1.5 三角函数的应用 同步练习（解析版）
文档属性
| 名称 | 1.5 三角函数的应用 同步练习（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-06 16:16:24 | ||
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文档简介
初中数学北师大版九年级下学期 第一章 1.5 三角函数的应用
一、单选题
1.某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（ ??）
A.?米??????????????????????B.?米??????????????????????C.?米??????????????????????D.?米
2.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内）.已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（??? ）【来源：21·世纪·教育·网】21教育网
A.?asinx+bsinx??????????????????B.?acosx+bcosx??????????????????C.?asinx+bcosx.??????????????????D.?acosx+bsinx
3.一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为40°，则梯子底端到墙角的距离为(?? )
A.?5cos40°米???????????????????????B.?5sin40°米???????????????????????C.?米???????????????????????D.??米
4.如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工.在 上找一点 ，取 ，要使 成一直线，那么开挖点 离点 的距离是(?? ) 21*cnjy*com21·cn·jy·com
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
二、填空题
5.如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为________m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 【来源：21cnj*y.co*m】www.21-cn-jy.com
三、解答题
6.如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点A与水面上的点E重合，部分沉入水中后，点A与水中的点F重合，CF交水面于点D，DF＝2m，∠CEB＝30°，∠CDB＝45°，求CB部分的高度.（精确到0.1m.参考数据： ≈1.41， ≈1.73） 21*cnjy*com2·1·c·n·j·y
7.为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制.中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）.如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定.（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423） 21·cn·jy·com21·世纪*教育网
8.图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图，已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC=70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）21教育网www-2-1-cnjy-com
9.如图所示，A、B、C为三个村庄，AB、BC、AD为公路，CD为河宽，现在要从D处开始铺设通往村庄C的一条地下电缆，A、C、D三点共线，经测量得，BC=6 千米，AD=4千米，∠A=60°，∠BCA=45°，请求出河宽CD的长（结果保留根号）。 21*cnjy*com
10.如图，从A地到B地的公路需要经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°。因城市规划的需要，将在A，B两地之间修建一条笔直的公路。 【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求改直后的公路AB的长；
（2）问：公路改造后比原来缩短了多少千米？
（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
答案解析部分
一、单选题
1. B
解：∵简易房为轴对称图像，故BC边上的高平分底边，
∴有 ?故答案为：B。
【分析】由轴对称关系，作高，解直角三角形即可。
2. D
解：作AG⊥OC交OC于点G，交BC于点H，如图，
∵四边形ABCD为矩形，AD=b，
∴∠ABH=90°，AD=BC=b，
∵OB⊥OC，
∴∠O=90°，
又∵∠HCG+∠GHC=90°，∠AHB+∠BAH=90°，∠GHC=∠AHB，∠BC0=x，
∴∠HCG=∠BAH=x，
在Rt△ABH中，
∵cos∠BAH=cosx= ，AB=a，
∴AH= ，
∵tan∠BAH=tanx= ，
∴BH=a·tanx，
∴CH=BC-BH=b-a·tanx，
在Rt△CGH中，
∵sin∠HCG=sinx= ，
∴GH=（b-a·tanx）·sinx=bsinx-atanxsinx，
∴AG=AH+HG= +bsinx-atanxsinx，
= +bsinx- ，
=bsinx+acosx.
故答案为：D.
【分析】作AG⊥OC交OC于点G，交BC于点H，由矩形性质得∠ABH=90°，AD=BC=b，根据等角的余角相等得∠HCG=∠BAH=x，在Rt△ABH中，根据锐角三角函数余弦定义cosx= 得AH= ，根据锐角三角函数正切定义tanx= 得BH=a·tanx，从而可得CH长，在Rt△CGH中，根据锐角三角函数正弦定义sinx= 得GH=bsinx-atanxsinx，由AG=AH+HG计算即可得出答案.
3. A
解：根据题意画出图形，如图， 在Rt△ACB中， ∵cosθ=， 即cos40°=， ∴AC=5cos40°. 故答案为：A. 【分析】根据题意画出图形，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数余弦定义即可求得答案.
4. B
∵点A、C、E在同一直线上，∠ABD=145°，∠BDE=55°，
∴∠DEB=90°，
∴DE=BD×cos∠BDE.
∵BD=500米，∠BDE=55°，
∴DE=500cos55°米.
即开挖点E离点D的距离是500cos55°米.
故答案为：B.
