2019-2020学年江苏省南通市启东市高三（上）期中数学试卷试题及答案（word版含答案解析）

2019-2020学年江苏省南通市启东市高三（上）期中数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝　 　．
2．函数的最小正周期为　 　．
3．“x＞3”是“x2﹣3x+2＞0”的　 　条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分又不必要”中选择一个正确的填写）
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB＝2bsinA，则cosB＝　 　．
5．记Sn是等比数列{an}的前n项和，a1+a2＝2，a4+a5＝4，则　 　．
6．如图所示，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为24，E为线段B1C上的一点，则棱锥A﹣DED1的体积为　 　．

7．已知函数的最小值为1，则m＝　 　．
8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）＝f（x）．若当0≤x≤1时，f（x）＝2x﹣cos，则f（2019）＝　 　．
9．若，，则cos2α＝　 　．
10．如图，在平面四边形ABCD中，，AD＝2，AB＝BC＝CA＝4，E，F分别为边BC，CD的中点，则　 　．

11．在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝x3上，该曲线在点A处的切线l与x轴交于点B．若AC⊥x轴，垂足为C，且BC长为1，则切线l的斜率为　 　．
12．已知函数则不等式f（x+2）＞f（x）的解集是　 　．
13．若函数f（x）＝ax﹣x3（a＞0，a≠1）有两个不同的零点，则a的取值范围是　 　．
14．如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，，则cosB的最小值为　 　．

二、解答题：本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为棱PD的中点，平面PAB⊥底面ABCD，∠PAB＝90°．求证：
（1）PB∥平面AEC；
（2）平面PAC⊥平面ABCD．



16．已知，（sinx，1），．
（1）若||，求cos2x的值；
（2）求函数f（x）?的单调区间和值域．


17．已知函数f（x）＝ax+bx（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1）是偶函数．
（1）求ab的值；
（2）若f（lgx）＜f（1），求x的取值范围．


18．如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为α（其中tanα）的斜坡前进km后到达D处，休息后继续行驶km到达山顶B．
（1）求山的高度BE；
（2）现山顶处有一塔CBkm．从A到D的登山途中，队员在点P处测得塔的视角为θ（∠CPB＝θ）．若点P处高度PF为xkm，则x为何值时，视角θ最大？


19．已知函数f（x）（a∈R）．
（1）当a＝0时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间（0，2）内有两个极值点，求实数a的取值范围．

20．数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn．已知对任意的n∈N*，存在实数p，q满足．
（1）若an＝2n，求p，q的值；
（2）若a1，a2，a3成等差数列，求证：数列{an}是等差数列．


21．在空间直角坐标系O﹣xyz中，O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，1，2），点P满足．
（1）求点P的坐标（用λ表示）；
（2）若OP⊥BC，求λ的值．


确定函数f（x）＝cos2x+4cosx，x∈（0，2π）的单调区间．

23．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，．
（1）求二面角D1﹣AC﹣B1的余弦值；
（2）试问线段A1B1上是否存在点E，使得直线DE∥平面ACB1？若存在，求线段A1E的长；若不存在，说明理由．


24．已知x＞1，，，n∈N*．
（1）比较S2（x）与T2（x）的大小；
（2）比较Sn（x）与Tn（x）（n∈N*）大小，并加以证明．


2019-2020学年江苏省南通市启东市高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝　{﹣1，0}　．
【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴A∩B＝{﹣1，0}．
故答案为：{﹣1，0}．
2．函数的最小正周期为　　．
【解答】解：函数的最小正周期为 ，
故答案：．
3．“x＞3”是“x2﹣3x+2＞0”的　充分不必要　条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分又不必要”中选择一个正确的填写）
【解答】解：由x2﹣3x+2＞0，解得x＜1或x＞2．
则由x＞3?x2﹣3x+2＞0；反之不成立．
∴“x＞3”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB＝2bsinA，则cosB＝　　．
【解答】解：∵acosB＝2bsinA，
∴由正弦定理，则有sinAcosB＝2sinBsinA，
∵△ABC中∠A不可能为π，∴sinA≠0，∴得到cosB＝2sinB……①，
又sin2B+cos2B＝1……②
解①②得cosB＝±，
因为∠B为三角形内角，所以sinB＞0，
所以cosB＝2sinB＞0，
∴cosB．
5．记Sn是等比数列{an}的前n项和，a1+a2＝2，a4+a5＝4，则　　．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a2＝2，a4+a5＝4，
∴a1（1+q）＝2，a1q3（1+q）＝4，
∴q3＝2，
则．
故答案为：．
6．如图所示，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为24，E为线段B1C上的一点，则棱锥A﹣DED1的体积为　4　．
【解答】解：设长方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱长分别为AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
则长方体的体积为V长方体＝abc＝24，
所以三棱锥A﹣DED1的体积为
V三棱锥?hAD×DD1×ABbc?a24＝4．
故答案为：4．
7．已知函数的最小值为1，则m＝　ln2　．
【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x），
令f′（x）＞0，解得：x＞2，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
故f（x）min＝f（2）＝1﹣ln2+m＝1，解得：m＝ln2，
故答案为：ln2．
8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）＝f（x）．若当0≤x≤1时，f（x）＝2x﹣cos，则f（2019）＝　﹣2　．
【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），
又由f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），则有f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），即f（x+2）＝﹣f（x），
变形可得：f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，
则f（2019）＝f（2020﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1），
若当0≤x≤1时，f（x）＝2x﹣cos，则f（1）＝2﹣cos2，
则有f（2019）＝﹣2；
故答案为：﹣2．
9．若，，则cos2α＝　　．
【解答】解：若，，则sin（α）
则cos2α＝sin（2α）＝2sin（α）cos（α），
故答案为：．
10．如图，在平面四边形ABCD中，，AD＝2，AB＝BC＝CA＝4，E，F分别为边BC，CD的中点，则　　．

