距离为，则，因为，所以，所以直线的斜率为，因为，所以直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，所以，故选D．
6．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为与离心率之积为，则的渐近线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由椭圆和双曲线的离心率之积为，即，所以
，解得，所以双曲线的渐近线方程为
，即，故选A．
7．设，是双曲线（，）的两个焦点，点在双曲线上，若，（），则双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】
不妨设在双曲线的右支上，设，则由双曲线的定义可得，由题意可得，又，由勾股定理可得，，所以，即为，由，可得，解得或（舍）．故选B．
8．已知是双曲线的左、右焦点，直线与双曲线两条渐近线的左、右交点分别为，若四边形的面积为，则双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C.
D．
【答案】C
【解析】
双曲线的渐近线方程为，由，得，即，所以，则四边形的面积为，即，即，即，得或（舍），所以，即，所以双曲线的离心率为.故选C．
9．已知抛物线的准线与轴的交点记为，焦点为，是过点且倾斜角为的直线，则到直线的距离为（
）
A．1
B．
C.
2
D．
【答案】B
【解析】
由题意，，则过点且倾斜角为的直线的方程为，∴点到直线的距离为.故选B．
10．过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点，若线段与的长分别为，则等于（
）
A．
B．2
C．1
D．16
【答案】C
【解析】
由题意可设直线的方程是，，由，得，，，，由抛物线的定义得，，所以．故选C．
11．抛物线，直线过的焦点且与抛物线交于两点，，则中点到轴的距离为（
）
A．3
B．
C．
D．4
【答案】B
【解析】
因为中点坐标为，，所以中点到轴的距离为.故选B．
C组
一、选择题
1．过抛物线的焦点作斜率为的直线与离心率为的双曲线的两条渐近线的交点分别为.若分别表示的横坐标，且，则（
）
A．
B．
C.
D．
【答案】D
【解析】
由题意，知，则直线的方程为．因为双曲线的渐近线为，所以直线与渐近线的交点横坐标分为，又，即，整理，得，所以，故选D．
2．过抛物线的焦点作斜率为的直线与离心率为的双曲线的两条渐近线的交点分别为.若分别表示的横坐标，且，则（
）
A．
B．
C.
D．
【答案】D
【解析】
由题意，知，则直线的方程为．因为双曲线的渐近线为，所以直线与渐近线的交点横坐标分为，又，即，整理，得，所以，故选D．
3．已知是双曲线的右焦点，过点的直线交的右支于不同两点，过点且垂直于直线的直线交轴于点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
当直线的斜率不存在时，，，，，则，故排除A；当时，直线为，直线为，，设，联立得，化简得，由韦达定理得，故，，故，故排除C，D，故选B．
4．抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
设抛物线的焦点与双曲线的右焦点及点的坐标分别为,故由题设可得在切点处的斜率为,则,即,故,依据共线可得,所以,故应选C．
5．双曲线
的实轴为，虚轴的一个端点为，若三角形的面积为，则双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
双曲线实轴的长度为,虚轴的一个端点为,坐标为(假设在轴上方),则,而,所以,在双曲线中,,所以,离心率,选B．
6．已知是双曲线上的不同三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
设，所以，故．
7．已知、分别是双曲线：的左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上（为原点），则双曲线的离心率为（
）
A．
B．3
C．
D．2
【答案】D
【解析】
由已知有,,设双曲线的一条渐近线方程为,即,则点到的距离为,设点关于渐近线的对称点为,交渐近线于,则,,因为分别为的中点,所以,且,在中,所以,又,所以,离心率,选D.
8．已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则（
）
A．
B．
C．2
D．-2
【答案】A
【解析】
设，则，根据点差法可得，所以直线的斜率为，直线的斜率为，，故选A.
9．已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则（
）
A．
B．
C．2
D．-2
【答案】A
【解析】
设，则，根据点差法可得，所以直线的斜率为，直线的斜率为，，故选A.
10．已知双曲线，点，为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
,故选C.
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的离心率为，若双曲线上一点使，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
双曲线的左、右焦点分别为，可得，在中，由正弦定理得，又结合这两个条件得，由余弦定理可得,故选B．
12．设为椭圆上一点，点关于原点的对称点为为椭圆的右焦点，且，若，则该椭圆离心率的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
作图，设左焦点为，易知四边形是矩形，根据椭圆的定义，，所以，所以，因为，所以，从而该椭圆离心率的取值范围为，故选D.
试卷第4页，总16页
试卷第1页，总16页第五十四讲
抽象函数问题
A组
一、选择题
1.设是定义在上的周期为3的函数，当时，则（
）
A.
B.
C.
D.
解析：
选B
2.定义在R上的奇函数满足，且在.则
A.
B.
C.
D.
解析：得出f(x)的周期为4，=
选C
3.给出下列三个命题：
①函数与是同一函数；高☆考♂资♀源
网
②若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；
③若奇函数对定义域内任意x都有，则为周期函数。
其中真命题是
A.
①②
B.
①③
C.②③
D.
②
【答案】C
【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除A、B，验证③,
,又通过奇函数得，所以f（x）是周期为2的周期函数，选择C。
4、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则(
).
A.
B.
C.
D.
【解析】:因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数,
则,,,又因为在R上是奇函数，
,得,,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D.
答案:D.
5、设函数为偶函数，且，满足时，，则当时，
A.
B.
C.
D.
答案选D。
解析：由题意，f（x）的周期为2，当
6、定义在上的函数满足.当时，，当时，。则
（A）335
（B）338
（C）1678
（D）2012
【答案】B
【解析】由，可知函数的周期为6，所以，，，，，，所以在一个周期内有，所以，选B.
二、填空题
7、设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，
f(x)＝则f＝________.
解析：f＝f＝f＝－4×2＋2＝1.
答案：1
8．已知是奇函数，且，若，则
。
【答案】
【解析】因为为奇函数，所以，所以，，
所以。
9.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
解析：当－1≤x≤0时，有0≤x＋1≤1，所以f(1＋x)＝(1＋x)[1－(1＋x)]＝－x(1＋x)．又f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝f(1＋x)＝－.
答案：－
三、解答题
10.
．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；
(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调区间
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，
则S＝4S△OAB＝4×＝4.
(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k－1,4k＋1](k∈Z)，
单调递减区间为[4k＋1,4k＋3](k∈Z)．
B组
一、选择题
1.
已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为
(A)－1
(B)
0
(C)
1
(D)2
解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函数，f（x）的周期为4，所以f（6）＝f（2）＝－f（0）＝0，选B
2.已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为
（A）6
（B）7
（C）8
（D）9
【答案】A
【解析】因为当时,
,又因为是上最小正周期为2的周期函数，且,所以,又因为,所以,,故函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为6个,选A.
3.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
012)＝(　　)
A．335　　　　　　　　　　　　　　
B．338
C．1
678
D．2
012
解析：由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2
012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.
答案：B
4.设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，是f(x)的导函数，当时，0＜f(x)＜1；当x∈（0，π）
且x≠HYPERLINK
"http://www./"
EMBED
Equation.DSMT4
时
，，则函数y=f(x)-sinx在[-2π，2π]
上的零点个数为
A
.2
B
.4
C.5
D.
8
【答案】Ｂ
【解析】由当x∈（0，π）
且x≠HYPERLINK
"http://www./"
EMBED
Equation.DSMT4
时
，，知
又时，0＜f(x)＜1，在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出和草图像如下，由图知y=f(x)-sinx在[-2π，2π]
上的零点个数为4个.
5.
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若 x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：当x≥0时，f(x)＝，又f(x)为奇函数，可得f(x)的图象如图所示，由图象可得，当x≤2a2时，f(x)max＝a2，当x>2a2时，令x－3a2＝a2，得x＝4a2，又 x∈R，f(x－1)≤f(x)，可知4a2－(－2a2)≤1 a∈，选B.
答案：B
二、填空题
6、设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，
其中．若，
则的值为
▲
．
【答案】。
【解析】∵是定义在上且周期为2的函数，∴，即①。
又∵，，
∴②。
联立①②，解得，。∴。
7、函数对于任意实数满足条件，若则_______________。
解：由得，所以，则。
8、设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．
解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f＝f，且f(－1)＝f(1)，故f＝f，从而＝－a＋1，即3a＋2b＝－2.①
由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，即b＝－2a.②
由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.
答案：－10
9、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则
【解析】:因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以,
由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以
答案:-8
三、解答题
10、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求函数的最小正周期；
(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2
015)．
[解]　(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)的最小正周期为4.
(2)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
又∵f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2
012)＋f(2
013)＋f(2
014)＋f(2
015)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2
015)＝0.
C组
一、选择题
1、函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有.当时，.若直线与函数的图象有两个不同的公共点，则实数的值为（
）
A.
B.
C.
或
D.
或
解析：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，于是
x∈[1，2]，则（x-2）∈[-1，0]．于是，①当a=0时，联立,解得x=0，y=0,或x=y=1，即当a=0时，即直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点．
②当-2＜a＜0时，只有当直线y=x+a与函数f（x）=x2在区间[0，1）上相切，且与函数f（x）=（x-2）2在x∈[1，2）上仅有一个交点时才满足条件．由f′（x）=2x=1，解得x=y=，其切点为∴a=，=x-,
y=(x-2)2（1≤x＜2）解之得x= 综上①②可知：直线y=x+a与函数y=f（x）在区间[0，2）上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或- 又函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x），实数a的值为或
（n∈Z）．故应选C．
2．设是定义在R上的偶函数，对任意，都有，且当时，.若在区间内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是
A.
B.
C.
D.
解析：是定义在R上的偶函数,
的周期为4，分别在同一坐标系中作出y=与y=的图象，
选D
3.设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为
(A)5
(B)6
(C)7
(D)8
【答案】B
【解析】因为当时，f(x)=x3.
所以当，f(x)=f(2x)=(2x)3，
当时，g(x)=xcos；当时，g(x)=
xcos，注意到函数f(x)、
g(x)都是偶函数，且f(0)=
g(0)，
f(1)=
g(1)，，作出函数f(x)、
g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间上各有一个零点，共有6个零点，故选B
二、填空题
4、
已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝.若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
解析：数形结合，答案：　
5.定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+5）=16，当x∈（-1，4]时，f（x）=x2-2x，则函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是______．
【答案解析】604解析：y=x2与
y=2x的函数曲线在区间（0，4]有两个交点，在区间（﹣1，0]区间有一个交点，但当x∈（﹣1，4]时，f（x）=x2﹣2x=16无根
即当x∈（﹣1，4]时，f（x）=x2﹣2x有3个零点，由f（x）+f（x+5）=16，
即当x∈（﹣6，﹣1]时，f（x）=x2﹣2x无零点
又∵f（x+5）+f（x+10）=f（x）+f（x+5）=16，
∴f（x+10）=f（x），即f（x）是周期为10的周期函数，
在x∈[0，2013]，分为三段x∈[0，4]，x∈（4，2004]，x∈（2004，2013]
在x∈[0，4]函数有两个零点，
在x∈（4，2004]有200个完整周期，即有600个零点，
在x∈（2004，2013]共有两个零点，
综上函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是604
故答案为：604
6．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：
①f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)；②
f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)③>0；④.当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是
.
【解析】由
f(x)=
lgx的图象和性质，选②③
7．设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有，且当
时，，若在区间
内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是
．
【答案】（，2）
【命题立意】本题旨在考查指数函数与对数函数的图象与性质，根的存在性及根的个数判定．
【解析】由题f（x－2）=f（x+2）可得函数f（x）是一个周期为4的周期函数，又当x∈[－2，0]时，f（x）=（）x－1，而f（x）是偶函数，则有当x∈[0，2]时，f（x）=2x－1，又在区间（－2，6]
内关于x的方程f（x）－loga（x+2）=0恰有3个不同的实数根，则函数y=f（x）与y=loga（x+2）在区间（－2，6]上有3个不同的交点，又f（－2）=f（2）=3，则对于函数y=loga（x+2），由题可得，当x=2时的函数值必须小于3，当x=6时的函数值必须大于3，即loga4<3且loga8>3，解得8．
定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
解析：本题主要考查函数解析式的求法，意在考查考生对函数解析式的理解，以及对抽象函数的化归与转化能力．
当－1≤x≤0时，有0≤x＋1≤1，所以f(1＋x)＝(1＋x)[1－(1＋x)]＝－x(1＋x)．又f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝f(1＋x)＝－.
答案：－
9.已知函数，若方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是
。
【答案】
【解析】图象如图所示。
的实根即是可以看做是两个函数在图像上的交点个数。g（x）的图像是恒过点（0,1）的直线，临界值是图中经过B，D两点的割线和过C的切线。计算出斜率值即可。
三、解答题
10、设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．
（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．
.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,
从而知函数不是奇函数,
由
,从而知函数的周期为
又,故函数是非奇非偶函数;
(II)由
(II)
又
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
y
x
f(x)=m
(m>0)第四十一讲高中数学中的对称问题
A组
1.已知点M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线对称，则点Q的坐标为（
）
A.（a，b）
B.（b，a）C.（－a，－b）
D.（－b，－a）
解析：N（a，－b），P（－a，－b），则Q（b，a）．
2.曲线关于直线对称的曲线方程是（
）
A.
B.
C.
D.解析：设曲线关于直线x=2对称的曲线为C，在曲线C上任取一点P（x，y），则P（x，y）关于直线x=2的对称点为Q（4－x，y）.因为Q（4－x，y）在曲线y2=4x上，
所以，即
3.已知直线l1：和直线l2：，则l1、l2关于y轴对称的充要条件是（
）
A.=
B.p=－5
C.m=－n且p=－5
D.=－且p=－5
解析：直线l1关于y轴对称的直线方程为，即，与l2比较，
∴m=－n且p=－5.反之亦验证成立.
4.定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是（
）
A.
是偶函数，也是周期函数
B.
是偶函数，但不是周期函数
C.
是奇函数，也是周期函数
D.
是奇函数，但不是周期函数
解：因为为偶函数，所以。
所以有两条对称轴，因此是以10为其一个周期的周期函数，所以x＝0即y轴也是的对称轴，因此还是一个偶函数。故选（A）。
5.直线上有一点P，它与两定点A（4，－1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是____________.
解析：易知A（4，－1）、B（3，4）在直线l：的两侧.作A关于直线l的对称点A1（0，1），当A1、B、P共线时距离之差最大.
若，且，则的最小值为
．
解
（利用基本不等式、对勾函数）
又，由对勾函数性质知，当时，
此处，用到基本不等式，当且仅当时，等号成立，即当时，有最小值
三、解答题
7.
求直线关于点P（2，－1）对称的直线l的方程。
分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为。
解：由直线l与平行，故设直线l方程为。
由已知可得，点P到两条直线距离相等，得
解得，或（舍）。则直线l的方程为
8.如图双曲线y=(k<0)与直线y=kx（k<0）交于点A、B，过点A作AC垂直y轴于点C，求S△ABC。
解：因为反比例函数的图象关于原点对称，
直线y=kx过原点，所以A、B两点必关于原点对称。
所以OA=OB,所以。
设点A坐标为（a，b）,由题意得AC=|a|
,OC=|b|，
则S△AOC=
=
||。所以S△ABC=|ab|
9.光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点
B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.
解：∵A（－3，4）关于x轴的对称点A1（－3，－4）在经x轴反射的光线上，
同样A1（－3，－4）关于y轴的对称点A2（3，－4）在经过射入y轴的反射线上，
∴k==－2.
故所求直线方程为y－6=－2（x+2），
即2x+y－2=0.
10.已知△ABC的一个顶点A（－1，－4），∠B、∠C的平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求边BC所在直线的方程.
解：设点A（－1，－4）关于直线y+1=0的对称点为A′（x1，y1），则x1=－1，y1=2×（－1）－（－4）=2，即A′（－1，2）.
在直线BC上，再设点A（－1，－4）关于l2：x+y+1=0的对称点为A″（x2，y2），则有
×（－1）=－1，
++1=0.
(
解得
)
x2=3，
y2=0，
即A″（3，0）也在直线BC上，由直线方程的两点式得=，即x+2y－3=0为边BC所在直线的方程.
11.已知点M（3，5），在直线l：x－2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小
解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M1（5，1）同样容易求得点M关于y轴的对称点M2（－3，5）
据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y－7=0
令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0，）
解方程组得交点P（，）
故点P（，）、Q（0，）即为所求
B组
1.已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为
A.
B
C.
D.
解析：由M（x，y）关于y=－x的对称点为（－y，－x），
即得
2.与直线关于点（1，－1）对称的直线方程为
A.2x－y－5=0
B.x+2y－3=0
C.x+2y+3=0
D.2x－y－1=0
解析：将x+2y－1=0中的x、y分别代以2－x，－2－y，得（2－x）+2（－2－y）－1=0，即x+2y+3=0.故选C
3.设定义域为R的函数、都有反函数，并且和的函数图像关于直线对称，若，那么（
）
A.
2002
B.
2003
C.
2004
D.
2005
解：因为的函数图像关于直线对称，所以的反函数是，而的反函数是，所以，所以有
故，应选（C）。
4.
函数的图像的一条对称轴的方程是（
）
解：函数的图像的所有对称轴的方程是，所以，显然取时的对称轴方程是，故选（A）。
5.已知点A（1，3）、B（5，2），在x轴上找一点P，使得|PA|+|PB|最小，则最小值为____________，P点的坐标为____________.
答案：
（，0）
6.
设是定义在R上的偶函数，且，当时，，则___________
解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以的对称轴；
又因为的对称轴。故是以2为周期的周期函数，所以
7.已知f(x)是定义在R上的函数,f(10+x)=f(10-x),且f(20-x)=
f(20+x),试判断f(x)的奇偶性与周期性.
　　解:一方面,f(10+x)=f(10-x)
f(x)=f(20-x)　　
①
　　
f(-x)=f(20+x)　　
　　　　　　　　　　　　　②
　　另一方面,f(20-x)=
f(20+x)　　
　　　　　　　　③
　　(1)由①③得f(x)=
f(x+20)　　
　　　　　　　　
④
　　∴由②④得f(x)=
f(
x)
　　∴f(x)为奇函数.
　　(2)
再由④得f(x+20)=
f(x)
　　∴f(x+40)=
f(x+20)=f(x)
　　即f(x)是周期函数,且40是它的一个周期,
　　于是由(1)、(2)知,这里的f(x)为奇函数,并且是以40为一个周期的周期函数。
8.
求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.
解
方法一
由
知直线l1与l的交点坐标为（-2，-1），
∴设直线l2的方程为y+1=k(x+2),
即kx-y+2k-1=0.
在直线l上任取一点（1，2），
由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等，
由点到直线的距离公式得
=，
解得k=(k=2舍去)，
∴直线l2的方程为x-2y=0.
方法二
设所求直线上一点P（x,y）,
则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于直线l对称.
由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点
P2在直线l上.
∴，变形得,
代入直线l1:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3,
整理得x-2y=0.
所以所求直线方程为x-2y=0.
9.
已知点M（3，5），在直线l：x－2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小.
剖析：如下图，作点M关于直线l的对称点M1，再作点M关于y轴的对称点M2，连结MM1、MM2，连线MM1、MM2与l及y轴交于P与Q两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的△MPQ的周长最小.
解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M1（5，1）.同样容易求得点M关于y轴的对称点M2（－3，5）.
据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y－7=0.
(
得交点
P
（
，
）
.
)令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0，）.
(
解方程组
)x+2y－7=0，
x－2y+2=0，
故点P（，）、Q（0，）即为所求.
11.已知f(x)＝a∈R)，求f(x)在[0,1]上的最大值
C组
1.已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是
（
）
(A)
(B)
(C)
(D)
解析：有图知：
2.已知:△ABC的内界圆与外切圆的半径分比别为r和R,则r和R比值等于(
)
A.
4sin
B.
C.
D.
解析
三角形的边a,b,c或角A,B,C对r和R的影响是相同的,
r和R不可能对三角形的某一条边或某个角有选择或特别偏重,因此在比值的表达式中,必有边a,b,c或角A,B,C的轮换对称,因此C是正确的
已知椭圆E,上存在关于直线l，y=4x+m对称的两点A与B,则m的取值范围是（
）
A
B
C
D
解析：设A(x1，y1），B(x2,y2)则
④
⑤
由得⑥
由④⑤得代入
解得,
4.设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线，则：_____________
解：函数的图像既关于原点对称，又关于直线对称，所以周期是2，又，图像关于对称，所以，所以
5.对于函数f(x)=Asin(
x+
)(
>0,
)给出四个论断.
　①它的图象关于直线x=
对称;②它的图象关于点(
,0)对称;
　③它的周期为
;④它在区间[－
,0]上为单调增函数.
　以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它是　　　　　　
.
　解①.、③
②、④或②、③
①、　　
④
6.已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班一天，那么甲排在乙前面值班的概率为
．
解析：本题考查的是古典概型，我们可以将甲、乙、丙三人排序，共6种不同的情况，并且这6种情况是等可能的，其中甲排在乙前面的共3种情况，因而概率为；其实，我们看甲和乙这两个人，他们在这个事件中的地位是相同的，因而可以认为甲排在乙前面和乙排在甲前面的概率应该是相同的，而这两种情形构成了整个排序值班事件，故甲排在乙前面和乙排在甲前面值班的概率都为．
7.设f(χ)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线χ=2对称，已知当χ∈［-2，2］时，f(χ)=－χ２+１，求当χ∈［-６，－2］时的f(χ)的解析式.
　　解：从进一步认知f(χ)的性质切入，由函数
f(χ)的图象关于直线
χ=2对称知，
　　对任意χ∈Ｒ都有f(-χ)=
f(χ+4)（为便于与“f(χ)为偶函数”这一条件建立联系而作出这一选择）
　　又f(χ)
为偶函数
f(-χ)
=f(χ)
　　∴由以上两式得
f(χ+4)
=f(χ)　　　　
①
　　∴f(χ)为周期函数且4是
f(χ)的一个周期.
　　而当χ∈［-６，－2］时4+χ∈［-2，2］
　　∴由已知条件得　　
f(4+χ)
=-(χ+4)2+1　　
②
　　于是由①，②得　　
f(χ)
=-(χ+4)2+1，
　　即当χ∈［-６，－2］时，f(χ)=
－χ２-8χ-15
8.
已知正比例函数y=ax
(a≠0)和反比例函数y=
(b≠0)（ab>0）的图像相交于点A、B，已知点A坐标为（，-2），求点B的坐标。
分析：学生在求B点坐标的过程中，很多学生都会顺着常规的解题思路，将A（，-2）,代入函数解析式求出a、b，再联立方程组进而求得点B的坐标。确实这样的解题方法很容易就让学生理解，但计算量很大，也很复杂，若利用函数图象的对称性，则很容易求得B点的坐标。
解：因为正比例函数y=ax和反比例函数y=的图象都关于原点对称，所以两交点的坐标也关于原点对称，所以B（-，2）。
9.若抛物线上总存在关于直线的异于交点的两个对称点，试求实数的取值范围
解法一：（对称曲线相交法）
曲线关于直线对称的曲线方程为
如果抛物线上总存在关于直线对称的两点，则两曲线
与必有不在直线上的两个不同的交点(如图所示)，从而可由：
∵　　
∴　
代入得　有两个不同的解，
∴　
解法二：（对称点法）
设抛物线上存在异于于直线的交点的点，且关于直线的对称点也在抛物线上
则
必有两组解
(1)-(2)得
必有两个不同解
∵，
∴有解
从而有
有两个不等的实数解
即
有两个不等的实数解
∴
∵
，
∴
10.
已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y－2=0，在直线l上求一点P.
（1）使|PA|+|PB|最小；
（2）使|PA|－|PB|最大.
解：（1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为（x1，y1）.
(
则有
)
+2·－2=0，
·（－）=－1.
(
解得
)
x1=－，
y1=－.
由两点式求得直线A1B的方程为y=（x－4）+1，直线A1B与l的交点可求得为P（，－）.
由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小.
（2）由两点式求得直线AB的方程为y－1=－（x－4），即x+y－5=0.
直线AB与l的交点可求得为P（8，－3），它使|PA|－|PB|最大.
11.
直线l经过点（1，1），若抛物线y2=x上存在两点关于直线l对称，求直线l斜率的取值范围.
解法一：设直线l的方程为y－1=k（x－1），弦的两个端点分别是A（x1，y1）、B（x2，y2），代入抛物线方程并作差得（y1+y2）（y1－y2）=x1－x2.
∵kAB==－，
∴y1+y2=－k.注意到AB的中点在直线l：y－1=k（x－1）上，∴x1+x2=1－.
∴y12+y22=x1+x2=1－.
由y12+y22>，得1－><0－2(
则
)解法二：设抛物线上关于直线l：y－1=k（x－1）对称的两点为（y12，y1）、（y22，y2），
=－
－1=k（－1）
y1+y2=－k，
y1y2=+－，
∴y1、y2是方程y2+ky++－=0的两根.
由Δ=k2－4（+－）>0<0
－2函数的奇偶性单调性周期性综合
A组
一、选择题
1．（2018年全国卷Ⅱ理科）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（
）
A．
B．0
C．2
D．50
【答案】C
【解析】是定义域为的奇函数，且
2．(2017年高考全国1卷理)函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由已知，使成立的满足，所以由得，即使成立的满足，选D.
3．已知函数的定义域为,当时,,
当时,,
当时,,
则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，故选A.
4．定义在上的函数满足．当时，，当时，，则的值为（
）
A.336
B.337
C.1676
D.2017
【答案】B
【解析】
函数的周期,所以，，，，，即，，所以，故选B.
5．已知是定义在R上周期为2的奇函数，当时，，
则（
）
A．1
B．-1
C．
D．
【答案】B
【解析】
是定义在上的周期为的奇函数，所以，故选B.
6．已知函数的周期为2，当时，那么函数的图象与函数的图象的交点共有（
）
A．10个
B．9个
C．8个
D．1个
【答案】A
【解析】
作图如下，由图可得函数的图象与函数的图象的交点共有，故选A.
7．已知函数的定义域为.当时，
；当
时，；当时，
，则=（
）
A．-2
B．-1
C．0
D．2
【答案】D
【解析】
因为当时，，所以当时，函数是周期为1的周期函数，所以，又因为当时，，所以，故选D．
8．已知定义在上的函数满足，，则（
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，且，又，，由此可得，，是周期为的函数，，，故选B.
9．已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
因为，所以，的周期为，因此
，故选A．
10．定义在上的函数满足时，，则的值为（
）
A.-2
B.0
C.2
D.8
【答案】A
【解析】
由已知可得的周期
，故选A.
11．已知函数的定义域为,当时,,
当时,,
当时,,
则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
当时,,所以选A.
12．已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则（
）
A．-12
B．-16
C．-20
D．0
【答案】A
【解析】
，，又，所以.
13．已知定义在上的奇函数满足，且，则（
）
A．0
B．-1
C．1
D．2
【答案】B
【解析】
因为，则，所以函数的周期为．，，则，又函数为奇函数且，所以，，所以，选B．
二、填空题
14．已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_______。
【答案】1
【解析】
在条件中，令，得，
，又令，
得，
15．定义在上的奇函数，对于，都有，且满足，，则实数的取值范围是
.
【答案】或
【解析】
由，因此函数图象关于直线对称，又是奇函数，因此它也是周期函数，且，∵，∴，∴，即，解得.
16．已知是定义在R上的函数，且满足：，，则的值为
；
【答案】2018
【解析】紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然，
于是，
所以，故是以8为周期的周期函数，
从而；
17．对于函数,给出下列命题：①
在同一直角坐标系中,
函数与的图象关于直线对称；
②若,则函数的图象关于直线对称；
③若,则函数是周期函数；
④若,则函数的图象关于对称.
其中所有正确命题的序号是
．
【答案】③④
【解析】
很明显①不满足题意；②不满足题意；③由可得知周期为的周期函数；④由得可知函数是奇函数，则图象关于对称，符合题意．故③④正确．
18．有下列4个命题:
①若函数定义域为R,则是奇函数;
②若函数是定义在R上的奇函数,,,则图像关于对称;
③已知和是函数定义域内的两个值,若,则在定义域内单调递减;
④若是定义在R上的奇函数,
也是奇函数,则是以4为周期的周期函数．
其中,正确命题是
（把所有正确结论的序号都填上）．
【答案】①④
【解析】
①所以函数是是奇函数，②若图像关于对称则应有，由可得所以不一定成立，③值的取法应该是任意的，④因为是定义在R上的奇函数,
也是奇函数,
所以由可得，将代入可得即，所以是以4为周期的周期函数；故填①④．
三、解答题
19．已知函数．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，当时，求函数的解析式．
【解析】
（1）由得，
由，得，
因为，所以，
解得，由，得．
所以实数的取值范围是．
（2）依题意得，当时，，因此.
B组
一、选择题
1．已知定义在上的函数满足：的图象关于点对称，且当时恒有，当时，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
的图象关于点对称，则关于原点对称.
当时恒有即函数的周期为.所以.
2．已知定义在上的函数的图像关于轴对称，且满足，若当时，，则的值为（
）
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
定义在上的函数的图像关于轴对称，所以函数该函数是偶函数，满足函数满足，所以该函数的周期是2，，，的若当时，则,故选D．
3．已知函数是定义在上的偶函数，若对任意，都有，且当时，，则下列结论不正确的是（
）
A.函数的最小正周期为
B.
C.
D.函数在区间上单调递减
【答案】B
【解析】
因为函数是定义在上的偶函数，
所以，可得函数的最小正周期为，A正确；，C正确；而，B错；故选B.
4．函数对于任意实数满足条件，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
由题意得,，则，那么故选D．
5．若是R上周期为5的奇函数，且满足（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由题意，得，则；故选A．
6．已知定义在实数集上的函数满足：①
；②；③当时，，则、、满足（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
由可得,即函数是周期为的周期函数且函数在区间上是单调递增,由题设可得,故应选D．
7．函数的定义域为，以下命题正确的是（
）
①同一坐标系中，函数与函数的图象关于直线对称；
②函数的图象既关于点成中心对称，对于任意，又有，则的图象关于直线对称；
③函数对于任意，满足关系式，则函数是奇函数.
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】
【解析】
①正确，因为函数与关于轴对称，而和都是与向右平移1个单位得到的，所以关于直线对称；②正确，因为函数关于点成中心对称，所以，而，所以，即，又根据，可得函数的周期,又有，所以，所以函数关于直线对称；③正确，因为，所以函数关于点对称，而函数是函数向左平移3个单位得到，所以函数是奇函数.故3个命题都正确，故选D.
8．已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则下面给出的命题中错误的是（
）
A．函数是周期函数，且周期T=3
B．函数在上有可能是单调函数
C．函数的图像关于点对称
D．函数是偶函数
【答案】B
【解析】
对于A：∵∴函数是周期函数且其周期为3，A对；对于B：由D得：∵偶函数的图象关于轴对称，∴在R上不是单调函数，B不对．对于C：∵是奇函数∴其图象关于原点对称，又∵函数的图象是由向左平移个单位长度得到，∴函数的图象关于点对称，故C对；对于D：由C知，对于任意的，都有，用换，可得：，∴对于任意的都成立，令，则，∴函数是偶函数，D对．故选：B．
9．定义在实数集上的函数满足，.现有以下三种叙述：①是函数的一个周期；②的图象关于直线对称；③是偶函数.其中正确的是（
）
A．②③
B.
①②
C．①③
D.
①②③
【答案】D
【解析】
由可得，用代替可得，联立可得，所以是以为最小正周期的函数，所以是它的一个周期；在中用代替可得，所以其图象关于直线对称；
10．已知函数对任意都有，的图象关于点对称，且，则（
）
A．0
B．-16
C．-8
D．-4
【答案】D
【解析】
因为的图象关于点对称，所以函数的图像关于点对称，即函数是奇函数，令，得，
即，解得，
即，等价于，所以函数的周期,那么，故选D.
二、填空题
11.已知函数是定义域为R的偶函数，时，是增函数，若，，且，则的大小关系是_______。
【答案】
【解析】分析：且，
又时，是增函数，是偶函数，
，故
12．已知，有下列4个命题：
①若，则的图象关于直线对称；
②与的图象关于直线对称；
③若为偶函数，且，则的图象关于直线对称；
④若为奇函数，且，则的图象关于直线对称.
其中正确的命题为
.（填序号）
【答案】①②③④
【解析】
利用奇偶函数的定义和性质，得与的关系，再利用函数图象关于直线对称的条件可以探讨各命题是否正确．因为，令，所以函数的图象自身关于直线对称,①对.因为的图象向右平移个单位，可得的图象，将的图象关于轴对称得的图象，然后将其图象向右平移个单位得的图象，所以的图象关于直线对称,②对．因为，所以，因为为偶函数，，所以，所以的图象自身关于直线对称,③对．因为为奇函数，且，所以，故的图象自身关于直线对称,④对．
13．设偶函数对任意，都有，且当时，，则的值是____________．
【答案】
【解析】
因为所以的周期
三、解答题
14．设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，．
（1）求证：是周期函数；
（2）当时，求的解析式；
（3）计算．
【解析】
（1），，是周期为的周期函数．
（2）当时，，由已知得．
又是奇函数，，，
又当时，，，
又是周期为的周期函数，
，
从而求得时，．
（3），又是周期为的周期函数，
又，
．
C组
一、选择题
1．定义在上的偶函数满足，且在上为增函数，，，，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
因为定义在上的偶函数在上为增函数，所以在上单调递减，又，所以，又，所以．
2．定义在上的函数满足下列三个条件：
①；
②对任意，都有；③的图像关于轴对称．则下列结论中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
先由，得函数周期为6，得到；再利用的图象关于轴对称得到的图象关于轴对称，进而得到；最后利用条件（2）得出
因为，
所以；
即函数周期为6，故；
又因为的图象关于y轴对称，
所以的图象关于x=3对称，
所以；
又对任意，都有；
所以．
故选D．
3．定义在R上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
∴，则
∴是周期为3的周期函数．
则，
,
∵函数的图象关于点成中心对称，
∴，
∵,
∴，
∴．
故选：B．
4．已知定义在上的函数的图象关于点对称,
且满足,又,则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
由得，又，
，，的图象关于点对称，所以
，由可得
，故选D.
5．定义在上的偶函数满足，对且，都有，则有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
因为，所以，及是周期为的函数，结合是偶函数可得，，再由且，得在上递增，因此，即，故选A．
6．定义在上的函数对任意都有，且函数的图像关于原点对称，若，则不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
不妨取的解集为，故选C.
7．已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，，给出下列命题：①；②函数在定义域上是周期为2的函数；③直线与函数的图象有2个交点；④函数的值域为．其中正确的是（
）
A．①，②
B．②，③
C．①，④
D．①，②，③，④
【答案】C
【解析】
由当时，有知当时有正周期，又为定义在上的偶函数，且当时，，所以，所以①正确，排除B；若函数在定义域上是周期为的函数，则，同时因为当时，有，所以，显然矛盾，所以②错误，这样就排除A,D；综上故选C.
8．函数是定义在上周期为的奇函数,
若,则有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，故选B.
二、填空题
9．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，已知当时，，有以下结论：
①2是函数的一个周期；
②函数在上单调递减，在上单调递增；
③函数的最大值是1，最小值是0；
④当时，．
其中，正确结论的序号是
．（请写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】
,当时，单调递增；根据函数是定义在上的偶函数得当时，单调递减，所以函数在上单调递减，在上单调递增；当时，，所以函数的最大值是1，最小值是；当时，；综上正确结论的序号是①②④
10．已知是定义在实数集上的函数，且,则
．
【答案】
【解析】
，
．
三、解答题
11．已知定义在上的函数的图象关于原点对称，且函数在上为减函数．
（1）证明：当时，；
（2）若，求实数的取值范围．
【解析】
（1）∵定义在上的函数的图象关于原点对称，∴为奇函数．
函数在上为减函数.
若，则，∴，
∴，∴成立．
若，则，∴．
∴，∴成立．
综上，对任意，当时，有恒成立
（2）依题意可知，得，
解得，故所求实数的取值范围是.
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1第二十五讲
平面向量选择填空压轴题专练
A组
一、选择题
1．（2017年全国2卷）已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立坐标，则，，，设，所以，，
所以，
当时，所求的最小值为，故选B。
2．(2017年高考浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则
A．I１B．I１C．I３D．I２【答案】C
【解析】因为，所以，选C.
2．在中，，，，的交点为，过作动直线分别交线段，于，两点，若，，（，），则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
由，，三点共线可得存在实数使得，同理由，，三点共线可得存在实数使得，∴，解得，∴，设，则，即，即，故，即的最小值为，故选：D．
3．已知点为内一点，，过作垂直于点，点为线段的中点，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
如图，点为内一点，，过作垂直于点，点为线段的中点，∴，则
.中，利用余弦定理可得,因为可得，所以，∴，故选：D.
4．设向量，，且，，则的值等于（
）
A．1
B．
C．
D．0
【答案】C
【解析】
因为,，所以，即，所以，，
，，故选C.
5．如图，点,点在线段的延长线上，分别为的边上的点.若与共线，与共线，则的值为（
）
A．-1
B．0
C.
1
D．2
【答案】B
【解析】
设,以所在直线为轴,建立直角坐标系,可得,直线的方程为,由于与共线,在的角平分线上,可得所在直线方程是,设与共线得的纵坐标为,将代入直线方程,得,可得直线的方程为,再令得,可得点坐标为,故选B.
6．在正四棱锥中，为正方形的中心，，且平面与直线交于，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
因为为正方形的中心,所以为的中点,又,所以在线段上,平面与交于,即的延长线与交于,在平面中,取的中点,连接,则,所以相似于,相似比为,因此,又,,所以,,故选A.
7．由点向圆：引两条切线，切点为，，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
设，则，，，，所以的最小值是.
8．在△中，，，是边上的一点，且，则的值为（
）
A．0
B．4
C．8
D．
【答案】B
【解析】
，
,故选B.
９．在平面内，定点满足，，动点满足，，则的最大值是（
）
A．
B．
C.
D．
【答案】B
【解析】
甴已知易得．以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则．设由已知，得，又，所以，所以，它表示圆上的点与点的距离的平方的，所以，故选B．
二、填空题
10．（2017年天津卷理），则
【答案】
【解析】
,则
10．（2017年浙江卷）已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______.
【答案】4，
【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有：，
，则：
，
令，则，
据此可得：，
即的最小值是4，最大值是.
10．已知点，，若圆:上存在一点，使得，则正实数的最小值为
．
【答案】．
【解析】由题意可知，问题等价于以为直径的圆与圆有交点，故以为直径的圆：，而圆化为标准方程：，圆心距为，
∴，即实数的最小值是，故填：．
11．分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，则__________．
【答案】
【解析】
依题意有，故.
B组
一、选择题
1．（2017年全国3卷理）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=
+，则+的最大值为（
）
A．3
B．2
C．
D．2
【答案】A
【解析】如图，建立平面直角坐标系
设
根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是
，若满足
即
，
，所以，设
，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即
，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.
2．.设是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点）且，则的值为（
）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】A
【解析】
由题意得：，所以，.设点，
所以由可得：，即.
由双曲
线的第二定义可得：，所以，所以，所以
，故应选.
3．在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
设，由，解得，，
由，得，，点在圆上，因此
，解得．故选D．
4．如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（
）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
因为三点共线，所以，因为是重心，所以，，所以，化简得，解得题目所给图像可知.由基本不等式得
，即.当且仅当，即时，等号成立，故最小值为.
5．在矩形中，点为的中点，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
.
6．如图，在中，分别是的中点，若，且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
分三种情况讨论：①当在线段上时，设，则．由于，所以，，故；②当在线段上时，设，则．由于，所以，，故；③当在阴影部分内（含边界），则，故选C．
7．在△ABC中，BC=7，.若动点P满足，则点P的轨迹于直线AB，AC所围成的封闭区域的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】．
【解析】
设,因为
所以三点共线，所以点的轨迹为直线,如图：
在中，,,,由正弦定理,解得,
,
,,所以,故选B.
二、填空题
8．已知是的中线，，，则的最小值是
.
【答案】
【解析】
，，
．
9．如图，在菱形中，，，为的中点，则的值是
．
【答案】
【解析】
由已知，.
C组
一、选择题
1．如图，在梯形中，，，，，，分别是，的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰有8个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
以CD中点为坐标原点，CD所在直线为x轴建立直角坐标系，则，当P在CD边上时，设，则；当P在AB边上时，设，则；当P在BC边上时，设，则；当P在AD边上时，设，则；因此实数的取值范围是，选D.
2．已知是内一点，且满足,记,的面积依次为，则等于（
）
A.
1:2:3
B.
1:4:9
C.
6:1:2
D.
3:1:2
【答案】D
【解析】
取AC、BC中点D、E，连接PA、PB、PC、PD、PE，
由，得，
∴，
即；
同理得，
∴，；
∴，；
∴P到BC的距离等于A到BC距离的，
设的面积为S，则；
∴P到AC的距离等于B到AC距离的，
∴，，
∴.
故选D.
3．已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
设,因,且,故，所以，
,故应选B.
4．设，点为所表示的平面区域内任意一点，，为坐标原点，为的最小值，则的最大值为
A．
B．
C．
D．
【答案】．A
【解析】
由题意，
f（x）=（0，-5） （x，y）=-5y，当y取最大值时，f（x）取最小值f（m），
所表示的平面区域如图所示
由，可得y=，所以f(m)=-5×=-5(1-)=-5+，
由于m≥2，所以当m=2时，f(m)max=，故选A．
5．设为抛物线的焦点，为抛物线上三点，若为的重心，则的值为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】．C
【解析】试题分析：由条件，∵是的重心，则有，即，而.
6．如图，边长为1的正方形的顶点,分别在轴、轴正半轴上移动，则的最大值是（
）
A.
B.
C.
D.4
【答案】A
【解析】
如图令，由于故,,
如图，AB=1，故，,故，
同理可求得，所以，
所以的最大值为2.
二、填空题
7．在直角梯形分别为的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是__________．
【答案】．
【解析】
以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，依题意得，，设，依题意，即，，两式相减得，，.
8．在中，，，设交于点，且，，则的值为
．
【答案】．
【解析】
由题设可得,即,也即,所以,解之得,故,应填．
试卷第4页，总15页
试卷第1页，总15页第三十一讲
以数列为背景的取值范围问题专题
一、选择题
1．已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，若对一切，恒有，则能取到的最大整数是（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【解析】
设数列{an}的公差为d，由题意得，
，解得，
∴an=n，且，
∴Sn=1+，
令Tn=S2n﹣Sn=，
则，
即＞=0
∴Tn+1＞Tn，
则Tn随着n的增大而增大，即Tn在n=1处取最小值，
∴T1=S2﹣S1=，
∵对一切n∈N
，恒有成立，
∴即可，解得m＜8，
故m能取到的最大正整数是7．
故选：B
2．已知等差数列的前项和为，，，则使取得最大值时的值为(　　)
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【解析】
由题意，等差数列的前项和为，，，
根据等差数列的性质和等差数列的前n项和公式，
可得，，
则，可求得数列的通项公式为，
令，即，解得，又由，
可得等差数列中，当时，，当时，，
所以使取得最大值时的值为8，故选D.
3．等差数列{an}中，，,且，为其前n项之和，则使的最大正整数是（
）
A．198
B．199
C．200
D．201
【答案】B
【解析】
由题意可得：，则，
结合等差数列前n项和公式和等差数列的性质可知：
，
而，
据此可得使的最大正整数是199.
本题选择B选项.
4．已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N
)，且{an}单调递增，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，2]
B．(－∞，2)
C．(－∞，3]
D．(－∞，3)
【答案】D
【解析】
∵数列{an}中，且{an}单调递增
∴an+1﹣an＞0对于n∈N
恒成立即（n+1）2﹣k（n+1）﹣（n2﹣kn）=2n+1﹣k＞0对于n∈N
恒成立
∴k＜2n+1对于n∈N
恒成立，即k＜3
故选：D．
5．巳知集合P={}，Q={}，将P∪Q的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}，记为数列{}的前n项和，则使得<1000成立的的最大值为
A．9
B．32
C．35
D．61
【答案】C
【解析】
数列{an}的前n项依次为：1，2，3，22，5，7，23，……．
利用列举法可得：当n=35时，P∪Q中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，
所以数列{an}的前35项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，
…，69，2，4，8，16，32，64
Sn=29+
+=29+=967<1000
当n=36时，P∪Q中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，
所以数列{an}的前36项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，
…，71，2，4，8，16，32，64
Sn=30++=900+126=1026>1000
所以n的最大值35.
故选：C
6．数列满足，且，若，则的最小值为
(
)
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【解析】
∵，即，
∴数列{2nan}为公差是1的等差数列，
又a1=1，
∴21a1=2，即其首项为2，
∴2nan=2+（n﹣1）×1=n+1，
∴an=．
∴a1=1，a2=，a3=，a4=＞，a5==＜=，
∴若，则n的最小值为5，
故选：C．
7．对于数列，若任意，都有（为常数）成立，则称数列具有性质P（t），若数列的通项公式为，且具有性质P（t），则t的最大值为
A．6
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【解析】
由题意可得：对任意的恒成立，
，且具有性质P（t），则恒成立，即恒成立，
据此可知数列是递增数列或常数列，
据此可得：，整理可得：恒成立，
由于，故，
故，t的最大值为6.
本题选择A选项.
8．在数列中，，，若数列满足，则数列的最大项为　　
A．第5项
B．第6项
C．第7项
D．第8项
【答案】B
【解析】
数列中，，，
得到：，
，
，
，
上边个式子相加得：
，
解得：．
当时，首项符合通项．
故：．
数列满足，
则，
由于，
故：，
解得：，
由于是正整数，
故．故选B．
9．已知数列的前项和为，且满足，若不等式对任意的正整数恒成立，则整数的最大值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】
由题意，数列满足，则当时，，
两式相减可得，
所以，又由，所以，
即，所以数列表示首项，公差为2的等差数列，所以，
又由，即，
即，即对任意的正整数恒成立，
即对任意的正整数恒成立，
设，则，
所以，当时，求得最大值，此时最大值为，
所以，即，所以的最大整数为4，故选B.
10．（题文）已知各项均为正数的递增数列的前项和为满足，
，若成等差数列，则的最大值为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
由题，则，作差得，
，，由成等差数列，可得，分离化简得，故，，选D.
11．已知数列的首项，且满足，如果存在正整数，使得成立，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由题意时，
，
由，即，
∴且，，
，其中最小项为，
，其中最大项为，
因此．
故选C．
二、填空题
12．已知数列为正项的递增等比数列，，，记数列的前项和为，则使不等式成立的正整数的最大值为_______.
【答案】6
【解析】
数列为正项的递增等比数列，，a2 a4=81=a1a5，
即解得，则公比，∴，
则
，
∴，即，得，此时正整数的最大值为6.
故答案为6.
13．已知数列的通项公式为，请写出一个能说明“若为递增数列，则”是假命题的的值_____________
【答案】内任意一个数均可
【解析】
由题意，数列的通项公式为，若为递增数列，
则恒成立，
即恒成立，所以实数，
所以“若为递增数列，则”是假命题的的值可取.
14．已知n∈N
,，，，其中表示这个数中最大的数．数列的前n项和为，若
对任意的n∈N
恒成立，则实数的最大值是______．
【答案】
【解析】
设
，
即
∴
∴
即，
由与图象可知：在第一象限n取正整数时，仅有n=3时，
即
∴，即实数的最大值是
故答案为：
15．若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为，则实数的取值范围是____．
【答案】
【解析】
钝角三角形内角的度数成等差数列，则
，可设三个角分别为，故
，又，令，且
，则
，在
上是增函数，，故答案为.
16．已知数列的前项和为，对任意，，且恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
由,令,得；
当n 2时,
，
若n为偶数,则,∴(n为正奇数)；
若n为奇数,则
∴(n为正偶数).
函数
(n为正奇数)为减函数,最大值为，
函数
(n为正偶数)为增函数,最小值为，
若恒成立，
则,即.
故答案为：.
17．已知首项为2的正项数列的前n项和为，且当时，若恒成立，则实数m的取值范围为______．
【答案】
【解析】
首项为2的正项数列的前n项和为，且当时，．
可得，由，解得，
又，由，可得，
当时，，
又，
两式相减可得，
即有，由.
可得，又.
正项数列为首项为2，公差为2的等差数列，
可得；
，
设，
，
可得，
即有，为最大项．
若恒成立，
可得，
故答案为：．
18．在等比数列中，已知，若，则的最小值是______．
【答案】12
【解析】
在等比数列中，
，
，
化为：．
若，则
，当且仅当时取等号．
若，则，与矛盾，不合题意
综上可得，的最小值是，故答案为12．
19．已知数列，令，则称为的“伴随数列”，若数列的“伴随数列”的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，则实数取值范围为__________．
【答案】
【解析】
由题意得,所以,
相减得-，所以,也满足.