【分析】当点A、C、E在同一直线上时，根据三角形外角定理得出∠DEB=90°，在Rt△BDE中，根据余弦函数的定义，由DE=BD×cos∠BDE即可得出答案。2-1-c-n-j-y2-1-c-n-j-y
二、填空题
5. 9.5
解：过D作DE⊥AB，
∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，
∴∠ADE＝53°，
∵BC＝DE＝6m，
∴AE＝DE?tan53°≈6×1.33≈7.98m，
∴AB＝AE＋BE＝AE＋CD＝7.98＋1.5＝9.48m≈9.5m，
故答案为：9.5
【分析】过点D作DE⊥AB,解直角三角形求出AE的长即可解决问题.
三、解答题
6. 解：设CB部分的高度为xm.
∵∠BDC＝∠BCD＝45°，
∴BC＝BD＝xm.
在Rt△BCD中，CD＝ ＝ ＝ x（m）.
在Rt△BCE中，∵∠BEC＝30°，
∴CE＝2BC＝2x（m）.
∵CE＝CF＝CD+DF，
∴2x＝ x+2，
解得：x＝2+ .
∴BC＝2+ ≈3.4（m）.
答：CB部分的高度约为3.4m。
【分析】 设CB部分的高度为xm，根据等腰直角三角形的性质得出 BC＝BD＝xm，在 Rt△BCD中，根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由CD＝ 表示出CD的长， 在Rt△BCE中 ，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出 CE＝2BC＝2x（m），从而根据 CE＝CF＝CD+DF， 列出方程求解算出x的值，得出答案.21cnjy.com【来源：21·世纪·教育·网】
7. 解：连接BD，作DM⊥AB于点M，
∵AB＝CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠ABD，AC＝BD，
∵∠C＝65°，AC＝900，
∴∠ABD＝65°，BD＝900，
∴BM＝BD?cos65°＝900×0.423≈381，DM＝BD?sin65°＝900×0.906≈815，21世纪21世纪教育网有
∵381÷3＝127，120＜127＜150，
∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，
∵815÷3≈272，260＜272＜300，
∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，
由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定.
【分析】 连接BD，作DM⊥AB于点M， 首先判断出四边形ABCD是平行四边形， 根据平行四边形的性质得出 ∠C＝∠ABD，AC＝BD， 根据锐角三角函数的定义，由 BM＝BD?cos65° 及 DM＝BD?sin65° 即可求出BM,DM的长，进而即可判断 楼梯踏步的高度及宽度是否符合题意.
8. 解：将滑板车看作AB、BC两条直线，作AD垂直于BC，
A离地面高度即AD的长度加上轮胎半径，则Sin∠B=Sin∠70°= ≈0.94，所以AD≈86.5厘米，则A离地面高度为86.5+5=92.5厘米21·世纪*教育网21世纪教育网版权所有
【分析】作AD⊥BC，在Rt△ADB中，根据锐角三角函数正弦定义可求得AD长，由AD+轮胎半径即为把手A离地面的高度.www-2-1-cnjy-com【出处：21教育名师】
9. 解：过点B作BE⊥AC，垂足为E，
∵BC=6 ，∠BCA=45°
∴BE=EC=6
又∠A=60°
∴tan60°=
∴AE=2
∴AC=2 +6
又AD=4
∴CD=AC-AD=2 +6-4=2 +2（千米）
答：河宽CD的长是（2 +2）千米。
【分析】过点B作BE⊥AC，垂足为E，根据等腰直角三角形的性质得出BE=EC=6，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由tan60°= 即可算出AE的长，进而根据线段的和差即可算出CD的长。21世纪教育网21-cn-jy.com21cnjy.com
10. （1）解：作CH⊥AB于H． 在Rt△ACH中，CH=AC?sin∠CAB=AC?sin25°≈10×0.42=4.2（千米）， 【出处：21教育名师】【版权所有：21教育】
AH=AC?cos∠CAB=AC?cos25°≈10×0.91=9.1（千米），
在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6（千米），【版权所有：21教育】
∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7（千米）．?? 故改直的公路AB的长14.7千米
（2）解：在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7（千米）， 2·1·c·n·j·y
则AC+BC﹣AB=10+7﹣14.7=2.3（千米）． 答：公路改直后比原来缩短了2.3千米
【分析】（1） 作CH⊥AB于H． 在Rt△ACH中，根据正弦函数的定义，由CH=AC?sin∠CAB 算出CH的长，根据余弦函数的定义，由AH=AC?cos∠CAB 算出AH的长， 在Rt△BCH中，根据正切函数的定义，由BH=CH÷tan∠CBA 算出BH的长，最后根据AB=AH+BH即可算出答案； （2） 在Rt△BCH中，根据正弦函数的定义，由BC=CH÷sin∠CBA 算出BC的长，最后根据 AC+BC﹣AB 即可算出答案。21教育名师原创作品21教育名师原创作品
一、单选题
1.某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（ ??）
A.?米??????????????????????B.?米??????????????????????C.?米??????????????????????D.?米