【解答】解：如图所示，
∵E为BC中点，
∴，
同理，
∴??，
其中∠BAD＝150°，∠BAC＝60°，∠CAD＝90°，
∴，，
，，
∴．
故答案为：．

11．在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝x3上，该曲线在点A处的切线l与x轴交于点B．若AC⊥x轴，垂足为C，且BC长为1，则切线l的斜率为　27　．
【解答】解：由题意，设点A坐标为（x0，y0）．
∵y′＝3x2，∴y′|x＝x0＝3．
故曲线在点A处的切线l的斜率k＝3．
∵y0，
∴切线l的直线方程为y3?（x﹣x0），
整理，得：y＝3?x﹣2．
由题意知，B点坐标为（，0），C点坐标为（x0，0）．
∴x01，解得x0＝3．
∴切线l的斜率k＝327．
故答案为：27．
12．已知函数则不等式f（x+2）＞f（x）的解集是　（﹣∞，0）∪（3，+∞）　．
【解答】解：若x＞1，由f（x+2）＞f（x）得（x+2）2﹣8（x+2）+8＞x2﹣8x+8，
即4x＞12，x＞3，此时x＞3成立，
若x+2≤1，即x≤﹣1时，由f（x+2）＞f（x）得5（x+2）﹣4＞5x﹣4，
得10＞0，成立，此时x≤﹣1，
若﹣1＜x≤1，则由f（x+2）＞f（x）得（x+2）2﹣8（x+2）+8＞5x﹣4，
即x2﹣9x＞0，得x＞9或x＜0，
此时﹣1＜x＜0，
综上x＜0或x＞3，
即不等式的解集为（﹣∞，0）∪（3，+∞），
故答案为：（﹣∞，0）∪（3，+∞）

13．若函数f（x）＝ax﹣x3（a＞0，a≠1）有两个不同的零点，则a的取值范围是　　．
【解答】解：∵f（x）＝ax﹣x3（a＞0，a≠1）有两个不同的零点，
∴等价于ax＝x3恰有两个不同解．
当0＜a＜1，y＝ax与y＝﹣x3的图象只有一个交点，
不符合题意．
当a＞1时，y＝ax与y＝﹣x3的图象在x∈（﹣∞，0）
上没有交点，
∴只考虑x＞0，
于是两边取对数，得xlna＝3lnx，即lna，
令g（x），则g′（x），
当x∈（0，e）时，g（x）单调递增，
当x＜1时，g（x）＜0，
x∈（e，+∞）时，g（x）单调递减且g（x）＞0．
∴要有两个交点，0＜lna＜g（e），即1＜a．
故答案为．

14．如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，，则cosB的最小值为　　．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在△ABC中，2c2＝4b2+bccos∠BAC，
∴2c2＝4b2+bc，
∴b2，
∴cosB（当且仅当时，取“＝”），
故cosB的最小值是：．
故答案为：．
二、解答题：本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为棱PD的中点，平面PAB⊥底面ABCD，∠PAB＝90°．求证：
（1）PB∥平面AEC；
（2）平面PAC⊥平面ABCD．