因此数列的前项和为
,
20．数列是首项，公差为的等差数列，其前和为，存在非零实数，对任意有恒成立，则的值为__________．
【答案】或
【解析】
当时，恒成立，当时：
当数列的公差时，即，
据此可得，则，
当数列的公差时，由题意有：，，
两式作差可得：，
整理可得：，即：，①
则，②
②-①整理可得：恒成立，
由于，故，据此可得：，
综上可得：的值为或.
21．等差数列中，已知，，则的取值范围是______。
【答案】
【解析】
依题意有，目标函数为，画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为，没有最小值，故取值范围为.
22．已知首项为2的正项数列{}的前n项和为，且当n≥2时，3－2＝－3．若≤m恒成立，则实数m的取值范围为_______________．
【答案】
【解析】
由题意可得：，两式相减可得：，
因式分解可得：，由与数列为正项数列，
所以，故数列为以2为首项，3为公差的等差数列，
所以，所以恒成立，即其最大值小于等于m.
由于函数分母为指数型函数，增长速度较快，所以当n较大时，函数值越来越小，n较小时存在最大值，经代入验证，当时有最大值，所以.
23．设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足，,若为数列中的项，则所有的正整数的取值集合为_________．
【答案】
【解析】
由得：，
由得：，
联立解得，所以，，令，得到，所以为偶数且且为奇数，故或，进而得到或，当时，n不为整数，舍去，故.
24．已知数列满足,是其前项和，若，（其中），则的最小值是_________________.
【答案】
【解析】
根据题意，由已知得：，
把以上各式相加得：，
即：，，
则
即的最小值是，
故答案为：．
25．已知函数，记，若是递减数列，则实数的取值范围是__________
【答案】
【解析】
要使函数在时单调递减，
，解得，
要使函数在单调递减，
则必须满足，解得，
又函数在时，单调递减，
则，解得，
故实数的取值范围是，故答案为.
26．已知数列的前项和为，满足，且对任意都有，函数，方程的根从小到大组成数列，则的取值范围是__________．
【答案】.
【解析】
∵，
∴，
∴，
整理得．
又,，
∴．
∵，
∴．
设，则，
∴
．
∵，
∴，
即方程在内有且仅有一个实数根，
∴．
∴．
当时，；
当时，．
综上可得的取值范围是．
27．设为数列的前项和,已知,对任意
,都有,则
的最小值为__________．
【答案】30
【解析】
：当时，，∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴，∴，，
∴当且仅当即时，等号成立，
三、解答题
28．已知数列的前n项和为，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n项和为，，点在直线上，若存在，使不等式成立，求实数m的最大值．
【解析】
（Ⅰ）∵
①
∴
②
∴②－①得
∴，即，∴成等比数列，公比为2．
∴．
（Ⅱ）由题意得，，∴成等差数列，公差为．
首项，∴，，
当时，，
当时，成立，∴．∴，
令，只需．
∴
③
④
③－④得，
∴．
∵．
∴为递增数列，且，∴．
∴，实数m的最大值为4．
29．已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=（n∈N
）
（Ⅰ）证明当n≥2时，数列{nan}是等比数列，并求数列{an}的通项an；
（Ⅱ）求数列{n2an}的前n项和Tn；
（Ⅲ）对任意n∈N
，使得
恒成立，求实数λ的最小值．
【解析】
（Ⅰ）[证明]：由a1+2a2+3a3+…+nan=，得a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1=（n≥2），
①﹣②：，即（n≥2），∴当n≥2时，数列{nan}是等比数列，
又a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=，得a2=1，则2a2=2，∴，
∴（n≥2），∴；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，
∴Tn=1+2×2×30+2×3×31+2×4×32+…+2n×3n﹣2，则，
两式作差得：，得：；
（Ⅲ）解：由≤（n+6）λ，得≤（n+6）λ，
即对任意n∈N
恒成立．
当n=2或n=3时n+有最小值为5，有最大值为，故有λ≥，∴实数λ的最小值为．
30．已知数列的前n项和为,
其中，数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)令，数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数k的最小值.
【解析】
（1）由可得，
两式相减得:
，
又由可得，
数列是首项为2，公比为4的等比数列，从而，
于是.
（2）由（1）知，
于是
，
依题意对一切恒成立，
令，则
由于易知，
即有，
∴只需，
从而所求k的最小值为.
31．公差不为零的等差数列中，，，成等比数列，且该数列的前10项和为100，数列的前n项和为，且满足．
Ⅰ求数列，的通项公式；
Ⅱ令，数列的前n项和为，求的取值范围．
【解析】
Ⅰ依题意，等差数列的公差，
，，成等比数列，
，即，
整理得：，即，
又等差数列的前10项和为100，
，即，
整理得：，，
；
，
，即，
当时，，即，
数列是首项为1、公比为2的等比数列，
；
Ⅱ由可知，
记数列的前n项和为，数列的前n项和为，则
，
，，
，
，
，
记，则，
故数列随着n的增大而减小，
又，，
．
试卷第16页，总16页
试卷第1页，总17页第三十讲
数列高考选择填空压轴题专题练
A组
一、选择题
1．若数列的通项公式分别为，
，且，对任意恒成立，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
可得
，若
是偶数，不等式等价于
恒成立，可得
，若
是奇数，不等式等价于
，即
，所以
，综上可得实数
的取值范围是
，故选D．
2．已知数列满足，
，若，则数列的通项（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
,
,
,
则
,数列是首项为2，公比为2的等比数列，
，利用叠加法，
，
，则.选B.
3．等比数列的前项和（为常数），若恒成立，则实数的最大值是（
）
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
【答案】C
【解析】由题意可知且,可得,化简为,由于均值不等式等号不成立,所以由钩型函数可知,当n=1时,
.选C.
4．已知数列是各项均不为0的正项数列，
为前项和，且满足，
，若不等式对任意的恒成立，求实数的最大值为
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由得,,整理得,数列是各项均不为0的正项数列,
,
由,令可得，
,不等式即,当为偶数时，
，
,
,当为奇数时，
，
单调递增，
取最小，
，综上可得，所以实数的最大值为.
5．各项均为正数的等差数列中，前项和为，当时，有，则
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
设等差数列的公差为，
则当时，
，
当时，
，
联立方程组得，可得，
所以，
故选A.
6．已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是
A.
(1,3)
B.
C.
(2,3)
D.
【答案】C
【解析】因为是递增数列,所以,解得,即,故选C.
二、填空题
7．已知数列的首项为，前项和为，且（且），.若，则使数列为等比数列的所有数对为__________．
【答案】
【解析】本题主要考査等比数列的应用.
当时，由，解得.
当时，
,∴，即.
又,∴，即是首项为,公比为的等比数列，∴，
∵，∴.
∴
.
若为等比数列，则有解得
故满足条件的数对是.
8．已知函数，点O为坐标原点，点，向量，θn是向量与的夹角，则使得
恒成立的实数t的取值范围为
___________．
【答案】
【解析】根据题意得,
是直线OAn的倾斜角，则：
，据此可得：
结合恒成立的结论可得实数t的取值范围为.
9．若数列满足（，
为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是__________．
【答案】100
【解析】因为数列是“调和数列”，所以，即数列是等差数列，所以，
，所以，
，当且仅当时等号成立，因此的最大值为100．
10．若满足约束条件，等差数列满足，
，其前项为，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】由约束条件作出可行域如图，
联立
，解得
，
，所以公差
，
，设
，当直线过点
时，有最大值
，即
最大值为，故答案为.
11．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.
将数列1，2进行
“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；….
设第次“扩展”后所得数列为，并记，则数列的通项公式为______.
【答案】
【解析】.
则
且
,
据此可得数列
是首项为
，公比为3的等比数列，
则
.
12．已知数列的首项为，且，若，则数列的前项和__________．
【答案】
【解析】因为，故,取对数可得,故，故是以1为首项，2为公比的等比数列，故,故，则，因为，故两边取倒数可得,故数列的前项和
13．把正整数按一定的规则排成了如下图所示的三角形数表．设aij(i，j∈N
)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为_________.
【答案】107
【解析】
由三角形数表可以看出其奇数行为奇数数列，偶数行为偶数列，
，
所以为第个奇数，又前个奇数行内数的个数的和为，
前个奇数行内数的个数的和为，故在第个奇数行内，所以，
因为第行的第一个数为，
解得，即，所以.
14．已知数列满足，若，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】由题意可得：
，
即：
，整理可得：
，
又
，则数列
是首项为-10，公比为
的等比数列，
，
则：
,
很明显，
为偶数时可能取得最大值，由
可得：
，
则的最大值为.
15．数列满足，则数列的前100项和为__________．
【答案】
【解析】由于的周期为，
，
，
，于是得到；
同理可求出，
，……
由此，数列的前100项和可以转化为以6为首项，8为公比的等差数列的前25项和，所以前100项和为
.
B组
一、选择题
1．设数列为等差数列，
为其前项和，若，
，
，则的最大值为（
）
A.
3
B.
4
C.
D.
【答案】B
【解析】∵S4≥10，S5≤15
∴a1+a2+a3+a4≥10，a1+a2+a3+a4+a5≤15
∴a5≤5，a3≤3
即：a1+4d≤5，a1+2d≤3
两式相加得：2（a1+3d）≤8
∴a4≤4
故答案是4
2．设等差数列的前项和为，其中且．则数列的前项和的最大值为（　）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由题意可得,可得，又，可得，
，
，
，可知取最大值。选D.
3．已知递增数列对任意均满足，记
，则数列的前项和等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】因为，所以，若，那矛盾，若，那么成立，若，那矛盾，所以
，当，所以，即，数列是首项为2，公比为3的等比数列，所以前项和为，故选D.
4．斐波那契数列满足：
.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论错误的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】对于A,由图可知，
，可得
，A正确；对于B,
,所以B正确；对于C,
时，
；C错误；对于D,
,D正确.故选C.
5．已知甲、乙两个容器，甲容器容量为，装满纯酒精，乙容器容量为，其中装有体积为的水（：单位：
）.现将甲容器中的液体倒人乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒人甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计.设经过次操作之后，乙容器中含有纯酒精（单位：
），下列关于数列的说法正确的是（
）
A.
当时，数列有最大值
B.
设，则数列为递减数列
C.
对任意的，始终有
D.
对任意的，都有
【答案】D
【解析】当趋于正无穷时，甲、乙两容器浓度应趋于相等，当时，显然，当
时，甲容器有剩余，显然，故D正确，A，B错误，对于C，可设，则，此时，C错误.
6．一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动，如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动（1步的距离为1个单位长度）.令表示第秒时机器人所在位置的坐标，且记，则下列结论错误的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根据题中的规律可得：
以此类推得：
为正整数），因此
，且
，
，所以
，故选C.
2、
填空题
7．各项均为正数的等差数列中，前项和为，当时，有，则__________．
【答案】50
【解析】由题意：
.
8．已知数列的前项和为且，记，若对恒成立，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
,
即
为首项为
，公差为
的等差数列，
，
，
，由
得
，因为
或
时，
有最大值
，
，即
的最小值为，故答案为
.
9．等比数列的首项为2，公比为3，前项的和为，若的最小值为____．
【答案】
【解析】由题意可得，所以=，即，由=（）（）=，等号成立条件是。填
【点睛】
本题由数列可得，要求的最小值，我们常用的方法是“1的妙用”，即在=（）（），再展开利用均值不等式可解。
10．已知数列满足，
，且，则数列的前项和取最大值时，
__________．
【答案】．
【解析】由题知当为奇数时，
，当为偶数时，
．又，可得．当时，有即，当时，有，即，当时，有，即．由可得，由可得，则都是等差数列．
．则当时，
取最大值．故本题填．
11．在数列中，
，若平面向量与平行，则的通项公式为__________．
【答案】
【解析】因为
与平行，所以，整理为：
，两边同时除以
，可得
，设
，那么
，采用累加法，
，整理为
，而
，所以
，那么
，故填：
.
12．已知数列中，
，数列满足：
，设为数列的前项和，当时有最小值，则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
由题意得，数列满足，
则，所以，
所以数列构成公差为的等差数列，所以，
所以，
因为当时，
取得最小值，所以，
即
，解得.
13．已知数列的前
项和为
，且满足，设，若存在正整数，使得成等差数列，则__________．
【答案】
【解析】当时，得；当时，由和，得，即，则，
，若存在正整数，使得成等差数列，则，即，易知是方程的一组解，当时且时，
，即数列为递减数列，所以，即无正整数解，即存在唯一的，使得成等差数列，则.
14．设数列的前向和为，且
为等差数列，则的通项公式__________．
【答案】
【解析】令，由已知条件可知，又为等差数列，则，又，得，当时，
，可得，即，得是以为公比，
为首项的等比数列，可得，则，
也满足．故本题应填
15．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，
恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由得（），
两式相减得：
（），所以（），
两式相减得：
（），
所以，数列……是以2为公差的等差数列，数列……是以2为公差的
等差数列，
将代入及可得，
将代入（）可得，且，
要使得，
恒成立，只需要即可，
所以，解得：
，即实数的取值范围是．
C组
一、选择题
1．已知正项数列的前项和为，且，
，
现有下列说法：①；
②当为奇数时，
；
③.则上述说法正确的个数为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】因为，故，即；当时，
，故；当时，
，所以，即，又，所以，所以，所以当为奇数时，
；
，
所以；综上所述，①②③都正确.选D.
2．已知函数的图象过点，令（），记数列的前项和为，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题意得
，所以
，从而
，即，选B.
3．设是函数的导数，
是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设，数列的通项公式为，则（
）
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
【答案】D
【解析】解：由题意可得：
，由
可得：
，
即题中的三次函数关于点
中心对称；
结合数列的通项公式可知：
本题选择D选项.
4．在各项均为正数的等比数列中，若,数列的前项积为，且，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】因为，所以，即.
又，由，得.
选.
5．设等差数列的前项和为，已知，
，则下列选项正确的是（
）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
【答案】A
【解析】由，
可得：
，构造函数，显然函数是奇函数且为增函数，所以，
，又所以所以，故
6．数列满足，且对任意，数列的前项和为，则
的整数部分是
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：由数列的递推公式可得：
，
结合递推公式，当
时：
，
且有：
，
故：
，
据此可得：
的整数部分为
.
本题选择B选项.
2、
填空题
7．设，
，…是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则所有可能满足条件的值为__________．
【答案】4
【解析】当时，则从满足题设的数列中删去任意一项后得到的新数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差又成等比数列，故知原数列的公差必为0，这与题设矛盾，所以满足题设的数列的项数，当时，删去的必为第二或第三项，若删去第二项，利用成等比中项知，此方程有解，所以可以，同理删去第三项验证亦可，故可以，当时，只能删去第三项，且，此方程组无解，故，不可以，综上应填．
8．已知各项都为整数的数列中，
，且对任意的，满足，
，则__________．
【答案】
【解析】由，得，两式相加得，又
，
，所以，从而
.
9．在数列及中，
，
，
.设，则数列的前项和为__________．
【答案】4034
【解析】由递推关系有：
，
且，据此可知数列是各项均为2的常数列，
数列的前项和为.
10．已知①当时，
,则__________.当时，若有三个不等实数根，且它们成等差数列，则___________.
【答案】
4
【解析】①，若，则，无实数解；若，则，
或，只有符合，故；
②易知时，
若有两解，方程化为，令，则，解得或，不合题意，从而此时方程只有一根，那么当时，
有两根，即和都是根，根据题意三根成等差数列，则第三个根为，由，得，经检验符合题意，所以．
11．已知为数列的前项和，
，若，则__________．
【答案】
【解析】因为，所以数列为等比数列
所以，
又，则
.
12．已知定义在上的奇函数满足，
为数列的前项和，且，则__________．
【答案】3
【解析】
∵，又∵，∴.
∴.
∴是以3为周期的周期函数.
∵数列满足，且，两式相减整理得
是以
为公比的等比数列，
，∴.
∴,故答案为.
13．已知是上可导的增函数，
是上可导的奇函数，对，
都有成立，等差数列的前项和为，
同时满足下列两条件：
，
，则的值为__________．
【答案】
【解析】解：由题意可知：
，
据此可知，函数
是R上的奇函数，
又
，故：
，
由等差数列前n项和公式有：
.
14．已知数列满足，且对任意都有，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】已知
当时，
当时，
所以
经检验，
时，通项公式也成立
所以
故
所以数列是等比数列
设其的前和为
所以
所以范围为
15．已知定义域为的函数满足，当时，
，设在上的最大值为，且数列的前项和为，则__________．
【答案】
【解析】当时，函数对称轴为，开口向下，故最大值为.由于，即从起，每隔两个单位长度的图像就是前一个区间图像的一半，故最大值是以为首项，公比为的等比数列，其前项和.
16．把正偶数数列{2n}的各项从小到大依次排成如图的三角形数阵，记M(r，t)表示该数阵中第r行的第t个数，则数阵中的数2
018对应于________．
【答案】(45，19)
【解析】由数阵的排列规律知，数阵中的前行共有
项，当
时，共有990项，又数阵中的偶数2018是数列
的第1009项，
且
，因此2018是数阵中第45行的第19个数，数阵中的数2018对应于
试卷第8页，总21页
试卷第1页，总21页第二十九讲
数列的通项公式与前n项和
A组
一、选择题
1．已知是等差数列，公差不为零，前项和是.若，，成等比数列，则
A.，
B.，
C.，
D.，
解：由于是等差数列，故，由于，，成等比数列，则.
故，化简可得:.因此有:,.
2．设，则(
)
A．4
B．
5
C．
6
D．
10
解：若则
，
∴
.故选A
3．设等差数列的前项和为，且满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
解：设公差为，则
所以，所以
所以选C
4．已知数列满足，且，则数列的前6项和（
）
A.6
B.7
C.8
D.9
解：因为，所以，两边同时除以得，又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，
从而，，故选B
二、填空题
5．（2017年全国2卷理）等差数列的前项和为，，，则
．
【答案】
【解析】设等差数列的首项为，公差为，所以
，解得
，所以，那么
，那么
.
6．数列满足，则________.
解：由已知得，，从而，，，，，从而，所以
7．若数列{}的前n项和为，则数列{}的通项公式是=______.
解：当=1时，==，解得=1，
当≥2时，==－()=，即，
∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=.
三、解答题
8．在数列中，，（）.
（Ⅰ）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
解：（Ⅰ），
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以.
（Ⅱ）因为，所以
9．设是数列的前项和.已知，.
(I)求数列的通项公式；
(II)设，求数列的前项和.
解：(I)由，可知.
可得
即
由于，可得.
又，解得（舍去）.
所以是首项为，公差为的等差数列，通项公式为.
(II)由可知：
设数列的前项和为，则
.
10．设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为．已知，，
，
．
(I)求数列，的通项公式；
(II)当时，记，求数列的前项和．
解：(I)由题意有，
即解得
或
故或其中.
(II)由，知，，故，于是
，
①
.
②
①-②可得
，
故.
11．已知数列满足=1，.
（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）证明：.
解：（I）由得。
又，所以是首项为，公比为3的等比数列。
，因此的通项公式为.
（Ⅱ）由（I）知
因为当时，，所以。
于是.
所以
B组
一、选择题
1．等差数列的前项和为，已知，,则（
）
（A）38
（B）20
（C）10
（D）9
( http: / / www. / )解：因为是等差数列，所以，，由，得：2－＝0，所以，＝2，又，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10，故选.C。
2．已知等差数列的首项，公差，为数列的前项和.若向量，，且，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
解：由，，且,
得,
即,又,所以,从而,
,
则,
当且仅当,即时,上式等号成立,
所以的最小值为,故选A.
3．已知数列的前项和为，首项，且满足，则等于
(
)
A.
B.
C.
D.
解：，
由已知可得；；；……，可归纳出.故选D.
4．已知数列的通项公式为，其前项和为，则（
）
A．
B．
C．
D．
解：由题意可得，当时，，当时，，当时，，当时，，
∴，
∴.
故选D.
二、填空题
5．设是数列的前项和，且，，则______.
解：由已知得，等式两端同时除以得，，即是以为首项，为公差的等差数列，则，.
6．（2016年浙江理）设数列的前项和为.若，
，，则
，
.
解：由，得；由，故解得.
再由，得，从而，即，又，所以，从而
所以填：
，
三、解答题
7．（16年全国II理）为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前1
000项和．
【解析】⑴设　的公差为，，
∴，∴，∴．
∴，，．
⑵　记的前项和为，则
．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
∴．
8．设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．
(1)求的值；
(2)证明：为等比数列；
(3)求数列的通项公式．
解析：（1）当时，，
所以
，即.
（2）当时，因为，
所以，所以
所以，
即，
所以
当时，，所以
，满足式
所以
所以，所以
是以，公比为的等比数列.
（3）由（2）得，两边同乘以，可得，
所以是以，公差为4的等差数列.
所以，
所以.
9．设数列的前项和为．已知．
(I)求的通项公式；
(II)若数列满足，求的前项和．
解：(I)由知，当时，，所以，即；又当时，，所以有．
(II)由知，当，；当，，由得
①
②
①－②得：
，
所以有，经检验时也符合，
故对，均有．
10．
已知是数列的前项和，且
（1）求证：数列为等比数列
（2）设，求数列的前项和
解：（1）
①
②
①②可得：
即
为的等比数列
（2）由（1）可得：
令代入
方法一：直接求和
设
方法二：分组求和
当为偶数时
当为奇数时
方法三：分奇数项偶数项分别求和
当为偶数时：
同理：当为奇数时
C组
一、选择题
1.在数列中，，，若，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
解：根据题意得，故是首项为1，公差为1的等差数列，故，由累加法得：当时，
，当时符合，故选A.
另法：用排除法，通过求得，，代入选项排除，得到A选项.
2.在等差数列中，，，记数列的前项和为，若对恒成立，则正整数的最小值为（
）
5
4
3
2
解：由题设得，∴可化为，
令，
则，
∴，
∴当时，取得最大值，
由解得，∴正整数的最小值为5。
3.
数列{}满足，则{}的前60项和为（
）
（A）3690
（B）3660
（C）1845
（D）1830
解法1：由题设知
=1，①
=3
②
=5
③
=7，=9，
=11，=13，=15，=17，=19，，
……
∴②－①得=2，③+②得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，…，
∴，，，…，是各项均为2的常数列，，，，…是首项为8，公差为16的等差数列，
∴{}的前60项和为=1830.
解法2：可证明：
4．数列满足,
则的整数部分是(
)
A.
B.
C.
D.
解:
,
所以
由,得,
所以,
所以,
所以,
所以的整数部分为.
二、填空题
5．（16年上海理）无穷数列由个不同的数组成，为的前项和.若对任意，，则的最大值为________.
【答案】4
解：要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为，所以最多由4个不同的数组成.
6．数列满足，且(N
)，则数列的前10项和为
.
解析：由题，，，，…，(N
)，由累加法，求得(N
)，经检验时也满足该通项，即(N
)；因此，
，.
三、解答题
7．（16年四川理）已知数列{
}的首项为1，
为数列{
}的前项和，
，其中，
.
（1）若
成等差数列，求的通项公式；
(2)
设双曲线
的离心率为
，且
，证明：.
解析：（1）由已知，
两式相减得到.
又由得到，故对所有都成立.
所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.
从而.
由成等比数列，可得，即，则，
由已知,，故
.
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.
所以双曲线的离心率
.
由解得.
因为，所以.
于是，
故.
8．(16年江苏理)记.对数列和的子集，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为的等比数列，且当时，.
(1)
求数列的通项公式；
(2)
对任意正整数，若，求证：；
(3)
设,求证：.
解：（1）由已知得.
于是当时，.
又，故，即.
所以数列的通项公式为.
（2）因为，，
所以.
因此，.
（3）下面分三种情况证明.
①若是的子集，则.
②若是的子集，则.
③若不是的子集，且不是的子集.
令，则，，.
于是，，进而由，得.
设是中的最大数，为中的最大数，则.
由（2）知，，于是，所以，即.
又，故，
从而，
故，所以，
即.
综合①②③得，.
9数列满足
.
(1)求的值；
(2)求数列前项和；]
(3)令，，证明：数列的前项和，满足.
解：(1)依题意，，
.
(2)依题意，当时，
(3)依题意有
知，，
记，则
在上是增函数，又，即.
又且时，
所以
即
即有
所以
即
10．已知数列满足且N
)．
(I)证明：；
(II)设数列的前项和为，证明：.
解析：(I)由题意知,即,
故．由得,从而可得：.因此，即结论成立.
(II)由题意得，所以.
因为，所以.
，从而有
化简可得：，因此，
.第三十七讲
直线与圆锥曲线
A组
一、选择题
1.
抛物线的焦点为，倾斜角等于的直线过交该抛物线于两点，则=（
）
A．2
B.4
C.8
D.
10
【解析】由题可知焦点 ，直线的方程,设点 ，
联立方程组
可得 ，
, .
2.
斜率为1的直线与椭圆相交于、两点，则的最大值为
(　　)
A．2
B.
C.
D.
解析：设椭圆交直线于两点，由消去，得，则有
，
当时，
答案：C
3.
直线与抛物线有且只有一个公共点，则的值为
(　　)
A．1
B．1或3
C．0
D．1或0
解析：由得，若，则，若，则，即解得，因此直线与抛物线有且只有一个公共点，则或答案：D
4.（2017全国1卷理）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16
B．14
C．12
D．10
【答案】A
【解析】设直线方程为
取方程
得
∴
同理直线与抛物线的交点满足
由抛物线定义可知
当且仅当（或）时，取得等号.
5.已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交于、两点．若的中点坐标为，则的方程为
(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选D　本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、焦点弦和中点弦问题，意在考查考生通过解方程组求解弦的中点的能力。用两点式得到直线的方程，代入椭圆方程，消去y，由根与系数的关系得到之间的关系，并由之间的关系确定椭圆方程。因直线过点和点，所以直线的方程为，代入椭圆方程消去，得，所以的中点的横坐标为，即
又，所以，选择D.
二、填空题
6.
已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，那么双曲线的离心率为________；渐近线方程为____________．
解析：双曲线的渐近线方程是
∵双曲线的一条渐近线与直线垂直，，∴双曲线的离心率为
，渐近线方程为
7.
已知抛物线与直线相交于、两点，抛物线的焦点为，那么________.
解析：
由，消去，得(
)，方程(
)的两根为、两点的横坐标，故，因为抛物线的焦点为，所以
答案：7
三、解答题
8.设椭圆:
过点，离心率为．
（1）求的方程；
（2）求过点且斜率为的直线被所截线段的中点坐标和所截线段的长度。
【解】（1）将点（0，4）代入的方程得,
∴b=4,
又
得，即，
∴
∴的方程为
（2）过点且斜率为的直线方程为，
设直线与Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，将直线方程代入Ｃ的方程，得，即，解得，，
AB的中点坐标，，
即所截线段的中点坐标为．
所以线段AB的长度是
，即所截线段的长度是．
9.
（2017年高考北京卷理）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.
【解析】（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得.
所以抛物线C的方程为.
抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，.
由，得.
则，.
因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.
直线ON的方程为，点B的坐标为.
因为
，
所以.
故A为线段BM的中点.
10．如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为。连结，并延长交椭圆于点。设直线的斜率为。
（1）若直线平分线段,求的值；
(2)
当时，求点到直线的距离；
（3）对任意的，求证：。
解：由题意知，，故,所以线段MN的中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以。
（2）直线PA的方程为，代入椭圆方程得，解得，因此,于是,直线AC的斜率为，所以直线AB的方程为，因此。
（3）解法一：将直线PA的方程为代入，解得，记，则，于是故直线AB的斜率为，直线AB的方程为，代入椭圆方程得，解得，或，因此
，于是直线PB的斜率为，
因此，所以。
解法二：设，则，.设直线PB，AB的斜率分别为。因为C在直线AB上，所以
，从而
，因此，所以。
10.
已知椭圆的两焦点为，且过点
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点,以线段为直径的圆恰好过原点，,求出直线的方程;
解：
(Ⅰ)由题意可得
.
椭圆的标准方程是
(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.
设M,N两点的坐标分别为
联立方程:
消去整理得,
有
若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,
所以,,
即
所以,
即
得
所以直线的方程为,或.
所以过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点.
11．过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点、，过点的直线与椭圆交于另一点，
并与轴交于点，直线与直线交于点．
（I）当直线过椭圆右焦点时，求线段的长；
（Ⅱ）当点异于点时，求证：为定值．
解：（Ⅰ）由已知得，解得，所以椭圆方程为．
椭圆的右焦点为，此时直线的方程为
，代入椭圆方程得
，解得，代入直线的方程得
，所以，
故．
（Ⅱ）当直线与轴垂直时与题意不符．
设直线的方程为．代入椭圆方程得．
解得，代入直线的方程得，
所以D点的坐标为．
又直线AC的方程为，又直线BD的方程为，联立得
因此，又．
所以．
故为定值．
B组
一、选择题
1.已知椭圆的方程为，如果直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则的值为
(　　)
A．2
B．
C．8
D．
解析：根据已知条件，则点在椭圆上，可得.答案：B
2.已知双曲线的右顶点为，若该双曲线右支上存在两点、使得△为等腰直角三角形，则实数的值可能为
(　　)
A.
B．1
C．2
D．3
解析：由题意可得，点A的坐标为，设直线AB的方程为，即，与双曲线方程联立可得，，则，解得或.由题意知为B点的纵坐标，且满足，即，根据选项知．答案：A
3.
若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为(　　)
A．至多一个
B．2个
C．1个
D．0个
解析：∵直线和圆没有交点，
，∴，∴，∴点
)在椭圆的内部，∴过点的直线与椭圆的交点个数为2个．
答案：B
4.已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于、两点，则的值等于
(　　)
A．
B．8
C．
D．16
解析：依题意F(2,0)，所以直线方程为由，消去得
.设，，则
答案：C
二、填空题
5.
直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是________．
解析：∵方程表示椭圆，∴且.∵直线恒过点，
∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：，，∴m的取值范围是且.
答案：
且
6.直线与抛物线交于、不同两点，且的中点横坐标为2，则的值是________．　
解析：设，，由消去得，
由题意得
∴即.
答案：
2
三、解答题
7.已知椭圆G：，过点作圆的切线l交椭圆G于A，B两点。
（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）将表示为m的函数，并求的最大值。
【解析】（Ⅰ）由已知得∴
∴椭圆G的焦点坐标为,离心率为
（Ⅱ）由题意知，.
当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为
此时
当m=－1时，同理可得
当时，设切线l的方程为
由
设A、B两点的坐标分别为，则
又由l与圆
所以
由于当时，
所以.
因为
且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.
8.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于
（）两点，且．
（1）求该抛物线的方程；
（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．
解析：（1）直线AB的方程是
所以：，由抛物线定义得：，所以p=4，
抛物线方程为：
（2）由p=4，化简得，从而,从而A:(1,),B(4,)
设=，又，即8（4），即，解得
9.
（16年广一模）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）以为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
（Ⅰ）解法一：设椭圆的方程为，
因为椭圆的左焦点为，所以．
设椭圆的右焦点为，已知点在椭圆上，
由椭圆的定义知，
所以．
所以，从而．
所以椭圆的方程为．
解法二：设椭圆的方程为，
因为椭圆的左焦点为，所以．
①
因为点在椭圆上，所以．
②
由①②解得，，．
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）解法一：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．
因为直线与椭圆交于两点，，
设点（不妨设），则点．
联立方程组消去得．
所以，则．
所以直线的方程为．
因为直线，分别与轴交于点，，
令得，即点．
同理可得点．
所以．
设的中点为，则点的坐标为．
则以为直径的圆的方程为，
即．
令，得，即或．
故以为直径的圆经过两定点，．
解法二：因为椭圆的左端点为，则点的坐标为．
因为直线与椭圆交于两点，，
设点，则点．
所以直线的方程为．
因为直线与轴交于点，
令得，即点．
同理可得点．
所以．
因为点在椭圆上，所以．
所以．
设的中点为，则点的坐标为．
则以为直径的圆的方程为．
即．
令，得，即或．
故以为直径的圆经过两定点，．
解法三：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．
因为直线与椭圆交于两点，，
设点（），则点．
所以直线的方程为．
因为直线与轴交于点，
令得，即点．
同理可得点．
所以．
设的中点为，则点的坐标为．
则以为直径的圆的方程为，
即．
令，得，即或．
故以为直径的圆经过两定点，．
10.如图7，椭圆的离心率为，轴被曲线
截得的线段长等于的长半轴长。
（Ⅰ）求，的方程；
（Ⅱ）设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.（i）证明：；
(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线,使得= 请说明理由。
解析：（I）由题意知，从而，又，解得。
故，的方程分别为。
（II）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.
由得，
设，则是上述方程的两个实根，于是。
又点的坐标为，所以
故，即。
（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点的坐标为
又直线的斜率为
，同理可得点B的坐标为.
于是
由得，
解得或，则点的坐标为；
又直线的斜率为，同理可得点的坐标
于是
因此
由题意知，解得
或。
又由点的坐标可知，，所以
故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和。
C组
一、选择题
1.已知椭圆，对于任意实数，下列直线被椭圆截得的弦长与被椭圆
截得的弦长不可能相等的是
(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：A选项中，当时，两直线关于轴对称，两直线被椭圆截得的弦长相等；B选项中，当时，两直线平行，两直线被椭圆截得的弦长相等；C选项中，当时，两直线关于轴对称，两直线被椭圆截得的弦长相等．答案：D
2.已知为抛物线的焦点，点、在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（
）
A.
2
B.3
C.
D.
【解析】选B.
可设直线AB的方程为：，点，，又，则直线AB与轴的交点，由，所以，又，因为点，在该抛物线上且位于轴的两侧，所以，故，于是=，当且仅当时取“”，
所以与面积之和的最小值是.
3.（设直线与抛物线相交于、两点，与圆相切于点，且为线段的中点.若这样的直线恰有4条，则的取值范围是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】选D.
显然当直线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线的斜率存在时，设斜率为.设，则，相减得.由于，所以，即.圆心为，由得，所以，即点M必在直线上.将代入得.因为点M在圆上，所以.又（由于斜率不存在，故，所以不取等号），所以.选D.
4.设双曲线的右焦点为1，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线交于点.若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是　　　　（　　）
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】由题意，由双曲线的对称性知在轴上，设，由得，解得，所以，所以，因此渐近线的斜率取值范围是，选A.
二、填空题
5.在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为
【解析】由已知，抛物线经过两点，过这两点的割线的斜率为.于是，平行于该割线的直线方程为，该直线与圆相切，所以，该直线又与抛物线相切，联立方程得，即
有得，代入，注意到，得.所以抛物线的方程为，顶点坐标为(－2，－9)．
6.平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为
.
【解析】设
所在的直线方程为
,则
所在的直线方程为,
解方程组
得：
，所以点
的坐标为
,
抛物线的焦点
的坐标为:
.因为是
的垂心，所以
,
所以，
.
所以，
.
【答案】
三、解答题
7.已知直线上有一个动点,过点作直线垂直于轴,动点在上,且满足(为坐标原点),记点的轨迹为.
(1)
求曲线的方程；
若直线是曲线的一条切线,
当点到直线的距离最短时,求直线的方程.
(1)
解:设点的坐标为,则点的坐标为.
∵,
∴.
当时,得,化简得.
当时,
、、三点共线，不符合题意，故.
∴曲线的方程为.
(2)
解法1:∵
直线与曲线相切,∴直线的斜率存在.
设直线的方程为,
由
得.
∵
直线与曲线相切,
∴,即.
点到直线的距离
.
当且仅当，即时，等号成立.此时.
∴直线的方程为或.
解法2：由，得，
∵直线与曲线相切,
设切点的坐标为，其中，
则直线的方程为：，化简得.
点到直线的距离
.
当且仅当，即时，等号成立.
∴直线的方程为或.
解法3：由，得，
∵直线与曲线相切,
设切点的坐标为，其中，
则直线的方程为：，化简得.
点到直线的距离
.
当且仅当，即时，等号成立,此时.
∴直线的方程为或.
8.已知双曲线：的中心为原点，左，右焦点分别为，，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足．
（1）求实数的值；
（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；
（3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同两点，，在线段上取异于点，的点，满足，证明点恒在一条定直线上．
（1）解：设双曲线的半焦距为，
由题意可得
解得．
（2）证明：由（1）可知，直线，点．设点,，
因为，所以．
所以．
因为点在双曲线上，所以，即．
所以
．
所以直线与直线的斜率之积是定值．
（3）证法1：设点，且过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，则，，即，．
设，则．
即
整理，得
由①×③，②×④得
将，代入⑥，
得．
⑦
将⑤代入⑦，得．
所以点恒在定直线上．
证法2：依题意，直线的斜率存在．
设直线的方程为，
由
消去得．
因为直线与双曲线的右支交于不同两点，，
则有
设点，
由，得．
整理得．1
将②③代入上式得．
整理得．
④
因为点在直线上，所以．
⑤
联立④⑤消去得．
所以点恒在定直线上．
（本题（3）只要求证明点恒在定直线上，无需求出或的范围．）
法3：
解：设直线l，
所以M()、N（）、H（）
所以由得
将()代入得：
则、是上述方程两根，则由韦达定理易得
即，所以点恒在定直线上．
9.已知椭圆的左，右两个顶点分别为、．曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点．
（1）求曲线的方程；
（2）设、两点的横坐标分别为、，证明：；
（3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围．
（1）解：依题意可得，．
设双曲线的方程为，
因为双曲线的离心率为，所以，即．
所以双曲线的方程为．
（2）证法1：设点、（，，），直线的斜率为（），
则直线的方程为，
联立方程组
整理，得，
解得或．所以．
同理可得，．
所以．
证法2：设点、（，，），
则，．
因为，所以，即．
因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以，．
即，．
所以，即．
所以．
证法3：设点，直线的方程为，
联立方程组
整理，得，
解得或．
将代入，得，即．
所以．
（3）解：设点、（，，），
则，．
因为，所以，即．
因为点在双曲线上，则，所以，即．
因为点是双曲线在第一象限内的一点，所以．
因为，，
所以．
由（2）知，，即．
设，则，
．
设，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
因为，，
所以当，即时，．
当，即时，
所以的取值范围为．
说明：由，得，给1分．
10.已知双曲线：和圆：（其中原点为圆心），过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为、．
（1）若双曲线上存在点，使得，求双曲线离心率的取值范围；
（2）求直线的方程；
（3）求三角形面积的最大值．
（本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及数形结合、分类讨论思想和创新意识等．）
解：（1）因为，所以，所以．
由及圆的性质，可知四边形是正方形，所以．
因为，所以，
所以．
故双曲线离心率的取值范围为．
（2）方法1：因为，
所以以点为圆心，为半径的圆的方程为．
因为圆与圆两圆的公共弦所在的直线即为直线，
所以联立方程组
消去，，即得直线的方程为．
方法2：设，已知点，
则，．
因为，所以，即．
整理得．
因为，所以．
因为，，根据平面几何知识可知，．
因为，所以．
所以直线方程为．即．
所以直线的方程为．
方法3：设，已知点，
则，．
因为，所以，即．
整理得．
因为，所以．
这说明点在直线上．
同理点也在直线上．
所以就是直线的方程．
（3）由（2）知，直线的方程为，
所以点到直线的距离为．
因为，
所以三角形的面积．
以下给出求三角形的面积的2种方法：
方法1：因为点在双曲线上，
所以，即．
设，
所以．
因为，
所以当时，，当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
当，即时，，
当，即时，．
综上可知，当时，；
当时，．
方法2：设，则．
因为点在双曲线上，即，即．
所以．
令，则．
所以当时，，当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
当，即时，，
当，即时，．
综上可知，当时，；
当时，．
①
②
③
x
y
O
P
A
B第三十二讲
不等式综合应用
A组
一、选择题
1．(2017年山东卷理)若，且，则下列不等式成立的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，所以选B.
2．（2016年新课标1理）设集合，，则
（A）
（B）
（C）
（D）
解：，．
故．
故选D．
3．（16年四川卷文）
设:实数满足且，：实数满足，则是的（
）
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)
充要条件
(D)
既不充分也不必要条件
解：由题意，且，则，而当时不能得出，且.故是的充分不必要条件，选A.
4．下列不等式一定成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：由基本不等式得,故选C.
5．已知函数是定义域为
( http: / / www. / )的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（
）
A．
B．C．D．
解：由函数是定义域为
( http: / / www. / )的偶函数，得函数的图象关于对称，又因为在上单调递增，
∴
，
故选D
二、填空题
6．(2016年高考上海卷理)设若关于的方程组无解，则的取值范围是_________.
解：将方程组中的（1）式化简得，代入（2）式整理得，方程组无解应该满足且，即且，所以.所以答案为
7．若实数满足，则的最小值为
.
解析：又，
，当且仅当时取等号.
8．（2016年新课标2文）若满足约束条件，则的最小值为__________
解：由得，点，由得，点，由得，点，分别将，，代入得：，，，所以的最小值为．故答案为：
三、解答题
9．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为0.75，同时预计年销售量增加的比例为0.6．已知年利润=（出厂价–投入成本）年销售量．
（Ⅰ）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；
（Ⅱ）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例应在什么范围内？
解：（Ⅰ）由题意得
，
整理得．
（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
即
解不等式得
．
答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例应满足．
10．设函数，其中，区间.
（Ⅰ）求的长度（注：区间的长度定义为；
（Ⅱ）给定常数，当时，求长度的最小值.
解：（Ⅰ）令
解得
，
的长度
（Ⅱ）
因为
则，
设区间长度为，则由（1）知
所以，则.
故关于在上单调递增，在上单调递减.
，
由
所以
11．已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当时，；[]
解析：(I)因为，所以，．
又因为，所以曲线在点处的切线方程为．
(II)令，则.
因为，所以在区间上单调递增．所以,,
即当时，．
11．已知函数，在区间上，恒成立，求的取值范围
解法1：恒成立即不等式恒成立，令
只需即可，
，令（分析的单调性）
当时
在单调递减，则
当时，分是否在中讨论（最小值点的选取）
若，单调性如表所示
若，则在上单调递增，，符合题意
综上所述：
解法2：，令，则只需即可
令，
在上单调递增
，在上单调递增
（无最大值，只有临界值，故可取等号）
B组
一、选择题
1．（16年浙江文）已知，且，若
，则（
）
A.
B.
C.
D.
解：，
当时，，，；
当时，，，．
故选D．
2．（2016年高考四川卷理）
设：实数满足，：实数满足
则是的（
）
（A）必要不充分条件
（B）充分不必要条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
解：画出可行域如图所示，可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆内，故选A
3．（16年浙江文）若平面区域
夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（
）
A.
B.
C.
D.
解：画出平面区域如图所示，由，得.由，得.
由题意可知，当斜率为的两条直线分别过点和时，两直线的距离为.故选B
4．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/
m2）分别为，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是
A.
B.
C.
D.
解析：由,,
得
，故;
同理，
，
故.
又
,故
.故最低费用为，选B.
二、填空题
5．已知函数的值域为,若关于的不等式的解集为,则实数的值为____.
解：由值域为,当时有,即,
∴.
∴解得,.
∵不等式的解集为,∴,
解得.
故填：
6．(16年上海理)已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是______.
解：由是偶函数可知，单调递增；单调递减
又，
可得，即，故填：
三、解答题
7．(2016年高考天津卷文)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
原料肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(Ⅰ)用列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.
（Ⅰ）解：由已知满足的数学关系式为，该二元一次不等式组所表示的区域为图1中的阴影部分.
（Ⅱ）解：设利润为万元，则目标函数为，这是斜率为，随变化的一族平行直线，为直线在轴上的截距，当取最大值时，的值最大.又因为满足约束条件，所以由图可知，当直线经过可行域中的点时，截距取最大，的值最大.解方程组
得点，所以.
答：生产甲肥料车皮，乙肥料车皮时利润最大，且最大利润为万元.
8．已知函数
(为实常数)．
(1)若函数图象上动点到点的距离的最小值为，求的值；
(2)若函数在区间上是增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围；
(3)设，若不等式在时有解，求的取值范围．
解　(1)
设，则
当且仅当时，取得最小值，即取得最小值
当时，
解得
当时，
解得
所以或.
(2)由题意知，任取，且，
则
因为，
所以，即.
由，得，所以.
所以的取值范围是]．
(3)由，得.
因为，所以.
令，则，所以
令，，
于是，要使原不等式在时有解，
当且仅当．
因为，
所以的图象开口向下，
对称轴为直线.
因为，所以当，
即时，；
当，即时，.
综上，当时，的取值范围为；
当时，的取值范围为．
9．（16年浙江文）设函数，.
证明：（I）；
（II）.
证明：(Ⅰ)因为
由于，有，即，
所以
（II）由得，
故
所以
由（I）得，
又因为，所以，
综上所述，
10．设函数,R).
(Ⅰ)当时，求函数在上的最小值的表达式；
（Ⅱ）已知函数在上存在零点，，求的取值范围.
解：(Ⅰ)当时，，故对称轴为直线.
当时，.
当时，.
当时，.
综上，.
（Ⅱ）设为方程的解，且，则，由于，
因此.
当时，，由于和，所以.
C组
一、选择题
1（16年新课标1理）若，，则（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
解：对A：
由于，∴函数在上单调递增，因此，A错误
对B：
由于，∴函数在上单调递减，
∴，B错误
对C：
要比较和，只需比较和，只需比较和，只需和
构造函数，则，在上单调递增，因此
又由得，∴，C正确
对D：
要比较和，只需比较和
而函数在上单调递增，故
又由得，∴，D错误
故选C．
2．函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，均大于，则的最小值为（　　　）
A．2　　　　B．4　　　　C．8　　　　D．16
解：根据题意，有，所以有，所以
，故选C．
3．设函数=,其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（
）
(A)
(B)
(C)
(D)
解：设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时，=，当时，=-1，，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故选D.
4．若定义在上的函数
满足，其导函数满足
，则下列结论中一定错误的是
A.
B.
C.
D.
解：由已知条件,构造函数,则,故函数在R上单调递增,且,故,所以,即，
所以结论中一定错误的是C，选项D不确定；构造函数,则，故函数在R上单调递增,且,故,所以，即,选项A，B无法判断，故选C.
二、填空题
5．已知，，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是__________
解析：，所以，
任意的，总存在，使得的最小值大于的最小值，所以的取值范围是，故填.
6．已知正数满足:，，则的取值范围是____.
【解析】条件，可化为:.
设,则题目转化为:
已知满足,求的取值范围.
作出()所在平面区域(如图).求出的切
线的斜率,设过切点的切线为,
则,要使它最小,须.
∴的最小值在处,为.此时,点在上之间.
当()对应点时,
,
∴的最大值在处,为7.
∴的取值范围为,即的取值范围是.
三、解答题
7．（16年上海理）已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
解：（1）由，得，解得．[]
（2），，
当时，，经检验，满足题意．
当时，，经检验，满足题意．
当且时，，，．
是原方程的解当且仅当，即；
是原方程的解当且仅当，即．
于是满足题意的．
综上，的取值范围为．
（3）当时，，，
所以在上单调递减．
函数在区间上的最大值与最小值分别为，．
即，对任意
成立．
因为，所以函数在区间上单调递增，时，
有最小值，由，得．
故的取值范围为．
8．设函数，曲线在点处的切线为.
(Ⅰ)求；
（Ⅱ）证明：．
解：(Ⅰ)
函数的定义域为，
由题意可得，
故
．
（Ⅱ）由(Ⅰ)知，，从而等价于，
设函数，则，所以当时，，当时，，故在单调递减，在单调递增，从而在的最小值为
．
设函数，则，所以当时，，当时，，故在单调递增，在单调递减，从而在的最大值为．
综上所述，当时，，即．
9．（16年新课标1理）已知函数有两个零点．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）设是的两个零点，证明：．
解：(I)
.
(i)
设，则，只有一个零点.
(ii)
设，则当时，；当时，.
所以在单调递减，在单调递增.
又，，取满足且，则
，
故存在两个零点.
(iii)
设，由得或.
若，则，故当时，，因此在单调递增.
又当时，所以不存在两个零点.
若，则，故当时，；当时，.
因此在单调递减，在单调递增.
又当时，所以不存在两个零点.
综上，的取值范围为.
(II)
解法1：不妨设.
由(I)知，，，，在单调递减，所以等价于，即.
由于，而，所以
，
设，则.
所以当时，，而，故当时.
从而，故.
解法2：
由已知得：，不难发现，，
故可整理得：
设，则，那么，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
设，构造代数式：
设，
则，故单调递增，有．
因此，对于任意的，．
由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有
令，则有
而，，在上单调递增，因此：
整理得：．
10．已知，函数．
(Ⅰ)证明：当时，
(ⅰ)函数的最大值为；
(ⅱ)
；
(Ⅱ)
若对恒成立，求的取值范围．
解：
(Ⅰ)(ⅰ)
.