2.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内）.已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（??? ）【来源：21·世纪·教育·网】21教育网
A.?asinx+bsinx??????????????????B.?acosx+bcosx??????????????????C.?asinx+bcosx.??????????????????D.?acosx+bsinx
3.一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为40°，则梯子底端到墙角的距离为(?? )
A.?5cos40°米???????????????????????B.?5sin40°米???????????????????????C.?米???????????????????????D.??米
4.如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工.在 上找一点 ，取 ，要使 成一直线，那么开挖点 离点 的距离是(?? ) 21*cnjy*com21·cn·jy·com
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
二、填空题
5.如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为________m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 【来源：21cnj*y.co*m】www.21-cn-jy.com
三、解答题
6.如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点A与水面上的点E重合，部分沉入水中后，点A与水中的点F重合，CF交水面于点D，DF＝2m，∠CEB＝30°，∠CDB＝45°，求CB部分的高度.（精确到0.1m.参考数据： ≈1.41， ≈1.73） 21*cnjy*com2·1·c·n·j·y
7.为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制.中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）.如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定.（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423） 21·cn·jy·com21·世纪*教育网
8.图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图，已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC=70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）21教育网www-2-1-cnjy-com
9.如图所示，A、B、C为三个村庄，AB、BC、AD为公路，CD为河宽，现在要从D处开始铺设通往村庄C的一条地下电缆，A、C、D三点共线，经测量得，BC=6 千米，AD=4千米，∠A=60°，∠BCA=45°，请求出河宽CD的长（结果保留根号）。 21*cnjy*com
10.如图，从A地到B地的公路需要经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°。因城市规划的需要，将在A，B两地之间修建一条笔直的公路。 【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求改直后的公路AB的长；
（2）问：公路改造后比原来缩短了多少千米？
（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
答案解析部分
一、单选题
1. B
解：∵简易房为轴对称图像，故BC边上的高平分底边，
∴有 ?故答案为：B。
【分析】由轴对称关系，作高，解直角三角形即可。
2. D
解：作AG⊥OC交OC于点G，交BC于点H，如图，
∵四边形ABCD为矩形，AD=b，
∴∠ABH=90°，AD=BC=b，
∵OB⊥OC，
∴∠O=90°，
又∵∠HCG+∠GHC=90°，∠AHB+∠BAH=90°，∠GHC=∠AHB，∠BC0=x，
∴∠HCG=∠BAH=x，
在Rt△ABH中，
∵cos∠BAH=cosx= ，AB=a，
∴AH= ，
∵tan∠BAH=tanx= ，
∴BH=a·tanx，
∴CH=BC-BH=b-a·tanx，
在Rt△CGH中，
∵sin∠HCG=sinx= ，
∴GH=（b-a·tanx）·sinx=bsinx-atanxsinx，
∴AG=AH+HG= +bsinx-atanxsinx，
= +bsinx- ，
=bsinx+acosx.
故答案为：D.
【分析】作AG⊥OC交OC于点G，交BC于点H，由矩形性质得∠ABH=90°，AD=BC=b，根据等角的余角相等得∠HCG=∠BAH=x，在Rt△ABH中，根据锐角三角函数余弦定义cosx= 得AH= ，根据锐角三角函数正切定义tanx= 得BH=a·tanx，从而可得CH长，在Rt△CGH中，根据锐角三角函数正弦定义sinx= 得GH=bsinx-atanxsinx，由AG=AH+HG计算即可得出答案.
3. A
解：根据题意画出图形，如图， 在Rt△ACB中， ∵cosθ=， 即cos40°=， ∴AC=5cos40°. 故答案为：A. 【分析】根据题意画出图形，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数余弦定义即可求得答案.
4. B
∵点A、C、E在同一直线上，∠ABD=145°，∠BDE=55°，
∴∠DEB=90°，
∴DE=BD×cos∠BDE.
∵BD=500米，∠BDE=55°，
∴DE=500cos55°米.
即开挖点E离点D的距离是500cos55°米.
故答案为：B.
