沪教版（五四制）七年级上册：9.12 完全平方公式 教案（2课时）

9.12完全平方公式（1）
教学目标：
1．知道完全平方公式与多项式乘法的关系，理解完全平方公式的意义.
2．熟悉完全平方公式的特征,并且能运用公式进行计算．
3．经历完全平方公式的探索过程，领悟数形结合及字母表示数的数学思想．
教学重点：运用完全平方公式进行计算．
教学难点：公式的发现和推导过程, 能从广泛意义上理解公式中的字母含义．
教学过程：
一、复习引入：
问：我们已学过平方差公式，请说出平方差公式．问：说说这个公式的结构特征？
答：(a+b)(a-b)=a2– b2．
答：左边是两个多项式的乘积，即两数和与这两数差的积，右边是这两数的平方差．
平方差公式是多项式乘以多项式的特例，如果改变公式的左边的符号，得到新的多项式乘以多项式的式子：(a+b)(a+b)即(a+b)2，它的结果是什么？
预设：或．
二、公式的推导：
1．代数推导：
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2= a2+2ab+b2
问：观察这个式子，说说它的结构特征，开始是什么？结果是什么？
答：开始是两数和的平方，结果是两数的平方和，加上这两个数积的两倍．
请总结这个特征．答：两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的两倍
类似地，如果改变平方差公式的左边的符号，得到新的新的多项式乘以多项式的式子：
(a-b)(a-b)即(a-b)2，它的结果是什么？答：．
(a–b)2=(a–b)(a–b) =a2–ab–ab+b2 = a2–2ab+b2
观察这个式子，说说它的特征答：两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的两倍．
问：平方差的公式中的a、b可以是任意的数或代数式，那么这个式子中的a、b可以是什么？答：a、b可以是任意的数或代数式．
这两个公式叫做完全平方公式，
板书课题：§9.12完全平方公式（1）
用字母表示为：(a+b)2= a2+2ab +b2， (a–b)2= a2–2ab +b 2．
平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式．
2．几何意义：
思考：你能用下图来说明完全平方公式的几何意义吗?



3．公式的结构分析：
在经过计算推理得到公式后，请同学熟悉公式的特征，可采用口诀式表述：首平方，末平方，两倍首末中间放．这里，首即首项，末即末项．（齐读口诀）
4、练习：
判断下列各式的计算是否正确，并说明理由．
(1) (a+b)2= a2+b2 （ ） 答：× 漏中间项2ab
(2) (a+2b)2= a2+2ab+b2 （ ） 答：× 中间项应为2×a×2b=4ab
(3) (a–2b)2= a2–4ab–4b2 （ ） 答：× –4b2应为+4b2
(4) (7–a)2= 49–a2 （ ） 答：× 漏中间项–14a，–a2应为+a2
三、公式应用：
例题1 计算：
(1) (2x+3y)2；问1：首项是什么？末项是什么？问2：然后如何计算？
教师示范．
解：(1) (2x+3y)2=(2x)2+2(2x)(3y)+(3y)2=4x2+12xy+9y2
补充：计算结果按x的降幂排列．
(2) (2x–y)2；问1：首项是什么？末项是什么？问2：然后如何计算？
解：(2x–y)2=(2x)2+2(2x)? (–y)+ (–y)2 =4x2–x+y2
(3) (–2ab +c)2；问1：首项是什么？末项是什么？问2：然后如何计算？
解：( –2ab +b)2=(–2ab)2+2(–2ab)c+c2=4a2b2–4abc+ c2
(4) (–3a2–2b3)2．问1：首项是什么？末项是什么？问2：然后如何计算？
解：( –3a2–2b)2=(–3a2)2+2(–3a2)( –2b3)+ (–2b3)2=9a4+12a2b3+4b6
【小结】
运用完全平方公式计算的一般步骤：
(1)确定首尾，分别平方，符号皆为正；(2)确定中间项，首末项同号，符号为正，首末项异号，符号为负；(3)计算出结果．
四、课堂练习：
计算：
(1)； (2) (–a–b)2 (3) (4)
五、拓展练习：
1、判断下列式子能否用完全平方公式进行计算，为什么？
(1) (2)99.72
六、课堂小结：
通过今天的学习你有什么收获？
预设学生：
1、完全平方公式：(a+b)2= a2+2ab +b2，(a–b)2= a2–2ab +b 2．
2、运用公式计算的一般步骤
3、要注意不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘以2．
七、作业：
练习册 习题9.12/1~5，7
9.12完全平方公式（2）
教学目标：
1．通过辨析，正确选择乘法公式，并会灵活应用乘法公式进行计算．
2．在灵活应用公式进行计算时，感受整体和化归的数学思想，体会学习数学的乐趣．
教学重点及难点：
正确选择乘法公式，并会灵活应用乘法公式进行计算．
教学过程：
一、乘法公式的辨析
通过前面几节课的学习，我们知道了完全平方公式和平方差公式，请同学们根据公式来判断下列各式计算是否正确，并说明理由.