当时，在上恒成立，
此时的最大值为：；
当时，
在上的正负性不能判断，
此时的最大值为：
；
综上所述：函数在上的最大值为；
(ⅱ)
要证，即证．
亦即证在上的最大值小于(或等于)
，
∵，∴．
当时，在恒成立，
此时的最大值为：；
当时，在上的正负性不能判断，
令．
所以
综上所述：在上的最大值小于(或等于)
．
即在上恒成立．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数在上的最大值为；
且函数在上的最小值比要大．
∵对恒成立，
∴．
取为纵轴，为横轴．又，则可行域为：和，
目标函数为．
作图如下：
由图易得：当目标函数为过时，
有．
∴所求的取值范围为：．
a
y
O
b=z-a
b=a+1
b=3a－1
b=2a第二十七讲
三角函数与解三角形
A组题
一、选择题
1.
（2017年山东卷理）在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足
，则下列等式成立的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
所以，选A.
2.【2016辽宁大连双基测试】中，，则（
）
A.
B.
C.
D.
【解析】由正弦定理得即，解得．因为所以，所以故选D．
3.在△ABC中，内角所对的边分别是.若，，
则的面积是(　　
)
A．3
B.
C.
D．3
【解析】由得　①.由余弦定理及得　②.所以由①
②得，即.所以，故选.
4.设的内角所对边的长分别为，若，
则角(　　
)
A.
B.
C.
D.
【解析】因为，所以由正弦定理可得.因为，所以.令，则由余弦定理得，所以故选
5.(2016唐山一模)在直角梯形中，，，，则(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】由已知条件可得图形，如图，设，在中，，
∴∴，故选.
6.在中，三内角的对边分别为，面积为，若，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
【解析】，由余弦定理可得
，联立，可得．
7.已知锐角是的一个内角，是三角形中各角的对应边，若，则下列各式正确的是(　
　)
A．　　　　　B．
C．
D．
【解析】由
得
∵
∴，由余弦定理得，
∴
，故选
二、填空题
8．在
中，内角
所对的边分别为
，已知的面积为
，
则的值为
.
【解析】因为，所以，又，则
，又，得，故，.
9．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶
在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山
的高度
m.
【解析】依题意，，，在中，可得，因为，由正弦定理可得，即，在中，因为，，所以，所以.
三、解答题
10．（2017年全国1卷理）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长
【答案】（1）
（2）的周长为.
【解析】（1）由题设得，即.
由正弦定理得.
故.
（2）由题设及（1）得，即.
所以，故.
由题设得，即.
由余弦定理得，即，得.
故的周长为.
11.在中，分别是角的对边，且满足．
（1）求角的大小；
（2）设函数，求函数在区间上的值域．
【解析】（1）在中，∵，∴，
∴，∴．
∵是的内角，∴，∴，∴．
（2）由（1）可知，∴
由，∴，∴，∴函数的值域为．
12.已知分别是的角所对的边，且，
.
（1）若的面积等于，求；
（2）若，求的值.
【解析】（1）由余弦定理得，
的面积和等于，，，联立；
（2），，，
当时，；
当时，，由正弦定理得，联立，解得，
，，即，又，，综上所述，或.
B组题
一、选择题
1.如果把锐三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为（
）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．由增加的长度决定
【解析】设增加同样的长度为，原来三边长为，不妨设，由锐三角形，，新的三角形的三边长为，有，又
故得到新三角形为锐角三角形，故选C.
2.【2016高考新课标3】在中，，边上的高等于,则（
）
A.
B.
C.
D.
【解析】设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．
3.在不等边三角形中，角所对的边分别为，其中为最大边，如果
，则角的取值范围为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】由题意得，再由正弦定理得，即
∵，∴.又为最大边，∴.因此得角A的取值范围是.故选
4.在中，角所对的边分别为，已知，，则的取值范围为（
）
A．
B.
C．
D.
【解析】由已知得，解得.由余弦定理，有.又，，故.又，于是有，即有.故选
二、填空题
5.已知分别为的三个内角的对边，且，，则
.
【解析】由知，为锐角，作交于，设，，则，则
即，，则
6.在中，，且，则的面积为________．
【解析】∵，∴
，即，，
所以．，所以．由得，当时，符合题意．所以．
7.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是
.
【解析】，因此
，故所求的最小值为
三、解答题
8.
（2017年北京卷理）在△ABC中，
=60°，c=a.
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.
【答案】
（Ⅰ）
（Ⅱ）△ABC的面积.
【解析】Ⅰ）在△ABC中，因为，，
所以由正弦定理得.
（Ⅱ）因为，所以.
由余弦定理得，
解得或（舍）.
所以△ABC的面积.
9．【2016高考山东理数】在中，角的对边分别为，已知
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求的最小值.
【解析】由题意知，
化简得，
即.
因为,
所以.
从而.
由正弦定理得.
由知,
所以
，
当且仅当时，等号成立.
故
的最小值为.
10.已知在中，角所对的边长分别为且满足
．
（1）求的大小；
（2）若，求的长．
【解析】（1）在三角形中，由正弦定理得，
因为
所以
即
整理得，
由，可得
所以.
（2）在三角形中，，由，解得，
又因为
所以，
，于是由可得，
，
所以.
11.设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角.
（1）证明：；
（2）求的取值范围.
【解析】（1）由及正弦定理，得，，即
又为钝角，因此，故，即.
（2）由（1）知，，得，于是
，由得
，
C组题
一、选择题
1.如图，在中，，，点在线段上，且，则的值为（
）
A．
B.
C．
D.
【解析】由条件得，.在中，设，则由余弦定理得
①
因为所以，所以
②
联立①②解得，所以.在中，故选
2.已知的内角对的边分别为，，，当内角最大时，的面积等于(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】根据正弦定理及得，，
，当且仅当，即时，等号成立，此时，故选
3.在锐角中，角的对边分别为，若，则的值是（
）
A．
B.
C．
D.
【解析】取，则，由余弦定理得，在如图所示的等腰三角形中，
可得，又，，∴.
另解：由得，，即，
∴
故选
4.在中，角所对的边分别为满足，，
，则的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【解析】由得：，则，
由可知：为钝角，
则，
由于，，所以，，故选B.
二、填空题
5.如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若,则的最大值
.
【解析】由勾股定理可得，，过作，交于，连结，则，设，则，由得，，在直角中，，故，令，，令得，，代入得，，故的最大值为
6.
的内角的对边分别为，已知，则
.
【解析】由余弦定理得，将已知代入，化简可得，再由正弦定理，可得，再结合条件及的范围求得的值.由余弦定理得，将已知条件代入上式，化简可得，，再由正弦定理，可得，，，，.
，
7.已知满足，，点在外，且，则的取值范围是________．
【解析】由满足，，可得为等边三角形．又点在外，且，设等边边长为，如图1，若与在同侧，设，，在中，，则①，由，得②，①②联立可得，又，∴，∴
，则；
如图2，若与在异侧，设，，在中，则，可得，又，∴，则．综上，的最小值为1，最大值为3，故答案为：．
三、解答题
8.【2016年高考四川理数】在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.
（I）证明：；
（II）若，求.
【解析】（1）据正弦定理，可设，则
故，有，变形得
（2）由已知，，根据余弦定理，有.
所以
由（1）所以，故
9.
在中，若，且.
（1）求角的大小；
（2）求的面积.
【解析】（1）由题可知：在中，，，因为，所以，即，而向量，是两个不共线向量，所以，所以，因为，所以，在等腰中，，所以，；由上知：，所以，所以，结合，所以，.
（2）由（1）知，则，由正弦定理得：，
所以，
10.
如图，为平面四边形的四个内角.
（1）证明：
（2）若求的值.
【解析】（1）.
（2）由，得.
由（1），有
连结BD，
在中，有，
在中，有，
所以
，
则，
于是.
连结AC，同理可得
，于是.
所以
.
.第四十八讲
不等式选讲
A组
一、选择题
1、不等式||+||的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】：D
【解析】由绝对值的几何意义知，
||+||表示数轴上的点与点5的距离和数轴上的点与点-3的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选D。
2、不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】：A
【解析】：因为对任意x恒成立，所以
，解得或。
二、填空题
3、设，则的最小值为
。
【答案】：9
【解析】：由柯西不等式可知。
若，则的最小值是_________。
【答案】：
【解析】：。
5、（2015重庆16）若函数的最小值为5，则实数a=_______。
【答案】：或
【解析】：由绝对值的性质知的最小值在或时取得，若，或，经检验均不合；若，则，或，经检验合题意，因此或。
6、若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是
。
【答案】：
【解析】：当时，；
当时，；
当时，；
综上可得，所以只要，解得或，
即实数的取值范围是。
7、（2017年全国1卷理）
已知函数f（x）=–x2+ax+4，g（x）=│x+1│+│x–1│.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.
【解析】
（1）当时，不等式等价于.①
当时，①式化为，无解；
当时，①式化为，从而；
当时，①式化为，从而.
所以的解集为.
（2）当时，
.
所以的解集包含，等价于当时.
又在的最小值必为与之一，所以且，得.
所以的取值范围为.
8.已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围。
【解析】：（1）当时，
或或
或
（2）原命题在上恒成立；
在上恒成立；
在上恒成立
；
。
9、已知函数=,=。
（1）当=2时，求不等式＜的解集；
（2）设＞-1，且当∈[，)时，≤,求的取值范围。
解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0。
设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
则y＝
其图像如图所示，当且仅当x∈(0，2)时，y＜0；
所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}。
(2)当x∈时，f(x)＝1＋a；
不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，
所以x≥a－2对x∈都成立；
故≥a－2，即；
从而a的取值范围是。
10.若，且.
（1）求的最小值；
（2）是否存在，使得？并说明理由。
【解析】：（1）由，得，且当时等号成立，
则，且当时等号成立，
故的最小值为。
（2）由(1)知：，
由于＞6，从而不存在，使得。
11、设均为正数，且，证明：
（1）；
（2）。
解：(1)由得；
由题设得，即；
从而有，故。
(2)因为，，，
故，
即
所以≥1。
B组
一、选择题
1、已知关于x的不等式的解集不是空集，则的取值范围是（　
）
A．
B．
C．
D．
【答案】：D
【解析】：方法一：由绝对值的几何意义知，表示数轴上的点与点1的距离和数轴上的点与点-的距离之差，要使不等式的解集不是空集，结合数轴可知。
方法二：令，
因为不等式的解集不是空集，
则有，
又
从而，
解得。
2、若，且恒成立，则的最小值是（
）
B．
C．
D．
【答案】：B
【解析】：，，而，即恒成立，得。
二、填空题
3、若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_______。
【答案】：
【解析】：令，则
①当时，；
②当时，，则；
③当时，；
综合①②③可知；
所以要使不等式恒成立，则需，解得。
4、对于实数x，y，若，，则的最大值为
。
【答案】：52
【解析】：因为，，
则。
5、已知，若关于x的方程有实根，则的取值范围是
。
【答案】：
【解析】：由已知；
又因为，
从而有；
解得。
6、若实数满足，则的最小值为_______。
【答案】：
【解析】：，即，。
7、已知，的最小值为。
（1）求的值；
（2）解关于的不等式。
【解析】：（1）因为，则有；
当且仅当且即时等号成立；
故m的值为6。
由（1）得，即；
两边平方有；
解得；
故不等式的解集为。
8..设函数=。
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求的取值范围。
【解析】：(1)证明：由，有
（2）由已知
当时，，由解得；
当时，，由由解得；
综上，的取值范围是。
9、设正数x，y，z满足。
（1）求证：；
（2）求的最小值。
【解析】：（1）证明：由柯西不等式得：；
（2）解：由已知
所以由柯西不等式得：
；
故的最小值为。
10、已知函数。
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围。
【解析】：（1）当时，化为。
当，不等式化为，无解；
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得；
所以解集为。
（2）由题设可得，所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，
从而的面积为；
则有，故，所以的取值范围为。
C组
一、选择题
1、设不等的两个正数满足，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】：B
【解析】：因为，则，
而，所以，解得。
2、已知，设，则下列判断中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】：B
【解析】：
，即，，，，，得，
即，得，所以。
二、填空题
3、若是正数，且满足，则的最小值为______。
【答案】：
【解析】：因为，则有。
4、设a，b，c均为正数且，则之最小值为__________。
【答案】：9
【解析】：设向量
=
(，，)
，
=(，，)
因为，
则有
()×9
。
5、已知实数满足，，则a的最小值与最大值之差为
。
【答案】：-1
【解析】：由柯西不等式，得，
即，由条件，可得，解得，当且仅当时等号成立，故最小值与最大值之差为-1。
6.对于，当非零实数满足，且使最大时，的最小值为
。
【答案】：-2
【解析】：设，则；
则由得；
因为关于a的二次方程，即；
解得；
当时，；
，
当t的值为时，同法可求得
故的最小值为-2。
三、解答题
7、已知，函数的最小值为4．
（1）求的值；
（2）求的最小值。
【解析】: （1）
当且仅当时等号成立。
又，所以，所以。
（2）由柯西不等式得：
即，当且仅当时等号成立
所以当时．。
8、已知实数满足，且有。
求证：。
【解析】：，是方程的两个不等实根，则，得，而
即，得，所以，，即。
9、已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。
【解析】:（证法一）
因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得
①
所以
②
故.
又
③
所以原不等式成立。
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当时，
③式等号成立。
即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。
证法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得
所以
①
同理
②
故
③
所以原不等式成立.
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，时，③式等号成立。
即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。
10、设正数满足。
求的最大值；
（2）证明：。
【解析】：（1）解：将平方可得：
即，
由基本不等式可知：
所以，等号成立时，。
（2）证明：由柯西不等式可得：
即
所以，又由（1）可得：
，所以。第四十讲
圆锥曲线中的定值与定点问题
一、解答题
1．（2017年全国1卷理）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，
），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
因此，解得.
故C的方程为.
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.
则，得，不符合题设.
从而可设l：（）.将代入得
由题设可知.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.
而
.
由题设，故.
即.
解得.
当且仅当时，，欲使l：，即，
所以l过定点（2，）
2．已知椭圆过点，且离心率．（12分）
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于两点，过作轴且与椭圆交于另一点，证明直线过定点，并求出定点坐标。
【解析】
椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）由题知直线的斜率存在，
设的方程为，点，
则得，
即，
，
，
，
由题可得直线方程为，
又∵，
，
∴直线方程为，
令，整理得
，
即直线过点，
3．已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点，
是椭圆左、右焦点，以点为圆心为半径的圆与以点为圆心为半径的圆的交点在椭圆上，且．
（I）求椭圆的方程；
（II）若直线与轴不垂直，它与的另外一个交点为是点关于轴的对称点，试判断直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由．
【解析】
（I）由题意得：
，
解得：
，
椭圆的方程为．
（II）依题意，设直线方程为：
，
则，且．联立，
得，
，
又直线的方程为，
即
而，
直线的方程为，
故直线地定点．
4．在平面直角坐标系
中，过椭圆
右焦点
的直线交椭圆于两点
，
为
的中点，且
的斜率为
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点
的直线
（不与坐标轴垂直）与椭圆交于
两点，问：在
轴上是否存在定点
，使得
为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】
(1)
设
,则
，两式相减得，
，又
，
为的中点，且
的斜率为
，所以
，即
，所以可以解得
，即
，即
，又因为
，所以椭圆
的方程为
.
(2)
设直线的方程为
，代入椭圆
的方程为，得
，设
，则
.
，根据题意，假设轴上存在定点
，使得
为定值，则有
，要使上式为定值，即与
无关，则应
，即
，故当点的坐标为
时，
为定值.
5．已知抛物线的方程为：
，过点的一条直线与抛物线交于两点，若抛物线在两点的切线交于点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）设直线的斜率存在，取为，取直线的斜率为，请验证是否为定值？若是，计算出该值；若不是，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）由AB直线与抛物线交于两点可知，直线AB不与x轴垂直，故可设，代入，
整理得：
，方程①的判别式，故时均满足题目要求．
记交点坐标为，则为方程①的两根，
故由韦达定理可知，
．
将抛物线方程转化为，则，故A点处的切线方程为，
整理得，
同理可得，B点处的切线方程为，记两条切线的交点，
联立两条切线的方程，解得点坐标为，
故点P的轨迹方程为，
（Ⅱ）当时，
，此时直线PQ即为y轴，与直线AB的夹角为．
当时，记直线PQ的斜率，又由于直线AB的斜率为，
为定值．
6．已知点在椭圆：
（）上，设，
，
分别为左顶点、上顶点、下顶点，且下顶点到直线的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点，
（）为椭圆上两点，且满足，求证：
的面积为定值，并求出该定值.
【解析】（Ⅰ）由题意，得直线的方程为，点，
点到直线的距离
，整理，得.①
又点在椭圆上，
.②
联立①②解得，
，
椭圆的方程为.
（Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆方程，并整理得
.
，
，
，
，
.
又，则由题意，得
.
整理，得，则
，
整理，得（满足）.
.
又点到直线的距离.
，为定值.
7．已知椭圆：
的离心率为，且过点，动直线：
交椭圆于不同的两点，
，且（为坐标原点）
（1）求椭圆的方程.
（2）讨论是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.
【解析】
（1）由题意可知，所以，即，①
又点在椭圆上，所以有，②
由①②联立，解得，
，
故所求的椭圆方程为.
（2）设，由，
可知.
联立方程组
消去化简整理得，
由，得，所以，
，③
又由题知，
即，
整理为.
将③代入上式，得.
化简整理得，从而得到.
8．已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且经过点.
（I）求椭圆的标准方程；
（II）设点为椭圆的下顶点，过点作两条直线分别交椭圆于两点，若直线平分，求证：直线的斜率为定值，并且求出这个定值.
【解析】（I）椭圆；
（II）由直线平分和，而由直线
与，设，则
，由
恒成立直线的斜率为定值．
9．已知椭圆右顶点，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上顶点，
是椭圆在第一象限上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问与面积之差是否为定值？说明理由．
【解析】：⑴依题意得解得
，则椭圆的方程为.
⑵设，则，
，令得，则,
，令得，则,
∴
10．平面直角坐标系中，椭圆过点，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作一直线与椭圆交于两点，过点作椭圆右准线的垂线，垂足分别为，试问直线与的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
【解析】（1）由题意得，所以椭圆的标准方程为.
（2）①当直线的斜率不存在时，准线与的交点是；
②当直线的斜率存在时，设，直线为，
由，
所以，
，
所以
，
联立解得，
代入上式可得，
综上，直线与过定点.
11．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的方程：
(2)设，
是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点.
【解析】
(1)
，即，
又
，既
故椭圆的方程为.
(2)由题意知，直线的斜率存在，设其为，则直线的方程为
由可得，
设点，则，
①，②
由于直线的方程为
所以令，可得
①②带入到上式既可解得，
所以直线与轴相交于定点.
12．如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C是椭圆上不同的三点，
，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点C的坐标；
（3）设动点P在椭圆上（异于点A、B、C）且直线PB，
PC分别交直线OA于M、N两点，证明为定值并求出该定值.
【解析】（1）由已知，得
解得
所以椭圆的标准方程为．
（2）设点
，则中点为．
由已知，求得直线的方程为，从而．①
又∵点在椭圆上，∴．②
由①②，解得（舍），，从而．
所以点的坐标为．
（3）设，
，
．
∵三点共线，∴，整理，得．
∵三点共线，∴，整理，得．
∵点在椭圆上，∴，
．
从而．
所以．∴为定值，定值为．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于两点．设到准线的距离（）．
（1）若，求抛物线的标准方程；
（2）若，求证：直线的斜率为定值．
【解析】
（1）由条件知，
，
代入抛物线方程得．
所以抛物线的方程为．
（2）设，直线的方程为．
将直线的方程代入，消得，
所以，
．
因为，所以，
又，所以，
所以，
所以，
所以直线的斜率为定值．
14．在直角坐标系中，
分别为椭圆的右焦点、右顶点和上顶点，若
(1)求的值；
(2)过点作直线交椭圆于两点，过作平行于轴的直线交椭圆于另外一点,连接，求证：直线经过一个定点。
【解析】
（1）由题意得：
解得：
（2）设，直线的方程为则
将代入椭圆方程得
直线的方程
令得
所以直线经过定点
（注：由对称性可知，若过定点，则必在轴上）
15．已知动圆过点，且在轴上截得的弦长为
（Ⅰ）求圆心的轨迹方程；
（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，证明：
为定值，并求出这个定值.
【解析】（Ⅰ）设动圆圆心坐标为，
由题意得：动圆半径
圆心到轴的距离为，
依题意有，
化简得，即动圆圆心的轨迹方程为：
（Ⅱ）①当直线的斜率不存在，则直线的方程为：
得
所以，故为定值.
②当直线的斜率存在，则设直线的方程为：
，
得，所以，
即，
又点在抛物线上，所以，
于是
综合①②，为定值，且定值为
16．已知点，点是圆上的任意一点，设为该圆的圆心，并且线段的垂直平分线与直线交于点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）已知两点的坐标分别为，
，点是直线上的一个动点，且直线分别交（1）中点的轨迹于两点（四点互不相同），证明：直线恒过一定点，并求出该定点坐标.
【解析】（Ⅰ）依题意有，
，
且，
所以点的轨迹方程为：
．
（Ⅱ）依题意设直线的方程为：
，
代入椭圆方程得：
且：
①，②
∵直线：
，直线：
由题知，
的交点的横坐标为4，得：
，即
即：
，整理得：
③
将①②代入③得：
化简可得：
当变化时，上式恒成立，故可得：
所以直线恒过一定点.
17．已知抛物线的准线为，焦点为，
为坐标原点.
（1）求过点，且与相切的圆的方程；
（2）过的直线交抛物线于两点，
关于轴的对称点为，求证：直线过定点.
【解析】：解法一：（1）抛物线的准线的方程为：
，焦点坐标为，
设所求圆的圆心，半径为，
圆过，
，
圆与直线相切，
.
由，得.
过，且与直线相切的圆的方程为.
（2）依题意知直线的斜率存在，设直线方程为，
，
，
，
，
联立，消去得.
，
.
直线的方程为，
令，得
.
直线过定点
,
解法二：（1）同解法一.
（2）直线过定点.
证明：依题意知直线的斜率存在，设直线方程为，
，
，
，
，
联立，消去得，
，
.
，
.
，即，
三点共线，
直线过定点.
解法三：（1）同解法一.
（2）设直线的方程：
，
，
，则.
由得，
.
，
.
，
直线的方程为.
.
直线过定点.
18．已知点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，点的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）过点作直线交曲线于两点，交轴于点，若，
，证明：
为定值.
【解析】
（Ⅰ）设点，由已知得，
化简得点的轨迹的方程:
.
（Ⅱ）设点的坐标分别为.
由，所以，
所以
因为点在曲线上，所以
，
化简得
①，
同理，由可得：
，
代入曲线的方程得
②，
由①②得是方程的两个实数根(△>0)，
所以.
19．已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆过椭圆的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于两点（不同于点），直线的斜率分别为.
（1）求椭圆的方程；
（2）当变化时，①求的值；②试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
【解析】（1）由题设知，
，
，又，
解得.
故所求椭圆的方程是.
（2）①，则有，化简得，
对于直线，同理有，
于是是方程的两实根，故.
考虑到时，
是椭圆的下顶点，
趋近于椭圆的上顶点，故若过定点，则猜想定点在轴上.
由，得，于是有.
直线的斜率为，
直线的方程为，
令，得，
故直线过定点.
20．已知椭圆：
的焦点为，离心率为，点为其上动点，且三角形的面积最大值为，
为坐标原点.
（1）求椭圆的的方程；
（2）若点为上的两个动点，求常数，使时，点到直线的距离为定值，求这个定值.
【解析】（1）依题意知：
解得，所以椭圆的方程为.
（2）设，则（
）
当直线的斜率存在时设其方程为，则点到直线的距离，
消，得，
得，则
，
，代入（
）式：
，整理得为常数，则，此时满足
当轴时，由得，
消：
，
亦成立，
综上：
，
.
21．已知动点到点的距离比到直线的距离小1，动点的轨迹为.
（1）求曲线的方程；
（2）若直线与曲线相交于，
两个不同点，且，证明：直线经过一个定点.
【解析】
（1）由题意可得动点到点的距离等于到直线的距离，
曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
设其方程为，
，
，
动点的轨迹的方程为；
（2）设，由得，
，
.
，
，
，
或.
，
舍去，
，满足，
直线的方程为，
直线必经过定点.
22．如图，已知直线关于直线对称的直线为，直线与椭圆分别交于点、和、，记直线的斜率为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当变化时，试问直线是否恒过定点
若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）设直线上任意一点关于直线对称点为
直线与直线的交点为，∴
，由
得……..①
由得…….②，
由①②得
.
（Ⅱ）设点，由得，
∴，∴.
同理：
，
，∴
即：
∴当变化时，直线过定点.
试卷第8页，总22页
试卷第1页，总22页第十讲
直线、平面平行问题
A组
1、
选择题
1．（2017全国卷2理）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】补成四棱柱
,
则所求角为
因此
，故选C.
2．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由题可知，在正方体中，,所以异面直线与所成的角与异面直线与所成的角相等，连接，BD,为所求角，设正方体的边长为1，在中，三条边长均为，故=.
3．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，是两个不同的平面，是直线且．若“”，则平面可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，，则有，则“”是“”的必要而不充分条件.
4．下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（
）
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④
【答案】C
5．已知互不重合的直线，互不重合的平面，给出下列四个命题，错误的命题是（
）
（A）若，，，则
(B)若，，，则
(C)若，，，则
(D)若，，则//
【答案】D
【解析】A中，过直线作平面分别与交于，则由线面平行的性质知，所以，又由线面平行的性质知，所以，正确；B中，由，知垂直于两个平面的交线，则所成的角等于二面角过的大小，即为，所以，正确；C中，在内取一点A，过A分别作直线垂直于的交线，直线垂直于的交线，则由线面垂直的性质知，则，，由线面垂直的判定定理知，正确；D中，满足条件的也可能在内，故D错，故选D.
二、填空题
6．如图，已知四边形是矩形，，，平面，且，
的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
【解析】取的中点，连接、
、是中点，是的中位线
∥
（或者其补角）为异面直线与所成角
在中，
，，
由余弦定理可知
7．是两平面，是两条线段，已知，于，于，若增加一个条件，就能得出，现有下列条件：①；②与所成的角相等；③与在内的射影在同一条直线上；④.其中能成为增加条件的序号是
.
【答案】①③.
【解析】由题意得，，∴，，，四点共面，①：∵，，
∴，又∵，，∴，∵，∴面，
又∵面，∴，故①正确；②：由①可知，若成立，则有面，则有成立，而与，所成角相等是无法得到的，故②错误；③：由与在内的射影在同一条直线上可知面，由①可知③正确；④：仿照②的分析过程可知④错误，故填：①③．
三、解答题
8．如图，是平行四边形所在平面外一点，分别是上的点，且.
求证：平面
【解析】　连接并延长交于，连接，
因为，所以，
又因为，
所以，所以.
又平面，平面，
所以平面
9．如图，多面体中，底面是菱形，，四边形是正方形，且平面.
（Ⅰ）求证：平面AED；
（Ⅱ）若，求多面体的体积V.
【解析】试题解析：（Ⅰ）证明：∵是菱形，∴，
又平面，平面，∴平面.
又是正方形，∴.
∵平面，平面，
∴平面.
∵平面，平面，，
∴平面//平面.
由于平面，知平面.
（Ⅱ）解：连接，记.
∵是菱形，∴，且.
由平面，平面，.
∵平面，平面BDEF，，
∴平面于O，
即为四棱锥的高.
由是菱形，，则为等边三角形，由，则，
，，，.
10．如图，在三棱柱中，侧棱底面，
，为的中点，.
（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）设，求四棱锥的体积.
【解析】（Ⅰ）连接,设与相交于点,连接，
∵
四边形是平行四边形,
∴点为的中点．
∵为的中点，∴为△的中位线,
∴
．
∵平面,平面,
∴平面．
（Ⅱ）
∵平面,平面,
∴
平面平面，且平面平面．
作，垂足为，则平面，
∵，，
在Rt△中，，，
∴四棱锥的体积
11．如图，梯形中，于,于,且，现将，分别沿与翻折，使点与点重合．
（1）设面与面相交于直线，求证：；
（2）试类比求解三角形的内切圆（与三角形各边都相切）半径的方法，求出四棱锥的内切球（与四棱锥各个面都相切）的半径．
【解析】（1），面，面
面
面，平面平面
（2）设内切球的半径，内切球的圆心与四棱锥的各个点连接，将四棱锥分成五个小的三棱锥，
由于，，
，面，
，，，
，，
.
B组
1、
选择题
1、已知直线和平面，则下列四个命题正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】C
【解析】选项A，
若，，则或或与相交，A错；选项B，
若，，则或，B错；选项C，
若，，则，C正确；选项D，
若，，则或与相交，D错.故选C.
2、已知异面直线，成角，为空间中一点，则过与，都成角的平面（
）
A．有且只有一个
B．有且只有两个
C．有且只有三个
D．有且只有四个
【答案】B.
【解析】
分析题意可知，若平面与，都成角，则，与该平面的垂线夹角也为，故原问题等价于求直线，使得与，都都成角，如下图所示，把异面直线，平移到相交，使交点为，此时，过点作直线平分，∴，将直线从旋转至与平面垂直的位置，根据对称性从而可知满足题意的直线有两条，故选B．
3、点在正方形所在平面外，⊥平面，，则与所成的角是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为，
所以与所成的角就是，由题意可知：，
所以.
4、直三棱柱ABC－A的底面为等腰直角三角形ABC，∠C＝90，且则与所成角为（
）
A.30
B.45
C.60
D.90
【解析】过得中点F，分别作,的平行线因为..所以.故选D.
二、填空题
5、如图，在正方体中，为棱的中点，则与所在的直线所成角的余弦值等于　　．
【答案】
【解析】连结，，∥，就是与所在的直线所成角，设，则，，．
∴与所在的直线所成角的余弦值等于．故答案为：．
6、在空间四边形中，分别是和上的点，若
，则对角线AC与平面DEF的位置关系是
．
AC∥平面DEF
【解析】因为，所以EF∥AC．
又因为AC平面DEF，EF平面DEF，
所以AC∥平面DEF．
三、解答题
7、如图，已知直三棱柱的侧面是正方形，点是侧面的中心，，是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
【解析】（1）在中，因为是的中点，是的中点，
所以.
又平面，平面，所以平面.
（2）因为是直三棱柱，所以底面，所以，
又，即，而面，且，
所以面.
而面，所以，
又是正方形，所以，而面，且，
所以面.
又面，所以面面.
8、在长方体中，，过三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．
（Ⅰ）求棱的长；
（Ⅱ）若的中点为，求异面直线与所成角的余弦值．
[]
【解析】（Ⅰ）设，由题意得：
∴，解得，故的长度为3.
（Ⅱ）∵在长方体中，∥
∴为异面直线与所成的角（或其补角）
在中，
∴，
∴
则
∴异面直线与所成角的余弦值为．
9、如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，.面，且.为中点，在棱上，且.
（Ⅰ）求证：面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.
【解析】
（Ⅰ）证明：如图所示，取的中点，连接，连接交于，连接．
由题可知，为的中点，为的中点，∴∥；又为的中点，为的中点，
∴∥，又面；面，
∴平面∥平面，又∵面，∴面．
（Ⅱ）解：∵⊥平面，所以是三棱锥的高，又
∴，同理，
则
10、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，，，平面平面，四边形是矩形，，点在线段上．
（1）求证：平面；
（2）当为何值时，∥平面？写出结论，
并加以证明．
【解析】（1）在梯形中，，
四边形是等腰梯形，
且
又平面平面，交线为，
平面
（2）当时，平面，
在梯形中，设，连接，则
，而，
，四边形是平行四边形，
又平面，平面平面
C组
2、
选择题
1、若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】若m⊥α，l⊥m，则l α或l∥α；若m⊥α，l∥α，则l⊥m．故选B．
2、设线段AB，CD是夹在两平行平面α，β间的两异面线段，点．若分别为AB，CD的中点，则有（
）
A．
B．
C．
D．≤
【解析】如图，连接AC，BD，AD，取AD的中点P，连接MN，NP，PM，则．又两线段异面，所以M，N，P不可能共线．在△MNP中，即．
3、已知l是过正方体的顶点的平面与下底面的交线，则下列结论错误的是（
）
A．∥
B．∥平面
C．∥平面
D．∥
【解析】因为∥，由直线和平面平行的判定定理，知B正确；∥平面，又平面平面，由线面平行的性质定理知，∥，∥平面，所以C，D正确．故选A．
4、长方体中，已知二面角的大小为，若空间有一条直线与直线所成角为，则直线与平面所成角的取值范围是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A
【解析】
试题分析：如图所示，过点作，连接，则，则为二面角，所以，因为，取角的角平分线，此时即为直线，过点做，即平面，此时直线与平面所成角的最大角是，另外一种情况是，，此时直线为直线，则直线与平面平面所成最小角为，所以直线平面所成角的范围是，故选A．
二、填空题
5、已知正方体，下列结论中正确的是
．（只填序号）
①∥；
②平面∥平面；
③∥；
④∥平面．
①②④
解析：连接、，因为∥且=，所以四边形是平行四边形，故∥，从而①正确；易证∥，∥，又，，所以平面∥平面，从而②正确；由图易知与异面，故③错误；由∥，平面，平面，所以∥平面，故④正确．
6、如图11所示，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．给出下列四个结论：
①存在点，使得//平面；
②存在点，使得平面；
③对于任意的点，平面平面；
④对于任意的点，四棱锥的体积均不变.
其中，所有正确结论的序号是___________．
【答案】①③④
【解析】
当点为的中点时，由对称性可知也是的中点，此时//,因为，，所以//，故①正确；假设，因为，所以。所以四边形为菱形或正方形，即。因为为正方体所以。所以假设不成立。故②不正确。因为为正方形，所以，因为，，所以，因为，所以。因为，所以。同理可证，因为，所以，因为，所以。故③正确。
设正方体边长为，则。故④正确。
综上可得正确的是①③④。
三、解答题
7、如图所示，矩形中，平面，
，为上的点，且平面
(Ⅰ)
求证：平面；
(Ⅱ)
求证：平面；
(Ⅲ)
求三棱锥的体积.
【解析】
(Ⅰ)证明：∵平面，，∴平面，则
又平面，则平面
(Ⅱ)由题意可得是的中点，连接
平面，则，而，
是中点,在中，，平面
(Ⅲ)
平面，，
而平面，平面
是中点，是中点，且，
平面，，中，，
8、如图，在直三棱柱中，是正三角形，点分别是棱，，的中点.
（1）求证：；
（2）判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论.
【解析】（1）证明:因为直三棱柱，所以平面，因为平面，所以，因为就正三角形，为棱的中点，所以
又因为，所以平面，
因为平面，所以
(2)直线平面，证明如下:
如图，连接交于点，连.
因为四边形为矩形，所以为的中点，又为的中点，所以.
因为点分别为的中点，所以，所以.
因为平面，平面，所以直线平面
9、如图，四边形为菱形，平面，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面.
【解析】(1)设与的交点为，连接，因为，所以，
因为，所以，故四边形为平行四边形，所以，
又平行，平行，所以平面；
（Ⅱ）连结，因为，所以，因为，所以，
故四边形为平行四边形.
所以.因为平面，所以平面，
又平行，所以，
因为四边形为菱形，所以，
又平行，平行，
所以平面，又，所以平行，
因为平面，所以平面平面.
10、在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，面，，，分别为，的中点.
（1）求证：面；
（2）求二面角的大小的正弦值；
（3）求点到面的距离.
【解析】
（1）如图所示，取中点，连结，，∵，分别为，的中点，∴可证得，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴
面；（2）作于点，作于点，连结，易证平面，∴，又∵，，∴平面，∴，
∴即为二面角的平面角，在中，；
（3）∵，∴.
A
C
B
M
O
A1
C1
B1
M
F
E
C
D
B
A
图11
B
A
D
C
F
E
B
A
D
C
F
E
PAGE
1第三十六讲
椭圆双曲线抛物线
A
组
一.选择题
1.
（2017年全国2卷理）若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（
）
A．2
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】圆心到渐近线
距离为
，所以，故选A.
2．设椭圆：的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】选D.
【解析】在中，令，因为，
所以.
所以.
3.
(2017年天津卷理)已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】由题意得
，选B.
4．已知是双曲线的一条渐近线，是上的一点，是的两个焦点，若，则到轴的距离为
A.
B.
C.
D.
【答案】选C.
【解析】，不妨设的方程为，设
由
得，故到轴的距离为，故选C
5.已知双曲线：的左右焦点分别是，过的直线与的左右两支分别交于两点，且，则=
A.
B.3
C.4
D.
【答案】选C.
【解析】由双曲线定义可知：，;
两式相加得：①
又，①式可变为=4
即=4
5．（2017年全国3卷理）已知双曲线C：
(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得：
，又
，解得
，
则
的方程为
.
本题选择B选项.
二.填空题
6.
（2017年全国1卷理）已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为________。
【答案】
【解析】
如图所示，，为双曲线的渐近线上的点，，
因为
所以
到直线的距离
在中，
代入计算得，即
由得
所以
7．已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，点，且，则双曲线的离心率为
．
【答案】
【解析】设F（c，0），又A（－，0），由，得：（－，－b）（c，－b）＝0，
所以，有：，即，化为，可得离心率e＝。
8.
与双曲线过一、三象限的渐近线平行且距离为的直线方程为
.
【答案】；
【解析】双曲线过一、三象限的渐近线方程为：
设直线方程为：所以，解得
三.解答题
9.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在轴上是否存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）解法一：设椭圆的方程为，
因为椭圆的左焦点为，所以．
设椭圆的右焦点为，已知点在椭圆上，
由椭圆的定义知，
所以．
所以，从而．
所以椭圆的方程为．
解法二：设椭圆的方程为，
因为椭圆的左焦点为，所以．
①
因为点在椭圆上，所以．
②
由①②解得，，．
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）解法一：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．
因为直线与椭圆交于两点，，
设点（不妨设），则点．
联立方程组消去得．
所以，．
所以直线的方程为．
因为直线与轴交于点，
令得，即点．
同理可得点．
假设在轴上存在点，使得为直角，则．
即，即．
解得或．
故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角．
解法二：
因为椭圆的左端点为，则点的坐标为．
因为直线与椭圆交于两点，，
设点，则点．
所以直线的方程为．
因为直线与轴交于点，
令得，即点．
同理可得点．
假设在轴上存在点，使得为直角，则．
即，即．
（※）
因为点在椭圆上，
所以，即．
将代入（※）得．
解得或．
故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角．
解法三：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．
因为直线与椭圆交于两点，，
设点（），则点．
所以直线的方程为．
因为直线与轴交于点，
令得，即点．
同理可得点．
假设在轴上存在点，使得为直角，则．
即，即．
解得或．
故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角．
10．已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆
上。
（1）求椭圆的方程；
（2）若点为椭圆上不同于点的点，直线与圆的另
一个交点为，是否存在点，使得 若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由。
解：（1）因为椭圆的左顶点A在圆上，令，得，所以.又离心率为，所以，所以,所以,
所以的方程为.
（2）设点，设直线的方程为，
与椭圆方程联立得,
化简得到,
因为为方程的一个根，
所以，所以
所以.
因为圆心到直线的距离为，
所以,
因为，
代入得到
显然，所以不存在直线，使得.
11.已知顶点为原点，焦点在轴上的抛物线，其内接的重心是焦点，若直线的方程为。
（1）求抛物线方程；
（2）过抛物线上一动点作抛物线切线，又且交抛物线于另一点，
(在的右侧)平行于轴，若，求的值。
解：（1）设抛物线的方程为，则其焦点为，，
联立，
∴，
，
又的重心为焦点F
代入抛物线中，解得
故抛物线方程为
（2）设，即切线，
即，又，
∵，
即。
12.已知椭圆:的左右顶点分别为，右焦点为，离心率，点是椭圆上异于两点的动点，△的面积最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与直线交于点，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并作出证明．
解：（1）由题意得，，解得：
所以，椭圆方程为：.
（2）以为直径的圆与直线相切．
证明：设直线：，则：，的中点为为
联立，消去整理得：
设，由韦达定理得：，
解得：，故有：
又，所以当时，，，此时轴，
以为直径的圆与直线相切．
当时，，
所以直线，即：，
所以点到直线的距离
而，即知：，所以以为直径的圆与直线相切
B
组
一.选择题
1.如图是长度为定值的平面的斜线段，点为斜足，若点在平面内运动，使得的面积是定值，则动点的轨迹是
A.圆
B.椭圆
C.一条直线
D.两条平行线
【答案】选B.
【解析】我们通过这个例题可以让学生进一步认识圆锥
曲线的定义.
根据已知条件的面积为定值，是长度为定值的平面的斜线段，那么点到直线的距离为定值，仅仅考虑这一点，点应该在一个圆柱的侧面上，这个圆柱是以所在的直线为轴，点到直线的距离为底面半径.同时这个点又在平面上，点的轨迹是平面与圆柱侧面的截线，依据圆锥曲线的定义，应该选B.
2.如果，，…，是抛物线：上的点，它们的横坐标依次为，，…，，是抛物线的焦点，若，则
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】选A.
【解析】由抛物线的焦点为（1,0），准线为＝－1，由抛物线的定义，可知，
，…，故
3．设双曲线的一条渐近线为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】选C.
【解析】∵抛物线的焦点为．
∴解得
4.过双曲线的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】选D
【解析】.由题意，得代入，得交点，则，整理，得，故选D．
二.填空题
5.椭圆的右顶点为，经过原点的直线交椭圆于
两点，若，，则椭圆的离心率为
.
【答案】
【解析】不妨设点在第一象限，由对称性可得，因为在中，，故，易得，代入椭圆方程得：，故，所以离心率
6．已知直线与圆：相切且与抛物线交于不同的两点，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】因为直线与圆相切，所以
．又把直线方程代入抛物线方程并整理得，于是由，得
或．
三.解答题
7.已知抛物线经过点，在点处的切线交轴于点，直线经过点且垂直于轴.
（Ⅰ）求线段的长；
（Ⅱ）设不经过点和的动直线交于点和，交于点，若直线、、的斜率依次成等差数列，试问：是否过定点？请说明理由.
【解析】（Ⅰ）由抛物线经过点，得
，故，的方程为
在第一象限的图象对应的函数解析式为，则
故在点处的切线斜率为，切线的方程为
令得，所以点的坐标为
故线段的长为
（Ⅱ）恒过定点，理由如下：
由题意可知的方程为，因为与相交，故
由，令，得，故
设
由
消去得：
则，
直线的斜率为，同理直线的斜率为
直线的斜率为
因为直线、、的斜率依次成等差数列，所以
即
整理得：，
因为不经过点，所以
所以，即
故的方程为，即恒过定点
8．已知抛物线：，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线于点，和点，，线段，的中点分别记为，．
（1）求面积的最小值；
（2）求线段的中点满足的方程．
解：（Ⅰ）由题设条件得焦点坐标为，设直线的方程为，.
联立，
消去并整理得.
(
)
(
)关于的一元二次方程的判别式.
设，，则是方程(
)的两个不等实根，
经计算得．
设，则．
类似地，设，则．
所以，
，
因此．
因为，所以，
当且仅当，即时，取到最小值4．
（Ⅱ）设线段的中点，由（1）得
，
消去后得．∴线段的中点满足的方程为．
9．已知为椭圆的上顶点，是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相较于两点，为椭圆上任意一点，且线段的中点与线段的中点重合，求的取值范围。
解：（1）因为，，，，，
由题设可知，则
①
又点在椭圆上，∴，解得，所以　②
①②联立解得，，，
故所求椭圆的方程为．
（2）设三点的坐标分别为，，，
由两点在椭圆上，则，则
由（1）－（2），得　　（3）．
由线段的中点与线段的中点重合，则．
又，即　　　（6）
把（4）（5）（6）代入（3）整理，得，
于是由，得，，
所以．
因为，所以，有，
所以，即的取值范围为．
10.已知椭圆上的动点到焦点距离的最小值为。以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于两点，为椭圆上一点，
且满足
（为坐标原点）。当
时，求实数的值．
解：（Ⅰ）由题意知；
又因为，所以，．
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为，，，，
由得．
，．
，．又由，得，
可得．
又由，得，则，．
故，即．
得，，即
C
组
1.双曲线的左、右焦点分别为，渐近线分别为，点在第一象限内且在上，若，则该双曲线的离心率为
（A）
（B）2
（C）
（D）
【答案】选B．
【解析】双曲线的渐近线方程为，不妨的方程分别为．
因为，所以直线的方程为．由得
点坐标为．由，得，整理得，，
所以，所以该双曲线的离心率为2．应选B．
2.椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】选D.
【解析】设，
若是以为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，．
由椭圆的定义可知的周长为，
∴，．
∴．
∵，
∴，
∴，．
3.已知直线被椭圆截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为7的有（
）
①
②
③
④
A.
1条
B.
2条
C.
3条
D.
4条
【答案】选C.
【解析】直线与直线关于原点对称，直线与直线关于轴对称，与直线关于轴对称，故有3条直线被椭圆截得的弦长一定为7。
4.直线与双曲线的右支交于不同的两点,那么k的取值范围是　(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】选D.
【解析】联立
得
由题意得
即解得
二.填空题
5.已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，点是抛物线的准线与轴的交点，当最小时，点的坐标为_____________.
【答案】
【解析】由题可知焦半径，
则，
则，因为点在抛物线上，所以，则(当且仅当时取等号)，则，且取最小值时，此时点P的坐标为．
6.△中，为动点，、为定点，,，且满足条件,则动点的轨迹方程为
___.
【答案】
【解析】：由,得,
∴应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为.
三.解答题
7.设椭圆过两点，为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由。
解：（Ⅰ）因为，所以
解得，
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）若存在满足题意的定圆，设该定圆半径为，则直线与该定圆相切，由对称性及可知，此时直线方程为，其与椭圆交于，故，解得，下面说明定圆满足题意．
①由上述讨论可知，切线于椭圆交于两点，满足．由椭圆与圆均关于轴对称可知，切线也满足题意．
②当切线不与轴垂直时，设切线方程为，交于．
则圆心到切线的距离，即．
由得，，
所以
，
且．
所以，．所以，，
所以．
综上所述，存在定圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且．
8．
如图，抛物线的焦点为，取垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点，，过，作圆心为的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且。
（Ⅰ）求抛物线和圆的方程；
（Ⅱ）过点作直线，与抛物线和圆依次交于，，，，求
最小值。
解：（Ⅰ）因为抛物线的焦点为，
所以
，解得，所以抛物线的方程为
。
由抛物线和圆的对称性，可设圆：，
∵，∴是等腰直角三角形，不妨设在左侧，则，
∴，代入抛物线方程有。
由题可知在，处圆和抛物线相切，对抛物线求导得，
所以抛物线在点处切线的斜率为。
由知，所以，代入，解得。
所以圆的方程为。
（Ⅱ）由题知直线的斜率一定存在，设直线的方程为。
圆心到直线的距离为，
∴。
由得，设，，
则，由抛物线定义知，。
所以
设，则
所以当时即时，有最小值16.
9.已知动圆过点,且与圆相内切.
（1）求动圆的圆心的轨迹方程；
（2）设直线（其中与(1)中所求轨迹交于不同两点,与双曲线交于不同两点,问是否存在直线，使得，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
解：（1）圆，
圆心的坐标为，半径.
∵，∴点在圆内.
……1分
设动圆的半径为，圆心为，依题意得，且，
即.
……2分
∴圆心的轨迹是中心在原点，以两点为焦点，长轴长为的椭圆,设其方程为
,
则.∴.
∴所求动圆的圆心的轨迹方程为.
(2)由
消去化简整理得：
设，，
则..
①
由
消去化简整理得：.
设，则,
.
②
∵，∴，即，
∴.∴或.解得或.
当时,由①、②得
，∵Z,，∴的值为
，，;当，由①、②得
，∵Z,，∴.
∴满足条件的直线共有9条．
10.已知椭圆垂直于轴的焦点弦的弦长为
，直线与以原点为圆心,以椭圆的离心率为半径的圆相切.
