第一章 1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 同步练习（解析版）
文档属性
| 名称 | 第一章 1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 同步练习（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-06 16:18:24 | ||
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文档简介
初中数学北师大版九年级下学期 第一章 1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
一、单选题
1.是（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
2.如图，一科珍贵的乌稔树被台风“山竹”吹歪了，处于对它的保护，需要测量它的高度．现采取以下措施：在地面选取一点C ， 测得∠BCA＝45°，AC＝20米，∠BAC＝60°，则这棵乌稔树的高AB约为（?? ）（参考数据： ） 21世纪21世纪教育网有21世纪教育网版权所有
A.?7米?????????????????????????????????????B.?14米?????????????????????????????????????C.?20米?????????????????????????????????????D.?40米
3.在△ABC中，AB=12 ，AC=13，cosB= ，则BC的边长为（ ??）
A.?7??????????????????????????????????????B.?8??????????????????????????????????????C.?8或17??????????????????????????????????????D.?7或17
二、填空题（共4题；共4分）
4.计算；sin30°?tan30°+cos60°?tan60°＝________．
5.比较大小：cos30°________?
6.将半径为12cm，弧长为12π的扇形围成圆锥（接缝忽略不计），那么圆锥的母线与圆锥高的夹角为________． 21·cn·jy·com21教育网
7.如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为________． 2-1-c-n-j-y21·cn·jy·com
三、计算题（共3题；共20分）
8.计算：
9.计算： ；
10.计算：
（1）sin230°＋sin260°＋1－tan45°
（2）tan260°－2cos60°－ sin45°
四、综合题（共2题；共15分）
11.如图，在△ABC中，∠B=∠C=67.5°．
（1）求sinA的值；
（2）求tanC的值．
12.如图，在路边安装路灯，灯柱BC高15m，与灯杆AB的夹角ABC为120°．路灯采用锥形灯罩，照射范围DE长为18.9m，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为∠ADE=80.5°，∠AED=45°．求灯杆AB的长度．（参考数据：cos80.5°≈0.2，tan80.5°≈6.0） 21教育网www.21-cn-jy.com
答案解析部分
一、单选题
1. A
解： =
故答案为：A．
【分析】特殊三角函数值的运算。
2. B
解：如图，作BH⊥AC于H．
∵∠BCH=45°，∠BHC=90°，
∴∠HCB=∠HBC=45°，
∴HC=HB，设HC=BH=xm，
∵∠A=60°，
，
，
，
.
故答案为：B． 【分析】根据已知条件，构建直角三角形，作BH⊥AC于H。即可得三角形BCH 是等腰三角形。设BH为x,根据特殊角三角函数值，即可求得CH与AH的长度，即可求出x,从而求出AB。
3. D
解：∵cosB=， ∴∠B=45°， ①若△ABC为钝角三角形，如图1： 在Rt△ADB中， ∵AB=12， ∠B=45°， ∴AD=BD=12， 在Rt△ADC中， ∵AC=13，AD=12， ∴CD=5， ∴BC=BD-CD=12-5=7； ②若△ABC为锐角三角形，如图2： 在Rt△ADB中， ∵AB=12， ∠B=45°， ∴AD=BD=12， 在Rt△ADC中， ∵AC=13，AD=12， ∴CD=5， ∴BC=BD+CD=12+5=17； 综上所述：BC长为7或17. 故答案为：D. 【分析】根据特殊角的三角函数值求得∠B=45°，然后分情况讨论：①若△ABC为钝角三角形，②若△ABC为锐角三角形，根据勾股定理求得BD、CD长，再结合图形求得BC长.21世纪教育网21-cn-jy.com
二、填空题
4.
原式 .
故答案为: .
【分析】根据特殊角的三角函数值和二次根式的运算法则进行计算即可.
5. ＞
解：∵cos30°=， ∴＞， 即cos30°＞. 故答案为：＞. 【分析】根据特殊角的三角函数值得cos30°=， 根据实数的比较大小即可得出答案.
6. 60°
解：∵扇形的半径为12，弧长为12π，
∴圆锥的底面半径r＝12π÷2π＝6，
∵圆锥的母线长、底面半径及高围成直角三角形，
∴圆锥的高为： ＝6 ，
∴圆锥的母线与圆锥底面的夹角的正弦值是 ＝ ，
∴圆锥的母线与圆锥高的夹角为60°，
故答案为：60°.
【分析】利用圆锥的母线与圆锥高的夹角的余弦值为圆锥的高与圆锥的母线的长的比，可列出式子计算出夹角。21cnjy.com2·1·c·n·j·y
7.
解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2， ∵∠PAB=∠ACP， ∴∠PAC+∠ACP=60°， ∴∠APC=120°， ∴点P的运动轨迹是 ， 当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示： 此时PA=PC，OB⊥AC， 则AD=CD= AC=1，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD= ∠ABC=30°， ∴PD=AD?tan30°= AD= ，BD= AD= ， ∴PB=BD﹣PD= ﹣ = ． 故答案为： 【分析】根据题意得出当O、P、B共线时，PB长度最小，利用特殊角的函数值，利用PB=BD﹣PD，求出PB的长度。2·1·c·n·j·y【来源：21·世纪·教育·网】
三、计算题
8. 解：原式＝ .