【分析】当点A、C、E在同一直线上时，根据三角形外角定理得出∠DEB=90°，在Rt△BDE中，根据余弦函数的定义，由DE=BD×cos∠BDE即可得出答案。2-1-c-n-j-y2-1-c-n-j-y
二、填空题
5. 9.5
解：过D作DE⊥AB，
∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，
∴∠ADE＝53°，
∵BC＝DE＝6m，
∴AE＝DE?tan53°≈6×1.33≈7.98m，
∴AB＝AE＋BE＝AE＋CD＝7.98＋1.5＝9.48m≈9.5m，
故答案为：9.5
【分析】过点D作DE⊥AB,解直角三角形求出AE的长即可解决问题.
三、解答题
6. 解：设CB部分的高度为xm.
∵∠BDC＝∠BCD＝45°，
∴BC＝BD＝xm.
在Rt△BCD中，CD＝ ＝ ＝ x（m）.
在Rt△BCE中，∵∠BEC＝30°，
∴CE＝2BC＝2x（m）.
∵CE＝CF＝CD+DF，
∴2x＝ x+2，
解得：x＝2+ .
∴BC＝2+ ≈3.4（m）.
答：CB部分的高度约为3.4m。
【分析】 设CB部分的高度为xm，根据等腰直角三角形的性质得出 BC＝BD＝xm，在 Rt△BCD中，根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由CD＝ 表示出CD的长， 在Rt△BCE中 ，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出 CE＝2BC＝2x（m），从而根据 CE＝CF＝CD+DF， 列出方程求解算出x的值，得出答案.21cnjy.com【来源：21·世纪·教育·网】
7. 解：连接BD，作DM⊥AB于点M，
∵AB＝CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠ABD，AC＝BD，
∵∠C＝65°，AC＝900，
∴∠ABD＝65°，BD＝900，
∴BM＝BD?cos65°＝900×0.423≈381，DM＝BD?sin65°＝900×0.906≈815，21世纪21世纪教育网有
∵381÷3＝127，120＜127＜150，
∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，
∵815÷3≈272，260＜272＜300，
∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，
由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定.
【分析】 连接BD，作DM⊥AB于点M， 首先判断出四边形ABCD是平行四边形， 根据平行四边形的性质得出 ∠C＝∠ABD，AC＝BD， 根据锐角三角函数的定义，由 BM＝BD?cos65° 及 DM＝BD?sin65° 即可求出BM,DM的长，进而即可判断 楼梯踏步的高度及宽度是否符合题意.
8. 解：将滑板车看作AB、BC两条直线，作AD垂直于BC，
A离地面高度即AD的长度加上轮胎半径，则Sin∠B=Sin∠70°= ≈0.94，所以AD≈86.5厘米，则A离地面高度为86.5+5=92.5厘米21·世纪*教育网21世纪教育网版权所有
【分析】作AD⊥BC，在Rt△ADB中，根据锐角三角函数正弦定义可求得AD长，由AD+轮胎半径即为把手A离地面的高度.www-2-1-cnjy-com【出处：21教育名师】
9. 解：过点B作BE⊥AC，垂足为E，
∵BC=6 ，∠BCA=45°
∴BE=EC=6
又∠A=60°
∴tan60°=
∴AE=2
∴AC=2 +6
又AD=4
∴CD=AC-AD=2 +6-4=2 +2（千米）
答：河宽CD的长是（2 +2）千米。
【分析】过点B作BE⊥AC，垂足为E，根据等腰直角三角形的性质得出BE=EC=6，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由tan60°= 即可算出AE的长，进而根据线段的和差即可算出CD的长。21世纪教育网21-cn-jy.com21cnjy.com
10. （1）解：作CH⊥AB于H． 在Rt△ACH中，CH=AC?sin∠CAB=AC?sin25°≈10×0.42=4.2（千米）， 【出处：21教育名师】【版权所有：21教育】
AH=AC?cos∠CAB=AC?cos25°≈10×0.91=9.1（千米），
在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6（千米），【版权所有：21教育】
∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7（千米）．?? 故改直的公路AB的长14.7千米
（2）解：在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7（千米）， 2·1·c·n·j·y
则AC+BC﹣AB=10+7﹣14.7=2.3（千米）． 答：公路改直后比原来缩短了2.3千米
【分析】（1） 作CH⊥AB于H． 在Rt△ACH中，根据正弦函数的定义，由CH=AC?sin∠CAB 算出CH的长，根据余弦函数的定义，由AH=AC?cos∠CAB 算出AH的长， 在Rt△BCH中，根据正切函数的定义，由BH=CH÷tan∠CBA 算出BH的长，最后根据AB=AH+BH即可算出答案； （2） 在Rt△BCH中，根据正弦函数的定义，由BC=CH÷sin∠CBA 算出BC的长，最后根据 AC+BC﹣AB 即可算出答案。21教育名师原创作品21教育名师原创作品