（1）求该椭圆的方程；
（2）过右焦点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，
的中垂线与轴和轴分别交于两点．记的
面积为，的面积为．求的取值范围。
解：(1)
∴椭圆的方程为
（2）由（1）知
若直线的斜率不存在，则
不合题意，所以直线的斜率存在且不为，设其方程为
并代入中，整理得：
，
，…6分
∴
∵
∴
∴∴即
∵
∴
B
A
P
F
P2
x
O
y
N
B
A
M
P1
Q第三十四讲
不等式恒成立
A组
一、选择题
1,如果不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是（
）
A
（
B
C
D
解析：当，即时，不对任意实数都成立，故，则要使对任意实数都成立，只需，解得，故选C。
2,已知若恒成立，则实数的取值范围是（
）
A
B
C
D
解析：恒成立，，又解得，故选D
。
3.若对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围是（
）
A
B
C
D
解析：设，因为当时，恒成立，所以，即，解得或，故选C。
4.若不等式在上恒成立，则的取值范围是（
）
A
B
C
D
解析：将转化为于是问题转化为在区间上，函数图像恒在函数图像的上方（包括与图像的交点），当时，函数在上的图像恒在轴下方，而的图像在轴的上方，故不满足。当时，由于越大，函数的图像在（0,1）之间越靠近直线，显然在内，，其临界条件是，所以，于是满足条件的的取值范围是，故选A。
二、填空题
5.已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是--------------
解：由题意可将问题转化为不等式对恒成立，即有，解得或，故实数的取值范围为
6.不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为---------------
解：以为主元，即,要使对任意的实数不等式恒成立，只需，即，从而，解得。
三、解答题
7.设，且恒成立，求的取值范围。
解：由知，所以原不等式等价于，要使原不等式恒成立，只需的最小值不小于即可。，当且仅当，即时，等号成立，，即。
8.若时，不等式恒成立，求的取值范围。
解：令即时，。
（1）当无解。
（2）当，解得。
（3）当恒成立。
综上可得，的取值范围为
9.设，若对的一切实数，都有，求实数的取值范围。
解：由对一切恒成立，令，则，即，亦即，从而，解得。
10.设函数，对任意，恒成立，求实数的取值范围。解：依据题意得在上恒成立，即上恒成立。当时，函数取得最小值，所以，解得，故实数的取值范围为。
B组题
一、选择题
1.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（
）
A
B
C
D
解析：当恒成立，，当，设,递增，，当，易知上递减，在上递增，故，综上，的取值范围为，故选C。
2.设函数对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（
）
A
B
C
D
解析：如图所示，要使恒成立，则，即，故选D
3.设函数在R上的导函数为，且，则下列不等式在R上恒成立的是（
）
A
B
C
D
解析：当时，可得，当时，将的两侧同时乘以可得，即，则上单调递增，即，当的两侧同时乘以可得，则在上单调递减，即，所以，综上，，故选A。
4.已知函数的定义域为，都有，且当时，有，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（
）
A
B
C
D
解析：令，，故是奇函数，任取，，又是定义在上的奇函数，，
，在区间上单调递增，，对任意的恒成立，，故选C。
二、填空题
5.设，若时均有，则=------------
解析：作出函数的图像（如图），由图可知，两函数图像都过定点（0，-1），在的右半平面上，绕定点（0，-1）旋转直线可以看到，两函数图像或者同时不在轴下方，或者同时不在轴上方，满足条件的图形只能是：两函数图像的另一交点在轴上（三线共点），即，对恒成立的充要条件是，故为所求。
6.设奇函数在上是单调函数，且，若函数对所有的都成立，当时，则的取值范围是----------
解析：因为为奇函数，，所以，又因为上是单调函数，所以，故当时，恒成立，即恒成立，令，所以,，所以。答案为
三、解答题
7,已知，函数，当时，若不等式对任意的都成立，试求的取值范围。
解：当时，不等式恒成立，下面讨论当时，不等式恒成立时的值，将变形为，注意到，即，令，不等式对任意恒成立，等价于，下面求函数，对于函数当时，函数单调递增，于是，而函数，当且仅当时，等号成立，由于，因此，故，综上，的取值范围为。
8,已知函数，
（1）讨论函数在定义域内极值点的个数。
（2）若函数在处取得极值，恒成立，求实数的取值范围。
解：（1）的定义域为，当在上恒成立，函数在上单调递减，故在上没有极值点。当时，，由，所以在上递减，在上递增，即在处有极小值。综上，当时，在上无极值点，当时，在上有一个极值点。
（2）函数在处取得极值，故，令，则，令，得，则在上递减，在上递增，，即，即实数的取值范围为。
9,已知，求证：（1）对任意；（2）对任意恒成立。
证明：（1）设，则，故在区间上单调递减，故的最大值为，所以，即。
（2）由（1）得，对任意，都有，即,设，则，设则，所以在上单调递增，故，即，所以在区间内单调递增，故，即，因为，所以，综上可知，对任意成立。
10,已知函数，
（1）若函数在区间（其中）上存在极值，求实数的取值范围。
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。
解：
（1），，，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，则函数在处取极大值。又由于函数在区间（）上存在极值，则有，解得
（2）不等式，即，设，再令,则，在单调递增，故，从而，故在上单调递增，则。
C组
一、选择题
1.已知函数，若，且对任意恒成立，则的最大值为（
　　　）
Ａ　　３　　　　Ｂ　　　４　　　　　Ｃ　　５　　　　Ｄ　　　６
解析：不妨考虑直线与曲线相切的情形，如图所示，设切点为，此时，即，化简得，设，易知在上是增函数，因为，则，所以切线的斜率的取值范围为，由此可知整数的最大值是４，故选Ｂ。
２，已知数列是各项均不为０的等差数列，为其前项和，且满足，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（　　　　）
Ａ　　　　Ｂ　　　　　Ｃ　　　　Ｄ　
解析：由题意知，则，当为偶数时，由，得，即，因为，所以；当为奇数时，原不等式即为，因为，故，综上，实数的取值范围为，故选Ｃ。
３，已知等差数列的前项和，若不等式对任意正整数都成立，则实数的最大值为（　　　）
Ａ　　　　　Ｂ　　　　　　　Ｃ　　　　　　　Ｄ　　
解析：易知，故原不等式可化为，整理得，即，若不等式对任意正整数都成立，则，故实数的最大值为，答案为Ｄ。
4.当时，不等式，对任意恒成立，则=（
）
A
-7
B
6
C
7
D
8
解：由，知不等式对任意恒成立等价于，即对任意恒成立，故，解得，由题意知，故选B。
二、填空题
5.实数满足，若恒成立，则实数的最大值为―――
解析：由线性约束条件画出可行域如图，直线过定点Ｂ，当时，表示的是直线及右上方的区域，当时，可行域内的点恒满足，当时，表示的是直线及其左上方的区域，要使恒成立，所以，此时，综上可得，所以的最大值为。
6，已知函数，其中，若对任意的，不等式在上恒成立，则的取值范围是---------
解析：关于的一次函数，对任意的，不等式恒成立，则，即，因此不等式在上恒成立，不等式在上恒成立，所以，即。
7.已知时偶函数，当时，，且当时，恒成立，则的最小值是-------
解析：因为当时，恒成立，所以，且，故的最小值为，又由偶函数的图像关于轴对称知，当时，函数的最值与的最值相同，又当时，，在上单调递减，在上单调递增，且，故，即最小值为1.
三、解答题
8.已知函数，
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值。
解：（1），故，，由得，又所以，故的单调递减区间为
（2）令，，当时，由于，所以，则在上是增函数，又因为，所以关于的不等式不能恒成立；当时，，令，得，所以当时，，当时，，因此函数在内是增函数，在内是减函数，故函数的最大值为，令，因为，又因为在内是减函数，所以当时，，所以整数的最小值为2.
9.设函数，其中，若成立，求的取值范围。
解：,设恒成立得恒成立，时，恒成立，时，因为抛物线的对称轴为直线上为增函数，知需要满足，即，得，故时，，即，在上为增函数，又，所以，若时，所以，使在上为减函数，所以，与恒成立矛盾。若时，，因为，所以时，，得，与恒成立矛盾。综上可得。
10,设函数，其中是的导函数，若时，恒成立，求实数的取值范围。
解：，由，得，设，，若恒成立，即，因为，所以，此时在上为增函数，因为，所以恒成立，时，，所以使得，则在上为减函数，于是得，与在上满足恒成立矛盾，综上可知。
11.已知，（其中）,当时，的值恒为正，求的取值范围。
解：由，设，则，其中，于是该问题转化为当时，恒成立，求的取值范围，由，解得，故当时，；当
时，。第二十二讲三角函数高考选择填空压轴题专练
A组
一、选择题
1．已知奇函数的导函数的部分图象如图所示，
是最高点，且是边长为的正三角形，那么（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由奇函数，
是边长为的正三角形，可得，
是最高点且，
得A=,所以
2．设函数（其中），若函数图象的一条对称轴为，那么（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】，
是对称轴，则，
，又，则，故选A．
3．在中,角所对的边分别为，若
，则当角
取得最大值时，
的周长为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意可得：
据此可得：
，
由均值不等式的结论：
,
当且仅当时等号成立，此时角B取得最大值.
据此可知：
，
即△ABC时顶角为120°的等腰三角形，
结合余弦定理可得的周长为.
本题选择C选项.
4．已知中，
的对边长度分别为，已知点为该三角形的外接圆圆心，点分别为边的中点，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】如图：
在三角形中，同理，所以
=：
：
，由正弦定理，可得=
，选D.
5．在中，
，则的值所在区间为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】设
，
，中
中，
，化为
，令
，则
，
可得
在
上递增，
，
，故选A.
6．在中，
，
，则
(
)
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9
【答案】B
【解析】因为，所以，则，即，
即，即；
由正弦定理，得，则
；故选B.
7．在中,内角的对边分别为是外接圆的圆心,若,且,则的值是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】因为，由余弦定理得，整理得，所以，即，因为是的外心，则对于平面内任意点，均有：
，令与重合，及得，∵，∴．故选C．
记忆：三角形的四心与向量关系：
（1）是重心，
是平面内任一点，
是重心．
（2）是垂心，
若是垂心，则．
（3）是外心，
若是外心，则．
若是外心，则对于平面内任意点，均有：
．
（4）是内心
是内心，
是内心．
二、填空题
8．（2017年全国2卷理）函数（）的最大值是
．
【答案】1
【解析】
，，那么，当时，函数取得最大值1.
9．已知，且，
，则____．
【答案】
【解析】令f(x)=x3+sinx,则f( x)= x3 sinx，
∴f(x)为奇函数,且f(x)在为单调函数，
∵f(x)=m,f(y)= m，
∴x+y=0，
∴.
故答案为：
.
10．已知函数，若存在满足，且，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
对任意
，都有
，要使
取得最小值，尽可能多让
取得最高点，考虑
，
，按下图取值可满足
条件，
最小值为
，故答案为
.
11．在中，角的对边分别为，
，
，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意得，又因为，可知。又，由正弦定理可得，
=
=（其中），。所以。填。
12．已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则__________．
【答案】或2
【解析】由题意，又，∴，又，
，
，当时，
，由于函数在上单调，所以，
，
，所以，即，
B组
一、选择题
1．已知函数.若函数
在区间内没有零点
，
则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
，
,
函数
在区间内没有零点
(1)
，则
，则
，取
，
；
（2），则
，解得：
，取
，
；
综上可知：
的取值范围是，选.
2．已知函数，若存在实数，
，
，
满足
，且，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】画出函数的图象，
，
，
，
，
，
，由于，则
，
为上单调增函数，因为
，则
，有
，所以由此可得：
的取值范围是，选A.
3．已知函数，满足，则满足题意的的最小值为
A.
B.
C.
1
D.
2
【答案】C
【解析】由题意可得：
则：
，
据此有：
或，
则：
或，
结合可得，令，
.
本题选择C选项.
4．已知函数（）的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】因为函数（）的图象在区间上恰有3个最高点，所以
，
的取值范围为，故选C.
5．已知，则角所在的区间可能是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】令，则，又由，得，解得，舍去，则，
在第二或第四象限，排除A和D，又而，当时，
排除B，只有C答案满足，故选C.
6．已知函数的图象如图所示，若，且，则（
）
A.
1
B.
C.
D.
2
【答案】A
【解析】由及图形知，又，所以，
，取，即，所以，故选A．
7．已知函数，若的图象与的图象重合，记的最大值为，函数的单调递增区间为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】,
的图象与的图象重合，说明函数的周期，由于，
，
，
,
，
，则，
，选
二、填空题
8．若的图象向右平移个单位后与自身重合，且的一个对称中心为，则的最小正值为__________．
【答案】24
【解析】由题意可知的周期为T,满足，即，由的一个对称中心为可得。所以为最小值。填24.
9．在中，角，
，
的对边分别为，
，
，
是与的等差中项且，
的面积为，则的值为__________．
【答案】
【解析】由
是
以
的等差中项，得
.
由正弦定理，得
，由
所以
.
由
，得
.
由余弦定理，得
，即
，故答案为
.
10．在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为，
，
，其面积，这里．已知在中，
，
，则面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】由题意可知
，且
则
，当且仅当
即时，
，且，符合题意
11．已知函数，其中，若在区间上单调递减，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】，由，解得，
是其子集，故，解得，由于，故令可求得的最大值为.
12．在中，角所对的边分别为，且满足，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】由，得因为在三角形中，所以即，
=
，
，所以。填1.
C组
一、选择题
1．如图，三角形中，
，
，以为直角顶点向外作等腰直角三角形，当变化时，线段的长度最大值为
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
设，则，
由正弦定理可得，
所以
所以时，
取得的最大值，故选C.
2．在中，角所对的边分别为，且，则的最小值是（
）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】∵2sinCcosB＝2sinA＋sinB，又A＝π－(B＋C)，∴cos
C
＝－．
∵c＝3ab，∴9
a b ＝c ＝a ＋b －2
ab
cos
C＝a ＋b ＋ab≥3ab．解得ab≥．所以选B．
3．已知函数的图象过，若有4个不同的正数满足，且，则从这四个数中任意选出两个，它们的和不超过5的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由题意，
，所以，由，
，不妨设，则，
，
，
，从中选两个有6种选法，和大于5的有和，其他4个和不超过5，因此所求概率为，故选D．
4．已知函数向左平移半个周期得的图像，若在上的值域为，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由题意得
由，
在上的值域为．
即最小值为，最大值为，则，得．
综上的取值范围是．
5．如图，把画有函数部分图象的纸片沿轴折成直二面角，若、两点之间的空间距离为，则（
）
A.
-2
B.
C.
-1
D.
【答案】C
【解析】设函数
的周期为
,由
有
,所以
,在折叠后的图象中,
,解出
,所以
,则
,选C.
6．已知函数．给出下列命题：①为奇函数；②，
对恒成立；③，若，则的最小值为；④，若，则．其中的真命题有（　）
A.
①②
B.
③④
C.
②③
D.
①④
【答案】C
【解析】函数变形为，不可能通过左右平移变为奇函数，所以
①错。时，
成立，所以②对。，即分别为最大值1与最小值-1，所以成立，所以③对。即，
，所以④错。选C.
二、填空题
7．已知函数，若为函数的一个零点，则__________．
【答案】
【解析】由
，化简可得，又，得,又得，所以，故
此时：
8．已知三个内角，
，
的对应边分别为，
，
，且，
．当取得最大值时，
的值为____．
【答案】
【解析】设的外接圆半径为，则
.
,
,
.
,
，则当，即：
时，
取得最大值为，此时中，
.
9．中，角，
，
的对边分别为，
，
，若，则
取值范围是__________．
【答案】
【解析】由正弦定理可知．
，又，则，
，从而，又，知，所以，则，换元可令，则，故本题应填．
10．如图，在扇形中，
，
，点为弧上任意一点，
为上一点，且，
，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由
，得
，
在
中，由正弦定理，得
，
设
，则
易知函数
在
上递增，在
上递减，所以当
时，
取得最大值
，又
，即
的取值范围为
，故答案为.
11．如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底是半圆的直径，上底的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为__________．
【答案】
【解析】设半圆圆心为设，
=
，即求最大值。，导数等于0只有一个极值点，即，所以。填。
12．在中，
分别是角的对边，且满足，则__________．
【答案】13
【解析】解：由题意可知：
，
可得：
，
可得：
，
则：
，
据此有：
.
13．函数（，
）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间（）上的值域为，则__________．
【答案】
【解析】因为
，又由
，再由
，所以，则
，函数在区间（）上的值域为，必有
，故答案为
.
14．在中，
，
，
分别是角，
，
的对边，
的面积为，
，则__________．
【答案】
【解析】由题意可知，
，由余弦定理：
，可得，又由正弦定理可得。答案：2
试卷第2页，总19页
试卷第1页，总19页第十一讲
直线、平面垂直问题
A组
1、
选择题
1、若
是两条不同的直线，
垂直于平面
，则“
”是“
的
（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“
”是“
的必要不充分条件，故选B．
2、下列说法错误的是（
）
A．若直线平面，直线平面，则直线不一定平行于直线
B．若平面不垂直于平面，则内一定不存在直线垂直于平面
C．若平面平面，则内一定不存在直线平行于平面
D．若平面平面，平面平面，，则一定垂直于平面
【答案】C
3、已知互不重合的直线,互不重合的平面,给出下列四个命题,错误的命题是（
）
（A）若,,,则
(B)若,,,则
(C)若,,,则
(D)若,,则//
【答案】D
【解析】A中,过直线作平面分别与交于,则由线面平行的性质知,所以,又由线面平行的性质知,所以,正确；B中,由,,知垂直于两个平面的交线,则所成的角等于二面角的大小,即为,所以,正确；C中,在内取一点,过分别作直线垂直于的交线,直线垂直于的交线,则由线面垂直的性质知,,则,,由线面垂直的判定定理知,正确；D
中,满足条件的也可能在内,故D错,故选D．
4、已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足
则（
）
A．m∥l
B．m∥n
C．n⊥l
D．m⊥n
【答案】C
【解析】
由题意知，．故选C．
二、填空题
5、【2016高考新课标2理数】是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果，那么.
（2）如果，那么.
（3）如果，那么.
（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.
其中正确的命题有
．
(填写所有正确命题的编号）
【答案】②③④
【解析】
对于①，，则的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为，所以过直线作平面与平面相交于直线，则，因为，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.
6、三棱锥中,
,
△是斜边的等腰直角三角形,
则以下结论中:
①
异面直线与
所成的角为;
②
直线平面;
③
面面
;
④
点到平面的距离是.
其中正确结论的序号是_______________
.
【答案】①．②．③．④
三、解答题
7、如图，在三棱柱中，已知，，，.
（1）证明：；
（2）若，求三棱锥的体积.
【解析】
（1）在中，∵
∴.
又，∴由勾股定理的逆定理，得为直角三角形.
∴.
又，,
∴平面.
∵平面
∴
（2）易知.
在中，∵,
则由勾股定理的逆定理，得为直角三角形，∴.
又,∴平面.
∴为三棱锥的高.
∴
8、如图，是四棱柱，底面是菱形，
底面，，，是的中点．
⑴求证：平面平面；
⑵若四面体的体积，求棱柱的高．
【解析】设平面，连接，则与的对应边互相平行，
且，所以……2分，
是的中点……3分，
连接、，因为底面，所以，，
是菱形，，且，所以面
，因为、分别是、
的中点，所以是矩形，，所以平面平面（即平面），所以，面面．
⑵因为底面，所以是棱柱的高，
平面，平面底面
，在底面上作，垂足为，面面，所以面……10分，
所以，
其中，，
所以，解得，即棱柱的高为
9、如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，且侧棱的长是，点分别是的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）证明:平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
【解析】
(Ⅰ）证明：作的中点,连接,
分别是的中点
又在正方形中，是的中点,[]
四边形是平行四边形
,又平面，平面
平面
（Ⅱ）证明:四边形是边长为的正方形，是的中点,
又侧棱底面,面
又
是等腰三角形，
是的中点,
同理
是等腰三角形，
是的中点,
[]
面
平面
（Ⅲ）解:侧棱底面,面
由（Ⅱ）知：平面
是三棱锥到平面的距离
分别是的中点
,
四边形是边长为的正方形，是的中点
三角形是等边三角形[]
10、如图，在四棱锥中，平面，四边形中，，且，点为中点．
⑴求证：平面平面；
⑵求点到平面的距离．
【解析】⑴证明：取中点，连接．
∵是中点，∴．
又∵，∴，
∴四边形为平行四边形．
∵，∴平面．
∴，∴．
∵，∴，∴平面．
∵平面，∴平面平面．
⑵由⑴知，．
∴平面，即点到平面的距离为．
在中，由，得，∴．
∴点到平面的距离为．
B组
2、
选择题
1、已知，，为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是（
）
A
.若，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，，，则
【答案】C.
【解析】A：，可能的位置关系为平行，相交，异面，故A错误；B：根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；C：根据线面平行的性质可知C正确；D：若，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C．
2、设是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不正确的是(
)
A.
当时，若，则
B.
当且是在内的射影时，若，则
C.
当时，若，则
D.当且时，若，则
【答案】C
【解析】
A
选项的逆命题为“当时，若，则”，正确；
B.
选项的逆命题为“当且是在内的射影时，若，则”,正确；
C.
选项的逆命题为“当时，若，则”，错误：
D.
选项的逆命题为“当且时，若，则
”正确
3、如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成角为，则的取值范围是(
)
图
A．
B．
C．
D．
【解析】易于证明平面平面，所以直线在平面上的射影为线段所在直线，于是即直线与平面所成角(或补角).利用极端情况，本题只要计算，，利用余弦定理知，，于是.故选.
4、已知正的顶点在平面上，顶点在平面的同一侧，为的中点，若在平面上的射影是以为直角顶点的三角形，则直线与平面所成角的正弦值的范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B.
【解析】
如图所示，设B到平面，C到平面的射影，D到平面的射影分别为E，F，P，
设，，则，由题意可知，，，∴
，由，
∴，由函数在上单调递减，
上单调递增，∴可知，故选B．
二、填空题
5、三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱与底边所成的角均为.若顶点在下底面的投影恰在底边上，则该三棱柱的体积为
.
【答案】
【解析】如图所示，过点作直线交于点，则为中点.过点作交于点，连接.因为，所以，，所以.因为，且，所以，所以.所以.
6、一个直径的半圆，过作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点，使，为半圆上一个动点，分别为在上的射影.当三棱锥的体积最大时，的余弦值为____.
【答案】
【解析】如下图所示，平面，平面，∴，又由，，平面，∴平面，又由平面，∴，又由，，平面，∴平面，又由平面，∴，又由平面，∴平面，即为三棱锥中平面上的高，∵，∴，而，故是斜边为的直角三角形，故当时，的面积取得最大值，此时利用三角形的有关知识以及相应的边长，可以求得，∴.
三、解答题
7、如图，长方体中，，，点是棱上的一点，．
（1）当时，求证：平面；
（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求的值．
【解析】
（1）连接,易得平面，
所以，①
当时，，，所以，
因此：，而平面，故所以平面，
所以，，②
由①②可得：平面．
（2）连接，，设，连接PM，
由于平面，所以平面平面，
所以在平面内的射影为，故直线与平面所成角即与所成的角，记为，在平面中，令，则，再令，，
则由题意得：，，
，
而，解得：．
8、如图1，在直角梯形中，，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.
(I)证明：平面；
(II)当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.
【解析】
(I)
在图1中，因为，是的中点，，所以四边形
是正方形，故，又在图2中，，从而平面，又且，所以，即可证得平面；
(II)由已知，平面平面，且平面平面
，又由(I)知，，所以平面，即是四棱锥的高，易求得平行四边形面积，从而四棱锥的为，由，得.
9、如图，在四棱锥中,
为上一点，平面.，，，，为上一点，且．
（Ⅰ）求证:；
（Ⅱ）求三棱锥与三棱锥的体积之比．
【解析】
（Ⅰ）证明：连接AC交BE于点M，
连接．由
．
．
，
．
（Ⅱ）
10、如图，已知四棱锥中，平面，底面是正方形，为上的动点，为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）试确定点的位置，使得平面平面，并说明理由．
【解析】
（1）因为,点是的中点，所以．①
因为平面，所以．
因为四边形是正方形，所以．
又,所以，所以．②
由①②及，得平面．
（2）当点为的中点时，平面平面．
证明：取线段的中点，连接．
则,且，
因为是的中点，四边形为正方形,
所以,且．
所以，且．
所以四边形是平行四边形,所以．
由（1）知平面，所以平面,因为平面．
所以平面平面．
考点：1．线面垂直的判定与性质；2．面面垂直的判定与性质．
C组
一、选择题
1、如图，正方形中，，分别为，的中点，把，，折起成一个四面体，使，，三点重合，记为，则直线与平面所成角的正弦值是（
）.
A.
B.
C.
D.
【答案】A.
【解析】不妨设正方形的边长为，根据折叠过程，可知，，又∵，∴平面，∴，
，设点P
到平面的距离为，则，∴直线与平面所成角的正弦值是，故选A.
2、如图，在正方体中，给出以下结论：
①
平面；
②
直线与平面的交点为△的外心；
③
若点在所在平面上运动，则三棱锥的体积为定值．
其中，正确结论的个数是
(A)
0个
(B)
1个
(C)
2个
(D)
3个
答案：D
3、棱长为2的正方体中，为棱的中点，点分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
答案：B
4、.在中，已知是斜边上任意一点（如图①），沿直线将折成直二面角（如图②）。若折叠后两点间的距离为，则下列说法正确的是（
）
A．当为的中线时，取得最小值
B．当为的角平分线线时，取得最小值
C．当为的高线时，取得最小值
D．当在的斜边上移动时，为定值
【答案】B
【解析】设，，，则()，过作的垂线，过作的延长线的垂线，，，则，
当，即当为的角平分线时，取得最小值.
由余弦定理得：,故选B.
二、填空题
5、已知三棱锥，若，，两两垂直，且，，则三棱锥的内切球半径为
.
【答案】
【解析】由题意，设三棱锥的内切球的半径为，球心为，则由等体积
可得
，∴．
6、已知矩形的边，若沿对角线折叠，使得平面平面,则三棱锥的体积为
．
【答案】
【解析】
因为平面平面,所以D到直线BC距离为三棱柱的高，
三、解答题
7、如图，四棱锥中，底面是矩形，底面，，点是的中点，点在边上移动．　
（1）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；
（2）证明：无论点在边的何处，都有；
（3）求三棱锥体积的最大值．
【解析】
（1）解：当点为的中点时，与平面平行，
在中，∵分别为的中点，
∴．
又平面，而平面，
∴平面
（2）证明：∵平面平面，
∴，
又平面，
∴平面．
又平面，∴．
又，点是的中点，∴
又∵平面，
∴平面
∵平面，∴
（3）解：∵，而底面面积为定值
∴要使三棱锥体积最大，只需点到底面的距离最大即点与点重合时，
∴当点位于点时，三棱锥体积取得最大值为
8、如图，在几何图形中，，，四边形为矩形，平面平面.
（1）求证：平面平面；
（2）在上确定一点，使得平面平面；
（3）求三棱锥的体积.
【解析】
（1）由题知四边形为等腰梯形，，故,
又平面平面，所以平面，且平面,
故平面平面.
（2）因为，要使平面平面，只要让.
在等腰梯形中，当为的中点时，有.
所以当为的中点时，平面平面.
（3）因为，其中到到平面的距离.
由题知平面平面，所以到平面的距离即为到的距离.
在等腰三角形中，易知到的距离为，
所以.
9、如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形.
（Ⅰ）求二面角的大小；
（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使平面平面？
若存在，请指出点的位置并证明，若不存在请说明理由.
【解析】
（Ⅰ）如图，设分别是和的中点，连接，，
∵，是的中点
∴
又在正方形中有
∴为二面角的平面角
∵，，是的中点
∴
同理可得，又
∴是等边三角形，故
∴二面角为
（Ⅱ）存在点，使平面平面，此时为线段的中点.理由如下
如图，设,,分别为,和的中点，连接,,,
由（Ⅰ）知是等边三角形，故
∵，，
∴平面，故
又
∴平面
∵，分别为和的中点
∴
又为线段的中点
∴，故四边形为平行四边形
∴
∴平面
又平面
∴平面平面
10、如图，已知平面四边形中，为的中点，，，
且．将此平面四边形沿折成直二面角，
连接，设中点为．
（I）证明：平面平面；
（II）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
（III）求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】
（I）直二面角的平面角为，又，
则平面，所以．
又在平面四边形中，由已知数据易得，而，
故平面，因为平面，所以平面平面
（II）解法一：由（I）的分析易知，，则以为原点建立空间直角坐标系如图所示．结合已知数据可得，，，，
则中点，
平面，故可设，
则
平面，
又，
由此解得，即
易知这样的点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点
解法二：（略解）如右图所示，
在中作，交于，
因为平面平面，则有平面．
在中，结合已知数据，利用三角形相似
等知识可以求得，
故知所求点存在，且为线段上靠近点的一个
四等分点．……..（8分）
（III）解法一：由（II）是平面的一个法向量，又，
则得，
记直线与平面所成角为，则知，
故所求角的正弦值为
解法二：（略解）如上图中，因为，所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角，
由此，在中作于，易证平面，
连接，则为直线与平面所成角，
结合题目数据可求得，故所求角的正弦值为第四十七讲
坐标系与参数方程
A组
一、选择题
1.已知圆C的参数方程为(α为参数)，当圆心C到直线
的距离最大时，k的值为(　　)
A.
B.
C．
D．
[解析]　⊙O的直角坐标方程为，∴圆心，又直线过定点，故当CA与直线垂直时，圆心C到直线距离最大，
2.极坐标方程和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是(　　)
A．直线、直线　　　
　　B．直线、圆
C．圆、圆
D．圆、直线
[解析]　由得，此方程所表示的图形是圆．
消去方程中的参数t可得，此方程所表示的图形是直线．
3.下列参数方程(t为参数)中，与方程表示同一曲线的是(　　)
A
B.C.
D.
[解析]　将代入得，，故A错，将代入中得，，，故B正确，C、D容易判断都是错的．
4.直线(t为参数)被圆(α为参数)截得的弦长为(　　)
A．
B.
C．
D．2
[解析]　将直线化为普通方程得将圆化为普通方程得
圆心O到直线的距离所以弦长
二、填空题
5.极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为．
解析
同理：
6.在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是1
.
解析：
圆可化为，直线化为，圆心到直线的距离，最短距离为
三、解答题
7.⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为，．
(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
解：
(I)，，由得．所以．
即为⊙O1的直角坐标方程．同理为⊙O2的直角坐标方程
(II)解:由,两式相减得,即过交点的直线的直角坐标方程为．
8.以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度.
已知直线的方程为，曲线的参数方程为，点是曲线上的一动点.
（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；
(Ⅱ)
求曲线上的点到直线的距离的最小值.
[解析]（Ⅰ）设中点的坐标为，依据中点公式有（为参数），
这是点轨迹的参数方程，消参得点的直角坐标方程为.
（Ⅱ）直线的普通方程为，曲线的普通方程为，
表示以为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心到直线
的距离减去半径，设所求最小距离为d，则.因此曲线上的点到直线的距离的最小值为.
9.在极坐标系下，已知圆和直线。
(1)求圆和直线的直角坐标方程；
(2)当时，求直线于圆公共点的极坐标。
解：（1）圆，即
圆的直角坐标方程为：，即
直线，即则直线的直角坐标方程为：，即。
（2）由得
故直线与圆公共点的一个极坐标为。
10.在直角坐标系中。直线:，圆：,以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（I）
求，的极坐标方程；
（II）
若直线的极坐标方程为，设与的交点为,
,求的面积
解：（Ⅰ）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为
（Ⅱ）将代入，得，解得，故，即
由于的半径为1，所以的面积为
11.在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t
≠
0），其中0
≤
α
<
π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：。
（1）求C2与C3交点的直角坐标；
（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求的最大值。
解：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.
联立
解得
或
所以与交点的直角坐标为和
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中
因此的极坐标为，的极坐标为
所以
当时，取得最大值，最大值为4
12．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.
（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.
【解析】（1）曲线的普通方程为.
当时，直线的普通方程为.
由解得或.
从而与的交点坐标为，.
（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为
.
当时，的最大值为.由题设得，所以；
当时，的最大值为.由题设得，所以.
综上，或.
B组
一、选择题
1.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是(　　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　由得：，即，
∴圆心直角坐标为，极坐标为，选B.
2.极坐标方程和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是(　　)
A．圆、直线
B．直线、圆
C．
圆、圆
D．直线、直线
[解析]　将题中两个方程分别化为直角坐标方程为,它们分别表示圆和直线．
3.极坐标方程为表示的图形是(　　)
A．两个圆
B．两条直线
C．一个圆和一条射线
D．一条直线和一条射线
[解析]　由得或者，又，故该方程表示的图形是一个圆和一条射线．
4..曲线与曲线(关于直线l对称，则l的方程为(　　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　圆的圆心
圆，的圆心
∵⊙O与⊙C关于直线l对称，∴l为线段OC的中垂线，
∵kOC＝－1，∴kl＝1，
∴l方程为：，即.
二、填空题
5.曲线与直线有两个公共点，
则实数的取值范围是
解析：由参数方程得标准方程为
6.已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为
.
三、解答题
7.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标.
[解析]（1）由曲线：
得两式两边平方相加得：即曲线的普通方程为：
由曲线：得：所以 即曲线的直角坐标方程为:
(2)
由（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线的距离为
所以当时，的最小值为，此时点的坐标为
8.、已知曲线的极坐标方程是，设直线的参数方程是（为参数）．
（Ⅰ）将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与轴的交点是，曲线上一动点，求的最大值.
解：（1）曲线的极坐标方程可化为：
又
.
所以，曲线的直角坐标方程为：
.
（2）将直线的参数方程化为直角坐标方程得：
令
得
即点的坐标为
又曲线为圆，圆的圆心坐标为，半径，
则
∴
9.在平面直角坐标系xOy中，已知M是椭圆上在第一象限的点，
是椭圆两个顶点，求四边形OAMB的面积的最大值．
解：设，．由题知
∴四边形OAMB面积
所以当时，四边形OAMB的面积的最大值为
10.在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以
为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出直线的普通方程与圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.
【解析】:
（Ⅰ）
,曲线C:
（Ⅱ）因为圆极坐标方程，所以，
所以圆的直角坐标方程为，
圆心为,半径为1,
因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C
引切线长是
所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是．
11.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数)，为直线与曲线的公共点，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求点的极坐标；
（II）将曲线上所有点的纵坐标伸长为原来的倍(横坐标不变)后得到曲线，过点作直线，若直线被曲线截得的线段长为，求直线的极坐标方程.
解：（I）的普通方程为。将代入上式整理得，解得
故点的坐标为，其极坐标为.
（II）坐标变换式为故的方程为，即
当直线的斜率存在时,设其方程为，即，
由圆心到直线距离得，，∴直线为，
当直线的斜率不存在时，其方程为，显然成立.
故直线的极坐标方程为或.
C组
一、选择题
1.方程表示的曲线是（
）
A.
双曲线
B.双曲线的上支
C.双曲线的下支
D.圆
解析：注意到t与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含的项，即有，又注意到
，可见与以上参数方程等价的普通方程为.显然它表示焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B
2.下列在曲线上的点是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：
转化为普通方程：，当时，
3.极坐标方程表示的曲线是（
）
A.
圆
B.
椭圆
C.
双曲线的一支
D.
抛物线
分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.
解析：由，化为直角坐标系方程为，化简得.显然该方程表示抛物线，故选D.
4.直线被圆截得的弦长为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：
，把直线代入
得
，弦长为
二、填空题
5.若直线(t为参数)被曲线(θ为参数)所截，则截得的弦的长度是________．
[解析]　直线化为；
圆化为圆心C(1,1)到直线距离半径r＝3，
∴弦长为
6.在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．
[答案]　
[解析]　解法一：圆的圆心极坐标(3,0)，
∴直线l方程为
解法二：由得，圆心C(3,0)，
∴过圆心垂直于极轴(即x轴)的直线方程为，其极坐标方程为
三、解答题
7.已知直线的参数方程为：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的参数方程；（Ⅱ）当时，求直线与曲线交点的极坐标.
[解析]
（Ⅰ）由，可得
所以曲线的直角坐标方程为，标准方程为，
曲线的极坐标方程化为参数方程为
（Ⅱ）当时，直线的方程为，化成普通方程为，
由，解得或，所以直线与曲线交点的极坐标分别为，；,
.
8.
已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.
[解析]（Ⅰ）直线的普通方程为，C直角坐标方程为.（Ⅱ）设点，则，
所以的取值范围是.
9.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）（Ⅰ）将的方程化为普通方程；（Ⅱ）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
设曲线的极坐标方程是，
求曲线与交点的极坐标.
[解析]（Ⅰ）依题意，的普通方程为，（Ⅱ）由题意，的普通方程为，代入圆的普通方程后得，解得，，点、的直角坐标为，，从而，.


10.已知曲线
(t为参数)
，
(为参数)
（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;
（Ⅱ）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A，B两点，求.
[解析]
解（Ⅰ）曲线为圆心是，半径是1的圆.
曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆.
（Ⅱ）曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）
将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，
则所以.
11.在极坐标系中，已知圆C的圆心，半径r=．
（
I）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）若，直线的参数方程为（t为参数），直线交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．
解：（Ⅰ）直角坐标，所以圆的直角坐标方程为
由得，圆C的直角坐标方程为
（Ⅱ）将，代入的直角坐标方程，
得
，则
，设Ａ，Ｂ对应参数分别为，，则
，，
因为，所以所以，所以的取值范围为第三十九讲
圆锥曲线中的离心率问题求值与范围及综合
A组
一
选择题
1.（2017年高考浙江卷）椭圆
+
=1的离心率是（
）
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】【解答】解：椭圆
+
=1，可得a=3，b=2，则c=
=
，
所以椭圆的离心率为：
=
．
故选：B．
2.如图，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为
（
）
（A）
（B）2
（C）
（D）
【答案】D
【解析】
依题所以,
3.若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率是（
）
A.
2
B.
3
C.
D.
【答案】D
【解析】
若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列
则
所以
4.已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
解析：设左焦点为,连接.则四边形是平行四边形,故，所以，，所以，设，则，从而，所以椭圆的离心率的取值范围是，故选A.
5.如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点．若四边形为矩形，则的离心率是(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
设双曲线实半轴长为，焦半距为，，由题意知，，，，，则双曲线的离心率，选择D.
6.已知，是双曲线的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为
（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】即双曲线的一条渐近线方程.过焦点且垂直渐近线的直线方程为：，与联立，解之可得故的中点坐标为（）.
由中点坐标公式可得点的坐标为，将其代入双曲线的方程可得
结合化简可得，故．故选.
7．已知是双曲线的左焦点，是双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C．
【解析】
由于为等腰三角形，可知只需即可，即
，又，故选C．
二
填空题
8.点为椭圆1上一点，为椭圆的焦点，如果，，则椭圆的离心率为________．
【答案】
【解析】
由题意得，所以
.
9.椭圆的左.右焦点分别为,焦距为,若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于__________
【答案】
【解析】由直线方程直线与轴的夹角，且过点∵∴即∴在中，由椭圆的第一定义可得
10.已知双曲线的渐近线与圆有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是___________．
答案：
【解析】
由双曲线的方程为，可得它的渐近线方程为，由圆的方程可得，所以它是以为圆心，以为半径，又因为圆与渐近线有交点，由点到直线距离公式可得，又因为，，从而可得，双曲线的离心率为，又因为双曲线的离心率大于1，所以双曲线的离心率的取值范围为．
B组题
一
选择题
1.（2017年高考新课标Ⅲ理）已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1
，
A2
，
且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（
）
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，
∴原点到直线的距离
=a，化为：a2=3b2
．
∴椭圆C的离心率e=
=
=
．
故选：A．
2.已知双曲线左右焦点分别为，点为其右支上一点，，且，若|成等差数列，则该双曲线的离心率为(　　)
A.
B．
C．2
D.
【答案】A
【解析】
设，双曲线方程为，因此有，∴
又
①
由余弦定理
②
①②两式联立解得，
所以
3.如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形，则双曲线的离心率为(
)
4
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】根据双曲线的定义，可得，∵若为等边三角形，即，∴，即，又∵
，∴，∵中，，
，，∴，即，
解之得：，由此可得双曲线的离心率为.
4.设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点,若点满足，则该双曲线的离心率是(
)
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A
【解析】由双曲线的方程可知，渐近线为，分别于联立，解得，由得，设的中点为，则，PQ与已知直线垂直，故，则.
故选A.
5.斜率为1的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为(
)
A、
2
B、
C、
D、
【答案】
C
【解析】弦长
6．F是双曲线C：的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂直，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则C的离心率是（
）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】
由已知渐近线为，，由条件得，F到渐近线的距离，则，在中，，则，设的倾斜角为，即，则，在中，，在中，，而，即，即，∴，
∴，即.
7．已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】
任取一焦点到一条渐近线的距离为，则，有
．
二
填空题
8.
在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为.若，则椭圆的离心率为________．
【答案】
【解析】由题意知，，不妨设，则直线即于是，
由，，
化简得
即，
解得或（舍去）
故，故椭圆的离心率为.
9.如图，在平面直角坐标系中，为椭圆
的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为
.
【答案】
【解析】
考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程
直线的方程为：；
直线的方程为：。二者联立解得：w则在椭圆上，
解得：
C组题
一选择题
1.已知椭圆，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为，内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】
方法一：设由为的重心得：的坐标为再由可知平行于轴，所以点的纵坐标为，在中，，所以的面积为，又因为为的内心，所以点的纵坐标即为内切圆的半径，所以，所以，即，所以，所以椭圆的离心率，故应选.
方法二：（个人观点）特殊化法，取为上顶点，在轴上，又，所以重合，所以为正三角形，所以,而，
2..如图，已知双曲线：的右顶点为为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点．若且，则双曲线的离心率为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】确定为等边三角形，设，则，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．
因为且，所以为等边三角形，设，则，渐近线方程为，，
取的中点，则
，由勾股定理可得，∴
在中，,∴
结合
，可得
方法二：（个人观点）以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点．若，则为正三角形，所以，，所以，由圆的切割线定理，
，渐近线方程为
到渐近线的距离
而由为正三角形，可知到渐近线的距离
所以
，则
3.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则
A.4
B.
C.
D.2
【答案】A
【解析】
解法1：试题分析：设，，则，又，所以，,
,即,
，因此，
解法2：椭圆
双曲线：
根据椭圆定义：
根据双曲线定义：，不妨设
则，在中，
则
化简得
知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为
（）．
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
解法1：因为在中，由正弦定理得
则由已知，得，即
设点由焦点半径公式，得，
则
记得由椭圆的几何性质知，则，整理得
，解得或，又，故椭圆的离心率
解法2：
由解析1知由椭圆的定义知则即
，由椭圆的几何性质知，则即，即
所以以下同解析1.
5．已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，这两条曲线在第一象限的交点为是以为底边的等腰三角形。若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
设椭圆与双曲线的半焦距为c，
利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出
的取值范围是．
设椭圆与双曲线的半焦距为c，由题意知
故选B．
二
填空题
6.
2017年高考北京卷理）若双曲线x2﹣
=1的离心率为
，则实数m=________．
【答案】2
【解析】双曲线x2﹣
=1（m＞0）的离心率为
，
可得：
，
解得m=2．
故答案为：2
7.椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是
．
【答案】
【解析】
解法1：由题意，椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线过点，所以，
而，，
所以，所以。
又，所以，所以，
即，又，所以
解法2：设点。由题意，椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线过点，所以，由椭圆第二定义，，所以，
而，
所以，解出，
由于，所以，又，所以，
即，又，所以
8.我们把离心率的双曲线称为黄金双曲线．如图是双曲线的图象，给出以下几个说法：
①双曲线是黄金双曲线；
②若，则该双曲线是黄金双曲线；
③若为左右焦点，为左右顶点，且，则该双曲线是黄金双曲线；
④若经过右焦点且,，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确命题的序号为　_________　．
【答案】①②③④
【解析】对于，，则，，∴，所以双曲线是黄金双曲线；
对于，整理得，解得所以双曲线是黄金双曲线；
对于③，，由勾股定理得，整理得由可知所以双曲线是黄金双曲线；
对于④由于，把代入双曲线方程得，解得，，由对称关系知为等腰直角三角形，∴，即由可知所以双曲线是黄金双曲线；第十二讲立体几何中球的综合问题
A组
一、选择题
1．(2018年高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为，底面圆的直径为，所以该圆柱的表面积为．故选B．
2．三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且平面。若球的表面积为，则这个三棱柱的体积是（
）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】平面,三棱柱内接球,为距形的中心,
设球半径为,则,即,三棱柱的高,三棱柱的体积,故选C。
3．球的球面上有四点，其中四点共面，是边长为2的正三角形，面面，则棱锥的体积的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．4
【答案】A
【解析】设球心和的外心为，延长交于点，则由球的对称性可知，继而由面面可得所在的平面，所以是三棱锥的高；再由四点共面可知是的中心，故，当三棱锥的体积最大时，其高为，故三棱锥的体积的最大值为，应选A。
4．如图所示，直四棱柱内接于半径为的半球，四边形为正方形，则该四棱柱的体积最大时，的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设,则,所以直四棱柱的体积为,令,则,则,故,所以当时,即时,体积最大.故应选D.
5．在正三棱锥中，是的中点，且，底面边长，则正三棱锥的外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC⊥SB，结合SB⊥AM，得到SB⊥平面SAC，因此可得SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直．最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC的外接球的表面积．
取AC中点，连接BN、SN，∵N为AC中点，SA=SC，∴AC⊥SN，
同理AC⊥BN，∵SN∩BN=N，∴AC⊥平面SBN，
∵SB 平面SBN，∴AC⊥SB，∵SB⊥AM且AC∩AM=A，
∴SB⊥平面SAC SB⊥SA且SB⊥AC，
∵三棱锥S-ABC是正三棱锥，
∴SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直．
∵底面边长∴侧棱SA=2，
∴正三棱锥S-ABC的外接球的直径为：，
∴正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是，故选：B．
二、填空题
6．（2017年天津卷）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为
．
【答案】
【解析】设正方体边长为，则
，
外接球直径为.
7．底面是同一个边长为的正三角形的两个三棱锥内接于同一个球，它们顶点的连线为球的直径且垂直于底面，球的半径为。设两个三棱锥的侧面与底面所成的角分别为，则的值是
。
【答案】.
【解析】如下图所示，右图为左图的纵切面图.
如图可知，底面为正三角形，D为BC的中点，则，，，故和即为二面角；
设交平面ABC于点P，易知P点在AD上，且为的重心.
,，，，，
.
8．已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的内切球的表面积为
.
【答案】
【解析】三棱锥展开后为等边三角形，设边长，则，则
因此三棱锥的棱长为，三棱锥的高，设内切球的半径为，
则，，求的表面积.
9.已知球的表面上有四点，且两两互相垂直，若，求这个球的表面积和体积
解：设过的平面截球所得截面圆心为，与球面另一交点为.因为，所以是圆的直径，且.因为，所以平面，又平面，所以.如图，过作平面，则直线为平面和平面的交线，点，连接，在圆中，为直角，所以为圆的直径.设圆的半径为，在中，，即，所以.所以
三、解答题
10.棱长为的正方体容器中盛满水，把半径为的铜球放入水中刚好被淹没，然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出的水量最多，这个铁球半径应该为多大？
解：过正方体对角线的截面图如图所示，.设小球半径为，，在中，，解得为所求.
11.过球面上一点的三条弦，满足，，求此球的表面积
解：由题意知，四面体是球的内接正四面体.设是的中心，则球心在上.如图，连接，设球半径为，则，在中，而，故，，表面积为
12.将半径为R的四个球，两两相切地放在桌面上，求上面一个球的球心到桌面的距离。
解：设四个球心分别为A,B,C,D，则四面体A-BCD是棱长为2R的正四面体，如图所示，过A作AH面BCD与H，则H为BCD的中心，连接BH并延长交CD于M，连接AM，则BMCD,AMCD且AM=R，HM=,所以AH=R，故上面一球的球心到桌面距离为。
B组
一、选择题
1．已知三棱锥,在底面中,
面,则此三棱锥的外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】底面三角形内，根据正弦定理，可得,,满足勾股定理，,底面,所以,那么平面,所以,那么直角三角形有公共斜边,所以三棱锥的外接球的球心就是的中点,是其外接球的直径，,所以外接球的表面积,故选D.
2．如图,
在菱形中,
为对角线的中点,
将沿折起到的位置，若
，则三棱锥的外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设分别是等边三角形的外心，则画出图象如下图所示，由图象可知，,故，
,外接球面积为.
3．已知三棱锥S﹣ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，若该三棱锥外接球的半径为，Q是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为（
）
A．3
B．2
C．
D．
【答案】D
【解析】因为三棱锥中，，且，所以三棱锥的外接球即为以为长宽高的正方体的外接球，因为该三棱柱外接球的半径为，所以正方体的对角线长为，所以球心到平面的距离为，所以点到平面的距离的最大值为，故选D．
4．已知从点出发的三条射线，，两两成角，且分别与球相切于，，三点．若球的体积为，则，两点间的距离为(
)
（A）
（B）
（C）3
（D）
【答案】B
【解析】连接交平面于，由题意可得：和为正三角形，所以．因为，所以，所以．又因为球的体积为，所以半径，所以．
二、填空题
5．（2017年新课标Ⅰ卷）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面
⊥平面，，，三棱锥的体积为9，则球的表面积为________．
【答案】
【解析】取的中点，连接，，
因为，，所以，
因为平面平面，所以平面平面
设，所以，所以球的表面积为
6．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个三棱柱的体积是_____________.
【答案】
【解析】由题意可得，球的半径为，则正三棱柱的高为，底面正三角形中心到各边的距离为，所以底面边长为，从而所求三棱柱的体积为.故正确答案为.