【分析】本道题考察的就是特殊角的三角函数值。cos30°=， sin30°=， tan60°=， 代入式子中进行计算即可。【来源：21·世纪·教育·网】21cnjy.com
9. 解：
【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的运算即可．
10.（1）解：原式= =1 （2）解：原式= =1
【分析】（1）首先将30°、60°、45°等特殊角的三角函数值求出，先进行乘方计算，化简求值计算即可得出结果。 （2）首先将60°、45°等特殊角的三角函数值求出，先进行乘方计算，化简求值计算即可得出结果。
四、综合题
11. （1）解：∵在△ABC中，∠B=∠C=67.5°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，
∴sinA=sin45°= ，
即sinA=
（2）解：作BD⊥AC于点D，如下图所示，
∵由（1）可知∠A=45°，设BD=a，
∴AD=a，AB= ，
∵AB=AC，
∴AC= ，
∴CD=AC﹣AD= ，
∴ = ，
即tanC= ．
【分析】（1）根据三角形的内角和算出 ∠A 的度数，然后根据特殊锐角三角函数值即可得出答案； （2） 作BD⊥AC于点D，如下图所示， 设BD=a， 根据等腰直角三角形的性质AD,AB的长，根据AB=AC从而得出AC的长，根据线段的和差算出CD的长，然后根据正切函数的定义，由tanC=即可算出答案。21·世纪*教育网21·世纪*教育网
12.解：过点A作AF⊥CE，交CE于点F． 设AF的长度为xm． ∵∠AED=45°， ∴△AEF是等腰直角三角形． ∴EF=AF=x． 在Rt△ADF中，∵tan∠ADF= ， ∴DF= = = ． ∵DE=18.9， ∴ +x=18.9， 解得x=16.2， 过点B作BG⊥AF，交AF于点G， 则BC=GF=15，∠CBG=90°． ∴AG=AF﹣GF=16.2﹣15=1.2， ∵∠ABC=120°， ∴∠ABG=∠ABC﹣∠CBG=120°﹣90°=30°． 在Rt△ABG中， ∵sin∠ABG= ， ∴AB= = =2.4， 答：灯杆AB的长度为2.4 m． www-2-1-cnjy-comwww-2-1-cnjy-com
【分析】过点A作AF⊥CE，点B作BG⊥AF，根据正切的概念求出DF，列方程求出AF，根据正弦的概念计算即可．21*cnjy*com2-1-c-n-j-y
一、单选题
1.是（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
2.如图，一科珍贵的乌稔树被台风“山竹”吹歪了，处于对它的保护，需要测量它的高度．现采取以下措施：在地面选取一点C ， 测得∠BCA＝45°，AC＝20米，∠BAC＝60°，则这棵乌稔树的高AB约为（?? ）（参考数据： ） 21世纪21世纪教育网有21世纪教育网版权所有
A.?7米?????????????????????????????????????B.?14米?????????????????????????????????????C.?20米?????????????????????????????????????D.?40米
3.在△ABC中，AB=12 ，AC=13，cosB= ，则BC的边长为（ ??）
A.?7??????????????????????????????????????B.?8??????????????????????????????????????C.?8或17??????????????????????????????????????D.?7或17
二、填空题（共4题；共4分）
4.计算；sin30°?tan30°+cos60°?tan60°＝________．
5.比较大小：cos30°________?
6.将半径为12cm，弧长为12π的扇形围成圆锥（接缝忽略不计），那么圆锥的母线与圆锥高的夹角为________． 21·cn·jy·com21教育网
7.如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为________． 2-1-c-n-j-y21·cn·jy·com
三、计算题（共3题；共20分）
8.计算：
9.计算： ；
10.计算：
（1）sin230°＋sin260°＋1－tan45°
（2）tan260°－2cos60°－ sin45°
四、综合题（共2题；共15分）
11.如图，在△ABC中，∠B=∠C=67.5°．
（1）求sinA的值；
（2）求tanC的值．
12.如图，在路边安装路灯，灯柱BC高15m，与灯杆AB的夹角ABC为120°．路灯采用锥形灯罩，照射范围DE长为18.9m，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为∠ADE=80.5°，∠AED=45°．求灯杆AB的长度．（参考数据：cos80.5°≈0.2，tan80.5°≈6.0） 21教育网www.21-cn-jy.com
答案解析部分
一、单选题
1. A
解： =
故答案为：A．
【分析】特殊三角函数值的运算。
2. B
解：如图，作BH⊥AC于H．
∵∠BCH=45°，∠BHC=90°，
∴∠HCB=∠HBC=45°，
∴HC=HB，设HC=BH=xm，
∵∠A=60°，
，
，
，
.