【解答】证明：（1）连BD，交AC于点O，连OE．因为底面ABCD是平行四边形，所以O为BD的中点．
因为E为棱PD的中点，所以OE∥PB，
又因为OE?平面AEC，PB?平面AEC，
所以PB∥平面AEC．
（2）因为平面PAB⊥底面ABCD，∠PAB＝90°，
平面PAB∩平面ABCD＝AB，PA?平面PAB，
所以PA⊥平面ABCD，
因为PA?平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD．

16．已知，（sinx，1），．
（1）若||，求cos2x的值；
（2）求函数f（x）?的单调区间和值域．
【解答】解：（1）因为，所以，
即，
所以．
因为，
所以，
因为，
所以，
所以．
所以．
（2）因为，
因为，所以x∈[，0]，
当x∈[，]时，即时，f（x）单调递减；
当，
即时，f（x）单调递增；
故函数f（x）的单调增区间，单调减区间．
由于∈[﹣1，0]，所以函数f（x）的值域为[﹣1，0]．
17．已知函数f（x）＝ax+bx（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1）是偶函数．
（1）求ab的值；
（2）若f（lgx）＜f（1），求x的取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）是偶函数，所以对任意实数x，有f（x）﹣f（﹣x）＝0
即，
所以（axbx﹣1）（ax+bx）＝0对任意实数x成立，
因为ax＞0，bx＞0，
所以axbx﹣1＝0，即（ab）x＝1对任意实数x成立，
所以ab＝1．
（2）由（1）知，此时，
因为a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，故不妨设a＞1，
任取0≤x1＜x2，
则，
因为0≤x1＜x2，a＞1，所以，
所以，，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在[0，+∞）上单调递增，
因为f（lg x）＜f（1），
所以f（|lgx|）＜f（1），
所以|lgx|＜1，解得．
即不等式的解集为（，10）．
18．如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为α（其中tanα）的斜坡前进km后到达D处，休息后继续行驶km到达山顶B．
（1）求山的高度BE；
（2）现山顶处有一塔CBkm．从A到D的登山途中，队员在点P处测得塔的视角为θ（∠CPB＝θ）．若点P处高度PF为xkm，则x为何值时，视角θ最大？

【解答】解：（1）方法一：因为，α是锐角，所以，，
所以；
在△ABD中，过D作DM⊥AB，垂足为M，
如图1所示；
因为，
所以；
在△ABE中，BE＝ABcos45°＝3，
所以山的高度为3 km．
方法二：过D作DG⊥AE于点G，过D作DH⊥BE于点H，如图2所示；
在△ADG中，∠DAG＝α，，所以，，
所以，；
设BE＝h，在直角△BDH中，BH＝h﹣1，DH＝h﹣2，
由于BD2＝BH2+DH2，所以，
因为h＞0，所以h＝3；
所以山的高度为3 km．
（2）过P作PN⊥BE于N，如图3所示；
因为PF＝x，所以AF＝2x，
因为P在AD上，DG＝1，所以x∈[0，1]，
所以tan∠BPN，tan∠CPN，
所以tanθ＝tan（∠CPN﹣∠BPN），x∈[0，1]；
令t＝3﹣2x∈[1，3]，所以，
则tanθ，
当且仅当，即时，即时tanθ取得最大值．
所以，当km时，视角θ最大．
19．已知函数f（x）（a∈R）．
（1）当a＝0时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间（0，2）内有两个极值点，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）因为a＝0，所以f（x），
所以f′（x），令f'（x）＝0得x＝2．列表如下．
x （0，2） 2 （2，+∞）
f′（x） ﹣ 0 +
f（x） ↘ 极小值f（2） ↗