7．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为
．
【答案】
【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得△及其内切圆和外切圆，且两圆同圆心，即△的内心与外心重合，易得△为正三角形，由题意的半径为，∴△的边长为，∴圆锥的底面半径为，高为，∴．
三、解答题
8.已知棱长为3的正四面体A-BCD，E,F分别是棱AB,AC上的点，且AF=2FC,BE=2AE,求四面体A-EFD的内切球的半径。
解：如图所示，设四面体A-EFD的内切球半径为，球心为O，连接OA,OE,OF,OD,则，四面体A-EFD的各面面积为,,,各边边长分别为EF=，DF=DE=，,,又,，所以，故四面体A-EFD的内切球半径为。
9.已知四面体P-ABC，PA=4，AC=,PB=BC=,面PBC,求四面体P-ABC的内切球与外接球面积的比。
解：由题意，已知面PBC，PA=4，AC=,PB=BC=，如图，由勾股定理得，,所以为等边三角形，为等腰三角形，等边三角形PBC所在小圆的直径，那么四面体P-ABC的外接球直径AD=2R=，所以，,表面积.设内切球半径为，那么，所以，故四面体P-ABC的内切球半径与外接球半径的比，即表面积之比为。
10.球与正四面体的六条棱都相切，则球与正四面体的体积比是多少？
解：如图，设正四面体棱长为，球半径为R，取AB中点E，CD中点F，连接AF，BF,EF,则AF=BF=，,同理可得,是AB,CD的公垂线段，则EF的长是AB,CD的距离，，又由球与正四面体的六条棱相切，得EF是该球的直径，即，，又，故。
11.已知正三棱锥P-ABC，点P,A,B,C都在半径为的球面上，若PA,PB,PC两两垂直，求正三棱锥P-ABC外接球球心到截面ABC的距离。
解：把正三棱锥补成正方体，如图所示，可知外接球球心O为体对角线PD的中点，且PO=，又P到平面ABC的距离为，,则，则球心O到截面ABC的距离为PO==。
C组
一、选择题
1．已知三点都在以为球心的球面上，
两两垂直，三棱锥的体积为，则球的表面积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设球的半径为，由题意，可得三棱锥体积，，解得，则球的表面积为，故选B.
2．三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上,且，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为（
）
A．4
B．3
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意：半径为的球面上，且,为截面为大圆上三角形，
设圆形为，的中点为，,，三棱锥的体积的最大值时，，，三棱锥的体积的最大值为.
3．已知四面体的一条棱长为，其余棱长均为，且所有顶点都在表面积为的球面上，则
的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图所示的四面体中，设，其余的棱长均为，取的中点，连接，则，又所有顶点都在表面积为的球面上，所以球的半径为，球心落在线段上，且，在直角中，则，即，解得，故选A．
4．在三棱锥中，△ABC与△BCD都是边长为6的正三角形，平面ABC⊥平面BCD，则该三棱锥的外接球的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】取BC的中点为M，E、F分别是正三角形ABC和正三角形BCD的中心，O是该三棱锥外接球的球心，连接AM、DM、OF、OE、OM、OB，则E、F分别在AM、DM上，OF⊥平面BCD，OE⊥平面ABC，OM⊥BC，AM⊥BC，DM⊥BC，所以∠AMD为二面角A—BC—D的平面角，因为平面ABC⊥平面BCD，所以AM⊥DM，又AM=DM=，所以==，所以四边形OEMF为正方形，所以OM=，在直角三角形OMB中，球半径OB===，所以外接球的体积为=
，故选D.
5．一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
如图，作轴截面，设球未取出时，水面高，球取出后，水面高．
∵，，
则以为底面直径的圆锥容积为
，
．
球取出后，水面下降到，水的体积为
．
又，则，
解得，选B
6．已知三棱锥所有顶点都在球的球面上，且平面，若，
，则球的表面积为
.
【答案】
【解析】，，三角形的外接圆直径，，平面为等腰三角形,
该三棱锥的外接球的半径,该三棱锥的外接球的表面积为.因此，本题正确答案是:
．
7．三棱锥中，平面，，则该三棱锥的外接球表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得，在中，因为，由余弦定理得，所以，所以外接圆的半径为，即，所以球的半径为，所以球的表面积为，故选D．
8．半径为的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径的可能最大值为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，该正四面体的高为
，该正四面体的外接球半径为，则，
解得，，，故答案为C．
二、填空题
9．如图，三个半径都是10cm的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同于水平面，则这个碗的半径R是________________cm
【答案】
【解析】依题意可得碗的球心为O,半径为R.其它三个球的球心分别是.这四个点构成了一个正三棱锥，其中侧棱表示两个球内切的圆心距关系.底面长为两个外切求的圆心距.所以=R-10.
.通过解直角三角形可得.故填.
三、解答题
10．有三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面内切，第二个球与正方体各条棱相切，第三个球过正方体各顶点，求三个球表面积的比。
解：设正方体棱长为，则内切球半径，棱切球其直径为正方体各面的对角线长，则；外接球直径为正方体的体对角线，故，所以表面积之比为。
11.如图所示，已知球O是棱长为1的正方体的内切球，求平面截球O的截面积。
解：根据正方体的几何特征知，平面截球O的截面是边长为的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，由图得的内切圆的半径为，故所求的截面圆的面积是。
12.已知AB是球O的直径，C,D是球面上的两点，且D在以BC为直径的小圆上，如图所示，设此小圆所在平面为，（1）求证：平面ACB平面；（2）设AB与所成角为，过球半径OD且垂直于的截面截BC弦于E点，求与经过点O,D的截面面积之比，并求为何值时，面积之比最大。
（1）证明：连接球心O与小圆圆心,由球的性质知，圆面O，连接AC，在中，显然有平行等于,因为圆面O，所以圆面O,又AC面ACB，所以面ACB圆面O，即面ACB平面。
（2）因为面OED圆面O，面ACB圆面O，且面ACB面ODE=OE，故OE圆面O,因为OO圆面O，所以O,E两点重合，即E为小圆的圆心。在R中，设球半径为R，有OE=R，所以在中，DE，故的面积，又因为经过O,D的截面必为大圆，且它的面积为,所以，当时，它们面积之比最大且最大值为，此时，所以所求面积之比为，当时面积之比最大且最大值为。
13.若三棱锥的三条侧棱两辆垂直，且侧棱长均为，则求其外接球的表面积。
【解】将等边三角形当作底面，由知道为正三棱锥，点在底面射影为底面中心,由推论3知道球心一定在直线上，易算得,,,设球半径为，当时，有,解得（舍去），当时，有，解得，所以球的表面积为。第四十五讲
选择题压轴题精选
A组
1、将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】：D
【解析】：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨
，，∴，又∵，
∴，故选D.
2、设，，若直线与圆相切，则的取值范围是（
）
A．
B．
B．　　　
D．
【答案】：D
【解析】：因为直线与圆相切，
则圆心到直线的距离为，所以，
设，从而有，解得。
3、（2016全国一卷理12）已知函数，为的零点，为图像的对称轴，且在区间上单调，则的最大值为（
）
A．11
B.9
C.7
D.5
【答案】：B
【解析】：因为为的零点，为图像的对称轴，
则，即，；
从又因为在区间上单调，而，即；
故的最大值为9。
4、设平面点集，，则A∩B所表示的平面图形的面积为(　　
)
A．
B．
C．
D．
【答案】：D　
【解析】：不等式可化为或，集合B表示圆上以及圆内部的点所构成的集合，则A∩B所表示的平面区域如图阴影部所示。由于曲线，圆均关于直线y＝x对称，所以阴影部分是圆面积的一半，故选D项。
5、设是数列的前项和，且，则使取得最大值时的值为（
）
A.2
B.5
C.4
D.3
【答案】：D
【解析】因为，所以有，即为首项等于1公差为1的等差数列所以
，则
，因为当且仅当时取等号；
因为为自然数，所以根据函数的单调性可从与相邻的两个整数中求最大值；，，
所以时的最大值为，故本题正确选项为D。
6、某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有
A.504种
B.960种
C.1008种
D.1108种
【答案】C
【解析】：方法一：（正难则反）
丙排在10月1日共有种方法，丁排在10月7日共有种方法；
又甲、乙排在相邻两天，则不同的方案共有种。
方法二：分两类：甲乙排1、2号或6、7号
共有种方法；
甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有种方法；
则不同的方案共有+=1008种。
7、（2006重庆12）若a，b，c＞0且，则的最小值为（
）
A．-1
B．+1
C．2+2
D．2-2
【答案】：D
【解析】：方法一：因为a，b，c>0且，
则有；
从而；
当且仅当时等号成立；
故的最小值为2-2。
方法二：若a，b，c>0且，
所以；
则有
；
从而有，即；
当且时等号成立；
故的最小值为2-2。
8、设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（
）
A．9
B．6
C．4
D．3
【答案】：B
【解析】：设，
由抛物线方程可知焦点坐标F(1，0)，准线方程：x= 1；
因为，则点F是△ABC重心；
因此有；
又根据抛物线的定义知：；
故
9、在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】：A
【解析】：由已知的割线的坐标
，设直线方程为，则由直线与圆相切有：，又直线与抛物线相切，联立
消去y得：，从而有；
联立解得：；
因此抛物线的顶点坐标为。
10、（2015四川理9）如果函数在区间单调递减，则的最大值为（
）
A．16
B．18
C．25
D．
【答案】：B
【解析】：由单调递减得：，即在上恒成立。而是一次函数，在上的图像是一条线段。故只须在两个端点处即可，即：
由条件得：。于是，；
当且仅当时取到最大值；
经验证，满足条件。故答案选。
11、已知，其中且。则的取值范围是（　　）
A．[﹣，1]
B．[0，1]
C．[0，]
D．[﹣，1]
【答案】：A
【解析】：由已知
此时；
又
由得。
故的取值范围为[﹣，1]。
12、设，，则的最小值为（
）
A.
B.
C.3
D.
【答案】：D
【解析】：方法一：柯西不等式
因为，，则有；
又
；
从而有，当且仅当时等号成立；
故的最小值为。
方法二:数形结合
分别以a，b为横轴、纵轴建立直角坐标系；
由a+b=1得；
从而表示横轴上的点P(a，0)到点A(0，1)，B(1， 2)距离的和；
其最小值即为；
故的最小值为。
13、设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】：B
【解析】：由已知函数与函数互为反函数，图象关于对称；
函数上的点到直线的距离为；
设函数；
由图象关于对称得：最小值为。
14、已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为（
）
A.（2，+∞）
B.（-∞，-2）
C.（1，+∞）
D.（-∞，-1）
【答案】：B
【解析】：方法一：由已知，，令，得或，
当时，；
且，有小于零的零点，不符合题意。
当时，
要使有唯一的零点且＞0，只需，即，。
方法二：
由已知，=有唯一的正零点，等价于有唯一的正零根；
令，则问题又等价于有唯一的正零根，即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧；
记，，由，，
，，
要使有唯一的正零根，只需。
15、函数有两个极值点，且，则方程的不同的实根个数为（
）
A．
B．
C．
D．不确定
【答案】：B
【解析】：函数有两个极值点，设
则为极大值点，为极小值点；
由题知：方程的根为和；
结合图像可知：有两个根，有一个根，
所以方程的不同的实根个数为3。
B组
1、若动点（）在曲线上变化，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．2
【答案】：A
【解析】：设点，则
令，则，对称轴；
（1）当即时，；
（2）当，即时，；
故。
2、设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（　　）
A．0
B．1
C．
D．3
【答案】：B
【解析】：方法一：由得＝1，
即≤1，当且仅当时等号成立，又x，y为正实数，故x＝2y；
此时将x＝2y代入得，所以，
当，即y＝1时，取得最大值为1，故答案选B。
方法二：得，
从而，
即≤1，当且仅当时等号成立（下同方法一）。
3、已知平面四点A，B，C，D满足，设的面积分别为，则的取值范围是（
）
A．
B.
C.
D.
【答案】：A
【解析】：如图，
因为，
则在中，；
在中，；
有；
从而
；
又因为，则；
解得；
故。
4、设m，k为整数，方程在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（
）
A．-8
B．8
C．12
D．13
【答案】：D
【解析】：设，显然的图像恒过定点（0，2），因此要使已知方程在区间（0，1）内有两个不同的根，即的图像在区间（0，1）内与轴有两个不同的交点；
从而有，即；
在平面直角坐标系中作出可行域，如图所示：
设，则直线经过图中阴影部分中的整点（6，7）时，取得最小值，即。
5、已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么的最小值为（
）
A．
B.
C.
D.
(
P
A
B
O
)【答案】：D
【解析】：方法一：如图所示：设PA=PB=，∠APO=，则∠APB=，PO=，，
===，令，则，即，由是实数，
所以，，
解得或.故.此时。
法二：
设，
；
设，。
方法三：设圆的方程为，设，
6、在平面上，，，。若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】：B
【解析】：方法一：因为⊥，所以可以A为原点，分别以，所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系。
如图：设
则，即；
由||＝||＝1，得；
从而；
由||＜，得，即；
所以，即；
故||的取值范围是。
方法二：因为，从而有，即，化简为：
又，并且，则有，
即，平方：
将带入得：。因为，则，从而有，
即。
7、已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】：B
【解析】因为当时，将函数化为方程，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入得：
令；
由；
同样由与第二个椭圆由可计算得；
综上知。
8、已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若，则的离心率为（
）w.k.s.5.u.c.o.m
A．
B.
C.
D.
【答案】：A
【解析】：设双曲线的右准线为,过分
别作于,于,
,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为,
由双曲线的第二定义有.
又。
9、设函数，是公差为的等差数列，，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】：D
【解析】：因为数列是公差为的等差数列，且
则有，
即；
又
；
从而有，因此；
故。
10、函数()
的值域是（
）
A．[-]
B．[-1，0]
C．[-]
D．[-]
【答案】：B
【解析】：方法一：
由已知；
又
从而，则；
故有。
方法二：由已知
则；
又因为时，，故。
方法三：数形结合法
根据题目条件，
设；
则；
故。
11、设函数(，e为自然对数的底数)，若曲线上存在点使得，则a的取值范围是(　
　)
A．[1，e]
B．[－1，1]
C．[1，e＋1]
D．[－1，e＋1]
【答案】：A
【解析】：由题意可得，；
而由可知；
又，由复合函数的单调性知单调递增；
设，则有；
（1）若，由为增函数知，即，矛盾；
（2）若，由为增函数知，即，矛盾；
故有，则有，此时有；
令，则；
从而在上为增函数，；
故的取值范围是[1，e]。
12、已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】：方法一：设直线AB的方程为：，点，，又，
直线AB与轴的交点（不妨假设）；
由，所以；
又；
因为点，在该抛物线上且位于轴的两侧，所以，故；
于是；
当且仅当时取“”
；
所以与面积之和的最小值是。
方法二：根据题意得，设，，则有
又；
因为点，在该抛物线上且位于轴的两侧，所以；
则与面积之和
；
当且仅当时取“”。
13、（2015全国一卷12）设函数,其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】：D
【解析】：设，；
由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方；
因为，所以当时，，当时，；
则当时，；
当时，，，直线恒过点且斜率为，
故，且，
解得，故选D。
14、已知函数设表示中的较大值，表示中的较小值,记得最小值为得最小值为，则（
）
A.
B.
C.-16
D.16
【答案】：C
【解析】：函数的顶点坐标为，的顶点坐标，并且与的顶点都在对方的图象上，图象如图，
A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以
A-B=。
15、已知的内角、、满足，面积满足，记、、分别为、、所对的边，则下列不等式成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】：A
【解析】：由题知，，所以，
所以，所以，
化简得；
设的外接圆半径为，
由及正弦定理得：，所以；
因为，所以，由可得，
从而有，A选项正确。
另：显然选项C、D均不一定正确。
对于B：，故B选项不一定正确。
C组
1、设向量满足，，=，则的最大值等于（
）
A．2
B．
C．
D．1
【答案】：A
【解析】：如图，设，
因为，，则；
又=，则；
从而四点共圆，
故当为圆的直径时，
2、已知分别为椭圆的左右顶点，不同两点在椭圆C上，且关于轴对称，设直线的斜率分别为，当取得最小值时，椭圆C的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】：D
【解析】：设，则且；
因为，则；
所以；
则
令，
则
从而在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数；
此时，因此。
3、设是函数f（x）的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（　　
）
A．（0，）
B．（0，）
C．（，）
D．（，）
【答案】：B
【解析】：可构造函数，
则；
由，可得，即有F(x)在R上递增；
则不等式即为，亦即；
因为，则，即为；
由F（x）在R上递增，可得，解得；
故不等式的解集为。
4、（2016天津理8）已知函数（a>0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（
）
A．（0，]
B．[，]
C．[，]{}
D．[，）{}
【答案】C
【解析】：由在R上单调递减可知；
因为方程恰好有两个不相等的实数解，则有；
又当时，抛物线与直线相切，符合题意；
故的取值范围是[，]。
5、（15年天津理科）已知函数
函数
，其中，若函数
恰有4个零点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】：由得，
所以，
即
,所以恰有4个零点等价于方程
有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.
6、若函数有唯一零点，且（为相邻整数），则的值为（
）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】：C
【解析】：因为，所以，设，
若函数单调递增，，若单调递减，则；
而在上是递增函数可得，与不成立，
即既不是单调递增又不是单调递减；
由已知函数有唯一零点，则既是极值点又是零点；
于是得且，
两式消去得；
设，可得，
因此，。
7、设的三边长分别为，的面积为，，若，，则(
)
A.为递减数列
B.为递增数列
C.为递增数列，为递减数列
D.为递减数列，为递增数列
【答案】：B
【解析】：
由题意；
；
又；
。
8、设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段的中点.若这样的直线恰有4条，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】：D
【解析】：当直线与轴垂直的时候，满足条件的直线有且只有条。
当直线与轴不垂直的时候，由对称性不妨设切点，则切线
的斜率为：。另一方面，由于为中点，故由点差法得：。故，。
由于在抛物线内，所以满足。代入并利用化简得到。故。
当时，由知满足条件且在轴上方的切点只有个。从而总的切线有条。
9、如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=2AE，CF=2BF。如果对于常数λ，在正方形ABCD的四条边上，有且只有6个不同的点P使得成立，那么λ的取值范围是(
)
A.(0，7)
B.(4，7)
C.(0，4)
D.( 5，16)
【答案】：C
【解析】：如图，以DC为x轴，以DA为y轴建立平面直角坐标系，则E(0，4)，F(6，4)。
（1）若P在CD上，设P(x，0)，0 x 6，则
从而，则；
当λ=7时有一解，当时有两解；
（2）若P在AD上，设P(0，y)，0，则有
从而当λ=7或4<λ<16，有一解，当0<λ 4时有两解。
（3）若P在AB上，设P(x，6)，0则，
当λ= 5或λ=4时有一解，当 7<λ<4时有两解。
（4）若P在BC上，设P(6，y)，0则，；
故当λ=0或4 λ<16时有一解，当0<λ<4时有两解。
综上，0<λ<4。
10、如图，在体积为1的三棱锥A—BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G，
使AE
:
EB=AF
:
FC=AG
:
GD=2
:
1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥O—BCD的体积等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】:C
【解析】：如图，作EK⊥平面BCD，LN⊥平面BCD，OQ⊥平面BCD；
BM是平面BCG与平面BDF的交线，CL是平面BCG与平面CDE的交线，BM与CL的交点为O；
设A到平面BCD的高为h，由题意可知：
因为，则，从而；
因此；故三棱锥O—BCD的体积等于。第四十四讲
以圆锥曲线为背景的取值范围问题专题
一、选择题
1．已知椭圆，与双曲线具有相同焦点F1、F2，且在第一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，若∠F1PF2＝，则的最小值是
A．
B．
2＋
C．
D．
【答案】A
【解析】
根据题意，可知，
解得，
根据余弦定理，可知，
整理得，
所以
，
故选A.
2．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上.在中，若，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由题意得，准线，，，过作，垂足为，则由抛物线定义可知，于是
，在上为减函数，当取到最大值时（此时直线与抛物线相切），计算可得直线的斜率为，从而，,故选C.
3．过上任一点作的切线切于两点，则的最小值为（
）
A．
B．
1
C．
D．
【答案】A
【解析】
根据题意，设为抛物线上任一点，则，
圆的圆心为,
设，则，
又由,
变形可得，
所以当最小时，最小，
又由，
则当的坐标为或时，取得的最小值，
此时最小，且的最小值为，故选A.
4．椭圆：的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点为椭圆上的任意一点，且在第一象限，为坐标原点，为椭圆的右焦点，则
的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
因为椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列
所以
，即
为椭圆的右焦点，所以c=3
在椭圆中，
所以，解方程组得
所以椭圆方程为
设
则，则
=
因为，所以当时，取得最大值为
当m趋近于0时，的值趋近于-16
所以的取值范围为
所以选C
5．是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（
）
A．
6
B．
7
C．
8
D．
9
【答案】D
【解析】
双曲线，故焦点为，圆心分别为，半径分别为.画出图像如下图所示.
要求的最大值，也即是求的最大值减去的最小值.由图可知的最大值为，的最小值为，故的最大值为.故选D.
6．已知椭圆C：的左、右顶点分别为A、B，F为椭圆C的右焦点，圆上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则的取值范围是　　
．
A．
B．
C．
D．
（-∞，0）∪（0，1）．
【答案】D
【解析】
椭圆C：焦点在x轴上，，右焦点F（1，0），
由P在圆x2+y2=4上，则PA⊥PB，
则
，则
，
设
则
，
设
则
且不等于0．
故选D：
7．已知是双曲线的左右焦点，若在右支上存在点使得点到直线的距离为，则离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
设
，所以
选B.
8．已知直线与双曲线的右支有两个交点，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
由得双曲线的渐近线方程为y=±x，
根据图象可得当﹣1＜k≤1时，直线与双曲线的右支只有1个交点，
当k≤﹣1时，直线与双曲线右支没有交点，
把y=kx﹣1代入x2﹣y2=4得：（1﹣k2）x+2kx﹣5=0，
令△=4k2+20（1﹣k2）=0，解得k=或k=﹣（舍）．
∴1＜k＜时直线与双曲线的右支有2个交点.
故选：D．
9．设椭圆
的左、右焦点分别为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
∵点在椭圆的外部，∴，
，
由椭圆的离心率
，
又因为
，且，要恒成立，即
，则椭圆离心率的取值范围是．故选：D．
10．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义，
，
设，
则在中由余弦定理得
，
化简，该式变成，
，
，的最大值是，故选D.
11．如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2，4)，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则的最小值为
A．
36
B．
42
C．
49
D．
50
【答案】B
【解析】
设抛物线方程为
由抛物线过定点得，抛物线方程，焦点为，
圆的标准方程为圆心为，半径，
由于直线过焦点，可设直线方程为，设
，
又
，
时等号成立，
的最小值为，故选B.
12．已知抛物线，圆 （r>0），过点的直线l交圆N于两点，交抛物线M于两点，且满足的直线l恰有三条，则r的取值范围为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由题意，当轴时，过与抛物线交于，与圆交于，满足题设；
当与轴不垂直时，设直线，
代入抛物线的方程，得，则，
把直线代入圆的方程，整理得，
设,
因为，所以，即
可得，则，
设，则，此时，
所以，即实数的取值范围是，故选B.
13．已知是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
设
则
，由题。
化为
整理得
解得
，
故选B.
14．已知椭圆的左、右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线与的交点的轨迹为曲线，若，且是曲线上不同的点，满足，则的取值范围为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
∵椭圆C1：+=1的左右焦点为F1，F2，
∴F1（﹣1，0），F2（1，0），直线l1：x=﹣1，
设l2：y=t，设P（﹣1，t），（t∈R），M（x，y），
则y=t，且由|MP|=|MF2|，
∴（x+1）2=（x﹣1）2+y2，
∴曲线C2：y2=4x．
∵A（1，2），B（x1，y1），C（x2，y2）是C2上不同的点，
∴，，
∵AB⊥BC，
∴=（x1﹣1）（x2﹣x1）+（y1﹣2）（y2﹣y1）=0，
∵，，
∴（﹣4）（﹣）+=0，
∵y1≠2，y1≠y2，
∴，
整理，得，
关于y1的方程有不为2的解，
∴，且y2≠﹣6，
∴0，且y2≠﹣6，
解得y2＜﹣6，或y2≥10．
故选：A．
15．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且,设与的离心率分别为，则的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
如图所示：
设椭圆与双曲线的焦距为,,由题意可得
，
，即
，即
，
由可知，令，，
所以，故选D.
16．已知椭圆的右顶点为，点在椭圆上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
∵∠APO=90°，∴点P在以AO为直径的圆上，
∵O(0,0),A(a,0)，
∴以AO为直径的圆方程为,即x2+y2 ax=0，
由消去y,得(b2 a2)x2+a3x a2b2=0.
设P(m,n)，
∵P、A是椭圆与x2+y2 ax=0两个不同的公共点，
∴,可得.
∵由图形得0即b2∴,解得椭圆离心率，
又∵e∈(0,1)，
∴椭圆的离心率e的取值范围为.
本题选择B选项.
17．已知椭圆上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
椭圆=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，
椭圆上点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为F1，连接AF，AF1，BF，
BF1，
∴四边形AFF1B为长方形．
根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，
∠ABF=α，则：∠AF1F=α．
∴2a=2ccosα+2csinα
椭圆的离心率e===，α∈[，]，
∴≤α+≤，
则：≤sin（α+）≤1，
∴≤≤﹣1，
∴椭圆离心率e的取值范围：，
故答案为：
18．抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由题意设，，，直线的方程为，
联立方程，整理得
，，，
点M的纵坐标，
弦的长度为
，即
，
整理得，即
根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，
，点的纵坐标的最小值为.
故选A.
19．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，，分别是两曲线，的离心率，则的最小值是（
）
A．
4
B．
6
C．
8
D．
16
【答案】C
【解析】
由题意设焦距为，椭圆长轴长，双曲线实轴长为，取椭圆与双曲线在一象限的交点为，由椭圆和双曲线定义分别有
，①，②③
，得，④
将④代入③得
则，
故最小值为8.
20．已知抛物线的焦点为，双曲线的右焦点为，过点的直线与抛物线在第一象限的交点为，且抛物线在点处的切线与直线垂直，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
2
【答案】B
【解析】
∵抛物线的焦点为，双曲线的右焦点为
∴过点，的直线方程为
∵抛物线在点处的切线与直线垂直
∴抛物线在点处的切线的斜率为
∵抛物线方程为
∴
设点的坐标为，则，即.
∴
∴
∴，则.
∵
∴，当且仅当时取等号.
∴的最大值为
故选B.
21．过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，若有三条直线满足，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由题意，（1）当轴，过与抛物线交于，与圆交于，满足题设；
（2）当不与轴垂直时，设，代入联立得，
把直线代入圆的方程，得，
设，
因为，所以，可得，
所以，当时，仅有三条，故选B．
22．（2017·海口市调研）在平面直角坐标系中，点为椭圆：的下顶点，，在椭圆上，若四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则椭圆的离心率的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
因为是平行四边形，因此且，
故，代入椭圆方程可得，所以．
因，所以即，
所以即，解得，故选A．
23．又到了大家最喜（tao）爱（yan）的圆锥曲线了.已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
直线：，即
直线恒过定点
直线过圆的圆心
，
的圆心为、两点中点
设，
上下相减可得：
化简可得
故选
24．已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，且，抛物线的准线与轴交于，于点，且四边形的面积为，过的直线交抛物线于两点，且，点为线段的垂直平分线与轴的交点，则点的横坐标的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
过B作BB1⊥l于B1，设直线AB与l交点为D，
由抛物线的性质可知AA1=AF，BB1=BF，CF=p，
设BD=m，BF=n，则===，
即=，
∴m=2n．
又=，∴==，∴n=，
∴DF=m+n=2p，∴∠ADA1=30°，
又AA1=3n=2p，CF=p，∴A1D=2p，CD=p，
∴A1C=p，
∴直角梯形AA1CF的面积为（2p+p） p=6，
解得p=2，
∴y2=4x，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
∵=λ，
∴y1=λy2，
设直线l：x=my﹣1代入到y2=4x中得y2﹣4my+4=0，
∴y1+y2=4m，y1y2=4，
∴x1+x2=m（y1+y2）﹣2=4m2﹣2，
由①②可得4m2==λ++2，
由1＜λ≤2可得y=λ++2递增，即有4m2∈（4，]，即m2∈（1，]，
又MN中点（2m2﹣1，2m），
∴直线MN的垂直平分线的方程为y﹣2m=﹣m（x﹣2m2+1），
令y=0，可得x0=2m2+1∈（3，]，
故选：A．
25．已知抛物线（）与双曲线（，）有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，且轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
：因为抛物线与双曲线焦点相同，所以，因为与x轴垂直，所以可求得点A的坐标为，将其代入双曲线方程可得：，
因为，代入上式可得：，
化简得：，两边同时除以得：，
解得或（舍），设渐近线斜率为k，
由，解得，所以倾斜角应大于，
所以区间可能是，
故选B.
二、填空题
26．已知双曲线C：（a＞0，b＞0），圆M：．若双曲线C的一条渐近线与圆M相切，则当取得最小值时，C的实轴长为________．
【答案】4
【解析】
设渐近线方程为，即，
与相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
，
，
，
时，；时，，
在上递减，在上递增，
时，有最小值，
此时长轴，故答案为4.
27．设椭圆的右焦点为F，离心率为e，直线AB的斜率为k，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF、BF的中点分别为M、N，以线段MN为直径的圆过原点若，则e的取值范围是______．
【答案】
【解析】
设，直线AB的方程为，
联立椭圆方程，可得，
解得，
设，，
可得，，
由线段MN为直径的圆过原点O，
可得，即，
即有，
可得，
由可得，结合椭圆的离心率范围为：0解得，
故填：
28．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线的垂线AP，BQ，垂足分别为P，记，若直线l的斜率，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
因为椭圆的短轴长为2，离心率为，
所以，解得，所以椭圆，
因为过右焦点的直线过椭圆交于不同的两点，
设直线的方程为，
联立，得，
设，则，
，
因为，所以当时，；
当时，，
所以实数的取值范围是.
29．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______________.
【答案】
【解析】
设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2,
∵∠F1PF2=，则∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①
在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，
在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③，
，
由柯西不等式得（1+）（）≥（）2
故答案为：
30．设分别是双曲线左右焦点，是双曲线上一点，内切圆被双曲线渐近线所截得弦长不大于实半轴，且与轴相切，则双曲线离心率取值范围是_____.
【答案】
【解析】
根据题意，不妨设在第一象限，分别为内切圆与三边的切点，
如图所示：
∵
∴在双曲线上，故内切圆圆心为，半径为
∴圆心到渐近线的距离是
∴弦长
依题得，即.
∴
∴
∵
∴，同时除以得
∴
故答案为
31．已知为坐标原点，过点作两条直线与抛物线：相切于，两点，则面积的最小值为__________．
【答案】.
【解析】
设，，
以为切点的切线方程为，
即，
同理为切点的切线方程为，代入，
可得，
过的直线方程为，联立，
可得，，
又到直线的距离为，
，
当时，等号成立，故答案为.
32．已知为坐标原点，过点作两条直线与抛物线：相切于，两点，则面积的最小值为__________．
【答案】
【解析】
设，，
以为切点的切线方程为，
即，
同理为切点的切线方程为，代入，
可得，
过的直线方程为，联立，
可得，，
又到直线的距离为，
，
当时，等号成立，故答案为.
33．设点是椭圆上的点，以点为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于不同的两点、，若为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
：因为圆与轴相切于焦点，
所以圆心与的连线必垂直于轴，不妨设，
因为在椭圆上，则，所以圆的半径为，
由题意，所以，所以.
值范围)．
34．已知双曲线的右焦点为为坐标原点，若存在直线过点交双曲线的右支于两点，使，则双曲线离心率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
由得．
（1）当直线与x轴垂直时，则有，
∴，即，
∴，
∴，解得．
（2）当直线与x轴不垂直时．
若直线平行于渐近线时，直线的斜率为，直线方程为，
代入双曲线方程可得点A的坐标为，
∴的斜率为，
又此时有，
∴，
整理得，解得．
但此时直线与双曲线的右支只有一个交点，不合题意．
∴双曲线离心率的取值范围是．
35．已知双曲线的左、右焦点分别为，是右支上的一点，是的延长线上一点，且，若，则的离心率的取值范围是______________．
【答案】
【解析】
设，则，，
∴，即，
又
即，得：
∴方程有大于的根
∴
得，又
∴
故答案为：
36．已知是椭圆上关于原点对称的两点，若椭圆上存在点，使得直线斜率的绝对值之和为1，则椭圆的离心率的取值范围是______.
【答案】
【解析】
不妨设椭圆C的方程为,,则，
所以，,两式相减得，所以，所以直线斜率的绝对值之和为，由题意得，，所以=4，即，所以，所以.
故答案为：
37．已知抛物线的焦点为，准线为，直线与抛物线相切于点，记点到直线的距离为，点到直线的距离为，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
依题意，得点因为，所以,不妨设点,
则直线：，即故点F到直线的距离，
，而点P到直线的距离，
∴，
当且仅当，即时取等号，
∴t的最大值为.
故答案为：
38．共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为，若椭圆的短轴长是双曲线虚轴长的倍，则的最大值为_______.
【答案】
【解析】
设椭圆的短半轴长和双曲线虚半轴长分别为、，椭圆的长半轴长和双曲线实半轴长分别为、，则，令，，∴.
故答案为：.
39．已知抛物线：
的焦点为，准线为，过点作直线交于，
两点，过，
分别作的垂直交于，
两点，设，
的斜率分别为，
，则的最小值为__________．
【答案】2
【解析】由已知可设，代入得：
．
设，则
由，得．
　
设，则当且仅当即取到最小值为．
故答案为：2
40．已知正的边长为，在平面中，动点满足，是的中点，则线段的最小值为__________．
【答案】
【解析】
如图所示，以A点为原点，建立坐标系，则：
，
M为PC的中点，则：，得，
即点M的轨迹满足圆的方程，圆心坐标，
所以.
41．抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为__________．
【答案】13
【解析】
由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF等于这点到准线的距离d,即FP=d.所以周长
，填13.
42．若双曲线上存在一点满足以为边长的正三角形的内切圆的面积等于（其中为坐标原点，
为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
由题意以为边长的正三角形内切圆的半径为，
所以内切圆的面积为，
又为双曲线上一点，从而，所以，
又以为边长的正三角形的内切圆的面积等于，所以，
得，即，所以双曲线的离心率的取值范围是.
43．已知，是双曲线的左，右焦点，点在双曲线的右支上，如果，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
渐近线的斜率为.设,根据双曲线的定义有,且,两式相除得到即由于,所以,所以,即斜率的取值范围是.
44．已知椭圆：
的左、右焦点分别为，点在椭圆上，
且，则当时，椭圆的离心率的取值范围为______．
【答案】
【解析】因为，所以可设，由，得，即，因为在椭圆上，所以，即，即，即，即在区间上为增函数，所以，即椭圆的离心率的取值范围为.
45．过圆的圆心的直线与抛物线相交于两点，且，则点到圆上任意一点的距离的最小值为__________．
【答案】
【解析】设由题得
不妨设
所以点到圆上任意一点的距离的最小值为故填.
试卷第26页，总26页
试卷第1页，总26页第四十九讲
分类讨论
A组
1.已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k等于(　　)
A.－
B.
C.0
D.－或0
答案：D
解析：
不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知若不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有直线y＝kx＋1与直线x＝0垂直(如图①)或直线y＝kx＋1与直线y＝2x垂直(如图②)时，平面区域才是直角三角形.
由图形可知斜率k的值为0或－.
2.点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的方程是(　　)
A．
B．
C．
D．
答案：D
解析：将化为，当a＞0时，准线，由已知得，∴＝12，∴a＝.当a＜0时，准线，由已知得＝6，∴．∴抛物线方程为，故选D.
3.某人根据自己爱好，希望从{W，X，Y，Z}中选2个不同字母，从{0,2,6,8}中选3个不同数字编拟车牌号，要求前3位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母Z和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有(　　)
A．198个
B．180个
C．216个
D．234个
答案：A
解析：不选2时，有A
A＝72个；选2，不选Z时，有CCAA＝72个；
选2时，2在数字的中间，有ACC＝36个，当2在数字的第三位时，AA＝18个．根据分类加法计数原理知，共有72＋72＋36＋18＝198个，故选A.
4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－2)＝f(x＋2)，当0＜x＜2时，f(x)＝1－log2(x＋1)，则当0A．(0,1)∪
(2,3)
B．(0,1)∪(3,4)
C．(1,2)∪(3,4)
D．(1,2)∪(2,3)
答案：D
解析：当0＜x＜2时，x－2＜0，不等式可化为
即
解得1＜x＜2，
当2＜x＜4时，x－2＞0，不等式可化为
由函数f(x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，
又f(x－2)＝f(x＋2)，则f(x)＝f(x－2＋2)＝f(x－2－2)＝－f(4－x)，
因为0＜4－x＜2，不等式可化为
解得2＜x＜3，
所以原不等式的解集为(1,2)∪(2,3)，故选D.
5.如图，在△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，△BCD的面积为4，则AC的长为
.
答案：4或2
解析：[设∠BCD＝θ，则在△BCD中，
S△BCD＝×2×2sin
θ＝4，即sin
θ＝,则cos
θ＝±,BD2＝20＋4－8×＝16或32，即BD＝4或4.
①当BD＝4时，＝，
即sin
B＝，此时＝，即AC＝＝4；
②当BD＝4时，＝，
即sin
B＝，此时＝，
即AC＝＝2.综上，AC的长为4或2.]
6.(湖南省师大等2016届高三四校联考)若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______.
答案:.
解析:∵，∴，又∵在上单调递增，∴，即实数的取值范围是[-4,0].
7.已知a＞0且a≠1，若函数f(x)＝loga(ax2－x)在[3，4]上是增函数，则a的取值范围．
解析:　由已知可得ax2－x＞0在[3，4]上恒成立，故9a－3＞0，解得a＞.
若0＜a＜1，则y＝logat在(0，＋∞)上单调递减，由题意知t＝ax2－x在[3，4]上为减函数，故≥4，解得a≤，这与a＞矛盾，不合题意；
若a＞1，则y＝logat在(0，＋∞)上单调递增，由题意知t＝ax2－x在[3，4]上为增函数，故≤3，解得a≥，因为a＞1，所以a的取值范围是(1，＋∞)．
8.已知函数f(x)＝sin
x(x≥0),g(x)＝ax(x≥0).
(1)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围；
(2)当a取(1)中的最小值时,求证：g(x)－f(x)≤x3.
解析：(1)解　令h(x)＝sin
x－ax(x≥0),则h′(x)＝cos
x－a.
①若a≥1,h′(x)＝cos
x－a≤0,h(x)＝sin
x－ax(x≥0)单调递减,h(x)≤h(0)＝0,则sin
x≤ax(x≥0)成立.
②若0x0＝a,
当x∈(0,x0),h′(x)＝cos
x－a>0,h(x)＝sin
x－ax(x∈(0,x0))单调递增,h(x)>h(0)＝0,不合题意.
③若a≤0,结合f(x)与g(x)的图象可知显然不合题意.
综上可知,a的取值范围是[1,＋∞).
(2)证明　当a取(1)中的最小值为1时,g(x)－f(x)＝x－sin
x.
设H(x)＝x－sin
x－x3(x≥0),则H′(x)＝1－cos
x－x2.
令G(x)＝1－cos
x－x2,则G′(x)＝sin
x－x≤0(x≥0),
所以G(x)＝1-cos
x-x2在[0,＋∞)上单调递减,
此时G(x)＝1-cos
x-x2≤G(0)＝0,即H′(x)＝1-cos
x-x2≤0,
所以H(x)＝x-sin
x-x3在x∈[0,＋∞)上单调递减.
所以H(x)＝x-sin
x-x3≤H(0)＝0,则x-sin
x≤x3(x≥0).
所以,当a取(1)中的最小值时,g(x)－f(x)≤x3.
9.
（2015年全国I高考理科）在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线(＞0)交与M,N两点，
（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。
【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在
解析：（Ⅰ）由题设可得，，或，.
∵，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为
，即.
故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为
，即.
故所求切线方程为或.
……5分
（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为.
将代入C得方程整理得.
∴.
∴==.
当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM=∠OPN，所以符合题意.
考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力
10.（2015年全国I高考理科）已知函数f（x）=
(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线
的切线；
（Ⅱ）用
表示m,n中的最小值，设函数
，讨论h（x）零点的个数
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将分为研究的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论.
试题解析：（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得.
因此，当时，轴是曲线的切线.
……5分
（Ⅱ）当时，，从而，
∴在（1，+∞）无零点.
当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.
当时，，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.
(ⅰ)若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点.
(ⅱ)若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=。
若＞0，即＜＜0，在（0,1）无零点.
若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；
若＜0，即，由于，，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.…10分
综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.
……12分
考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想
B组
1.(2016·内蒙古赤峰模拟)已知实数a>0，且a≠1，函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上是减函数，函数g(x)＝ax＋，则下列选项正确的是(　　)
A.g(－3)B.g(－3)C.g(4)D.g(2)答案：D
[由函数y＝loga|x|在(－∞，0)上为减函数,可得a>1,故g(－3)－g(2)＝(a－1)×>0,所以g(－3)>g(2)，又g(4)－g(－3)＝(a－1)×>0，所以g(4)>g(－3)，故有g(4)>g(－3)>g(2).]
2.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心O到平面ABC的距离为1,则SA与平面ABC所成角的大小为(　　)
A.30°
B.60°
C.30°或60°
D.45°或60°
答案：C　
解析:球心位置有以下两种情况:球心在三棱锥内部;球心在三棱锥外部.球心在三棱锥内部时,三棱锥为正三棱锥,设O'为△ABC的中心,在△ABC中,可求得O'A=,所以可得OA=2,SO'=3,SA与平面ABC所成的角即为∠SAO',由tan∠SAO'=,得∠SAO'=60°.同理可得第二种情况中所成角为30°.
3.（2015全国）
设函数=,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得0，则的取值范围是（
）
A.[-，1）
B.
[-，）
C.
[，）
D.
[，1）
【答案】D
【解析】
试题分析：设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.
因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时，=，
当时，=-1，，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故选D.
4.已知函数，若方程恰有七个不相同的实根，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
答案：B
思路：考虑通过图像变换作出的图像（如图），因为最多只能解出2个，若要出七个根，则，所以，解得：
5.已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1]
B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
【答案】　D　设等比数列{an}的公比为q，
则S3＝a1＋a2＋a3＝a2＝1＋q＋，
当q>0时，S3＝1＋q＋≥1＋2＝3；
当q<0时，S3＝1－
≤1－2＝－1.
∴S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D.
6.已知函数f(x)＝若关于x的方程f(f(x))＝0有且只有一个实数解，则实数a的取值范围为________．
答案：(－1,0)∪(0，＋∞)
解析：当a>0时，
若x>1，f(x)>0，∴f(f(x))＝f(lg
x)＝lg(lg
x)＝0 lg
x＝1，∴x＝10成立．
若x≤1，f(x)<0，f(f(x))＝f＝＝0无解．
∴a>0时f(f(x))＝0有且只有一个实数解．
当a<0时，
若x>1,
f(x)>0，
f(f(x))＝f(lg
x)＝lg(lgx)＝0，∴x＝10成立．
若0若x≤0，f(x)＝>0，∴f(f(x))＝lg＝0 ＝1.
∴a＝x－1.∵x－1≤－1，∴a≤－1时有解．
∴－1综上实数a的取值范围a>0或－17.(宁夏银川市唐徕回民中学2016届高三月考)已知命题p：关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
分析：当和均为真时分别求得相应的范围.根据为真命题，为假命题，可知和一真一假.命题为假时取值范围是命题为真时取值范围的补集.
解析：由关于的不等式的解集是，知；由函数的定义域为，知不等式的解集为，则解得.因为为真命题，为假命题，所以和一真一假，当假，真时，由；当真，假时，由。综上，知实数a的取值范围是．
8.（2016年上海高考）
已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【答案】（1）．（2）．（3）．
【解析】
（1）由，得，
解得．
（2），，
当时，，经检验，满足题意．
当时，，经检验，满足题意．
当且时，，，．
是原方程的解当且仅当，即；
是原方程的解当且仅当，即．
于是满足题意的．
综上，的取值范围为．
（3）当时，，，
所以在上单调递减．
函数在区间上的最大值与最小值分别为，．
即，对任意
成立．
因为，所以函数在区间上单调递增，时，
有最小值，由，得．
故的取值范围为．
9.
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点(1，)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设与圆O：x2＋y2＝相切的直线l交椭圆C于A，B两点，M为圆O上的动点，求△ABM面积的最大值，及其取得最大值时，直线l的方程．
解：(1)由题意可得
解得所以椭圆C的方程是＋y2＝1.
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝±，
代入椭圆方程解得y＝±，此时|AB|＝，△ABM面积的最大值为××＝.
②当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，直线l：y＝kx＋m.
圆心(0，0)到直线l的距离d＝＝，所以4m2＝3(1＋k2)．
由方程组消去y，得(1＋3k2)x2＋6km＋3m2－3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝12(3k2－m2＋1)>0，x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|AB|＝＝＝
＝＝
·＝·＝
≤2.
当且仅当＝9k2，即k＝±时等号成立．
此时△ABM面积的最大值为×2×＝.
因为<，故△ABM面积的最大值为，此时4m2＝3(1＋k2)＝4，解得m＝±1，经检验此时Δ＝12>0，
所以直线l的方程为y＝x±1或者y＝－x±1.
10.为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1
000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
(ⅰ)顾客所获的奖励额为60元的概率；
(ⅱ)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
(2)商场对奖励总额的预算是60
000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.
解　(1)设顾客所获的奖励额为X.
(ⅰ)依题意，得P(X＝60)＝＝，即顾客所获的奖励额为60元的概率为.
(ⅱ)依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X＝60)＝，P(X＝20)＝＝，
即X的分布列为
X
20
60
P
所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)＝20×＋60×＝40(元).
(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.
对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.
以下是对两个方案的分析：
对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为
X1
20
60
100
P
X1的期望为E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝.
对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为
X2
40
60
80
P
X2的期望为E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60，
X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝.
由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.
C组
1.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A B中元素的个数为(　　)
A．77
B．49
C．45
D．30
答案:　C　
解析：分类讨论：当x1＝0时，y1可取－1，0，1，y2和x2可取－2，－1，0，1，2.此时x1＋x2的值为－2，－1，0，1，2；y1＋y2的值为－3，－2，
－1，0，1，2，3.
∴(x1＋x2，y1＋y2)共有5×7＝35(个)．
当x1＝1时，y1＝0，x2和y2可取－2，－1，0，1，2，此时x1＋x2的值为－1，0，1，2，3，y1＋y2的值为－2，－1，0，1，2.其中x1＋x2取－1，0，1，2时与上面重复，∴x1＋x2＝3，y1＋y2的值为－2，－1，0，1，2.则(x1＋x2，y1＋y2)共有5×1＝5(个)．
当x1＝－1时，y1＝0，同x1＝1，y1＝0时．
∴总个数为35＋5＋5＝45.
2.(安徽省示范高中2016届高三第一次联考)若的一个对称中心为，则的值所在区间可以是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
解析：其中，且，因为一个对称中心为（a,0),所以，，故，当K=0时，选择B
（江苏省栟茶高级中学2015届高三）设函数在上存在导数，对任意的，有
，且在上．若，则实数的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：构造函数：
在为增函数。
说明：是奇函数。所以是上的增函数。
所以，
4.(河北省衡水中学2016届高三上学期七调考试)
定义在上的函数满足，当时，，函数，若，不等式成立，则实数的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
答案:C
解析:由题意，当时，
，当时，，所以当时，，又，因此当时，，当时，，即当时，，最小值为－8，，令，得或，由易得是极小值点，是极大值点，，，由题意，．故选C．
5.(2015·江苏)已知函数f(x)＝|ln
x|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________.
答案：4　解析：令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋＝＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示.
由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4.
6.(河北省邯郸市第一中学2016届高三下学期研六考试)关于的方程有唯一的解，则实数的取值范围是
.
答案:或
解析:要使方程有意义，则，
设，若，此时函数在时，单调递减，单调递增，此时两个函数只有一个交点，满足方程有唯一解；若，要使方程有唯一的解，则函数与有相同的切线，
设切点为，则，则满足，即①，同时，②；得，即，∵与只有一个根，∴解得，当时，，即切点为，则与在处相切，即此时，即，满足条件．故答案为：或
7.随机将1,2，…，2n(n∈N
，n≥2)这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数.A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2，记ξ＝a2－a1，η＝b2－b1.
(1)当n＝3时，求ξ的分布列和数学期望；
(2)令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P(C)；
(3)对(2)中的事件C，表示C的对立事件，判断P(C)和P()的大小关系，并说明理由.
解：　(1)当n＝3时，ξ的所有可能取值为2，3，4，5.
将6个正整数平均分成A，B两组，不同的分组方法共有C＝20种，所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
P
E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为：n－1，n，n＋1，…，2n－2.