(1)（漏了这一项，正确的是：）
(2)（中间一项两倍首末应该是，正确的是：
）
(3) （后面一项应该是，漏了括号，正确的应该是：
）
请用文字叙述两个公式.
平方差公式:两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两数的平方差.
完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．
用字母表示为：
二、探究新知
在前面学习过程中，我们遇到的运用完全平方公式和平方差公式进行计算的问题是两个两项式相乘，那么，今天我们要来研究两个三项式相乘能否运用这些乘法公式.
1．完全平方公式的应用：
例题1 计算：问1：这是平方计算，可以直接应用完全平方公式吗？为什么？
问2：怎么办？
答1：不可以，因为完全平方公式是两个两项式相乘，这是两个三项式.
答2：将()看成一个整体，将原式化为：，再用完全平方公式进行计算.
解：原式===
=.
【小结】多于两项的完全平方可以先把某个多项式看成一个整体，转化成两项的完全平方，再利用完全平方公式进行计算.
学生练习： 计算：
解：原式===
=.
2．平方差公式的应用：
例题2计算：问1：观察这两个多项式中有相同的项和相反的项吗？
问2：请把它们分为两组，你有什么发现？
答1：有.
答2：把原式写成：，这样就可以应用平方差公式得到.
解：原式===
=.
小结：三项式与三项式相乘，当两个三项式中只有相同的项和相反的项时，把相同的项放在一起，相反的项放在一起后分成两组，再运用平方差公式进行计算.
学生练习：
计算：
问：以上题目能否运用乘法公式进行计算？能否将它们化成能直接运用平方差的形式.
三、实践与提高
例题3 甲、乙两家商店在9月份的销售额均为a万元，在10月和11月这两个月中，甲商店的销售额平均每月增长x%，乙商店的销售额平均每月减少x%，问11月份甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元？
教师可以把问题中所涉及的量用表格形式呈现.如下表:
10月份销售额
11月份销售额
化简后11月份销售额
甲商店
乙商店
分析：甲商店10月份销售额是多少?（甲商店10月份销售额:）
11月份销售额是多少?（11月份销售额：=）
乙商店10月份销售额是多少? （乙商店10月份销售额： ）
11月份销售额是多少? =
提供列式的数量关系是什么?（“11月份甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元”）
四、课堂小结
通过这节课的学习你有什么学习体会？
预设学生：
1、多于两项的完全平方，也可以利用完全平方公式进行计算，即把某一个多项式看成一个整体.
2、三项式与三项式相乘，当两个三项式中只有相同的项和相反的项时，把相同的项放在一起，相反的项放在一起后分成两组，再运用平方差公式进行计算.
3、计算过程中要特别注意其中的负号.
4、列方程解应用题时，先理清题目中的数量关系.
补充：整体和化归的数学思想
五、作业
练习册 习题9.12/6、8、9