因此，当x＝2时，f（x）有极小值f（2）＝ln2+1，无极大值；
（2）因为f′（x），
由0＜x＜2，得，
记g（x）＝x﹣aex，x∈（0，2），
因为f（x）在区间（0，2）内有两个极值点，
所以g（x）在区间（0，2）内有两个零点，
所以g'（x）＝1﹣aex且a＞0，
令g'（x）＝0，则x＝﹣lna，
①当﹣lna≤0，即a≥1时，g'（x）＜0，
所以g（x）在（0，2）上单调递减，至多与x轴有一个交点，不满足题意；
②当﹣ln a≥2，即0＜a时，g'（x）＞0，
所以g（x）在（0，2）上单调递增，至多与x轴有一个交点，不满足题意；
③当0＜﹣ln a＜2，即时，g（x）在（0，﹣ln a）上单调递增，
在（﹣ln a，2）上单调递减；
由g（0）＝﹣a＜0，要使g（x）在区间（0，2）内有两个零点，
必须满足解得，
综上所述，实数a的取值范围是．
20．数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn．已知对任意的n∈N*，存在实数p，q满足．
（1）若an＝2n，求p，q的值；
（2）若a1，a2，a3成等差数列，求证：数列{an}是等差数列．
【解答】（1）解：∵an＝2n，∴数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，
∴，
代入得，n2+n＝4pn2+qn，
∵上式对n∈N*恒成立，∴，
故；
（2）证明：∵a1，a2，a3成等差数列，设公差为d≥0，
则，即 ，
②﹣①×2，③﹣①×3得，，
⑤﹣④×3得，，∴p＝0或a1＝d，
1°当p＝0时，Sn＝qn，∴an＝q，
∴an+1﹣an＝0，
∴{an}是以q为首项，0为公差的等差数列．
2°当a1＝d时，则d＞0，代入④，①得，，，
∴，，
两式相减得，，
得，
∴an+1+an＝d或an+1﹣an＝d，
∵a1＝d＞0，a1，a2，a3成等差数列，
∴a2＝2d，a3＝3d，下面证明an+1﹣an＝d对n∈N*恒成立，
假设an+1+an＝d成立的最小n值为k，即ak+1+ak＝d，显然k≥3，
又ak﹣ak﹣1＝d，
两式相减得，ak+1+ak﹣1＝0，这与an＞0，n∈N*矛盾，
因此，an+1﹣an＝d，n∈N*，
∴{an}是以d为首项d为公差的等差数列．
综合1°2°，数列{an}是等差数列．
21．在空间直角坐标系O﹣xyz中，O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，1，2），点P满足．
（1）求点P的坐标（用λ表示）；
（2）若OP⊥BC，求λ的值．
【解答】解：（1）因为A（1，0，0），C（0，1，2），
所以，
因为，
所以，
所以点P的坐标为（1﹣λ，λ，2λ）．
（2）因为，OP⊥BC，
所以，即﹣1×（1﹣λ）﹣1×λ+2×2λ＝0，
解得．
22．确定函数f（x）＝cos2x+4cosx，x∈（0，2π）的单调区间．
【解答】解：函数的导数f'（x）＝﹣2sin2x﹣4sinx＝﹣4sinx（cosx+1），
令f'（x）＞0，sinx＜0，
又x∈（0，2π），所以π＜x＜2π；
令f'（x）＜0，sinx＞0，
又x∈（0，2π），所以0＜x＜π．
故f（x）的单调增区间为（π，2π），单调减区间为（0，π）．
23．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，．
（1）求二面角D1﹣AC﹣B1的余弦值；
（2）试问线段A1B1上是否存在点E，使得直线DE∥平面ACB1？若存在，求线段A1E的长；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，
因为AB?平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，
因为AB⊥AC，所以以A为坐标原点，AC，AB，AA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示．
依题意可得A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），
A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2）．
设为平面ACB1的法向量，则
因为，所以
不妨设z＝1，可得．
设为平面ACD1的法向量，则
因为，所以
不妨设z＝1，可得．
所以．
由图知，二面角D1﹣AC﹣B1为锐角，
所以二面角D1﹣AC﹣B1的余弦值为．
（2）假设线段A1B1上是否存在点E，使得直线DE∥平面ACB1，则，
设A1E＝a，0≤a≤1，则E（0，a，2），．
所以，
所以a＝﹣1，不合题意，故舍去．
所以，线段A1B1上不存在点E，使直线DE∥平面ACB1．


24．已知x＞1，，，n∈N*．
（1）比较S2（x）与T2（x）的大小；
（2）比较Sn（x）与Tn（x）（n∈N*）大小，并加以证明．
【解答】解：（1）S2（x）﹣T2（x）
，
因为x＞1，所以，
所以S2（x）﹣T2（x）＜0，所以S2（x）＜T2（x）；
（2）本题结论为Sn（x）≤Tn（x），n∈N*，证明如下：
要证Sn（x）≤Tn（x），n∈N*，只要证，n∈N*，
只要证，n∈N*，
因为x＞1，所以只要证，n∈N*，（*）
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，（*）式成立．
②假设当n＝k时，（*）式成立，即有，
则当n＝k+1时，（*）式左边，
而此时（*）式右边，
所以只要证，
只要证kxk+1﹣（k+1）xk+1≥0，（**）
令f（x）＝kxk+1﹣（k+1）xk+1，x＞1，k∈N*，
因为f'（x）＝k（k+1）xk﹣k（k+1）xk﹣1＝k（k+1）xk﹣1（x﹣1）＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）＝0，
故（**）式成立．这就是说，当n＝k+1时，（*）式也成立，
综合①②可知（*）式成立，
所以Sn（x）≤Tn（x），n∈N*成立，得证．