又ξ和η恰好相等且等于n－1时，不同的分组方法有2种；
ξ和η恰好相等且等于n时，不同的分组方法有2种；
ξ和η恰好相等且等于n＋k(k＝1，2，…，n－2)(n≥3)时，不同的分组方法有2C种；
所以当n＝2时，P(C)＝＝，
当n≥3时，P(C)＝.
(3)由(2)知当n＝2时，P()＝，因此P(C)>P().
而当n≥3时，P(C)P(C)用数学归纳法来证明：
1°当n=3时，①式左边=4（2+）=4（2+2）=16，
①右边==20，所以①式成立.
2°假设n=m(m≥3)时①式成立，
那么，当n=m+1时，
左边=
＝＋
＝
<
＝C·
即当n＝m＋1时①式也成立.
综合1°，2°得：对于n≥3的所有正整数，都有P(C)8.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.
解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px得x0＝.所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.
由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0).
代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故AB的中点为D(2m2＋1，2m)，|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1).
又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.
将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.
设M(x3，y3)、N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3).
故MN的中点为E，
|MN|＝|y3－y4|＝.
由于MN垂直平分AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，
从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即
4(m2＋1)2＋＋＝.
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.
所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
9.设，函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调增区间；
（Ⅱ）若时，不等式恒成立，实数的取值范围.．
解：（1）当时，
当时，，在内单调递增；
当时，恒成立，故在内单调递增；
的单调增区间为。
（2）①当时，，
，恒成立，在上增函数。
故当时，。
②当时，，
（Ⅰ）当，即时，在时为正数，所以在区间上为增函数。故当时，，且此时
（Ⅱ）当，即时，在时为负数，在时为正数，所以在区间上为减函数，在上为增函数。故当时，，且此时。
（Ⅲ）当，即时，在时为负数，所以在区间上为减函数，故当时，。
所以函数的最小值为。
由条件得此时；或，此时；或，此时无解。
综上，。
10.（河北省衡水中学2016届高三上学期七调考试）已知函数.
⑴求的单调区间；
⑵若，且对任意恒成立，求的最大值；
⑶对于在区间上任意一个常数，是否存在正数，使得成立？请说明理由.
解析：⑴易得，函数定义域为，且当时，
即在区间上是增函数，当时，，即即在区间上是减函数
的单调递增区间为，单调递减区间为.
由，变形整理得：
令，则，若时，
g(x)在增函数，，故K最大值为2.
若由，由，即在上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上有最小值，为，于是转化为恒成立，求的最大值，令，当时，
单调递减，当时，单调递增.在处取得最大值.，
，的最大值为4.
⑶假设存在这样的满足题意，则由，要找一个使式成立，只需找到当时，函数的最小值满足即可.，令，取，在时，，在时，
下面只需证明：在时，成立即可，又令，则在时为增函数.
符合条件，即存在正数满足条件.
(
1
)第二十六讲以平面向量为背景的取值范围问题专题
一、选择题
1．已知在平面四边形中，
，，,，，点为边上的动点，则的最小值为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，
过点作轴，过点作轴，
∵，，，，，
∴，，
∴，∴，∴，
∴，∴，，，
设，∴，，，
∴，
当时，取得最小值为，故选C.
2．已知平面向量满足，则最大值为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设，
与所成夹角为，则：
，则向量的夹角为60°，
设，则，故：
，设O到BC的距离为，
则，
由可知点A落在以O位圆心，4为半径的圆上，
A到BC的距离的最大值为，
则△ABC的面积的最大值为：
故最大值为
本题选择D选项.
3．已知为原点，点的坐标分别是和其中常数，点在线段上，且，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为点的坐标分别是和
所以
又由点P在线段AB上，且
所以
则 ，
当t=0时候取最大为.
故选A.
4．设为单位向量，非零向量.若的夹角为，则的最大值等于（
）
A．
4
B．
3
C．
2
D．
1
【答案】C
【解析】||=
只考虑x>0，则=== 2，
当且仅当= 时取等号。
∴的最大值等于2.
故答案为：2.
5．若向量，且，则的最大值是
A．
1
B．
C．
D．
3
【答案】B
【解析】
,选D.
6．已知在三角形中，
，边的长分别为方程的两个实数根，若斜边上有异于端点的两点，且，则的取值范围为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】有题可知.
建立如图所示的坐标系，有点.
设，则.
所以
.
因为点到边的距离，
所以的面积为定值.
所以，故，故选C.
7．已知是单位向量，.若向量满足则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设，，，则.
设
，则，故，故选A.
8．已知非零向量满足，且关于的方程有实根，则向量与夹角的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设与的夹角为θ，因为，所以，
本题选择B选项.
9．在中，
，
，点在上，则的最小值是
（
）
A．
-36
B．
-9
C．
9
D．
36
【答案】B
【解析】
,则
，故选B.
10．设是单位圆上三点，若，则的最大值为（
）
A．
3
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵是半径为1的圆上三点，
，
∴根据余弦定理可知边所对的圆心角为60°则∠=30°
在中，根据正弦定理可知.
∴
的最大值为，故选C.
11．已知两点，
，点在曲线上运动，则的最小值为（
）
A．
2
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
，
，即的最小值为
，故选D.
12．已知向量与的夹角为，
，
，
，
，
在时取最小值，当时，
的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意有：
，
由向量关系可得：
，
则：
，
整理可得：
，
满足题意时：
，
据此可得三角不等式：
，
解得：
，即
的取值范围是
.
本题选择D选项.
13．已知平面向量，
，
，
，且.若为平面单位向量，
的最大值为（
）
A．
B．
6
C．
D．
7
【答案】C
【解析】，其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值，
∴，则的最大值为，故选C.
14．如图在中，
为边上一点（含端点），
，则的最大值为（
）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
【答案】D
【解析】
,
,
，因为，所以，即的最大值为
.
15．已知点是边长为2的正方形的内切圆内（含边界）一动点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】试题分析：建立坐标系如图所示，设，其中，
，易知，而，若设，则，由于，所以的取值范围是，故选C.
16．已知为单位向量，且，向量满足，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】法一：由得，即，所以，则有，又因为，所以，由于，所以有，解得：
，故选则D.
法二：设向量，设向量，则，所以有，即，所以点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，如下图，
因为，可以看作圆上动点到原点距离的最大值、最小值，先求圆心到原点的距离为，所以，
，所以，故选择D.
17．如图，扇形中，，是中点，是弧上的动点，是线段上的动点，则的最小值为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
建立如图所示平面直角坐标系，设，则，故，因为，所以；又因为，所以（当且仅当取等号），应选答案D。
二、填空题
18．，
分别为的中点，设以为圆心，
为半径的圆弧上的动点为
(如图所示)，则的取值范围是
______________.
【答案】
【解析】
以A
为原点，以AB为x轴，以AD
为y轴建立平面直角坐标系，设，则，
，
，
，
，（其中
），当时，
取得最大值，当在点位置时
，
取最小值
，则的取值范围.
19．定义域为的函数的图象的两个端点为A，B，是图象上的任意一点，其中，向量，其中O是坐标原点若不等式恒成立，则称函数在上“k阶线性近似”若在上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
由题意知，，，；
直线AB的方程为；
，
；
，N两点的横坐标相同，且点N在直线AB上；
，
，时取“”；
又，
；
要使恒成立，k的取值范围是．
故答案为：．
20．在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边　交于，若，，则的最小值是________．
【答案】
【解析】
中，为边的中点，为的中点，
且，
，
，
同理，，
又与共线，
存在实数，使，
即，
，解得，
，
当且仅当时，
“=”成立，故答案为.
21．已知点，O为原点，对于圆O：上的任意一点P，直线l：上总存在点Q满足条件，则实数k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
根据题意，是圆
上任意一点，
可设，
若点满足条件，则是的中点，
则的坐标为，
若在直线上，则，
变形可得，
即表示单位圆上的点
与点连线的斜率，
设过点的直线与圆相切，
则有，
解可得或，
则有，即的取值范围为,故答案为
22．如图，向量，，，P是以O为圆心、为半径的圆弧上的动点，若，则mn的最大值是______．
【答案】
【解析】
因为，，，
所以,
因为为圆上，所以，
，
，
，
，
，
，故答案为1．
23．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2a﹣c） =c 且|﹣|=2，则△ABC面积的最大值为_____
【答案】
【解析】
∵（（2a﹣c） =c ，
可化为：
即：（2a-c）cacosB=cabcosC，
∴（
2a-c）cosB=bcosC，
根据正弦定理有（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（C+B），即
2sinAcosB=sinA，
∵sinA＞0，
∴
，即
；
∵
，即b2=4，根据余弦定理b2=a2+c2-2accosB，
可得4=a2+c2-ac，由基本不等式可知4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤4，
∴△ABC的面积
，
即当a=c=2时，△ABC的面积的最大值为．
故答案为：.
24．已知点和圆上的动点，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
设已知圆的圆心为C,由已知可得，
∴,
又由中点公式得，所以：
又因为，点P在圆(x 3)2+(y 4)2=4上，所以,且，
所以，
即,故，
所以|PA|2+|PB|2的最大值为100，最小值为20.
的取值范围是.
25．如图，在梯形中，，，，.是线段上一点，（可与，重合），若，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
设，，
，
，故答案为.
26．在△ABC中，D为AB的中点，若，则的最小值是_______．
【答案】．
【解析】
根据D为AB的中点，若，得到，
化简整理得，即，
根据正弦定理可得，进一步求得，
所以
，
求导可得当时，式子取得最大值，代入求得其结果为
，
故答案为.
27．已知与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值是___________．
【答案】
【解析】
∵l1：mx﹣y﹣3m+1=0与l2：x+my﹣3m﹣1=0，
∴l1⊥l2，l1过定点（3，1），l2过定点（1，3），
∴点P的轨迹方程为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，
作垂直线段CD⊥AB，CD==1，
所以点D的轨迹为,
则，
因为圆P和圆D的圆心距为，
所以两圆外离，
所以|PD|最小值为，
所以的最小值为4﹣2.
故答案为：4﹣2.
28．如图，已知扇形的弧长为，半径为，点在弧上运动，且点不与点重合，则四边形面积的最大值为___________．
【答案】
【解析】
已知扇形的弧长为，半径为，所以。
由三角形的面积公式可知，，所以四边形面积为，因为，所以，由此四边形面积为，，，所以最大值为，当时取等号。
29．若中，，为所在平面内一点且满足，则长度的最小值为_____．
【答案】
【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，，
设，所以，
所以，
即，令，则，所以，
所以
，
当且仅当时，取得最小值.
30．如图，棱形的边长为2，,M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为_______．
【答案】9
【解析】
如图，
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，
由于菱形ABCD的边长为2，，M为DC的中点，故点，
则，
设，N为菱形内（包括边界）一动点，
对应的平面区域即为菱形ABCD及其内部区域.
因为，则，
令，则，由图像可得当目标函数过点时，取得最大值，此时，
故答案为9.
31．在中，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，__________．
【答案】24.
【解析】
由，得，
，
，即，
以为坐标原点建立如图所示的坐标系，
则，设，
则
，
当时取得最小值，此时，
则，故答案为.
32．在中,为的中点,,的面积为6,且交于点,将沿翻折,翻折过程中，与所成角的余弦值取值范围是__．
【答案】.
【解析】
：如图所示，根据题意，过作的垂线，垂足为过作的垂线，垂足为由题,的面积为6，
，设
的夹角为，
故与所成角的余弦值取值范围是.
即答案为.
33．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是________；
若向量，则的最小值为_________.
【答案】
【解析】
如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，结合题意，可知，所以
，因为，所以，所以，所以的范围是；
根据，可得，即，从而可以求得，
所以，
因为，所以，所以当取得最大值1时，同时取得最小值0，这时取得最小值为，所以的最小值是.
34．已知，是两个单位向量，而，，，，则对于任意实数，的最小值是__________．
【答案】
【解析】
当且仅当时取等号，即的最小值是3.
35．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量,则最小值为___________．
【答案】
【解析】
以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
设正方形的边长为，
则

设
.又向量
所以，
∴，
∴，
∴．
令，则
所以当时，取最小值为.
36．如图，正方形的边长为，三角形是等腰直角三角形（为直角顶点），，分别为线段，上的动点（含端点），则的范围为__________．
【答案】
【解析】
以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
∵正方形的边长为，三角形是等腰直角三角形，
∴．
设，
∵，
∴，
又，
∴，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立。
又，
∴，
故的范围为．
37．设向量，
，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题知，又夹角为锐角即，由数量积运算可得
即．当时，夹角为，舍去．故本题应填．
38．已知梯形中，
是边上一点，且.当在边上运动时，
的最大值是________________．
【答案】
【解析】设，则
，故．
试卷第22页，总22页
试卷第1页，总23页第三讲函数的性质选择填空压轴题专练
A组
一、选择题
1．（2016年山东卷）已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时，
；当
时，；当
时，，则f(6)=（
）
A． 2
B． 1
C．0
D．2
【答案】D
【解析】当时，为奇函数，且当时，，
所以．而，所以，故选D．
2．
已知函数是定义在R上的偶函数,
且在区间单调递增.
若实数a满足,
则a的取值范围是
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】C
【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，且，
所以，即，
因为函数在区间单调递增，所以，即，
所以，解得，
即a的取值范围是，选C.
3．（2017年山东卷理）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当时，
，
单调递减，且，单调递增，且
，此时有且仅有一个交点；当时，
，在
上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需
选B.
4．已知函数，且，则当时，的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由于，所以函数为奇函数，为增函数.由得到，根据函数的单调性，有，即，由于故点表示的是圆心为半径为的圆的上半部分，包括圆内.的几何意义是两点连线的斜率的取值范围，画出图像如下图所示，由图可知，斜率的最小值为，斜率的最大值为，由于，利用二倍角的正切值得.
5．已知满足对，，且时，（为常数），则的值为（
）
A.4
B.-4
C.6
D.-6
【答案】B
【解析】
由题意满足对，，即函数为奇函数，由奇函数的性质可得则当时，，故，选B
6．已知函数，且，则当时，的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由函数，则，所以函数为奇函数，所以不等式可转化为，又因为
，所以函数为单调递增函数，所以可得
，又，所以表示圆心在，半径为的上半圆．设，则可得
，则在区间上为单调递减函数，则当时，，所以的取值范围是，故选C．
7．设函数且，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由函数，令，则，所以，即，即，又函数为单调递增函数，所以，解得，故选C．
8．已知函数
，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
对于函数
，当时，；当时，，则函数的最大值为，则要使不等式恒成立，则，解得，故选B．
9．已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的都有，若动点满足等式，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
因为对任意的都有，令，∴，∴．令，∴，∴，该函数为奇函数．∵．∴．∵是定义在上的单调函数．∴，即．整理，得．令，∴
，∴，故选C．
10．已知函数的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
当时,函数,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案B不正确．当时,函数,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案C也不正确．当时,函数,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案A也不正确．故应选D．
11．已知定义在上的函数满足下列三个条件
①对任意的都有；
②对任意的，都有；
③的图象关于轴对称，则的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
由题意可知函数是周期为的周期函数,且关于直线对称,因为,且在区间上单调递增,所以,应选D.
12．函数的图象关于轴对称，且对任意都有，若当时，，则（
）
A．
B．
C.
D．4
【答案】A
【解析】
因为函数对任意都有，所以，函数是周期为的函数，，由可得，因为函数的图象关于轴对称，所以函数是偶函数，，所以，故选A.
13．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于函数有以下四个命题：
①；
②函数是偶函数；
③任意一个非零有理数，对任意恒成立；
④存在三个点，，
，使得为等边三角形．
其中真命题的个数是（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【解析】
由是有理数
，故命题①正确；易得是偶函数，故②正确；易得是偶函数，故③正确；取，可得为等边三角形
，故④正确，综上真命题的个数有个.
二、填空题
14．（2018北京高考）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】令，则对任意的都成立，
但在上不是增函数．
又如，令，则，对任意的都成立，
但在上不是增函数．
15．函数，，若对，，，则实数的最小值是
．
【答案】
【解析】
，对称轴，在区间递减，∴，，是增函数，∴，，∴只需即可，解得：，故答案为：．
16．已知函数,则
的值是
．
【答案】
【解析】
因,故,所以,应填.
17．定义在上的函数满足：，当时，有，且．设，则实数m与－1的大小关系是
．
【答案】
【解析】
∵函数满足，令得；令得．
∴在为奇函数，单调减函数且在时，，则在时．又，
∵，
18．已知函数是周期为2的奇函数，当时，，则
.
【答案】
【解析】
因为函数是周期为2的奇函数，所以，即应填.
三、解答题
19．已知函数，
（1）求不等式的解集；
（2）若对一切，均有成立，求实数m的取值范围．
【解析】
（1），
∴（2x＋4）（x－4）<0，∴－2∴不等式g（x）<0的解集为{x|－2（2）∵f（x）＝x2－2x－8．
当x>2时，f（x）≥（m＋2）x－m－15恒成立，
∴x2－2x－8≥（m＋2）x－m－15，
即x2－4x＋7≥m（x－1）．
∴对一切x>2，均有不等式≥m成立．
而＝（x－1）＋－2≥2－2＝2（当x＝3时等号成立）．
∴实数m的取值范围是（－∞，2].
B组
一、选择题
1．（2017年天津卷理）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】不等式为(
)，
当时，(
)式即为，，
又（时取等号），
（时取等号），
所以，
当时，(
)式为，，
又（当时取等号），
（当时取等号），
所以，
综上．故选A．
2．（2016全国卷Ⅱ）已知函数满足，若函数与图像的交点为，，…，，则（
）
A．0
B．m
C．2m
D．4m
【答案】B
【解析】由得，可知关于对称，
而也关于对称，
∴对于每一组对称点
，
∴，故选B．
3．若不等式对任意实数，都成立，则实数的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
因为
所以，，要对任意实数，都成立，
只需
，即，故选C
.
4．已知函数，则关于的不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，设，，所以为奇函数，图像关于原点对称，要，只需.
5．已知函数，若不等式<0对任意均成立，则的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
因为，且单调递增，所以函数为R上单调递增的奇函数，从而
又，当且仅当时取等号，所以的取值范围为，选A.
6．已知,
下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
因函数,故函数是奇函数,且在单调递增,由于,所以
,故应选B.
7．已知是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若对任意的，等式恒成立，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由于“函数的图象关于点对称”，故图象关于原点对称，为奇函数，不妨设.根据，得，作图象如下图所示，故最大值为.当时，过，由图象可知还不是最小值，不合题意，故选C.
8．定义区间的长度为（），函数的定义域与值域都是，则区间取最大长度时实数的值为（
）
A．
B．-3
C．1
D．3
【答案】D
【解析】
设是已知函数定义域的子集．，或，故函数在上单调递增，则，故是方程的同号的相异实数根，即的同号的相异实数根，∵，∴同号，只需，∴或，，取最大值为．此时，故选：D．
9．已知函数满足，若函数与图像的交点为
则
（A）0
（B）m
（C）2m
（D）4m
【答案】B
【解析】
由于，不妨设，其图像与函数的图像的交点为，故，故选B.
10．定义：如果函数在上存在满足，，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，，由题意方程即在上有两个不等实根．
所以，解得．故选B．
11．已知定义在上的函数满足:
的图像关于点对称，且当时恒有，当时，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
的图象关于点对称，则关于原点对称，．当时恒有，则函数周期为.所以.
12．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x)，则f(6)的值为（
）
A.－1
B.0
C.1
D.2
【答案】B
【解析】
由f(x+2)=－f(x)可知函数具有周期性，周期
二、填空题
13．已知定义在上的偶函数满足：，且当时，单调递减，给出以下四个命题：
①；
②为函数图象的一条对称轴；
③在单调递增；
④若方程在上的两根为、，则．
以上命题中所有正确命题的序号为
．
【答案】①②④
【解析】
①依题意，,令,则,∴
；②,∴函数周期为,偶函数的对称轴是,∴是的对称轴；③在上递减,又函数周期为，∴函数在上递减；④在上递增，且为偶函数,∴
在上递减,∴在上递减,图象关于对称,∴
两个根的和为,故正确的有①②④.
14．函数对任意都有，则称为在区间上的可控函数，区间称为函数的“可控”区间，写出函数的一个“可控”区间是________.
【答案】的子集都可以
【解析】
因为,由可控函数的定义可得,即
,所以区间应为的一个子区间.
15．给出下列命题：
（1）设与是定义在上的两个函数，若恒成立，且为奇函数，则也是奇函数；
（2）若，都有成立，且函数在上递增，则在上也递增；
（3）已知，函数，若函数在上的最大值比最小值多，则实数的取值集合为；
（4）存在不同的实数，使得关于的方程的根的个数为2个、4个、5个、8个．
则所有正确命题的序号为________．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
（1）为真，令即可；（2）为真，不妨设，则即即．（3）为假，作图后如果定势思维很容易漏掉，加大可得正确答案（4）为真，方程与函数图象结合，关于的方程若一正一负，正大于，此时有根；若一零一，此时有根；若判别式，此时有根；若两个均为正，则有个根．
三、解答题
16．已知函数.
（1）求的值；
（2）当（其中，且a是常数）时，若恒成立，求m的取值范围.
【解析】
（1）由
又，
为奇函数.
=0
（2）设，则，
，
，即
恒成立，即恒成立
令，则在定义域上是减函数，
则．
17．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
（1）已知，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意∈[0,1]，总存在∈[0,1]，使得=成立，求实数的值．
【解析】
（1），
设
则
则，．
由已知性质得，当，即时，单调递减；
所以减区间为；
当，即时，单调递增；
所以增区间为；
由，
得的值域为．
为减函数，
故．
由题意，的值域是的值域的子集，
C组
一、选择题
1．是定义在上的奇函数，且，当时，，则当时，不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
当时，不等式即为，所以；当时，，所以
，当时，，由可得，不等式可转化为即，所以，综上所述：不等式的解集是，故选D.
2．已知函数，，，若图象上存在，两个不同的点与图象上，两点关于轴对称，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D.
【解析】
设函数图象上任一点，其关于轴的对称点为，
∴由题意可知方程在上有两个不等实根，∴，即实数的取值范围是，故选D．
3．定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于（1,0）成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
设，则．由，知，即，所以函数为减函数．因为函数的图象关于成中心对称，所以为奇函数，所以，所以，即．因为，而在条件下，易求得，所以，所以，所以，即，故选D．
4．设和是定义在同一个区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在上是“关联函数”，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由题意，方程在上有两不等实根，设，则，解得．故选A．
5．已知函数，则（
）
A．1007
B．1008
C．2014
D．2015
【答案】A
【解析】
函数，则
，所以
，故选A．
6．设函数，若,则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
由题若即当时，此时即为结合即，可知此时；当时，此时即为结合即，取交集即为，
综上
实数的取值范围是
7．已知，在上任取三个数a，b，c，均存在以为三边的三角形，则m的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
设，在上的最大值为，最小值为，则题意等价于，又，所以，又，成立，在上单调递增，，由得，得，故选A．
8．已知函数的图象恰有三对点关于原点成中心对称，则的取值范围是（
）
A．
B．
C.
D．
【答案】D
【解析】
由题意，问题转化为函数与的图象恰有三个公共点，显然时，不满足条件，当时，画出草图如图，
方程，即有两个小于的实数根.
结合图形，有，∴.选D。
9．设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（
）
A．-1
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【解析】
因为函数的图象与的图象关于直线对称，所以，
所以，故选C．
10．已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由题可知在上有根，等价于，令，则，若则，若，则，所以在单调增，在单调减，又，，，所以的取值范围是，故选A．
二、填空题
11．已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是
．
【答案】
【解析】
∵函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=-1的对称点在y=kx-1的图象上，而函数y=kx-1关于直线y=-1的对称图象为y=-kx-1，∴的图象与y=-kx-1的图象有且只有四个不同的交点，
作函数的图象与y=-kx-1的图象如下，
易知直线y=-kx-1恒过点A（0，-1），设直线AC与y=xlnx-2x相切于点C（x，xlnx-2x），y′=lnx-1，
故，解得，x=1；故kAC=-1；设直线AB与相切于点B，
y′=2x+，故，解得，x=-1；故；故-1＜-k＜-，故＜k＜1；
12．已知函数满足，若函数与图像的交点为
则
.
【答案】
【解析】
所以的图象关于点对称，也关于点对称，
三、解答题
13．已知函数的图象过点，且对任意实数都成立，函数与的图象关于原点对称．
（1）求与的解析式；
（2）若在上是增函数，求实数的取值范围．
【解析】
（1）的图象过点，∴，
又对任意实数都成立，
∴，，，
∴，
又函数与的图象关于原点对称，
∴，．
（2）∵，
∴在上是增函数，
当，即时，符合题意；
当，且，即符合题意；
当，且，即符合题意．
综上可知．
试卷第10页，总24页
试卷第1页，总24页第五十一讲
转化与化归思想
A组
1.(2016·河南郑州一模)如图是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为(　　)
A.8π
B.16π
C.32π
D.64π
答案：C
解析：由三视图可得，该几何体是四棱锥(如图)，其中底面BCDE⊥侧面ABC，且底面BCDE为正方形(边长为4)，侧面ABC为等腰直角三角形(AB＝AC＝2)，利用补形可知以A，B，C，D，E为部分顶点的长方体的外接球即为四棱锥A－BCDE的外接球，其半径为R＝＝2，所以外接球的表面积S＝4πR2＝32π，故选C.
2.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有(　　)
A.24对
B.30对
C.48对
D.60对
答案：C　
解析：法一　直接法：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A1C1对应的也有8对，下底面也有16对，这共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对.所以全部共有48对.
法二　间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60°，所以成角为60°的共有C－12－6＝48.
3.
（2017年高考全国1卷理）图，圆形纸片的圆心为O，半径为5
cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______。
【答案】
【解析】如下图，连接DO交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x(x>0)，则
.
，
，
三棱锥的体积
.
设，x>0，则，
令，即，得，易知在处取得最大值.
∴.
4.(2016·山东泰安模拟)若直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)经过点(1，2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________.
答案：3＋2
解析：直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值即求a＋b的最小值.由直线l经过点(1，2)得＋＝1.
于是a＋b＝(a＋b)×1＝(a＋b)×＝3＋＋，
因为＋≥2＝2.所以a＋b≥3＋2
5.(2016·江苏，10)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________.
答案：
解析：联立方程组解得B、C两点坐标为B,C,又F(c,0),则＝，＝，
又由∠BFC＝90°，可得·＝0，代入坐标可得：c2－a2＋＝0①，
又因为b2＝a2－c2.代入①式可化简为＝，则椭圆离心率为e＝＝＝.
6.如图所示，已知A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，E(－1，0)，F(1，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围是________．
答案：　(4，＋∞)
解析：　如图所示，从特殊位置考虑．∵点A(－2，0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2，4)，∴直线A1F的斜率kA1F＝4.∵点E(－1，0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2，1)，点E1(－2，1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1，4)，此时直线E2F的斜率不存在，∴kA1F＜kFD，即kFD∈(4，＋∞)．
7.对于c>0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，－＋的最小值为________．
答案：－2
解析：　设2a＋b＝t，则2a＝t－b，因为4a2－2ab＋4b2－c＝0，所以将2a＝t－b代入整理可得6b2－3tb＋t2－c＝0①，由Δ≥0解得－≤t≤，当|2a＋b|取最大值时t＝，代入①式得b＝，再由2a＝t－b得a＝，所以－＋＝－＋＝－＝－2≥－2，当且仅当c＝时等号成立.
8.如图,在四棱锥PABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC＝∠BAD＝,PA＝AD＝2,AB＝BC＝1.
(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；
(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.
解
以{,,}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
则各点的坐标为B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).
(1)因为AD⊥平面PAB,所以是平面PAB的一个法向量,＝(0,2,0).
因为＝(1,1,－2),＝(0,2,－2).设平面PCD的法向量为m＝(x,y,z),
则m·＝0,m·＝0,即令y＝1,解得z＝1,x＝1.
所以m＝(1,1,1)是平面PCD的一个法向量.从而cos〈,m〉＝＝,
所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.
(2)因为＝(－1,0,2),设＝λ＝(－λ,0,2λ)(0≤λ≤1),又＝(0,－1,0),
则＝＋＝(－λ,－1,2λ),又＝(0,－2,2),
从而cos〈,〉＝＝.
设1＋2λ＝t,t∈[1,3],则cos2〈,〉＝＝≤.
当且仅当t＝,即λ＝时,|cos〈,〉|的最大值为.
因为y＝cos
x在上是减函数,此时直线CQ与DP所成角取得最小值.
又因为BP＝＝,所以BQ＝BP＝.
9.已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立．
(1)判断f(x)在[－1，1]上的单调性，并证明；
(2)解不等式f＜f；
(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，
则－x2∈[－1，1]．∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)
＝·(x1－x2)．
由已知得＞0，x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在[－1，1]上单调递增．
(2)∵f(x)在[－1，1]上单调递增，
∴解得－≤x＜－1.
(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1，1]上单调递增，
∴在[－1，1]上，f(x)≤1.
问题转化为m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0，对a∈[－1，1]成立．
下面来求m的取值范围．
设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.
①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1，1]恒成立．
②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1，1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，
∴m≤－2或m≥2.
∴m的取值范围是m＝0或m≥2或m≤－2.
10.已知函数f(x)＝x2－ax3(a＞0)，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)若对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)＝1.求a的取值范围．
【解】　(1)由已知，有f′(x)＝2x－2ax2(a＞0)．
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
0
?
?
所以，f(x)的单调递增区间是(0，)；单调递区间是(－∞，0)，(，＋∞)．
当x＝0时，f(x)有极小值，且极小值f(0)＝0；当x＝时，f(x)有极大值，且极大值f()＝.
(2)由f(0)＝f()＝0及(1)知，当x∈(0，)时，f(x)＞0；
当x∈(，＋∞)时，f(x)＜0.
设集合A＝{f(x)|x∈(2，＋∞)}，集合B＝{|x∈(1，＋∞)，f(x)≠0}．则“对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)＝1”等价于A B.显然，0 B.
下面分三种情况讨论：
①当＞2，即0＜a＜时，由f()＝0可知，0∈A，而0 B，所以A不是B的子集．
②当1≤≤2，即≤a≤时，有f(2)≤0，且此时f(x)在(2，＋∞)上单调递减，故A＝(－∞，f(2))，因而A (－∞，0)；由f(1)≥0，有f(x)在(1，＋∞)上的取值范围包含(－∞，0)，则(－∞，0) B.所以A B.
③当＜1，即a＞时，有f(1)＜0，且此时f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
故，
A＝(－∞，f(2))，
所以A不是B的子集．
综上，a的取值范围是[，]．
11.已知函数f(x)＝nx－xn,x∈R,其中n∈N
,n≥2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设曲线y＝f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y＝g(x),求证：对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x)；
(3)若关于x的方程f(x)＝a(a为实数)有两个正实根x1,x2,求证：|x2－x1|＜＋2.
解:(1)　由f(x)＝nx－xn,可得f′(x)＝n－nxn－1＝n(1－xn－1).
其中n∈N
,且n≥2,下面分两种情况讨论：
①当n为奇数时.令f′(x)＝0,解得x＝1,或x＝－1.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞,－1)
(－1,1)
(1,＋∞)
f′(x)
－
＋
－
f(x)
?
?
?
所以,f(x)在(－∞,－1),(1,＋∞)上单调递减,在(－1,1)内单调递增.
②当n为偶数时.
当f′(x)＞0,即x＜1时,函数f(x)单调递增；
当f′(x)＜0,即x＞1时,函数f(x)单调递减；
所以,f(x)在(－∞,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减.
(2)证明　设点P的坐标为(x0,0),则x0＝n,f′(x0)＝n－n2.
曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0),即g(x)＝f′(x0)(x－x0).
令F(x)＝f(x)－g(x),即F(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0),则F′(x)＝f′(x)－f′(x0).
由于f′(x)＝－nxn－1＋n在(0,＋∞)上单调递减,
故F′(x)在(0,＋∞)上单调递减,又因为F′(x0)＝0,所以当x∈(0,x0)时,F′(x)＞0,
当x∈(x0,＋∞)时,F′(x)＜0,所以F(x)在(0,x0)内单调递增,
在(x0,＋∞)上单调递减,所以对于任意的正实数x,
都有F(x)≤F(x0)＝0,即对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x).
(3)证明　不妨设x1≤x2.由(2)知g(x)＝(n－n2)(x－x0),
设方程g(x)＝a的根为x2′,可得x2′＝＋x0.
当n≥2时,g(x)在(－∞,＋∞)上单调递减,
又由(2)知g(x2)≥f(x2)＝a＝g(x2′),可得x2≤x2′.
类似地,设曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝h(x),可得h(x)＝nx.
当x∈(0,＋∞),f(x)－h(x)＝－xn＜0,即对于任意的x∈(0,＋∞),f(x)＜h(x).
设方程h(x)＝a的根为x1′,可得x1′＝.
因为h(x)＝nx在(－∞,＋∞)上单调递增,且h(x1′)＝a＝f(x1)＜h(x1),因此x1′＜x1.
由此可得x2－x1＜x2′－x1′＝＋x0.
因为n≥2,所以2n－1＝(1＋1)n－1≥1＋C＝1＋n－1＝n,
故2≥n＝x0.所以,|x2－x1|＜＋2.
B组
1.设，表示不超过的最大整数.
若存在实数，使得，，…，
同时成立，则正整数的最大值是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
答案：B
解析：因为表示不超过的最大整数.由得，由得，由得，所以，所以，由得，所以，由得，与矛盾，故正整数的最大值是4.
2.对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是(　　)
A.－1是f(x)的零点
B.1是f(x)的极值点
C.3是f(x)的极值
D.点(2,8)在曲线y＝f(x)上
　答案：A
解析：A正确等价于a－b＋c＝0,①
B正确等价于b＝－2a,②
C正确等价于＝3,③
D正确等价于4a＋2b＋c＝8.④
下面分情况验证,
若A错,由②、③、④组成的方程组的解为符合题意；
若B错,由①、③、④组成的方程组消元转化为关于a的方程后无实数解；
若C错,由①、②、④组成方程组,经验证a无整数解；
若D错,由①、②、③组成的方程组a的解为－也不是整数.
综上,故选A.
3.已知函数f(x)＝|ex＋|(a∈R，e是自然对数的底数)在区间[0,1]上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．[0,1]
B．[－1,0]
C．[－1,1]
D．(－∞，－e2]∪[e2，＋∞)
答案　C
解析　因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，取a＝－1，则函数f(x)＝ex－，当0≤x≤1时，f′(x)＝ex＋>0，所以函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，排除A，D；取a＝1，则函数f(x)＝ex＋，当0≤x≤1时，f′(x)＝ex－＝≥0，所以函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，排除B，故选C.
4.（江西省南昌市第二中学2016届高三上学期第四次考试）已知，函数，若关于的方程有6个解，则的取值范围为　（　　）
A．
B．
C．
D．
答案：D
解析：函数在上递减，在和上递增，的图象如图所示，由于方程最多只有两解，因此由题意有三解，所以且三解满足，，，，所以有两解，，，所以，故选D．
5.（河北省衡水中学2016届高三上学期四调考）利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥，其中底面四边形是边长为的正方形，，且平面，则球体毛坯体积的最小值应为
．
答案：.
解析：如图，将四棱锥补全为一个正方体，则：当正方体为球的内接正方体时球的体积最小，此时正方体的体对角线为球的直径，长为，∴球的体积为：；故答案应填：．
6.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a＋an，用[x]表示不超过x的最大整数，则＝________.
答案：0
解析：因为＝＝－，所以＝－，所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝－，又a1＝1，所以∈(0,1)，所以－∈(0,1)，故＝0.
7.(2015·杭州七校模拟)已知函数f(x)＝x2＋(x－1)·|x－a|.
(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；
(2)若函数f(x)
在R上单调递增，求实数a的取值范围；
(3)若a<1且不等式f(x)≥2x－3对一切实数x∈R恒成立，求a的取值范围.
解　(1)当a＝－1时，有f(x)＝
当x≥－1时，2x2－1＝1，解得：x＝1或x＝－1，
当x<－1时，f(x)＝1恒成立.∴方程的解集为：{x|x≤－1或x＝1}.
(2)f(x)＝若f(x)在R上单调递增，则有，解得：a≥，
即实数a的取值范围是.
(3)设g(x)＝f(x)－(2x－3)，则g(x)＝
即不等式g(x)≥0对一切实数x∈R恒成立.
∵a<1，∴当x∵a2－2a＋3＝(a－1)2＋2≥2，∴g(x)≥0恒成立.
当x≥a时，∵a<1，∴a<，∴g(x)min＝g＝a＋3－≥0，得－3≤a≤5.
∵a<1，∴－3≤a<1，综上：a的取值范围是[－3，1).
8.
如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角.
（1）证明：
（2）若求的值.
【解析】（1）.
（2）由，得.由（1），有
，连结BD，在中，有，在中，有，所以
，则，于是.连结AC，同理可得，于是.所以.
9.已知x∈R，函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.
(1)若函数f(x)为奇函数，且f(2m＋1)＋f(m2－2m－4)>0，求实数m的取值范围；
(2)若对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)>2－x成立，求实数k的取值范围．
解析　(1)∵函数f(x)为奇函数且x∈R，
∴f(0)＝0，即20＋k×20＝0，解得k＝－1，∴f(x)＝2x－2－x.
∵f′(x)＝2xln2＋2－xln2＝(2x＋2－x)ln2>0，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
∵f(2m＋1)＋f(m2－2m－4)>0，即f(2m＋1)>f[－(m2－2m－4)]，
∴2m＋1>－(m2－2m－4)，
∴m<－或m>.
(2)∵ x∈[0，＋∞)，2x＋k·2－x>2－x，即22x＋k>1，
∴k>1－22x对任意的x∈[0，＋∞)恒成立，
∴k>(1－22x)max.
又∵t＝1－22x＝1－4x在[0，＋∞)上单调递减，
∴t≤1－40＝0，∴k>0.
10.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC＝2AB,求直线AB的方程.
解　(1)由题意,得＝且c＋＝3,
解得a＝,c＝1,则b＝1,所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)当AB⊥x轴时,AB＝,又CP＝3,不合题意.
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y＝k(x－1),A(x1,y1),B(x2,y2),
将AB的方程代入椭圆方程,得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0,
则x1,2＝,C的坐标为,且
AB＝＝＝.
若k＝0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意.
从而k≠0,故直线PC的方程为y＋＝－,
则P点的坐标为,从而PC＝.
因为PC＝2AB,所以＝,解得k＝±1.
此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.
C组
1.若定义在上的函数
满足
，其导函数
满足
，则下列结论中一定错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
答案：C
解析：由已知条件，构造函数，则，故函数在上单调递增，且，故，所以，，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数，则，所以函数在上单调递增，且，所以，即，，选项A,B无法判断，故选C．
2.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则（
）
A.
B.
C.
D.
答案：D.
解析：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨
，，∴，又∵，
∴，故选D.
3.（湖南省长沙市长郡中学2016届高三下学期第六次月考）已知为上的可导函数，当时，，则关于的函数的零点个数为(
)
A．1
B．2
C．0
D．0或2
答案：C
解析：由于函数，可得，因而的零点跟的非零零点是完全一样的，
故我们考虑
的零点．由于当时，，①
当时，，所以，在上，函数单调递增函数．又∵，∴在上，函数恒成立，因此，在上，函数
没有零点．②当时，由于，故函数在上是递减函数，函数恒成立，故函数在上无零点．综上可得，函在R上的零点个数为，故选C．
4.设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的面积之比=(
)
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：由题知，
又
由A、B、M三点共线有即，故，
∴，故选择A。
5.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则||·||的最小值为________.
答案：　
解析：在梯形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得DC＝1，＝＋λ，＝＋，∴·＝(＋λ)·(＋)＝·＋·＋λ·＋λ·＝2×1×cos
60°＋2×＋λ×1×cos
60°＋λ×cos
120°＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即λ＝时，取得最小值为.
6.已知函数，（其中）.对于不相等的实数，设，.
现有如下命题：
（1）对于任意不相等的实数，都有；
（2）对于任意的a及任意不相等的实数，都有；
（3）对于任意的a，存在不相等的实数，使得；
（4）对于任意的a，存在不相等的实数，使得.
其中的真命题有
（写出所有真命题的序号）.
答案：①④
7.已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且抛物线y2＝4x的焦点是椭圆M的一个焦点．
(1)求椭圆M的方程；
(2)设直线l与椭圆M相交于A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点．求点O到直线l的距离的最小值．
解析　(1)由题意，抛物线的焦点为(，0)，
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
则c＝，由e＝，得a＝2，所以b2＝2.
所以椭圆M的方程为＋＝1.
(2)当直线l斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋m，
则由消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0.
Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－4)＝8(2＋4k2－m2)>0.①
设A，B，P点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x0，y0)，则
x0＝x1＋x2＝－，y0＝y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
由于点P在椭圆M上，所以＋＝1.
从而＋＝1，
化简，得2m2＝1＋2k2，经检验满足①式．
又因为点O到直线l的距离为
d＝＝＝≥＝.
当且仅当k＝0时等号成立．
当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，
从而点P的坐标为(－2,0)或(2,0)，直线l的方程为x＝±1，所以点O到直线l的距离为1.
所以点O到直线l的距离最小值为.
8.（2016年上海高考）将边长为1的正方形（及其内部）绕的旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧。
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成的角的大小。
解析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径．
由的长为，可知．
，
．
（2）设过点的母线与下底面交于点，则，
所以或其补角为直线与所成的角．
由长为，可知，
又，所以，
从而为等边三角形，得．
因为平面，所以．
在中，因为，，，所以，
从而直线与所成的角的大小为．
9.已知函数f(x)＝ln(1＋x),g(x)＝kx(k∈R).
(1)证明：当x＞0时,f(x)＜x；
(2)证明：当k＜1时,存在x0＞0,使得对任意的x∈(0,x0),恒有f(x)＞g(x)；
(3)确定k的所有可能取值,使得存在t＞0,对任意的x∈(0,t),恒有|f(x)－g(x)|＜x2.
解析：(1)证明　令F(x)＝f(x)－x＝ln(1＋x)－x,x∈(0,＋∞),
则有F′(x)＝－1＝.
当x∈(0,＋∞)时,F′(x)＜0,所以F(x)在(0,＋∞)上单调递减,
故当x＞0时,F(x)＜F(0)＝0,即当x＞0时,f(x)＜x.
(2)证明　令G(x)＝f(x)－g(x)＝ln(1＋x)－kx,x∈(0,＋∞),
则有G′(x)＝－k＝.
当k≤0时,G′(x)＞0,故G(x)在(0,＋∞)单调递增,G(x)＞G(0)＝0,
故任意正实数x0均满足题意.
当0＜k＜1时,令G′(x)＝0,得x＝＝－1＞0,
取x0＝－1,对任意x∈(0,x0),有G′(x)＞0,从而G(x)在(0,x0)单调递增,
所以G(x)＞G(0)＝0,即f(x)＞g(x).
综上,当k＜1时,总存在x0＞0,使得对任意x∈(0,x0),恒有f(x)＞g(x).
(3)解　当k＞1时,由(1)知,对于 x∈(0,＋∞),g(x)＞x＞f(x),故g(x)＞f(x),
|f(x)－g(x)|＝g(x)－f(x)＝kx－ln(1＋x).M(x)＝kx－ln(1＋x)－x2,x∈[0,＋∞).
则有M′(x)＝k－－2x＝.
故当x∈时,M′(x)＞0,
M(x)在上单调递增,
故M(x)＞M(0)＝0,即|f(x)－g(x)|＞x2,所以满足题意的t不存在.
当k＜1时,由(2)知,存在x0＞0,使得当x∈(0,x0)时,f(x)＞g(x),
此时|f(x)－g(x)|＝f(x)－g(x)＝ln(1＋x)－kx.
令N(x)＝ln(1＋x)－kx－x2,x∈[0,＋∞).
则有N′(x)＝－k－2x＝.
当x∈时,
N′(x)＞0,N(x)在上单调递增,
故N(x)＞N(0)＝0,即f(x)－g(x)＞x2.
记x0与中的较小者为x1,
则当x∈(0,x1)时,恒有|f(x)－g(x)|＞x2.
故满足题意的t不存在.
当k＝1时,由(1)知,当x＞0时,|f(x)－g(x)|＝g(x)－f(x)＝x－ln(1＋x),
令H(x)＝x－ln(1＋x)－x2,x∈[0,＋∞),则有H′(x)＝1－－2x＝.
当x＞0时,H′(x)＜0,所以H(x)在[0,＋∞)上单调递减,故H(x)＜H(0)＝0.
故当x＞0时,恒有|f(x)－g(x)|＜x2.此时,任意正实数t均满足题意.
综上,k＝1.
方法二　(1)(2)证明　同法一.
(3)当k＞1时,由(1)知,对于 x∈(0,＋∞),g(x)＞x＞f(x),
故|f(x)－g(x)|＝g(x)－f(x)＝kx－ln(1＋x)＞kx－x＝(k－1)x.
令(k－1)x＞x2,解得0＜x＜k－1.
从而得到,当k＞1时,对于x∈(0,k－1),恒有|f(x)－g(x)|＞x2,
故满足题意的t不存在.
当k＜1时,取k1＝,从而k＜k1＜1,
由(2)知,存在x0＞0,使得x∈(0,x0),f(x)＞k1x＞kx＝g(x),
此时|f(x)－g(x)|＝f(x)－g(x)＞(k1－k)x＝x,
令x＞x2,解得0＜x＜,此时f(x)－g(x)＞x2.
记x0与的较小者为x1,当x∈(0,x1)时,恒有|f(x)－g(x)|＞x2.故满足题意的t不存在.
当k＝1时,由(1)知,x＞0,|f(x)－g(x)|＝f(x)－g(x)＝x－ln(1＋x),
令M(x)＝x－ln(1＋x)－x2,x∈[0,＋∞),则有M′(x)＝1－－2x＝.
当x＞0时,M′(x)＜0,所以M(x)在[0,＋∞)上单调递减,
故M(x)＜M(0)＝0.故当x＞0时,恒有|f(x)－g(x)|＜x2,
此时,任意正实数t均满足题意.
综上,k＝1.
10.（2016年山东高考）已知.
（I）讨论的单调性；
（II）当时，证明对于任意的成立.
解析：(Ⅰ)
求导数
当时，，，单调递增，
，，单调递减；
当时，
当时，，
或，，单调递增，
，，单调递减；
(2)
当时，，
，，单调递增，
(3)
当时，，
或，，单调递增，
，，单调递减；
(Ⅱ)
当时，，
于是，
，
令　，，，
于是，
，的最小值为；
又
设，，因为，，
所以必有，使得，且
时，，单调递增；
时，，单调递减；
又，，所以的最小值为．
所以．
即对于任意的成立．
(
1
)第二十一讲
三角函数的图象及性质
A组
一、选择题
1．（2017年高考全国1卷理）已知曲线C1：y=cos
x，C2：y=sin
(2x+)，则下面结论正确的是
A.
把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B.
把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C.
把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D.
把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【答案】D
【解析】因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，则，则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为，再将曲线向左平移个单位长度得到，故选D.
2.函数的部分图象如图所示，的值为（
）
A．0
B．
C．
D．
答案A
解析：由图知，，所以，所以．由正弦函数的对称性知，所以＝，故选A．
3．如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
答案C
解析：因为函数的图象关于点中心对称，所以，根据诱导公式可得，所以，即，，令得故选C.
4．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（
）
A、
B、
C、
D、
答案A
解析：由图可知，，即，所以由可得，，所以函数
，又因为函数图像过点，所以，即
，又因为，所以，故应选．
5．关于函数，下列命题正确的是（
）
A．由可得是的整数倍
B．的表达式可改写成
C．的图象关于点对称
D．的图象关于直线对称
答案C
解析：A中，令，则，即，所以若有是的整数倍，故A不正确；B中，＝＝，故B不正确；C中，令，得（），所以函数的图象的对称点为，故C正确；D中令＝（）可得，所以函数图象的对称轴为直线，故D不正确，故选C．
二、填空题
6．如图，已知分别是函数在轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且则该函数的周期是
．
答案
解析：由题意可设，又所以
7．函数的部分图象如图所示，则函数解析式
．
答案
解析：由图可知，所以，所以．把代入，得，结合，得，所以．
三、解答题
8．设函数．
（1）若，求的单调递增区间；
（2）在锐角中，角的对边分别为，若，求面积的最大值．
解析：（1）由题意可知，，
由，所以的单调递增区间是和．
（2）由，可得，由题意知为锐角，所以，
由余弦定理，可得：，即，且当时等号成立，因此，所以面积的最大值为．
9．设函数，其中，，若且图像的两条对称轴间的最近距离是．
（1）求函数的解析式；
（2）若是△的三个内角，且，求的取值范围．
．
解析：（1）由条件，．
∵，∴，∴，∴．
又图象的两条对称轴间的最近距离是，所以周期为，∴，
∴．
（2）由，知，
∵是的内角，∴，∴，
∴，∴，从而．
由，
∵，∴，
∴，即．
10．已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数取得最大值和最小值时的值；
（Ⅱ）设锐角的内角的对应边分别是，且，若向量与向量平行，求的值．
解析：（Ⅰ），
∵，∴，
∴当时，即，得，取得最大值；
当时，即，得，取得最小值；
（Ⅱ）向量与向量平行，
所以，根据正弦定理的推论，得，
，由余弦定理
经检验符合三角形要求，
的值为．
11．已知向量，，设函数．
（Ⅰ）求函数取得最大值时取值的集合；
（Ⅱ）设，，为锐角三角形的三个内角．若，，求
的值。
解析:（Ⅰ）
要使取得最大值，须满足取得最小值．
当取得最大值时，取值的集合为
（Ⅱ）由题意，得
．
，
B组
一、选择题
1．将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
答案C
解析:将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，可得，求得的最小值为，故选：B．
2．如图是函数图像的一部分，对不同的，若，有，则（
）
A．在上是减函数
B．在上是减函数
C．在上是增函数
D．在上是增函数
答案C
解析:由图可知，又由，知函数的图象关于直线对称，所以．由五点法作图，得，，所以，则＝，即，所以，所以，在上，，所以在上是增函数，故选C．
3．在中，，若函数在上为单调递减函数，则下列命题正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
答案D
解析:由题在中，由，可得
从而可得，即，根据题意函数在上为单调递减函数，故，选D
4．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（
）
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
答案B
解析:，将函数的图象向右平移个单位长度．故选B．
二、填空题
5．设函数，的值域是，则实数的取值范围是
．
答案
解析:因为，所以，而函数的值域为，所以，所以，即实数的取值范围是.