故答案为：B． 【分析】根据已知条件，构建直角三角形，作BH⊥AC于H。即可得三角形BCH 是等腰三角形。设BH为x,根据特殊角三角函数值，即可求得CH与AH的长度，即可求出x,从而求出AB。
3. D
解：∵cosB=， ∴∠B=45°， ①若△ABC为钝角三角形，如图1： 在Rt△ADB中， ∵AB=12， ∠B=45°， ∴AD=BD=12， 在Rt△ADC中， ∵AC=13，AD=12， ∴CD=5， ∴BC=BD-CD=12-5=7； ②若△ABC为锐角三角形，如图2： 在Rt△ADB中， ∵AB=12， ∠B=45°， ∴AD=BD=12， 在Rt△ADC中， ∵AC=13，AD=12， ∴CD=5， ∴BC=BD+CD=12+5=17； 综上所述：BC长为7或17. 故答案为：D. 【分析】根据特殊角的三角函数值求得∠B=45°，然后分情况讨论：①若△ABC为钝角三角形，②若△ABC为锐角三角形，根据勾股定理求得BD、CD长，再结合图形求得BC长.21世纪教育网21-cn-jy.com
二、填空题
4.
原式 .
故答案为: .
【分析】根据特殊角的三角函数值和二次根式的运算法则进行计算即可.
5. ＞
解：∵cos30°=， ∴＞， 即cos30°＞. 故答案为：＞. 【分析】根据特殊角的三角函数值得cos30°=， 根据实数的比较大小即可得出答案.
6. 60°
解：∵扇形的半径为12，弧长为12π，
∴圆锥的底面半径r＝12π÷2π＝6，
∵圆锥的母线长、底面半径及高围成直角三角形，
∴圆锥的高为： ＝6 ，
∴圆锥的母线与圆锥底面的夹角的正弦值是 ＝ ，
∴圆锥的母线与圆锥高的夹角为60°，
故答案为：60°.
【分析】利用圆锥的母线与圆锥高的夹角的余弦值为圆锥的高与圆锥的母线的长的比，可列出式子计算出夹角。21cnjy.com2·1·c·n·j·y
7.
解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2， ∵∠PAB=∠ACP， ∴∠PAC+∠ACP=60°， ∴∠APC=120°， ∴点P的运动轨迹是 ， 当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示： 此时PA=PC，OB⊥AC， 则AD=CD= AC=1，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD= ∠ABC=30°， ∴PD=AD?tan30°= AD= ，BD= AD= ， ∴PB=BD﹣PD= ﹣ = ． 故答案为： 【分析】根据题意得出当O、P、B共线时，PB长度最小，利用特殊角的函数值，利用PB=BD﹣PD，求出PB的长度。2·1·c·n·j·y【来源：21·世纪·教育·网】
三、计算题
8. 解：原式＝ .
【分析】本道题考察的就是特殊角的三角函数值。cos30°=， sin30°=， tan60°=， 代入式子中进行计算即可。【来源：21·世纪·教育·网】21cnjy.com
9. 解：
【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的运算即可．
10.（1）解：原式= =1 （2）解：原式= =1
【分析】（1）首先将30°、60°、45°等特殊角的三角函数值求出，先进行乘方计算，化简求值计算即可得出结果。 （2）首先将60°、45°等特殊角的三角函数值求出，先进行乘方计算，化简求值计算即可得出结果。
四、综合题
11. （1）解：∵在△ABC中，∠B=∠C=67.5°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，
∴sinA=sin45°= ，
即sinA=
（2）解：作BD⊥AC于点D，如下图所示，
∵由（1）可知∠A=45°，设BD=a，
∴AD=a，AB= ，
∵AB=AC，
∴AC= ，
∴CD=AC﹣AD= ，
∴ = ，
即tanC= ．
【分析】（1）根据三角形的内角和算出 ∠A 的度数，然后根据特殊锐角三角函数值即可得出答案； （2） 作BD⊥AC于点D，如下图所示， 设BD=a， 根据等腰直角三角形的性质AD,AB的长，根据AB=AC从而得出AC的长，根据线段的和差算出CD的长，然后根据正切函数的定义，由tanC=即可算出答案。21·世纪*教育网21·世纪*教育网
12.解：过点A作AF⊥CE，交CE于点F． 设AF的长度为xm． ∵∠AED=45°， ∴△AEF是等腰直角三角形． ∴EF=AF=x． 在Rt△ADF中，∵tan∠ADF= ， ∴DF= = = ． ∵DE=18.9， ∴ +x=18.9， 解得x=16.2， 过点B作BG⊥AF，交AF于点G， 则BC=GF=15，∠CBG=90°． ∴AG=AF﹣GF=16.2﹣15=1.2， ∵∠ABC=120°， ∴∠ABG=∠ABC﹣∠CBG=120°﹣90°=30°． 在Rt△ABG中， ∵sin∠ABG= ， ∴AB= = =2.4， 答：灯杆AB的长度为2.4 m． www-2-1-cnjy-comwww-2-1-cnjy-com
【分析】过点A作AF⊥CE，点B作BG⊥AF，根据正切的概念求出DF，列方程求出AF，根据正弦的概念计算即可．21*cnjy*com2-1-c-n-j-y