苏教版数学必修2 1.2.2 平面的基本性质 教案

第1章 立体几何初步 第八课时
1.2.2 空间两直线的位置关系(2)
【教学目标】
1． 知道异面直线的定义、异面直线所成角的定义、两条异面垂直的定义；
2． 掌握异面直线判定的方法，并会求简单的异面直线所成的角。
【教学重点】
1．异面直线以及异面直线所成的角的概念的掌握；
2．异面直线的判定；异面直线所成角的计算的方法。
【教学难点】
将异面直线所成的角转化成平面相交直线所成的锐角和直角。
【过程方法】
通过探究、思考抽象出两条异面直线的概念以及异面直线所成的角的概念，培养出学生空间想象能力、理性思维能力、观察能力以及判断的能力。
【教学过程】
一、新授
1．异面直线
①定义：不同在任何一个平面内的两直线称为异面直线；
②特点：既不相交又不平行；
③画法：
2．异面直线的判定
①定义法：由定义判定两直线不能同在一个平面内，直接证明比较困难，常用反证法。
②结论：过平面外一点与平面内的一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线。（证明题不宜采用此法）
3．两条异面直线所成的角
①定义：直线a和b是异面直线，经过空间的任意一点O分别作直线a和b的平行线a’和b’，则相交直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。
②范围：。
4．求异面直线所成角的步骤
一作二证三求。
5．两异面直线垂直
如果两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线是垂直的。记作。
二、例题选讲
例1．两条直线异面是指（ ）
A．不同在一个平面内的两条直线
B．分别在某两个平面内的两条直线
C．既不平行又不相交的两条直线
D．平面内的一条直线和平面外的一条直线
例2．判断下列命题是否正确，并说明理由。
①空间两直线可确定一个平面；
②垂直于同一直线的两直线平行；
③直线a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
④直线a与b异面，b与c异面，则a与c异面；
⑤一条直线和两平行直线中的一条垂直，则一定与另一条也垂直。
例3．已知a、b是异面直线，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，求证AC和BD也是异面直线。






例4．如图，直线a、b、c不共面，它们相交于点P，A∈a， D∈a，
B∈b，C∈c，求证BD和AC是异面直线。








例5．空间四边形ABCD中，AC=6，BD=8，E是AB的中点，F是CD的中点，EF=5，求AC与BD所成的角。





例6．如图：在正方体的棱长为a，求：
⑴与所成角；
⑵与所成角；
⑶与所成角；
⑷与所成角；
⑸与所成角。




例7．已知异面直线a、b所成角为500，P为空间一定点，则过P与a、b均成300的直线有且仅有几条？
推广：
已知异面直线a、b所成角为α，P为空间一定点，则过P与a、b均成β角的直线有且仅有几条？







【布置作业】
1. 设两条异面直线所成的角为，则角的范围是 。
2. （1）若则。
（2）若则。
（3）若不平行于则一定不垂直于。
（4）若不垂直于，则一定不垂直于。
上列命题中，正确命题的个数有 个。
3. 下列命题中：
①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②若一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，则它也垂直于另一条直线；
③经过直线外一点有无数条直线和这条直线垂直；
④若且则
其中正确命题的序号为 。
4. 是长方体的一条棱，这个长方体中与垂直的棱共有 条。
5. 若角和的两条边分别平行，则当时， 。



6. 在长方体中，则异面直线与所成角为 。


7. ⑴直线则与所成角为。
⑵若直线与直线所成角相等，则
⑶若直线且与所成的角为，则与所成的角也是。
⑷若直线与直线所成的角不相等，则与不平行。
上述命题中，正确的命题个数有 个。
8. 在正方体中，表面的对角线与成角的有 条。






9. 已知空间四边形中，成角，且分别是的中点，则四边形的面积为 。










10. 如图，已知求证：是异面直线。
SHAPE \* MERGEFORMAT











α

a

b

a

α

b

β

a

α

b

D

a

A

b

B

C

a

b

c

A

P

B

D

α

C

G

F

E

C

A

B

D

A

B

C

D

A1

B1

D1

C1

b

A





a





a