6．已知函数，将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若对任意，都有成立，则的值为
．
答案2
解析:（其中，）．将图象向右平移个单位长度得，所以，，解得．
三、解答题
7．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）设时，函数的最小值是，求的最大值．
解析:（Ⅰ）
令，得，
的单调递减区间
（Ⅱ）
,令
得，
所以
8．已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，若恒成立，求的取值范围.
解析：（1）
函数最小正周期是,
解得，
函数单调递增区间为
（2），
∴的最小值，
由恒成立，得恒成立.
所以的取值范围为
9．已知函数,的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递增区间．
解析:(1)由题设图象知，周期
因为点在函数图象上,所以
即又从而,即.
又点在函数图象上，所以
故函数的解析式为.
(2)
,
由得
的单调递增区间是
10．已知函数
(1)求的最小正周期和最大值；
(2)讨论在上的单调性.
解析：(1)
,
因此的最小正周期为，最大值为.
(2)当时，，从而
当，即时，单调递增，
当，即时，单调递减.
综上可知，在上单调递增，在上单调递减.
C组
选择题
1．如图所示的是函数和函数的部分图象，则函数的解析式是（
）
A．
B．
C．
D．
答案C.
解析：由题意得，，故排除B，D；又∵，故排除A，故选C.
2．将函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
答案C
解析：，沿轴向右平移个单位后得到为偶函数，因此，从而选C.
3．为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（
）
A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
答案A
解析：这是一个三角函数的图象变换问题，一般的为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（纵坐标不变）即可，因此为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.
4．函数的图像与函数的图像（
）
A．有相同的对称轴但无相同的对称中心
B．有相同的对称中心但无相同的对称轴
C．既有相同的对称轴也有相同的对称中心
D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴
答案A
解析：函数的对称轴为
函数的对称轴为；当时，二者有相同的对称轴；同理，由三角函数的性质可得函数的对称中心为，函数的对称中心为，二者没有相同的对称中心
填空题
5．函数的最小正周期是___________.
答案
解析：因为函数
，所以最小正周期是，故答案为.
6．已知函数的图象关于直线对称，则的值为_______
答案
解析：
方法一：可以利用辅角公式变形为的形式，但是由于系数含参，所以辅角只能用一个抽象的代替：因为关于直线对称，
方法二：本题还可以利用特殊值法求出的值，再进行验证即可：因为关于直线对称，所以代入一组特殊值：，再代入验证，其一条对称轴为，符合题意
解答题
7．设函数，其中．
（I）若是函数的一条对称轴，求函数周期；
（II）若函数在区间上为增函数，求的最大值．
解析:由题意得，
．
（I）因为是函数的一条对称轴，
所以，
即．
又，所以．
所以函数，周期，
（II）函数的单调递增区间为，
整理得．
依题意函数在区间上为增函数，故取，则有
即，所以，
又，所以的最大值为．
8．已知函数经过点，且在区间上为单调函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
解析:（Ⅰ）由题可得，
解得，，，．
（Ⅱ）∵，数列的周期为．
前三项依次为，
∴，
∴．
9．设函数.

(1)写出的最大值，最小值，最小正周期；
(2)试求正整数的最小值，使得当自变量在任意两相邻整数间(包括整数本身)变化时，函数至少有一个值是，一个值是.
解析：（1）
(2)由题意知在相邻两整数之间（包括整数本身）至少有一个和一个，
最小正周期，则，，又为正整数，
正整数的最小值为.
10．已知函数
(其中)，对任意实数，在区间上要使函数值出现的次数不少于次且不多于次，求值．
解析：由，
得.
∵函数在每个周期内出现函数值为的有两次，
而区间长度为，
为了使长度为的区间内出现函数值不少于次且不多于次，
必须使不小于个周期长度且不大于个周期长度，
即，且.
.又，故第五十讲
函数与方程思想
A组
1．(2016·黑龙江佳木斯模拟)已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(ln
x)－ln
x的零点个数为(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：C
解析：依题意得f(x)＝令f(x)＝0得x＝e,1,,所以函数有3个零点，故选C.
2.若等差数列{an}满足a＋a≤10，则S＝a100＋a101＋…＋a199的最大值为(　　)
A．600
B．500
C．400
D．200
答案：B　
S＝a100＋a101＋…＋a199＝100a100＋d＝100(a1＋99d)＋d，即99d＝－a1，因为a＋a≤10，即a＋(a1＋99d)2≤10，整理得a＋2≤10，即a＋a1＋2－10≤0有解，所以Δ＝2－4××≥0，解得－500≤S≤500，所以Smax＝500，故选B.
3.已知点A是椭圆＋＝1上的一个动点，点P在线段OA的延长线上，且·＝48，则点P的横坐标的最大值为(　　)
A．18
B．15
C．10
D.
答案：C
　当点P的横坐标最大时，射线OA的斜率k＞0，设OA：y＝kx，k＞0，与椭圆＋＝1联立解得xA＝
.又·＝xAxP＋k2xAxP＝48，解得xP＝＝＝
，令9＋25k2＝t＞9，即k2＝，则xP＝＝×25＝80≤80×
＝10，当且仅当t＝16，即k2＝时取等号，所以点P的横坐标的最大值为10，故选C.
4.设方程2x＋x＋2＝0和方程log2x＋x＋2＝0的根分别为p和q，设函数f(x)＝(x＋p)(x＋q)＋2，则(　　)
A.f(2)＝f(0)B.f(0)C.f(3)D.f(0)答案：C
解析：∵方程2x＋x＋2＝0和方程log2
x＋x＋2＝0的根分别为函数y＝2x，y＝log2
x与直线y＝－x－2的交点横坐标，而函数y＝2x，y＝log2
x互为反函数，其图象关于y＝x对称，又直线y＝－x－2与直线y＝x垂直，且两直线的交点坐标为(－1，－1)，∴p＋q＝－2，
则f(x)＝x2＋(p＋q)x＋pq＋2＝x2－2x＋pq＋2，
∵该二次函数的对称轴为x＝1，∴f(2)＝f(0)源:m]
5.已知奇函数f(x)的定义域为R，当x＞0时，f(x)＝2x－x2.若x∈[a，b]时，函数f(x)的值域为，则ab＝________.
答案：
解析：由题意知a＜b，且＞，则a，b同号，当x＞0时，f(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，若0＜a＜b，则≤1，即a≥1.因为f(x)在[1，＋∞)上单调递减，解得所以ab＝.
由f(x)是奇函数知，当x＜0时，f(x)＝x2＋2x，同理可知，当a＜b＜0时，
解得
所以ab＝.综上，ab＝.
6.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．
答案：10
解析：设5个班级的样本数据从小到大依次为0≤a＜b＜c＜d＜e.由平均数及方差的公式得＝7，
＝4.设a－7，b－7，c－7，d－7，e－7分别为p，q，r，s，t，则p，q，r，s，t均为整数，且
设f(x)＝(x－p)2＋(x－q)2＋(x－r)2＋(x－s)2＝4x2－2(p＋q＋r＋s)x＋(p2＋q2＋r2＋s2)＝4x2＋2tx＋20－t2，由(x－p)2，(x－q)2，(x－r)2，(x－s)2不能完全相同知f(x)＞0，则判别式Δ＜0，即4t2－4×4×(20－t2)＜0，解得－4＜t＜4，所以－3≤t≤3，故e的最大值为10.
7.(2016·江苏,22)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l：x－y－2＝0,抛物线C：y2＝2px(p＞0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程；
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p,－p)；
②求p的取值范围.
(1)解　∵l：x－y－2＝0,∴l与x轴的交点坐标为(2,0).
即抛物线的焦点为(2,0),∴＝2,p＝4.∴抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)①证明　设点P(x1,y1),Q(x2,y2).则则∴kPQ＝＝,
又∵P、Q关于l对称.∴kPQ＝－1,即y1＋y2＝－2p,∴＝－p,又∵PQ的中点一定在l上,
∴＝＋2＝2－p.∴线段PQ的中点坐标为(2－p,－p).
②解　∵PQ的中点为(2－p,－p),∴即
∴即关于y的方程y2＋2py＋4p2－4p＝0,有两个不等实根.∴Δ＞0.
即(2p)2－4(4p2－4p)＞0,解得0＜p＜,故所求p的范围为.
8.(2016·全国Ⅲ,21)设函数f(x)＝acos
2x＋(a－1)·(cos
x＋1),其中a＞0,记|f(x)|的最大值为A.
(1)求f′(x)；
(2)求A；
(3)证明|f′(x)|≤2A.
解析：(1)　f′(x)＝－2asin
2x－(a－1)sin
x.
(2)　当a≥1时,|f(x)|＝|acos
2x＋(a－1)(cos
x＋1)|≤a＋2(a－1)＝3a－2.因此A＝3a－2.
当0＜a＜1时,将f(x)变形为f(x)＝2acos2x＋(a－1)·cos
x－1,令g(t)＝2at2＋(a－1)t－1,
则A是|g(t)|在[－1,1]上的最大值,
g(-1)＝a,g(1)＝3a-2,且当t＝时,g(t)取得极小值,极小值为g＝--1＝-.
令-1＜＜1,解得a＜－(舍去),a＞.
(ⅰ)当0＜a≤时,g(t)在(-1,1)内无极值点,|g(-1)|＝a,
|g(1)|＝2－3a,|g(-1)|＜|g(1)|,所以A＝2－3a.
(ⅱ)当＜a＜1时,由g(－1)－g(1)＝2(1－a)＞0,知g(－1)＞g(1)＞g.
又－|g(－1)|＝＞0,所以A＝＝.
综上,A＝
(3)证明　由(1)得|f′(x)|＝|－2asin
2x－(a－1)sin
x|≤2a＋|a－1|.
当0＜a≤时,|f′(x)|≤1＋a≤2－4a＜2(2－3a)＝2A.
当＜a＜1时,A＝＋＋≥1,所以|f′(x)|≤1＋a＜2A.
当a≥1时,|f′(x)|≤3a－1≤6a－4＝2A.所以|f′(x)|≤2A.
9.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
(ⅰ)证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；
(ⅱ)当最小时，求点T的坐标．
【解】(Ⅰ)　由已知可得
解得a2＝6，b2＝2，
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(Ⅱ)(ⅰ)【证明】　由(Ⅰ)可得，F的坐标是(－2,0)，设T点的坐标为(－3，m)，
则直线TF的斜率kTF＝＝－m.
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.
当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，
得消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，
其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.
所以PQ的中点M的坐标为，
所以直线OM的斜率kOM＝－.
又直线OT的斜率kOT＝－，所以点M在直线OT上，
因此OT平分线段PQ.
(ⅱ)　由(ⅰ)可得，
|TF|＝，
|PQ|＝
＝
＝
＝
所以＝
＝≥＝.
当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．
所以当最小时，T点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)．
10.已知函数f(x)＝,x∈[0,1].
(1)求f(x)的单调区间和值域；
(2)设a≥1,函数g(x)＝x3－3a2x－2a,x∈[0,1],若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)＝f(x1)成立,求a的取值范围.
解：(1)f′(x)＝＝－.
令f′(x)＝0,解得x＝或x＝(舍去).
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表：
x
0
1
f′(x)
不存在
－
0
＋
不存在
f(x)
－
?
－4
?
－3
∴函数f(x)的单调增区间是,单调减区间是.
当x∈[0,1]时,f(x)的值域为[－4,－3].
(2)g′(x)＝3(x2－a2).∵a≥1,当x∈(0,1)时,g′(x)<3(1－a2)≤0,因此当x∈(0,1)时,g(x)为减函数,
从而当x∈[0,1]时,有g(x)∈[g(1),g(0)].又g(1)＝1－2a－3a2,g(0)＝－2a,
即当x∈[0,1]时,有g(x)∈[1－2a－3a2,－2a].对于任意x1∈[0,1],f(x1)∈[－4,－3],
存在x0∈[0,1]使得g(x0)＝f(x1)成立,则[1－2a－3a2,－2a] [－4,－3].即
解①式得a≥1或a≤－；解②式得a≤.
又a≥1,故a的取值范围为.
B组
1.设x1，x2是方程ln|x－2|＝m(m为实常数)的两根，则x1＋x2的值为(　　)
A.4
B.2
C.－4
D.与m有关
答案：A
解析：方程ln|x－2|＝m的根即函数y＝ln|x－2|的图象与直线y＝m的交点的横坐标，因为函数y＝ln|x－2|的图象关于x＝2对称，且在x＝2两侧单调，值域为R，所以对任意的实数m，函数y＝ln|x－2|的图象与直线y＝m必有两交点，且两交点关于直线x＝2对称，故x1＋x2＝4，选A
2.若a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,则+的取值范围是(　　)
A.
B.(1,+∞)
C.(4,+∞)
D.
答案:B
解析:函数f(x)的零点为y1=ax与y=-x+4交点的横坐标,g(x)的零点为y3=logax与y2=-x+4交点的横坐标,由于y1=ax与y3=logax互为反函数,图象关于y=x对称,∴m+n=4,m>0,n>0,则+=(m+n)(+)=
(2++)≥(2+2)=1.由于m≠n,故+>1.
3.定义在上的奇函数，当时，
则关于的函数的所有零点之和为（
）[]
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】画出和的图象，如下图：
如图可知两函数的图象共有5个交点，
设其交点的横坐标从左到右分别为，则
∴．
由∵，∴，且是奇函数，[]
∴，∴，∴．
∴
．
4.已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　)
A.
B．(－∞，)
C.
D.
答案　B
解析　设是函数f(x)图象上任意一点，该点关于y轴的对称点在函数g(x)的图象上，则x＋ex0－＝x＋ln(a－x0)，即ln(a－x0)＝ex0－，∴a＝x0＋e
ex0－
(x<0)．
记h(x)＝x＋eex－＝x＋eex，
则h′(x)＝1＋eex·ex＝1＋eex＋x>0，
∴h(x)在(－∞，0)上是增函数．
∴a5.已知函数f(x)＝x2＋＋a＋a在定义域上有零点，则实数a的取值范围是________．
答案　∪[2，＋∞)
解析　f(x)＝2＋a＋a－2，x≠0，
令x＋＝t，则t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，[]
由于f(x)有零点，则关于t的方程t2＋at＋a－2＝0在(－∞，－2]∪[2，＋∞)上有解．
∵t≠－1，∴方程t2＋at＋a－2＝0可化为a＝，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，问题就转化为a＝＝＝－(t＋1)＋＋2，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，a＝－(t＋1)＋＋2在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是减函数，故当t≤－2时，a≥2；当t≥2时，a≤－，∴a∈∪[2，＋∞)．
6.已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足＝ax，且f′(x)g(x))的前n项和等于，则n＝
答案：5
解析：令h(x)＝＝ax，∵h′(x)＝<0，
∴h(x)在R上为减函数，∴07.如图，现要在边长为100
m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”．正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x
m(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2
m的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60
m，绕岛行驶的路宽均不小于10
m.
(1)求x的取值范围(运算中取1.4)；
(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为ax元/m2，其余区域的造价为元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？
解　(1)由题意得
解得即9≤x≤15.
(2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得
y＝a×π×2＋ax×πx2＋×
＝，
令f(x)＝－x4＋x3－12x2，
则f′(x)＝－x3＋4x2－24x＝－4x，
由f′(x)＝0，解得x＝10或x＝15，
列表如下：
x
9
(9,10)
10
(10,15)
15
f′(x)
－
0
＋
0
f(x)
?↘
极小值
?
所以当x＝10时，y取最小值．
即当x＝10
m时，可使“环岛”的整体造价最低．
8.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝3.
(1)求椭圆C的方程；(2)求m的取值范围.
解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1
(a>b>0)，
设c>0，c2＝a2－b2，
由题意，知2b＝，＝，所以a＝1，b＝c＝.
故椭圆C的方程为y2＋＝1，即y2＋2x2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋m
(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，
Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0，(
)
x1＋x2＝，x1x2＝.
因为＝3，所以－x1＝3x2，
所以则3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0，
即3·2＋4·＝0，
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，
即k2(4m2－1)＋2m2－2＝0，
当m2＝时，上式不成立；
当m2≠时，k2＝，
由(
)式，得k2>2m2－2，又k≠0，
所以k2＝>0，
解得－1即所求m的取值范围为∪.
9.已知函数其中e是自然对数的底数．
（1）证明：是上的偶函数；
（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．
解析：（1），，∴是上的偶函数
（2）由题意，，即
∵，∴，即对恒成立
令，则对任意恒成立
∵，当且仅当时等号成立
∴
（3），当时，∴在上单调增
令，
∵，∴，即在上单调减
∵存在，使得，∴，即
∵
设，则
当时，，单调增；
当时，，单调减
因此至多有两个零点，而
∴当时，，；
当时，，；
当时，，．
10.设a>1,函数f(x)＝(1＋x2)ex－a.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)在(－∞,＋∞)上仅有一个零点；
(3)若曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明：m≤－1.
解（1）　f′(x)＝2xex＋(1＋x2)ex＝(x2＋2x＋1)ex＝(x＋1)2ex
x∈R,f′(x)≥0恒成立.∴f(x)的单调增区间为(－∞,＋∞).
(2)证明　∵f(0)＝1－a,f(a)＝(1＋a2)ea－a,
∵a>1,∴f(0)<0,f(a)>2aea－a>2a－a＝a>0,∴f(0)·f(a)<0,
∴f(x)在(0,a)上有一零点,又∵f(x)在(－∞,＋∞)上递增,
∴f(x)在(0,a)上仅有一个零点,∴f(x)在(－∞,＋∞)上仅有一个零点.
(3)证明　f′(x)＝(x＋1)2ex,设P(x0,y0),则f′(x0)＝ex0(x0＋1)2＝0,∴x0＝－1,
把x0＝-1,代入y＝f(x)得y0＝-a,∴kOP＝a－.
f′(m)＝em(m＋1)2＝a－,
令g(m)＝em－(m＋1),g′(m)＝em－1.
令g′(x)>0,则m>0,∴g(m)在(0,＋∞)上增.
令g′(x)<0,则m<0,∴g(m)在(－∞,0)上减.∴g(m)min＝g(0)＝0.
∴em－(m＋1)≥0,即em≥m＋1.∴em(m＋1)2≥(m＋1)3,即a－≥(m＋1)3.
∴m＋1≤,即m≤－1.
C组
1.如果函数没有零点，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令，得．
画出和的图象，
要使没有零点，
则和两图象没有交点，
∴由图可知，∴．
2.（2016湛江二中高三模拟）已知f(x)＝x2－4x＋4，f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，…，fn(x)＝f(fn－1(x))，函数y＝fn(x)的零点个数记为an，则an等于(　　)
A.2n
B.2n－1
C.2n＋1
D.2n或2n－1
答案：B
解析　f1(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，有1个零点2，由f2(x)＝0可得f1(x)＝2，则x＝2＋或x＝2－，即y＝f2(x)有2个零点，由f3(x)＝0可得f2(x)＝2－或2＋，则(x－2)2＝2－或(x－2)2＝2＋，即y＝f3(x)有4个零点，以此类推可知，y＝fn(x)的零点个数an＝2n－1.故选B.
设函数，，，记
，则（
）
B.
C.
D.
答案：B
4.设函数f(x)=
,g(x)=-x2+bx.若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是(　　)
A.x1+x2>0,y1+y2>0
B.x1+x2>0,y1+y2<0
C.x1+x2<0,y1+y2>0
D.x1+x2<0,y1+y2<0[来源:学
答案:B网]
解析:由f(x)-g(x)=0得=0,设F(x)=x3-bx2+1,则F(x)=0有且仅有两个不同的根x1,x2,由F′(x)=3x2-2bx=0得x=0或x=b,这样必须且只需F(0)=0或F=0,因为F(0)=1,故必有F=0,由此得b=,不妨设x1所以F(x)=(x-x1)(x-)2,比较系数得-x1=1,
故x1=-,x1+x2=>0,
故y1+y2=+=<0.
5.已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．
【解】　原问题等价于方程f(x)＝a|x－1|恰有4个互异的实数根
解法一：分别画出函数y＝f(x)与y＝a|x－1|的图象
(1)由x2＋3x＝a(x－1)得，
x2＋(3－a)x＋a＝0，
Δ＝(3－a)2－4a，
由Δ＝0得a＝9或a＝1(舍)，
此时a>9，
(2)由－x2－3x＝a(1－x)，
得x2＋(3－a)x＋a＝0，
由Δ＝0得a＝1或a＝9(舍)，
结合图象知0由(1)(2)知09，∴a∈(0,1)∪(9，＋∞)．
解法二：分离参数法
a＝
＝，
由平移和对称知
画出函数y＝
的图象，
由图知a∈(0,1)∪(9，＋∞)．
【答案】　(0,1)∪(9，＋∞)
已知函数是定义域为的偶函数，当时，若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是
.
答案：
7.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆E：＋＝1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)求△ABQ面积的最大值.
解　(1)由题意知2a＝4,则a＝2,又＝,a2－c2＝b2,
可得b＝1,所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.
(ⅰ)设P(x0,y0),＝λ,由题意知Q(－λx0,－λy0).因为＋y＝1,
又＋＝1,即＝1,所以λ＝2,即＝2.
(ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).将y＝kx＋m代入椭圆E的方程,可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0,
由Δ＞0,可得m2＜4＋16k2,①则有x1＋x2＝－,x1x2＝.
所以|x1－x2|＝.
因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0,m),
所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|＝
＝
＝2.
设＝t,将y＝kx＋m代入椭圆C的方程,可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0,
由Δ≥0,可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0＜t≤1,
因此S＝2＝2,故S≤2,
当且仅当t＝1,即m2＝1＋4k2时取得最大值2.
由(ⅰ)知,△ABQ面积为3S,所在△ABQ面积的最大值为6.
8.
(1)证明:当x∈[0,1]时,
x≤sin
x≤x;
(2)若不等式ax+x2++2(x+2)cos
x≤4对x∈[0,1]恒成立,求实数a的取值范围.
解：(1)证明:记F(x)=sin
x-x,则F′(x)=cos
x-.
当x∈时,F′(x)>0,F(x)在上是增函数;
当x∈时,F′(x)<0,F(x)在上是减函数.
又因为F(0)=0,F(1)>0,
所以当x∈[0,1]时,F(x)≥0,即sin
x≥x.
记H(x)=sin
x-x,则当x∈(0,1)时,
H′(x)=cos
x-1<0,所以,H(x)在[0,1]上是减函数,
则H(x)≤H(0)=0,即sin
x≤x.
综上,x≤sin
x≤x,x∈[0,1].
(2)解:因为当x∈[0,1]时,
ax+x2++2(x+2)cos
x-4=(a+2)x+x2+-4(x+2)sin2≤(a+2)x+x2+-4(x+2)
=(a+2)x,
所以,当a≤-2时,
不等式ax+x2++2(x+2)cos
x≤4对x∈[0,1]恒成立.
下面证明,当a>-2时,
不等式ax+x2++2(x+2)cos
x≤4对x∈[0,1]不恒成立.
因为当x∈[0,1]时,
ax+x2++2(x+2)cos
x-4=(a+2)x+x2+-4(x+2)sin2≥(a+2)x+x2+
-4(x+2)
=(a+2)x-x2-≥(a+2)x-x2=-x[x-(a+2)].
所以存在x0∈(0,1)(例如x0取和中的较小值)满足ax0+++2(x0+2)cos
x0-4>0,
即当a>-2时,
不等式ax+x2++2(x+2)cos
x-4≤0对x∈[0,1]不恒成立.
综上,实数a的取值范围是(-∞,-2].
9.已知函数f(x)＝ex－ax2＋(a－e＋1)x－1(e＝2.718
28…是自然对数的底数，a为常数)．
(1)当a＝0时，求函数f(x)的单调区间．
(2)若函数g(x)＝f(x)－x·f′(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
(3)试判断当a∈(e－2，1)时，函数f(x)在区间(0，1)上是否有零点？并说明理由
解：(1)当a＝0时，f(x)＝ex＋(－e＋1)x，则f′(x)＝ex＋(－e＋1)，
所以f(x)的单调增区间为(ln(e－1)，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－∞，ln(e－1))．
(2)∵g(x)＝(1－)ex＋(a－e＋1)x－1，∴g′(x)＝(1－x)ex＋(a－e＋1)．
令F(x)＝(1－x)ex＋(a－e＋1)，则F′(x)＝－xex.当x≥1时，F′(x)<0，∴g′(x)在[1，＋∞)上单调递减，
∴g′(x)≤g′(1)＝(a－e＋1)．又g(x)在[1，＋∞)上单调递减，∴(a－e＋1)≤0，∴a≤e－1.
(3)假设函数f(x)＝ex－ax2＋(a－e＋1)x－1在区间(0，1)上有零点，
即存在x∈(0，1)，使得ex－ax2＋(a－e＋1)x－1＝0，
即a＝，记h(x)＝.
①若h(x)＝<1，即－1<0，即<0.
由x∈(0，1)，得x2－x<0，
需证ex－x2－ex＋2x－1>0在(0，1)上恒成立．
令H(x)＝ex－x2－ex＋2x－1，x∈(0，1)，
则H′(x)＝ex－2x－e＋2.令φ(x)＝ex－2x－e＋2，则φ′(x)＝ex－2.
当x∈(0，ln
2)时，φ′(x)<0，当x∈(ln
2，1)时，φ′(x)>0，
所以当x∈(0，ln
2)时，H′(x)单调递减，当x∈(ln
2，1)时，H′(x)单调递增，
而H′(0)＝1－0－e＋2>0，H′(1)＝e－2－e＋2＝0，
H′(ln
2)＝eln
2－e－2ln
2＋2＝4－e－2ln
2<0，
故在(0，ln
2)上存在唯一的实数x0使得H′(x0)＝0，
所以H(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，1)上单调递减，
而H(0)＝1－0－0＋0－1＝0，H(1)＝e－1－e＋2－1＝0，
故H(x)>0在(0，1)上恒成立，
即h(x)＝<1在(0，1)上恒成立．
②若h(x)＝>e－2，即－(e－2)>0，
即>0.
由x∈(0，1)，得x2－x<0，
即证ex－ex＋x－1－(e－2)(x2－x)<0在(0，1)上恒成立．
令G(x)＝ex－ex＋x－1－(e－2)(x2－x)＝ex－(e－2)x2－x－1，x∈(0，1)，则G′(x)＝ex－2(e－2)x－1.令m(x)＝ex－2(e－2)x－1，则m′(x)＝ex－2(e－2)．
当x∈(0，ln
2(e－2))时，m′(x)<0，当x∈(ln
2(e－2)，1)时，m′(x)>0，
所以当x∈(0，ln
2(e－2))时，G′(x)单调递减，当x∈(ln
2(e－2)，1)时，G′(x)单调递增，
而G′(0)＝0，G′(1)＝3－e>0，
所以(ln
2(e－2)，1)上存在唯一的实数x1使得G′(x1)＝0，
所以G(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，1)上单调递增．
又G(0)＝0，G(1)＝0，
故G(x)<0在(0，1)上恒成立，即h(x)＝>e－2在(0，1)上恒成立．
综上可得，当a∈(e－2，1)时，f(x)在区间(0，1)上存在零点．
10.已知函数
若在上的最大值和最小值分别记为，求；
设若对恒成立，求的取值范围.
解：（I）因为，所以，
由于，
（i）当时，有，故，
此时在上是增函数，因此，，
（ii）当时，
若，，在上是增函数，
若，，在上是减函数，
所以，，由于，
因此，当时，，当时，，
（iii）当时，有，故，此时在上是减函数，因此，，故，综上；
（II）令，则，，
因为，对恒成立，即对恒成立，
所以由（I）知，
（i）当时，在上是增函数，在上的最大值是，最小值是，则，且，矛盾；
（ii）当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，从而且，令，则，在上是增函数，故，因此，
（iii）当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，解得，
（iv）当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，解得，综上的取值范围.
(
1
)第十七讲
离散型随机变量及分布列、均值与方差
A组
一
选择题
1.随机变量的分布列为
0
2
4
P
0.4
0.3
0.3
，则
(　　)
A．13　　　B．11
C．2.2
D．2.3
【答案】A
【解析】
由已知得：
，
∴
2.带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只做实验，表示放出的蜂中工蜂的只数，则时的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】服从超几何分布，
3.随机变量的分布列如下：
－1
0
1
其中成等差数列，则(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】∵成等差数列，∴
又，∴，
∴
4.已知随机变量的分布列为：则等于(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】　，解得，
.
二
填空题
5.某一离散型随机变量的概率分布如下，且，则（
）．
0
1
2
3
0.1
0.1
【答案】0
【解析】由分布列的性质知：，
∴．又即
解得，∴．
6.设离散型随机变量的可能取值为1，2，3，4，且，，则
【答案】；
【解析】由分布列的概率和为1，有，
又，即
解得，故。
三
解答题
7.一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．
【解析】
设取得正品之前已取出的次品数为，显然所有可能取的值为0，1，2，3
当时，即第一次取得正品，试验停止，则
当时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则
当时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则
当时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则
∴分布列为
0
1
2
3
∴
8.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程是一个随机变量．设他所收租车费为
(Ⅰ)求租车费关于行车路程ξ的关系式；
(Ⅱ)若随机变量的分布列为
15
16
17
18
0.1
0.5
0.3
0.1
求所收租车费的数学期望．
(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟
【解析】
(Ⅰ)依题意得，即；
(Ⅱ)
∵
∴
（元）
故所收租车费的数学期望为34.8元．
　　(Ⅲ)由，得
　　所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟
9.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（1）求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望；
（2）求这名同学总得分不为负分（即）的概率．
【解析】
的可能取值为－300，－100，100，300．
，
，
．
所以的概率分布为
－300
－100
100
300
0.008
0.096
0.384
0.512
∴．
（2）这名同学总得分不为负分的概率为
．
10.设是一个离散型随机变量，其概率分布如下表，试求和D（X）．
－1
0
1
【解析】
由概率分布的性质，得：
，得。
∴，
。
11．（2017年高考北京卷理）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“
”表示服药者，“+”表示未服药者.
（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机.选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）
【解析】
（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标的值小于60的有15人，
所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标的值小于60的概率为.
（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C.
所以的所有可能取值为0,1,2.
.
所以的分布列为
0
1
2
故的期望.
（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.
B组
一选择题
1.节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节后卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花500束，则期望利润是
200
300
400
500
0.20
0.35
0.30
0.15
A.706元
B．690元
C．754元
D．720元
【答案】A
节日期间预售的量：
则期望的利润：
，
∴
∴期望利润为706元．
2.设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量去描述1次试验的成功次数，则的值为(　　)
A．1
B.
C
D.
【答案】C
【解析】
设的分布列为：
0
1
“”表示试验失败，“”表示试验成功
，设失败的概率为，成功的概率为.由，则.
3.在4次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件在一次试验中发生的概率的取值范围是(　　)
A．[0.4,1)
B．(0,0.6]
C．(0,0.4]
D．[0.6,1)
【答案】A
【解析】：，即，
∴又∵，∴.
4..离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则的值为(　　)
A
B.
C.
D
【答案】D
【解析】由，
知，解得.
故.
二
填空题
5.某射手射击所得环数的分布列如下：
7
8
9
10
x
0.1
0.3
y
已知的期望，则的值为________．
【答案】0.4
【解析】依题得
即由此解得
某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1
000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为，则的数学期望为_______.
【答案】200
【解析】种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为，则，
∴，
故
三
解答题
7.甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量，分别记为和，它们的概率分布分别为
0
1
2
0
1
2
0.1
0.4
0.2
0.2
（1）求的值；
（2）计算和的数学期望和方差，并以此分析甲、乙两射手的技术状况．
【解析】
（1）由分布列的性质知，
，
即。
（2），
，
，
。
由上述计算的结果可知，乙的平均水平较甲好一点，但乙的稳定性不如甲．
8.有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资/元
1
200
1
400
1
600
1
800
获得相应职位的概率
0.4
0.3
0.2
0.1
乙单位不同职位月工资/元
1
000
1
400
1
800
2
200
获得相应职位的概率
0.4
0.3
0.2
0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
【答案】根据月工资的分布列，利用计算器可算得
，
，
因为，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．
9.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）
（Ⅰ）解法一：记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，
则，
该选手被淘汰的概率
．
（Ⅰ）解法二：记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，
则．
该选手被淘汰的概率
．
（Ⅱ）的可能值为，，
，
．
的分布列为
1
2
3
∴．
10.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)和,系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和.
(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求的值;
(Ⅱ)设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量,求的概率分布列及数学期望.
[解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件,那么
,解得
由题意,
所以,随机变量的概率分布列为:
0
1
2
3
故随机变量X的数学期望为:
.
C组
一
选择题
1.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和(单位：分)的数学期望为(　　)
A．0.9
B．0.8
C．1.2
D．1.1
【答案】A
【解析】依题意得，得分之和的可能取值分别是0,1,2，且，，，因此，这两个同学各猜1次，得分之和(单位：分)的数学期望为.
2.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】发球次数地分布列如下表：
1
2
3
所以期望，
解得(舍去)或，
又，则.
3.袋中装有大小完全相同，标号分别为1,2,3，…，9的九个球．现从袋中随机取出3个球．设为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3,4,5，则有两组相邻的标号3,4和4,5，此时的值是2)．则随机变量的数学期望为(　　)
A
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】依题意得，的所有可能取值是，且，，，因此
4.设.
随机变量取值的概率均为0.2,随机变量取值的概率也为0.2.
若记分别为、的方差,则
（　　）
A．.
B．.
C．.
D．与的大小关系与的取值有关.
【答案】A
【解析】,
,
记,
同理得
,
只要比较与有大小,
,所以,选.
二
填空题
某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记为该毕业生得到面试的公司个数．若，则随机变量X的数学期望EX＝________.
【答案】
【解析】∵，
∴，随机变量的可能值为0,1,2,3，因此，，，
，
因此
答案：
6.某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3
正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从
正态分布,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命
超过1000小时的概率为_________
【答案】
【解析】使用寿命超过1000小时的概率为
三个电子元件的使用寿命均服从正态分布
得:三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为
超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率
那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为
三
解答题
7.在一次人才招聘会上，有三种不同的技工面向社会招聘．已知某技术人员应聘三种技工被录用的概率分别是0.8,0.5,0.2(允许受聘人员同时被多种技工录用)．
(1)求该技术人员被录用的概率；
(2)设表示该技术人员被录用的工种数与未被录用的工种数的积．
①求的分布列和数学期望；
②“设函数是偶函数”为事件D，求事件D发生的概率．
．解：记该技术人员被三种技工分别录用的事件为，则
(1)该技术人员被录用的概率.
(2)设该技术人员被录用的工种数为，
则，所以的所有可能取值为0,2.
①；
所以的分布列为
0
2
0.16
0.84
所以.
②当时，，
则函数f(x)是奇函数，
当时，，则函数f(x)是偶函数．
所以所求的概率.
8.设随机变量的概率分布为
1
2
…
…
求。
解法一：
，
解法二：由解法一可求得。
又，
∴。
9.某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：
（1）获赔的概率；（2）获赔金额的分布列与期望．
【解析】设表示第辆车在一年内发生此种事故，
由题意知独立，且.
（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为
.
（Ⅱ）的所有可能值为.
，
.
综上知，的分布列为
0
9000
18000
27000
求的期望有两种解法：
解法一：由的分布列得
（元）
解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，
则有分布列
0
9000
故.
同理得
.
综上有
（元）.
10.甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.
(Ⅰ)
求甲获胜的概率;
(Ⅱ)
求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望
解:设分别表示甲、乙在第次投篮投中,则
,
记“甲获胜”为事件,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知,
(2)的所有可能为:
由独立性知:
综上知,有分布列
1
2
3
从而,(次)第八讲
导数及其应用
A组
一、选择题
1．已知定义在上的函数，是的导函数，若，且，
则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
答案C
解析：设，则，
∵，∴，∴，∴在定义域上单调递增，∵，∴，又∵，∴，∴，∴不等式的解集为故选：C.
2．设函数，其中，若仅有一个整数，使得，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
答案D.
解析：，由题意得，的单调性为先递减后递增，故，
即在上单调递减，在上单调递增，
又∵，，∴只需，
即实数的取值范围是，故选D.
3．（2017年高考全国3卷文）已知函数有唯一零点，则a=
A.
B.
C.
D.
1
【答案】C
【解析】函数的零点满足，
设，则，
当时，
；当时，
，函数单调递减；
当时，
，函数单调递增，
当时，函数取得最小值，为.
设，当时，函数取得最小值，为，
若，函数与函数没有交点；
若，当时，函数和有一个交点，
即，解得.故选C.
4.曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
答案A
解析:因,故切线的斜率,切线方程，令得；令得，故围成的三角形的面积为，应选A。
5.
曲线在点处的切线方程是（
）
A．
B．
C．
D．
答案A
解析：，，，曲线在点处的切线方程是，故选A.
二、填空题
6．已知函数的导函数的图象关于原点对称，则
。
答案
解析：依题意关于原点对称，时为奇函数，符合题意。
7．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______．
答案
解析：，由题意在上有两个根，设，若，则在为增函数，最多只能有一解，不合题意，故，当或者时，，，当时，，时，，因此，由题意，所以．
三、解答题
8．已知函数其中.
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）当时，判断函数零点的个数.（只需写出结论）.
解析：
（1）当时，，，
，所以切线方程为.
（2）的定义域：，
，
令，，
当时，令，得，令，得，
的增区间为，的减区间为.
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，，或；，，
所以的增区间为，，的减区间为.
当时，，或，，，
所以的增区间为，，的减区间为.
（3）当时，零点的个数为.
9．设函数（其中为自然对数的底数，且），曲线在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意，与有且只有两个交点，求的取值范围．
解析：（Ⅰ）由，得，
由题意得，
∵，∴；
（Ⅱ）令，则任意，与有且只有两个交点，等价于函数在有且只有两个零点，由，得，
①当时，由得，由得，
此时在上单调递减，在上单调递增，
∵，
，（或当时，亦可），∴要使得在上有且只有两个零点，则只需，即，
②当时，由得或，由得，此时在上单调递减，在和上单调递增．
此时，
∴此时在至多只有一个零点，不合题意，
③当时，由得或，由得，此时在和上单调递增，在上单调递减，且，
∴在至多只有一个零点，不合题意，
综上所述，的取值范围为．
10．已知，函数，.
（1）求的极小值；
（2）若在上为单调增函数，求的取值范围；
（3）设，若在（是自然对数的底数）上至少存在一个，使得成立，求的取值范围.
解析：（1）由题意，，，
所以时，；当时，.
所以在上是减函数，在上是增函数，故.
（2）因为，所以，
由于在内为单调递增函数，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
故，所以的取值范围是.
（3）构造函数，
当时，由得，，
所以在上不存在一个，使得.
当时，.
因为，所以，，所以在上恒成立，
故在上单调递增，，
所以要在上存在一个，使得，必须且只需，
解得，故的取值范围是.
另外：（3）当时，，
当时，由，得.
令，则，
所以在上递减，.
综上，要在上存在一个，使得，必须且只需.
11．对于函数的定义域为，如果存在区间，同时满足下列条件：
①在上是单调函数；
②当的定义域为时，值域也是，则称区间是函数的“区间”．对于函数．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若函数存在“区间”，求的取值范围．
解析：（1）时，，则，
∴函数在处的切线方程为，即．
（2），
列表如下：
0
减
增
极大值
减
设函数存在“区间”是
（i）当时，由上表可知，
两式相减得，即，
所以，代入，得，
欲使此关于的方程组在时有解，需使与的图象有两个交点，在是减函数，在是增函数，且，所以此时满足存在“区间”的的取值范围是．
（ii）当时，由上表可知，，即，
设，当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
欲使此关于的方程有两解，需使与在有两个交点，
所以有，解得．
所以此时满足存在“区间”的的取值范围是．
（iii）当时，由上表可知，，两式相减得，，此式不可能成立，所以此时不存在“区间”．
综上所述，函数存在“区间”的的取值范围是．
B组
选择题
1．已知等比数列的前项的和为，则的极大值为（
）
A．2
B．3
C．
D．
答案D
解析：因,即,故题设,所以,由于,因此当时,
单调递增；当时,
单调递减,所以函数在处取极大值,应选D.
2．设函数是函数的导函数，，则使得成立的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
答案A
解析：令，由得，所以在定义域上递增，即是，可得，使得成立的的取值范围是，故选A。
3．定义在上的可导函数，当时，恒成立，
则的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
答案A
解析：构造函数
，当
时，，即函数单调递增，则,同理,由,可知.故本题选A．
4．己知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
答案D
解析：因为函数满足为偶函数且，所以且，令，则在上恒成立，即函数在上单调递减，又因为，所以由，得，即不等式的解集为；故选D．
二、填空题
5．若直线是曲线的一条切线，则______．
答案
解析：，设切点为，
则
将①代入②得，
即，或，
（舍去）或．
6．已知函数若与的图象上分别存在点
使得关于直线对称，则实数的取值范围是
．
答案
解析：设,由题意,即在上有意义,即在上有意义,令,求导,当时,,则,即.
三、解答题
7．已知函数。
（1）曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值。
解析：（1）
切线的斜率
∴，∴。
（2）由题意，
设
①当时，因为，所以，
所以在上是单调递增函数，
所以关于的不等式不能恒成立，
②当时，
令，因为，得，
所以当时，，当时，，
因此函数在是增函数，在是减函数，
故函数的最大值为
令，因为在上是减函数，
又因为，，所以当时，。
所以整数的最小值为2。
8．已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．
（1）求实数的值；
（2）用表示中的最小值，设函数，若函数
为增函数，求实数的取值范围．
解析：（1）对求导得．
设直线与曲线切于点，则
，解得，
所以的值为1.
（2）记函数，下面考察函数的符号，
对函数求导得
当时，恒成立
当时，，
从而
∴在上恒成立，故在上单调递减．
，∴，
又曲线
在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的，使．
∴；，，
∴，
从而，
∴，
由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立．
①当时，在上恒成立，即在上恒成立，
记，则，
当变化时，变化情况列表如下：
3
0
极小值
∴，
故“在上恒成立”只需，即
．
②当时，，当时，在上恒成立，
综合①②知，当时，函数为增函数．
故实数的取值范围是
9．已知函数为常数）
的图象在处的切线方程为.
（1）判断函数的单调性；
（2）已知,且,若对任意,任意与中恰有一个恒成立,
求实数的取值范围.
解析:（1）由的定义域为,可得,
由条件可得,把代入可得,
,,
在上递减.
（2）由（1）
可知,
在上单调递减,
在上的最小值为,最大值为,
只需或,
即对恒成立，或对恒成立,
令,则,令可得.而恒成立,
当时,单调递减；当时,单调递增.最大值为,而,显然,
在上最大值为.又
或,即或,
实数的取值范围是.
10．已知函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）设函数，其中b为实常数，试讨论函数的零点个数，并证明你的结论．
解析：（1），因为切线过原点，
所以，解得：
（2），等价于，注意
令，所以
（i）当所以H（x）无零点，即F定义域内无零点。
（ii）当，当x<0时，
因为上单调递增，而
又
又因为，其中，取，
所以，由此
由零点存在定理知，在上存在唯一零点
（2）当时，单调递减；
当时，单调递增。
所以当时，H（x）有极小值也是最小值，。
（1）当
（2）当
（3）当
而
又因为
令，其中
所以，从而，
，
故
综上所述：
C组
选择题
1．已知函数，设两曲线有公共点，且在该点处的切线相同，则时，实数的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
答案D
解析：设切点为，则由切点处的斜率相同且切线相同得，……①，
……②。因为，所以由①得,并将其代入②得，．设,利用导数法求得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以,则．选D．
2．已知直线是曲线：与曲线：的一条公切线，若直线与曲线的切点为，则点的横坐标满足（
）
A．
B．
C．
D．
答案D
解析：记直线与曲线的切点为因为,则直线的方程为,又直线的方程为,从而且,消去得,即,设,则,令解得,则函数在上递增，又，无零点，得在上单调递减，可得，所以，故选D.
3．已知函数,若,且对任意的恒成立,则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
答案B
解析：由题设可得,令,则.令.则函数的零点就是函数的极值点.设并记极值点为,则,由于,故,而且不难验证当时,,单调递减；当时,,单调递增,所以,因此,由于且,所以,故应选B.
4．已知函数，，若对恒成立（其中是自然对数的底数），则的取值范围是（
）
A.
B．（-1,0）
C．
D．
答案A
解析：当时,,故函数在上单调递减；当时,,故当时,,函数在上单调递增；当时,,函数在上单调递减.故在上函数取最大值.而当时，设,可得，故不等式可化为,即不等式在恒成立，令，也即不等式在上恒成立。当对称轴时,只需，即时不等式恒成立;当时，只需，但这不可能；当时，则只需，这也不可能.所以综上实数的取值范围是,应选A。
二、填空题
5．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____.
答案.
解析：当时，，则函数的导数且恒成立，由解得即，此时函数单调递增，由解得即，此时函数单调递减，若在区间上单调递增，则解得，即当时，在区间上单调递增，满足条件．当时，在上单调递增，令，则则在
为减函数，在上为增函数则，解得.综上，实数的取值范围是，故答案为：.
6．已知函数在上是增函数，函数，当时，函数的最大值与最小值的差为，则
．
答案
解析：因为函数在上是增函数，所以在上恒成立，即，即；因为，若，即时，在单调递减，则（舍），当，即时，函数在上递减，在上递增，且，所以，即，解得；故填．
三、解答题
7．设函数．
（1）讨论函数在定义域上的单调性；
（2）若对任意的，总有，求的取值范围．
解析：（1）函数的定义域为．
令，则．
①当时，，所以，从而；
②当时，因为，所以，所以；
③当时，，方程有两个不相等的实数根（不妨设）．因为，所以，
所以当时，，从而；
当或时，，从而．
综上可知，当时，函数在定义域上单调递增；当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，其中．
（2）
，即．在区间上，．
令，则．
令，则，
所以函数在区间上单调递减．因为，
所以存在唯一的，使得，且时，，即；
当时，，即．
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此在上，．
因为，
所以，即．
故当时，．因此．
故实数的取值范围是．
8．已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：，不等式恒成立．
解析：（Ⅰ）的定义域为，
若，在上单调递增
②若，当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增．
（Ⅱ）等价于
令，则
由（Ⅰ）知，当时，，即.
所以，则在上单调递增，所以
即有时，
9．已知函数．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若存在，使得（是自然对数的底数），求实数的取值范围．
解析：（1）因为函数，
所以，
又因为，所以函数在点处的切线方程为．
（2）由（1），，
因为当时，总有在上是增函数．
又，所以不等式的解集为，
故函数的单调增区间为，递减区间为．
（3）因为存在，使得成立，
而当时，，
所以只要即可
又因为的变化情况如下表所示：
0
0
减函数
极小值
增函数
所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值．
的最大值为和中的最大值．
因为，
令，因为，
所以在上是增函数，
而，故当时，，即；当时，，即．
所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得；当时，，即，函数在上是减函数，解得．
综上可知，所求的取值范围为．
10．设函数
（1）若函数是定义域上的单调函数，求实数的取值范围；
（2）若，试比较当时，与的大小；
（3）证明：对任意的正整数，不等式成立．
解析：（1）∵又函数在定义域上是单调函数．
∴
或在上恒成立
若在上恒成立，即函数是定义域上的单调地增函数，则在上恒成立，由此可得；
若在上恒成立，则在上恒成立．即在上恒成立．
∵在上没有最小值
∴不存在实数使在上恒成立．
综上所述，实数的取值范围是．
（2）当时，函数．
令
则
显然，当时，，所以函数在上单调递减
又，所以，当时，恒有，即恒成立．
故当时，有
（3）法1：证明：由（2）知
即
令，，即有
所以（）
因此
故对任意的正整数，不等式成立．
法2：数学归纳法证明：
1、当时，左边=，右边=，原不等式成立．
2、设当时，原不等式成立，
即
则当时，
左边=
只需证明
即证，即证
由（2）知
即
令，即有
所以当时成立
由1、2知，原不等式成立第四讲
指数函数及对数函数
A组题
1．（2018年全国Ⅲ卷理12）设，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴
，
，
∵，，[]
∴．故选：B．[]
2.若，
，
，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】,
,
,所以选B.
3.已知，则下列等式一定成立的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】由，，又得，故，选
4..
(2017年高考天津卷理)已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，
从而是上的偶函数，且在上是增函数，
，
，又，则，所以即，
，
所以，故选C．
5．(2017年高考北京卷文)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
（A）1033
（B）1053
（C）1073
（D）1093
【答案】D
【解析】试题分析：设
，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.
6．（2016年全国I高考）若，则
A.
B.
C.
D.
【解析】函数在上递增，故A错；选项B即，，函数在上递减，
故B错；由得即，故D错，C对，选C.
7.
定义在上的函数满足且时，则（
）
A.
B.
C.
D.
【解析】的周期为，由，，
由得故选C.
8．已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是(　　)A．
B．
C．
D．
【解析】由题，即方程存在非零根，则，当时，可得
，故选
9
．已知定义在R上的函数(m为实数)为偶函数，记,，
，则的大小关系为(　
　)
A．
B．
C．
D．
【解析】为偶函数得，则在上递增，，
，，由得，故选C.
10．若，则的最小值是(　　
)
A．
B．
C．
D．
【解析】化简得，即
则，故选
11．（2017年高考全国1卷理）设为正数，且，则（
）
A．
B．

C．
D．
【答案】D
【解析】令，则，，
∴，则
，则，故选D.
12.（2016年浙江高考）
已知，若，，则
，
.
【解析】由再结合，得
13.已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为
．
【解析】在上递增，需解得
14.函数在区间上的值域为，则的最小值为　　　　 .
【解析】的值域为，则，若得，若得，故
当，时，的最小值为.
15．
已知指数函数满足：，定义域为的函数是奇函数.
（1）确定的解析式及的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）可设，则，故.
为定义在上奇函数，有解得
（2）由（1），可判断在上恒减，
恒成立即
故即对恒成立，
则，解得
B组题
1.设，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】因为,而,
所以,又,
所以,即,
所以有,选C．
2.
设,
则(
)
A．
B．
C．
D．
【解析】，，故，又，
故，故选C.
3.
如图可能是下列哪个函数的图象(　　)

A.
y=2x-x2-1
B.

C.
y=(x2-2x)ex
D.
y=
【解析】选项D的函数定义域不满足；选项B为奇函数，图像关于原点对称，不满足；选项C的函数满足时，
函数值为负，不满足；故选C.
4．已知函数的值域为，则
实数的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
【解析】当时，所以要使的值域为，需满足在时的值域包含所有负数，所以，解得，故选B.
5.已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是减函数，记，则（ ）
A.
B．
C．
D．
【解析】由得：函数的周期为，因为在上是减函数，且是定义域为的偶函数，所以在上是增函数，且图像关于轴对称.，，，由题知：，故答案为B.
6.设函数则满足的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【解析】当时，，所以，即符合题意.当时，，
若，则，即：，，所以.综上，故选C.
7.函数数列的前项和为，
（为常数，且），，若则取值为(　　)
A．恒为正数
B．恒为负数
C．恒为零
D．可正可负
【解析】由数列的前项和得为等差数列，又可知为奇函数，且
，则在上递增.
因为，所以；
因为，所以，同理.，因此
恒为负值，故选B.
8．已知，，，则当的值为________时，取得最大值．
【解析】，取等号时，满足，又，
解得
9.已知函数，在其图像上任取一点都满足方程
①函数一定具有奇偶性；
②
函数是单调函数；
③
④
以上说法正确的序号是
.
【解析】函数的图象是双曲线的一部分.易知（1）（2）不成立.（3）（4）可转化为双曲线的渐近线的斜率问题，（3）（4）都是满足条件的.正确答案是（3）（4）.
10.【2016山东滨州二模】已知函数，若存在互不相等的实数满足，则的取值范围是
．
【解析】作出函数的图象如下，设，不妨设，由图可知，并且当时，，此时，当时，，此时，综上的取值范围是，故答案填．
11.
已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围.
【解析】（1）函数定义域为的偶函数，
则由即，则.
（2）函数与的图象有且只有一个公共点，
即方程，即只有一个根.
即，设，，设
可知：在上递增，在和上递减.
，，，
，则的取值范围是或.
C组题
1.已知函数，若，则的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】示意图象，可知在原点处切线效率为，则可确定，故选
2.设分别是方程和的根(其中)，
则的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【解析】据题意，为函数的图像与函数的图像的交点的横坐标，为函数的图像与函数的图像的交点的横坐标，据同底的指对函数互为反函数，所以有，结合的条件，可知，所以有，结合对勾函数的单调性，可知该式子的取值范围为，故选A
3.
若，则(
)
A.
B.
C．
D.
【解析】构造函数，由可知在上先减后增，故选项A,B不确定；
对选项C,D通过取对数后，构造函数，易知在上单调递减，则
，即，即，故选C.
4.已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【解析】由题可得存在满足
,令,因为函数和在定义域内都是单调递增的,所以函数在定义域内是单调递增的,又因为趋近于时,函数且在上有解(即函数有零点),
所以,故选B.
5.
函数定义域为，若满足①在上是单调函数，②存在，使在上的值域为，那么就称为“好函数”.现有函数是好函数，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【解析】可判断是单调函数，则是“好函数”只需方程恰有两个根，
即，设，则在上恰有俩解需要解得选项A.
6.已知函数，对，使得，则的最小值为（
）
A
.
B．
C．
D．
【解析】由可得：，令，则，，所以，所以，令，得，所以当时为减函数，当时为增函数，所以的最小值为.
7.
函数在上单调递减，则实数的取值范围是
.
【解析】设，则依题意，函数在上单调递减，
当时，需要，得；当时，排除；当时，，得.
综上：或
8.【2016年高考北京理数】设函数.
①若，则的最大值为______________；②若无最大值，则实数的取值范围是________.
【解析】如图作出函数与直线的图象，它们的交点是，，，由
知是函数的极大值点.
①当时，易知；
②当时，有最大值；只有当时，由，知无最大值，
综上：空填，
9.
设函数，当点是函数图象上的点时，点是函数图象上的点．
（Ⅰ）写出函数的解析式；
（Ⅱ）若当时，恒有，试确定的取值范围；
【解析】（1）设有代入得，
点在图象上，有.
（2）设，
依题在恒成立.应有
，即
则可判断在上递减，故
解得：.
10.已知函数，记是在区间上的最大值.
（1）证明：当时，；
（2）当，满足，求的最大值.
【解析】（1）由，得对称轴为直线，由，得，故在上
单调，所以，当时，，
所以
（2）由得，且，得
由，可知当时，，且在上
的最大值为，即，故的最大值为第一讲
函数及其性质
A组题
1.
（2017年高考北京卷理）已知函数，则（
）
A.
是奇函数，且在R上是增函数
B.
是偶函数，且在R上是增函数
C.
是奇函数，且在R上是减函数
D.
是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【解析】，所以该函数是奇函数，并且是增函数，
是减函数，根据增函数 减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A.
2.函数，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】可验证函数满足，是偶函数，故选.
3.已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．是偶函数
B．是增函数
C．是周期函数
D．的值域为
【解析】当时，，当时，，故选
4.如果奇函数在区间上是增函数且最大值为5，那么在区间上是（
）
A．增函数且最小值是-5
B．增函数且最大值是-5
C．减函数且最大值是-5
D．减函数且最小值是-5
【解析】奇函数图像关于原点对称，故由题在上递增，故在上，
，故选
5.若函数是上周期为的奇函数，且满足，则(
)
A.
B.
C.
D.
【解析】因为函数是上周期为的奇函数，所以故选
6.函数f(x)＝lg|sin
x|是(　　
)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为2π的偶函数
【解析】当时，且，故选
7.(2016·哈尔滨联考)已知函数f(x)恒满足，且当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f
，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系(
　
)
A．c>a>b　　　　　　B．c>b>a
C．a>c>b
D．b>a>c
【解析】图象关于直线对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立说明在上单减，故，故选
8.（2017年全国3卷文）设函数则满足的x的取值范围是__________。
【答案】(-，
)
【解析】由题意得：
当时，
恒成立，即；当时，
恒成立，即；当时，
，即.综上，x的取值范围是.
9.若函数在上是增函数，则实数的取值范围是
.
【解析】设，因为外函数是单调函数，故内函数在
上单增，应有，解得.空填.
10.设函数满足，当时，，则
.
【解析】由题，故
11.二次函数的图象与函数的图象关于点成中心对称.
（1）求函数的解析式；
（2）是否存在实数，满足定义域为时，值域亦为，若存在，求出的值；若不存在，
说明理由.
【解析】（1）设，则点关于点的对称点在函数图象上，
故，得.
（2），假设存在满足条件的，则，则在上单调递增，
所以，解知不存在.
B组题
1.（2016海南中学考前模拟）已知函数关于直线对称，且周期为2，当时，，则（
）
A．0
B．
C．
D．1
【解析】由题意可得，故选B.
2.【2016山东滨州二模】若函数为奇函数，则的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】由于函数为上奇函数，所以，所以，由于为增函数，而为减函数，所以是减函数，又因为，由可得，从而，故选
3．设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】是奇函数，，且在上单增，对于不等式，
当时，，满足；当时，，不满足.
当.时，，满足；当时，，不满足.故选
4.
已知是定义在上的以3为周期的偶函数，若，，则实数的取值范围为(　　)
A．(－1，4)
B．(－2，0)
C．(－1，0)
D．(－1，2)
【解析】因为是定义在上的以3为周期的偶函数，，解得选项
5.已知函数定义域为，且不恒为零，若函数的图象关于对称，函数的图象关于直线对称，则下列式子中错误的是（
）
A.
B.
C.
D.
【解析】的图象关于对称关于对称
；的图象关于直线对称图象关于直线对称
所以的周期，且的所有对称轴为：，所有对称中心为
，故选
6.【2016辽宁抚顺一中四模】已知函数满足，且当时，，若当时，函数与轴有交点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】由对数的性质，及知当时，．，，方程与轴有交点，则有解，即函数的图象与直线有交点，作出函数的图象与直线，如图，由图象知．
已知函数，则
.
【解析】设，，因为，所以
，故此空填
8.是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围是
.
【解析】由题示意图象，可知恒增，故，解得.
9.设函数，若，则
.
【解析】设，，故
故填
设，若时，，且在上的最大值为1.
（1）求的值；
（2）若不存在零点，求的取值范围，并求的最大值；
（3）若存在零点，求值.
【解析】（1）在上的最大值为1，
且，故.
（2），又不存在零点，则
解得，又由（1）知，所以的取值范围为
则，由，当时，的最大值为
（3）若存在零点，则，或
又因为，所以，则对称轴，又因为时，，所以
，得，所以
C组题
设函数，若对，
，不等式恒成立，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【解析】由题意分析可知条件等价于在上单调递增，又，当时，结论显然成立，当时，则，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，综上，实数的取值范围是.
2.已知集合，，定义映射，则从中任取一个映射满足由点构成且的概率为(
)
A.
B.
C.
D.
【解析】映射满足由点构成，又因为若时，可构成个三角形，时，可构成个三角形，若时，
可构成个三角形，若时，可构成个三角形，共计个，其中等腰三角形12个，映射共有个，构成且的概率，
3.函数的图象大致为（
）
【解析】，是奇函数，排除，又在区间上，，排除，当时，，排除，故选
已知函数，，
设，，（、分别表示中的较大者及
较小者，记，则（
）
A.
B.
C.-16
D.16
【解析】令得，，则与图象交于，，
示意图象可知：，，所以故选
5.已知函数是定义在R上的奇函数，当≥0时，＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若∈R，≤，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】画出图象，由∈R，≤，即图象向右平移个单位后的图象总在图象下方，
故，故选
6.定义在上的函数对任意都有，且函数的图像关于成中心对称，若，满足不等式．则当时，的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
【解析】由的图像相当于的图像向右平移了一个单位；又由的图像关于中心对称，知的图像关于中心对称，即为奇函数，得，从而，化简得，又，故，从而，而，故，又，故选
7.【2016四川绵阳三诊】已知函数其中常数，给出下列结论：
①是上的奇函数；
②当时，对任意恒成立；
③的图象关于和对称；
④若对，使得，则．
其中正确的结论是
．（请填上你认为所有正确结论的序号）
【解析】因为所以其图象如下图所示，由于图象关于原点对称，故①正确；因为时，，故可得的图象是由向右平移个单位，故②正确；观察图可知③错误；对于④当，即时，，故当从负方向接近于0时，不满足题意，当，即时，，同上可知不满足题意，当，即时，，，要使得和时相对应时，需满足，即，故④错误．故此空填①②.
函数在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是
.
【解析】，若在上单调，（1）为增，则，无解；
（2）为减，则，解得，由题
9.已知是方程的两个不等实根，函数的定义域为，，若对任意，恒有成立，则实数的取值范围是
.
【解析】是方程的两个不等实根，结合图像可知，当时，，所以在恒成立，故函数在定义域内是增函数，所以①，又因为是方程的两个不等实根，则，代入①化简得：，由对任意的成立，得：，结合，得，故实数的取值范围是.
，函数，记在区间上的最大值为，求的表达式.
【解析】时，
（1）若，，单调递减，则；
（2）若，，可判断在上递减，在上递增，
则（选大），，
所以
综上所述：.第三十八讲
圆锥曲线的离率问题
A组
一、选择题
1．（2017年高考全国3卷理）已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，即，即
，，故选A.
2．已知双曲线，抛物线，
与有公共的焦点，
与在第一象限的公共点为，直线的倾斜角为，且，则关于双曲线的离心率的说法正确的是（）
A.
仅有两个不同的离心率且
B.
仅有两个不同的离心率且
C.
仅有一个离心率且
D.
仅有一个离心率且
【答案】C
【解析】
的焦点为
，
双曲线交点为，即
，设
横坐标为
，则
，
，
可化为
，
，
只有一个根在
内，故选C.
3．已知是双曲线的左右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点,交另一条渐近线于点，且,则该双曲线的离心率为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由
到渐近线
的距离为
，即有
，则
，在
中，
，化简可得
，即有
，即有
，故选A.
4．设是双曲线的右顶点，
是右焦点，若抛物线的准线上存在一点，使，则双曲线的离心率的范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】抛物线的准线方程为,正好是双曲的右准线.由于AF=
,所以AF弦,圆心,半径圆上任取一点P,
,现在转化为圆与准线相交问题.所以,解得.填A.
5．中心为原点的椭圆焦点在轴上，
为该椭圆右顶点，
为椭圆上一点，
，则该椭圆的离心率的取值范围是
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设椭圆标准方程为，设P(x,y)，点P在以OA为直径的圆上。圆的方程：
，化简为，
可得。则所双可得，选B.
6．设点分别为双曲线：
的左、右焦点，若在双曲线左支上存在一点，满足，点到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由题意知，可知是等腰三角形，
在直线的投影是中点，可得，由双曲线定义可得，则，又，知，可得，解得．故本题答案选．
7．如图，两个椭圆的方程分别为和（，
），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线、，若、的斜率之积恒为，则椭圆的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意知，外层椭圆方程为
，设切线的方程为代入内层椭圆消去得:
由化简得同理得所以选A.
8．已知双曲线C：
的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A、B，虚轴的上、下端点分别为C、D，若线段BC与双曲线的渐近线的交点为E，且，则双曲线的离心率为
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根据双曲线的性质可以得到，
，
，
，双曲线的渐近线方程，直线方程：
，联立得到，即点，所以是线段的中点，又因为，所以，而，
，故，因为，所以，因为，即，所以，故选C
9．已知是双曲线上的三个点，
经过原点,
经过右焦点,若且,则该双曲线的离心率是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】做出如图因为
经过原点,
经过右焦点,
可得为矩形，设AF=a,则根据双曲线定义可知，在得得
10．已知分别为双曲线的右焦点和右顶点，过作轴的垂线在第一象限与双曲线交于点，
的延长线与双曲线在第一象限的渐近线交于点，若,则双曲线的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】过Q作QR⊥x轴与R，如图，由题意设F（c，0），则由OA=a得AF=c-a，将x=c代入双曲线得P，则直线AP的斜率为，所以直线AP的方程为，与渐近线联立，得x=，所以AR=，根据相似三角形及，得AF=）AR，即代入，得
11．已知双曲线（，
），过其左焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】是双曲线通径，
，由题意，即，
，即，解得（舍去），故选D．
12．已知点分别是双曲线的左右两焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，若是以为顶角的等腰三角形，其中，则双曲线离心率的取值范围为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
因为为等腰三角形，设，
由为双曲线上一点，
，
由为双曲线上一点，
，
再中，由余弦定理得,
所以，所以
又因为，所以，所以，故选A.
二、填空题
13．设、分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，
，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为__________．
【答案】
【解析】设MF1=s,MF2=t，由椭圆的定义可得s+t=2a1，
由双曲线的定义可得s t=2a2，
解得s=a1+a2,t=a1 a2，
由∠F1MF2=90°，运用勾股定理，可得s2+t2=4c2，
即为，
由离心率的公式可得，
由,可得，
据此有：
由a2>b1,可得，
则双曲线的离心率的取值范围为.
14．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，若直线与圆相切于点且，则双曲线的离心率值为__________．
【答案】
【解析】设双曲线的左焦点为，由圆心可知，
，又，可知，且，由双曲线的定义得，
，
中，
.
15．过双曲线的右焦点且垂于轴的直线与双曲线交于,
两点，与双曲线的渐近线交于,
两点，若,则双曲线离心率的取值范围为__________．
【答案】
【解析】易知，因为渐近线，所以
，由化简得，即，所以，从而，
解得.
B组
一、选择题
1．已知椭圆的两个焦点是，
是直线与椭圆的一个公共点，当取得最小值时椭圆的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：联立直线与椭圆的方程整理可得：
，
满足题意时：
，
当
时，椭圆的离心率取得最小值
.
本题选择D选项.
2．过双曲线：
（，
）的左焦点作圆：
的切线，设切点为，延长交双曲线于，若点为线段的中点，则双曲线的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】取双曲线右焦点,连接，由题意可知，
为直角三角形，且由勾股定理可知，
，选A.
3．已知双曲线的右顶点为为坐标原点,以为圆心的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点,若且,则双曲线的离心率为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由图知是等边三角形，设中点是，圆的半径为，则，
，
，因为，所以，
，即，所以，即，
，从而得，故选B．
4．在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点,若的垂心为的焦点，则的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】设，
，
焦点为，由题意，即，所以，又，
，
，
，
，而，即，
，
，
，所以，故选C．
5．已知双曲线的左右顶点分别为，
是双曲线上异于的任意一点，直线和分别与轴交于两点，
为坐标原点，若依次成等比数列，则双曲线的离心率的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】设，因为，所以，直线方程为，令得，
，即，同理得，由于成等比数列，则，即，
是双曲线上的点，则，所以，即，所以，
，而，从而，
，所以，故选A．
6．已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】如图，根据双曲线的对称性可知，若是钝角三角形，显然为钝角，因此，由于过左焦点且垂直于轴，所以，
，
，则，
，所以，化简整理得：
，所以，即，两边同时除以得，解得或（舍），故选择D.
7．双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为，则双曲线的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设双曲线的右焦点为
，
的周长为
，
而
，所以三角形周长的最小值是
，解得：
，
，解得：
，故选B.
8．已知椭圆和双曲线焦点相同，且离心率互为倒数，
是它们的公共焦点，
是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则椭圆的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】设
，
在椭圆中
，
，即
在双曲线中
，
即，则
所以，由题知，则椭圆离心率，选A.
9．已知椭圆的右焦点为为坐标原点，
为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】如图：
因为，所以，
，所以，
，
，由椭圆定义，可得，选D.
10．设椭圆与函数的图象相交于两点，点为椭圆上异于的动点，若直线的斜率取值范围是，则直线的斜率取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】设，
，因为椭圆和函数的图象都关于原点对称，则从而有
由，得，即有
则，因为，则有,选D.
11．已知、为双曲线：
的左、右焦点，点在上，
，且，则双曲线的离心率（
）
A.
B.
C.
2
D.
3
【答案】A
【解析】由双曲线定义及，得
由余弦定理得，得,选A.
二、填空题
12．过双曲线（，
）的左焦点向圆作一条切线，若该切线与双曲线的两条渐进线分别相交于第一、二象限，且被双曲线的两条渐进线截得的线段长为，则该双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】设该切线与双曲线的两条渐近线交点,分别联立切线与两条渐近线:
,解得,,解得,根据弦长公式得:
,两边平方得:
,即,解得:
或,又因为切线与双曲线的两条渐进线分别相交于第一、二象限，所以,故填.
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为__________．
【答案】
【解析】设椭圆的左、右焦点分别为,将代入椭圆方程可得，可设,由，可得，即有，即，可得，代入椭圆方程可得，由,即有，解得.
14．椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，右顶点为，直线与交于点.若，则的离心率等于__________．
【答案】
【解析】如图：设，由，得根据相似三角形得：
求得，又直线方程为：
，将点D代入得：
C组
一、选择题
1．已知中，
，以为焦点的双曲线（）经过点，且与边交于点，若，则该双曲线的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】设
，根据双曲线的定义的定义可得
，又知
在直角三角形
中，根据勾股定理可得
可得
，
在直角三角形
中，根据勾股定理可得，故选D.
2．已知分别为双曲线：
()的左、右顶点，不同两点在双曲线上，且关于轴对称，设直线的斜率分别为，则当取最大值时，双曲线的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：由题意可知，满足题意时
，结合对称性可知：
，
设点
的坐标为
，则：
，
点
在双曲线上，则：
，
据此有：
.
本题选择A选项.
3．已知双曲线（，
）的左、右焦点分别为，
，点在双曲线的右支上，若，
，则双曲线的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意，得，则，由正弦定理，得，解得，即该双曲线的离心率为；故选C.
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，
分别交轴于两点，若的周长
12，则取得最大值时该双曲线的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：由题意,△ABF2的周长为24，
∵|AF2|+|BF2|+|AB|=24，
∵|AF2|+|BF2| |AB|=4a,|AB|=
，
∴
=24 4a,∴b2=a(6 a)，
∴y=a2b2=a3(6 a),∴y′=2a2(9 2a)，
00,a>4.5,y′<0，
∴a=4.5时,y=a2b2取得最大值,此时ab取得最大值,
，
故：
.
本题选择D选项.
5．若直线和直线相交于一点，将直线绕该点依逆时针旋转到与第一次重合时所转的角为，则角就叫做到的角，
，其中分别是的斜率，已知双曲线：
的右焦点为，
是右顶点，
是直线上的一点，
是双曲线的离心率，
，则的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：设
的斜率为
，由题意可知：
，
不妨设
，当
时由对称性可知结果一致，
则：
，
令
，
则
，
当
取得最大值时满足题意，
很明显
，则：
，
当且仅当
时等号成立，
此时：
.
本题选择C选项.
6．已知双曲线：
（，
）的一条渐近线为，圆：
与交于，
两点，若是等腰直角三角形，且（其中为坐标原点），则双曲线的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】双曲线渐近线为，圆的圆心为，半径，由于，由勾股定理得，故，在中，由余弦定理得，解得.根据圆心到直线的距离为，有，结合解得，故离心率为.
7．已知为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为，
与双曲线相交于点，且，则该双曲线的离心率为（
）
A.
B.
2
C.
D.
【答案】A
【解析】依题意设，则根据双曲线的定义，有，分别在两个直角三角形和中利用勾股定理有，解得，且，故离心率为.
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为，抛物线的准线交双曲线左支于两点，且，其中为原点，则双曲线的离心率为（
）
A.
2
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】如下图：
，
,
,代入双曲线方程，可得，解得，选C.
对于求离心率的题，重要的是根据几何关系，或代数关系建立关于或的等式，再进一步求出离心率。
9．已知为双曲线的左焦点，点为双曲线虚轴的一个端点，过，
的直线与双曲线的一条渐近线在轴右侧的交点为，若，则此双曲线的离心率是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由双曲线，可设，易知左焦点，过的直线方程斜率为，所以直线方程为，双曲线的一条渐近线方程为，联立这两式可得，根据，代入得，整理得
10．已知椭圆的左右焦点分别为，
，过的直线与椭圆交于A，B两点，若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
如图所示，设，则，
因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，
所以，
联立解得，
解得，故选A.
11．设P为双曲线C：
，
上且在第一象限内的点，F1，F2分别是双曲的左、右焦点，PF2⊥F1F2，x轴上有一点A且AP⊥PF1，E是AP的中点，线段EF1与PF2交于点M．若，则双曲线的离心率是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题设条件知，
，
，
．
在Rt△PF1A中，由射影定理得，所以．
所以，
.．
所以EF1的直线方程是，当x
=
c时．
即，
，又，所以，即，同除以a4得，得或．
所以．
12．已知点是抛物线：
准线上的一点，点是的焦点，点在上且满足，当取最小值时，点恰好在以原点为中心，
为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
由点在抛物线的准线上，所以，所以抛物线的方程为，
所以抛物线的焦点，准线方程为，
过点作准线的垂线，垂直为，
由抛物线的定义可知,
因为，则，当直线与抛物线相切时，此时取得最小值，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立方程组
，整理，由，解得，
此时直线的方程为，
由与抛物线方程联立，解得点，
此时双曲线的焦点坐标为，且过点
根据双曲线的定义可知，
所以，所以双曲线的离心率为
，故选A。
二、填空题
13．已知椭圆C:
的左右焦点分别为，
,点P在椭圆C上，线段与圆：
相切于点Q，若Q是线段的中点，e为C的离心率，则的最小值是______________
【答案】
【解析】
连接,
由为中位线，可得
,
,
圆，可得且，
由椭圆的定义可得，可得，
又，可得，
即有，即为，
化为，即，
，即有，
则，
当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为.
14．已知椭圆：
的右焦点为，上、下顶点分别为，
，直线交于另一点，若直线交轴于点，则的离心率是__________．
【答案】
【解析】由题意，得，则直线的方程分别为，联立两直线方程，得，则，解得，则该椭圆的离心率为.
15．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，
在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】过作准线的垂线，垂足为，
则由抛物线的定义可得
，
设
的倾斜角为，则
当取得最大值时，
最小，此时直线与抛物线相切，
设直线的方程为，代入s可得即∴双曲线的实轴长为∴双曲线的离心率为
试卷第20页，总25页
试卷第1页，总25页第三十五讲直线与圆
A组
一、选择题
1．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆的弦长为2，则
的最小值为（
）
A.
4
B.
6
C.
12
D.
16
【答案】B
【解析】圆心坐标为，半径为1，又直线截圆得弦长为2，所以直线过圆心，即，
，所以
，当且仅当时取等号，因此最小值为6，故选B．
2．已知直线与圆相交于
两点，且线段是圆的所有弦中最长的一条弦，则实数(
)
A.
2
B.
C.
或2
D.
1
【答案】D
【解析】由题设可知直线经过圆心，所以，应选答案D。
3．设点是⊙上的点,若点到直线
的距离为,则这样的点共有(
)
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
【答案】C
【解析】⊙
的圆心坐标为(1,1),半径为
.
圆心C(1,1)到直线
l:x+y 4=0的距离
.
如图，则满足条件的点P有三个，分别是P在A，B，D的位置上。
本题选择C选项.
4．若圆C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0上有四个不同的点到直线l：4x＋3y＋c＝0的距离为2，则c的取值范围是(　　)
A.
(－12，8)
B.
(－8，12)
C.
(－13，17)
D.
(－17，13)
【答案】C
【解析】圆C的方程化为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，
则圆心C为(1，－2)，半径r＝5.
据题意，圆心C到直线l的距离d＜3，即
<3，则－13＜c＜17，选C.
5．若实数，
满足，则的取值范围为（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解答：
由题意可得,
表示右半个圆x2+y2=1上的点(x,y)与原点(0, 2)连线的斜率，
设k=，故此圆的切线方程为y=kx 2，
再根据圆心(0,0)到切线的距离等于半径,可得r==1，
平方得k2=3
求得k=±,故的取值范围是，
故选：D.
6．设是定义在上的增函数,且对于任意的都有恒成立.如果实数满足不等式,那么的取值范围是(　
)
A.
(9,49)
B.
(13,49)
C.
(9,25)
D.
(3,7)
【答案】A
【解析】由是的增函数和奇函数可得,,所以
选A.
二、填空题
7．已知圆：
和圆：
，若点（，
）在两圆的公共弦上，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】由题意得，圆：
和圆：
两个方程相减即可得到两圆的公共弦，即，又点（，
）在两圆的公共弦上，即，则
（当且仅当即，等号成立），即的最小值为.
8．在平面直角坐标系中，圆．若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是____．
【答案】
(或)
【解析】由于圆存在以为中点的弦，且，所以,如图，过点作圆的两条切线，切点分别为，圆上要存在满足题意的点，只需，即，连接，
，由于，
，
，解得.
三、解答题
9．已知在平面直角坐标系中，点，直线：
.设圆C的半径为1，圆心在直线上．
（1）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点，使，求圆心C的横坐标的取值范围．
【解析】（1）由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．
设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，
由题意，
＝1，解得k＝0或－，
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
（2）因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为
(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，因为MA＝2MO，
所以＝2，
化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，
所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，
即1≤≤3.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；
由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以点C的横坐标a的取值范围为[0，
]．
10．已知，直线被圆所截得的弦长为，且为圆上任意一点.
（1）求的最大值与最小值；
（2）圆与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.
【解析】（1）∵直线被圆所截得的弦长为，
∴到直线的距离为，
解得或，又，∴.
∴，
∴，
.
（2）由（1）知圆的方程为，
令，得或；令，得，或.
∴这三个点的坐标为，
，
.
易知，
为直角三角形，且斜边，
则内切圆的半径为.
11．过直线上一动点不在轴上)作焦点为的抛物线的两条切线,
为切点,直线分别与轴交于点.
(Ⅰ)求证:
，并求的外接圆面积的最小值；
(Ⅱ)求证:直线恒过一定点。
【解析】
(
I
)
设，则直线为，与联立，得：
因为相切，所以，得：
，又，所以
即，同理：
，所以为的外接圆，又因为：
，所以的外接圆面积最小值为：
.
（Ⅱ）设点，
易知：直线方程为：
，
代入点坐标得：
，同理：
，
所以直线方程为：
，又点满足：
所以直线恒过定点
12．已知动点到点和直线l：
的距离相等.
（Ⅰ）求动点的轨迹E的方程；
（Ⅱ）已知不与垂直的直线与曲线E有唯一公共点A，且与直线的交点为，以AP为直径作圆.判断点和圆的位置关系，并证明你的结论．
【解析】（Ⅰ）设动点，
由抛物线定义可知点的轨迹E是以为焦点，直线l：
为准线的抛物线，
所以轨迹E的方程为.
（Ⅱ）法1：由题意可设直线，
由可得（
），
因为直线与曲线E有唯一公共点A，
所以，即.
所以（
）可化简为，
所以，
令得，
因为，
所以
所以，
所以点在以PA为直径的圆上.
法2：依题意可设直线，
由可得（
），
因为直线与曲线E有唯一公共点A，且与直线的交点为，
所以即
所以（
）可化简为，
所以.
令得，
因为，
所以，
所以点在以PA为直径的圆上.
B组
一、选择题
1．已知,直线被圆所截得的弦长为，且为圆上任意一点，则的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】根据弦心距、半径、半弦长的关系得：
，解得：
或
(舍去)，当时，
的最大值，故选D.
2．过直线y=2x上一点P作圆M：
的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线
l1，l2关于直线y=2x对称时，则∠APB等于
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
90°
【答案】C
【解析】
连接PM、AM,可得当切线l1，l2关于直线l对称时，
直线l⊥PM，且射线PM恰好是∠APB的平分线，
∵圆M的方程为，
∴点M坐标为(3,2),半径r=，
点M到直线l:2x y=0的距离为PM==，
由PA切圆M于A,得Rt△PAM中,sin∠APM==，
得∠APM=30 ，
∴∠APB=2∠APM=60 .
故选：C.
3．已知直线分别于半径为的圆相切于点，若点在圆的内部（不包括边界），则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为，由切线长定理知，又
，因此，解得．
4．已知动点在直线上，动点在圆上，若，则的最大值为（
）
A.
2
B.
4
C.
5
D.
6
【答案】C
【解析】
如图所示，设点，
圆心到直线的距离为，则，
因为直线与圆有交点，所以，
所以，解得，所以的最大值为，故选C.
5．若在圆上，总存在相异两点到原点的距离等于1，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】圆心
与原点之间的距离为
，当原点在圆外时，则
；当原点在圆外时，则；当点在圆上，
显然符合，综上3种情况有，解得
或
，选C.
6．已知圆：
和两点，
，若圆上存在点，使得，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由题意可得点P的轨迹方程是以位直径的圆，当两圆外切时有：
，
即的最小值为1.
本题选择D选项.
二、填空题
7．已知函数，其中是半径为4的圆的一条弦，
为原点，
为单位圆上的点，设函数的最小值为，当点在单位圆上运动时，
的最大值为3，则线段的长度为__________．
【答案】
【解析】设，
则函数，其中P为单位圆O上的点，
∵，
∴点A在直线MN上；
∴函数f(x)的最小值t为点P到直线MN的距离，
当tmax=3时，如图所示；
线段MN的长度为.
8．在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．
【答案】
【解析】
,当
时，半径最大为
，圆方程为
，故答案为.
9．已知直线与圆相交于两点，点分别在圆上运动，且位于直线两侧，则四边形面积的最大值为______．
【答案】
【解析】把圆M:x2+y2 2x+2y 1=0化为标准方程：(x 1)2+(y+1)2=3,圆心(1, 1),半径
.
直线与圆相交,由点到直线的距离公式的弦心距
，
由勾股定理的半弦长=
,所以弦长
.
又B，D两点在圆上，并且位于直线l的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，
如图所示，
当B,D为如图所示位置,即BD为弦AC的垂直平分线时(即为直径时)，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，
最大面积为：
.
10．已知圆，设为直线上的一条线段，若对于圆上的任意一点,,则的最小值是________.
【答案】
【解析】若对于圆上的任意一点,,则圆上的任意一点都在以线段为直径的圆内，圆心
到直线的距离为
,所以圆上的点到直线的距离的最大值为
，所以以线段为直径的圆的半径的最小值为，则的最小值是。
三、解答题
11．如图，已知圆与轴相切于点，与轴的正半轴交于两点（点在点的左侧），且.
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，连接，
求证：
为定值.
【解析】（1）因为圆与轴相切于点，可设圆心的坐标为，则圆的半径为，又，所以，解得，所以圆的方程为
（2）由（1）知，当直线AB的斜率为0时，易知即
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB:
将代入，并整理得，设，所以则
综上可得。
12．若圆：
与圆：
相外切．
（1）求的值；
（2）若圆与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点，
为第三象限内一点且在圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．
【解析】
（1）圆的圆心坐标，半径为，
圆的圆心坐标，半径为3，
又两圆外切得，
．
（2）点坐标为，点坐标为，
设点坐标为，
由题意得点的坐标为；点的坐标为，
四边形的面积
，
有点在圆上，有，
∴四边形的面积，
即四边形的面积为定值4．
13．已知平面直角坐标系内两个定点、,满足
的点形成的曲线记为.
(1)求曲线的方程;
(2)过点B的直线与曲线相交于C、D两点,当⊿COD的面积最大时,求直线的方程(O为坐标原点);
(3)设曲线分别交x、y轴的正半轴于M、N两点,点Q是曲线位于第三象限内一段上的任意一点,连结QN交x轴于点E、连结QM交y轴于.求证四边形MNEF的面积为定值.
【解析】
(1)由题设知,两边平方化简得
∴点的轨迹的方程为
(2)由题意知的斜率一定存在,
设即,
∵原点到直线的距离,
∴,
当且仅当时,取得“=”
∴当时,此时,
∴直线的方程为
(3)设
设
(其中)
则,令得
∴
,令得
∴
(定值)
14．已知动圆与圆外切，与圆内切．
（1）试求动圆圆心的轨迹方程；
（2）过定点且斜率为的直线与（1）中轨迹交于不同的两点，试判断在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由．
【解析】
（1）由得，由得，设动圆的半径为，两圆的圆心分别为，则，∴，根据椭圆的定义可知，点的轨迹为以为焦点的椭圆，∴，
∴，
∴动圆圆的轨迹方程为．
（2）存在，直线的方程为，设，
的中点为．假设存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形，则，
由，得，
，∴，
，
∵，∴，即，
∴，
当时，
，∴；
当时，
，∴．
因此，存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形，且实数的取值范围为．
C组
一、选择题
1．已知，点是直线与圆的公共点，则的最大值为（
）
A.
15
B.
9
C.
1
D.
【答案】B
【解析】由于直线和圆有公共点，所以圆心到直线的距离不大于半径，即，解得，将点坐标代入直线和圆的方程，有，第一个式子两边平方后，代入第二个式子，化简得，二次函数对称轴为，且开口向上，根据可知当时，
有最大值为,
2．已知点，
，
在圆上运动，且.若点的坐标为，则的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意知AC是圆的直径，所以O是AC中点，故，PO的长为5，所以,显然当B在PO上时，
有最小值，当B在PO的延长线上时，
有最大值，故选C．
3．已知圆的半径为1，
为该圆上四个点，且，则的面积最大值为（
）
A.
2
B.
1
C.
D.
【答案】B
【解析】因为
,所以四边形为平行四边形,又因为
都在圆上,所以,
必为圆的直径,
四边形为矩形,
当且仅当时取等号,选B.
4．若曲线与曲线有三个不同的公共点，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】曲线可化为，表示直线和直线，直线与曲线，有一个交点，即原点.则需直线和有两个交点，即圆心到直线的距离小于半径，也即，解得.（当时，两直线有相同的公共点为原点，故舍去）
5．在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】圆
的圆心为
，半径为1．圆心到直线的距离为，要使直线与圆相交，则，解得
．∴在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为．故选A
6．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点.（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设是圆的切线，
是圆与以为直径的两圆的公共弦，可得以为直径的圆的方程为，
①
又
，
②
①-②得，可得满足上式，即过定点，故选B.
二、填空题
7．在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，则的取值范围为__．
【答案】
【解析】圆心（1,1）半径为1，要使AB的长度最小，则最小，即最小，即PC最小，由点到直线的距离公式可得：
，则=60°，=120°，即AB=，当P在无限远取值时，
趋近180°，此时AB趋近直径2，故的取值范围为
8．直线与圆相交于两点、.若，则（为坐标原点）等于是__________．
【答案】
【解析】解：取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN，∵c2=a2+b2，
∴O点到直线MN的距离
，x2+y2=16的半径r=4，
∴Rt△AON中,设∠AON=θ,得，
cos∠MON=cos2θ=2cos2θ 1=
，
由此可得：
.
9．已知直线与⊙O：
交于P、Q两点，若满足，则______________；
【答案】-1
【解析】设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由方程组，
直线Ax+By+C=0与圆x2+y2=2联立消去y，得（A2+B2）x2+2ACx+（C2﹣2B2）=0，∴x1x2=；
消去x，得（A2+B2）y2+2BCy+（C2﹣2B2）=0，∴y1y2=；
∴═x1x2+y1y2=+=，
∵A2，C2，B2成等差数列，
∴2C2=A2+B2，
∴=﹣1．
故答案为：﹣1．
三、解答题
10．已知圆与直线相切，点为圆上一动点，
轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求动点的轨迹曲线的方程；
（2）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围.
【解析】（I）设动点，由于轴于点
又圆与直线即相切，
∴圆
由题意，
，得
即
将代入，得曲线的方程为
（II）（1）假设直线的斜率存在，设其方程为，设
联立，可得
由求根公式得（
）
∵以为直径的圆过坐标原点，
即
即
化简可得，
将（
）代入可得，即
即，又
将代入，可得
∴当且仅当，即时等号成立．又由，
，
．
（2）若直线的斜率不存在，因以为直径的圆过坐标原点，故可设所在直线方程为，联立解得
同理求得
故．综上，得．
试卷第2页，总20页
试卷第1页，总20页第九讲
空间几何体的三视图、表面积与体积
A组
一、选择题
1．（2017年高考北京卷理）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（
）
A.
3
B.
2
C.
2
D.
2
【答案】B
【解析】几何体是四棱锥，如图.
最长的棱长为补成的正方体的体对角线，即该四棱锥的最长棱的长度，故选B.
2.
（2017年高考全国1卷理）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
A.
10
B.
12
C.
14
D.
16
【答案】B
【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为，故选B.
3.（2016.新课标Ⅰ，6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是
（A）17π
（B）
（C）
（D）
【答案】A
【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是，故选A．
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是(　　)
新
解析　A、B、C与俯视图不符．
答案　D
5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为(　　)
解析　抓住其一条对角线被遮住应为虚线，可知正确答案在C，D中，又结合直观图知，D正确．
答案　D
6．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(　　)
A．
B．
C．21
D．18
解析　
由三视图知，该多面体是由正方体割去两个角所成的图形，如图所示，则
答案　A
7．已知S，A，B，C是球O表面上的点，，，，则球O的表面积等于(　　)
A．　　　　
B．
C．　　　　
D．
解析　
如图所示，由知，AC为过A，B，C，D四点小圆直径，
所以.
又
设为SA，AB，BC为棱长构造的长方体，
得体对角线长为
所以R＝1，球O的表面积.故选A.
答案　A
8．一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析　
由三视图可得原石材为如图所示的直三棱柱且，，.若要得到半径最大的球，则此球与平面，，相切，故此时球的半径与△ABC内切圆的半径相等，故半径故选B.
答案　B
9．点A，B，C，D均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，，，则该球的体积为(　　)
A．
B．
C．D．
解析　
新$课$标$第$一$网
如图所示，O1为三角形ABC的外心，过O做
∴，
∴
∴E为DA的中点．∵，
∴，∴.
∴∴∴
答案　A
二、填空题
10．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是________．
w
w
w
.x
k
b
1.c
o
m
解析　
由三视图可知，四棱锥的高为2，底面为直角梯形.其中，，，所以四棱锥的体积为
答案　
11．如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥的体积为V1，三棱柱的体积为V2，则________.
解析　设三棱柱的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则，即
答案　
12．在四面体中，，A，，则四面体的外接球的表面积为________．
解析　构造一个长方体，使得它的三条面对角线分别为4、5、6，设长方体的三条边分别为x，y，z，则，而长方体的外接球就是四面体的外接球，所以
答案　
三、解答题
13．下列三个图中，左边是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图．右边两个是其正(主)视图和侧(左)视图．
(1)请在正(主)视图的下方，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图(不要求叙述作图过程)．
(2)求该多面体的体积(尺寸如图)．
解　(1)作出俯视图如图所示．
(2)依题意，该多面体是由一个正方体()截去一个三棱锥()得到的，所以截去的三棱锥体积
＝＝，
正方体体积V正方体xkb1.com
所以所求多面体的体积
14.
如图，四棱柱中，四边形ABCD为梯形，，且.过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q.
(1)证明：Q为BB1的中点；
(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比．
解　(1)证明：因为，，，
所以从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，即.
故△QBC与△A1AD的对应边相互平行，于是.
所以即Q为BB1的中点．新-课-标-第-一-网
(2)如图，连接QA，QD.
设，梯形的高为d，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，，则
所以，
又，
所以.故.
B组
1.（2017年高考全国2卷）如图，网格纸上小正方形的边长为1，学
科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积，故该组合体的体积．故选B．
2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是(　　)
答案　D
解析　由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.
3．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1
cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3
cm，高为6
cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(　　)
A.
B.
C.
D.答案　C
解析　由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为4
cm，底面半径为2
cm，右面圆柱的高为2
cm，底面半径为3
cm，则组合体的体积(cm3)，原毛坯体积(cm3)，则所求比值为
4．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是(　　)
A．90
cm2
B．129
cm2
C．132
cm2
D．138
cm2
答案　D
解析　该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6
cm,4
cm，3
cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3
cm,4
cm,5
cm，所以表面积(cm2)．
5.三棱锥中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥的体积为V1，的体积为V2，则_______.
解析　由于，所以，又因所以∴.
答案　
6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．
答案　
解析　
根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥
由三视图的形状特征及数据，可推知，且底面为等腰三角形，设D为AC的中点，，则，且
易得，所以最长的棱为PC，
7．已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．
答案　
解析　如图，
作设PA＝a，则，
设球的半径为R，
所以，
将代入上式，
解得，所以
8．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积；
(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？
解　(1)
作圆锥的轴截面，如图所示．
因为，所以所以
(2)因为，
所以当时，S圆柱侧最大．
故当即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．
9．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1)求证：
(2)求证：
(3)求三棱锥的体积．
(1)证明
在三棱柱中，
，
所以.
又因为，
所以又因为，
所以.
(2)证明　取AB的中点G，连接EG，FG.
因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以因为，且所以，
所以四边形为平行四边形．
所以
又因为
所以.
(3)解　因为所以所以三棱锥E－ABC的体积
10.如图，四棱锥中，底面为矩形，，E为PD的中点．
(1)证明：
(2)设二面角为60°，，求三棱锥的体积．
解　(1)连接BD交AC于点O，连接EO.
因为为矩形，所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，所以
所以(2)因为，为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系.
则，，
设，则，|b|1
设为平面ACE的法向量，
则即
可取
又为平面DAE的法向量，
由题设即
解得.因为E为PD的中点，所以三棱锥的高为.三棱锥的体积
11．如图，在Rt△ABC中，，点E在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合)，使得∠PEB＝30°.xkb1
(1)求证：；
(2)试问：当点E在何处时，四棱锥的侧面的面积最大？并求此时四棱锥的体积．
解　(1)证明：
又，
即
又
∴
∴.
(2)设∴
当且仅当时，S△PEB的面积最大．
此时，
由(1)知∴
在平面中，作于O，
则.
即PO为四棱锥的高．
又
w
W
w
.X
k
b
1.c
O
m
∴
C组
1．（2017年高考全国3卷文）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：
，
结合勾股定理，底面半径，
由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.
2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)
A．54
B．60
C．66
D．72
答案　B
解析　由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，直角梯形ABPA1的面积为计算可得A1P＝5.直角梯形BCC1P的面积为.因为，所以故Rt△A1PC1的面积为
又Rt△ABC的面积为，矩形ACC1A1的面积为，故几何体的表面积为.
3．两球O1和O2在棱长为1的正方体的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和球O2的表面积之和的最小值为(　　)
A．
B．
C．
D．
答案　A
解析　设球O1，O2的半径分别为r1，r2，
由题意知，
而，，
∵∴，
从而
4．已知球的直径，A，B是该球球面上的两点，，则棱锥的体积为(　　)
A．B．
C.
D．1
答案　C
解析　
如图，过A作AD垂直SC于D，连接BD.
由于SC是球的直径，所以，又，又SC为公共边，所以.由于所以.
由此得SC⊥平面ABD.所以由于在中，所以由于同理在中也有.又，所以△ABD为正三角形，
所以所以选C.
5．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
B．
C．
D．
答案　B
解析　
这是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体，
如图，几何体的高为2，
6．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得几何体的体积为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　
由三视图确定该几何体是一个半球体与三棱锥构成的组合体，如图，其中AP，AB，AC两两垂直，且，故AS所以三棱锥的体积，又Rt△ABC是半球底面的内接三角形，所以球的直径，解得，所以半球的体积，故所求几何体的体积
7.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是
(A)
(B)(C)
(D)
【答案】A
【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。
【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知，，则有，即，即有a<
(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时a>0;
综上分析可知
8．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于
．
【答案】
【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为
，侧面积为，所以其表面积为。
【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。
9.如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且>>,分别经过三条棱，，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的大小关系为
。
【答案】
【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得。
10.在直三棱柱中,.
(1)求异面直线B1C1与AC所成角的大小；
(2)若直线A1C与平面ABC所成角为45°,
求三棱锥的体积.
解（1）因为，所以∠BCA（或其补角）即为异面直线与所成角
,
，所以，
即异面直线与所成角大小为。
（2）直三棱柱中，，所以即为直线A1C与平面ABC所成角，所以。
中，得到，中，得到，
所以
11.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥
，下半部分是长方体。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。
（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；
（2）求该安全标识墩的体积；
（3）证明：直线平面.
【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.
　　（２）该安全标识墩的体积为：
　　
　　
　　（３）如图,连结EG,HF及
BD，EG与HF相交于O,连结PO.
由正四棱锥的性质可知,
,
又
又
；