沪教版（五四制）七上：9.16 分组分解法 教案（含2课时）

9.16 分组分解法（1）
教学目标：
1. 理解分组分解法的概念.
2. 掌握用“二二”分组分解法分解四项式.
3. 在用分组分解法进行因式分解的过程中培养发散思维的能力.
教学重点和难点：
选择合理的分组方法对四项式进行正确的因式分解.
教学过程：
一、复习引入
问：前几节课我们学习了分解因式，有哪些方法呢？（生：提取公因式法、公式法、十字相乘法）
填空：
(1)2(a+b)+3a(a+b)=( )(a+b)；(2)x(a–b)–y(a–b)= (a–b)( )；(3) –(x–y)2–(x–y)= –(x–y)( )．
分解因式时一般先考虑提取公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式．
思考：如何将多项式ax+ay+bx+by分解因式？
显然，多项式ax+ay+bx+by中既没有公因式，也不好用公式法和十字相乘法，能不能转化为已学知识来进行分解因式呢？
问1：观察这个多项式，它有什么特征？
答1：它是四项式，前两项和后两项分别有公因式a、b．(第一项和第三项有公因式x，第二项和第四项有公因式y)．
师：把这个多项式的前两项和后两项分成两组后，分别提出公因式a与b后，我们来看看：
ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+ b(x+y)
问2：你有什么发现？答2：还有公因式(x+y)，可以提取公因式．
学生口述，教师板书．
=(x+y)(a+b)
问3：这是分解因式的结果吗？答3：是的．
师：这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．
板书课题：§9．16分组分解法（1）
问4：还有其它的分组方法吗？
答4：把这个多项式的第一项和第三项一组，第二项和第四项一组，分为两组，分别提出公因式x与y．
学生口述，教师板书．
ax+ay+bx+by=(ax+bx)+(ay+by) =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y)
问5：这个结果和前面的分组分解的结果相同吗？
师：这两种不同的分组方法都是正确的，关键是多项式分组后还能继续提取公因式来分解因式．我们把这种分组方式简单地称为“二二”分组．
答5：相同．
二、运用分组分解法分解因式
例题1 分解因式：(1)2ac–6ad+bc–3bd．问1：多项式有什么特征？如何分解？
学生口述，教师板书．
解：2ac–6ad+bc–3bd =(2ac–6ad)+(bc–3bd)=2a(c–3d)+b(c–3d)
问2：有公因式吗？是什么？ =(c–3d)(2a+ b)
问3：这是分解因式的结果吗？答3：是的．
问4：还有其它的分组方法吗？答4：有．
学生口述，教师板书．
解：2ac–6ad+bc–3bd =(2ac+bc) + (–6ad–3bd)=c(2a+b)–3d(2a+b)=(2a+b)(c–3d)
问5：还有其它的分组方法吗？答5：有．（预设学生答错）
解：2ac–6ad+bc–3bd =(2ac–3bd)+(–6ad+bc)
我们发现这种分组，不能继续分解，所以这种分组分解是错误的．
问6：观察前两种正确的分组方法，每一组中系数之间有什么联系？
答6：第一种分组中，每组两项的系数比都是1:(–3)；第二种分组中，每组两项的系数比都是2:1．
例题2 分解因式：4a2+2a–b2+b．
问1：这个四项式如何分解？答1：前两项一组有公因式2a，后两项一组有公因式b．（预设学生答错，按字母特征分组）按照学生回答板书：4a2+2a–b2+b=2a(a+1)+b(–b+1)
问2：有公因式吗？怎么办？答2：没有，重新分组．
问3：如何分解？答3：4a2–b2是平方差，把它们分为一组，2a+b分为一组．
解：4a2+2a–b2+b =(4a2–b2)+(2a+b)
问4：怎么办？答4：用平方差公式分解(4a2–b2)．
=(2a+b)(2a–b)+(2a+b)
问5：有什么发现？=(2a+b)(2a–b+1) 答5：有公因式(2a+b)，可以提取公因式进一步分解．
问6：观察这种分组方法，每一组中字母指数之间有什么联系？
答6：每组中两项的字母指数相同．
小结：二二分组分解时应注意的问题：
1、把四项式二二分为两组(按字母特征分组，或按系数特征分组，或按字母指数特征分组)；
2、分组分解后产生新公因式；
3、继续用提取公因式法来分解因式；
4、分解到不能分解为止．
练习
(1) a2－ab－2a+2b； (2)； (3)；(4)．
三、能力提高
例题3 分解因式：2x3–2x2y+8y–8x．问1：这还是一个四项式，如何分解？
答1：前两项有公因式2x2，后两项有公因式8．把前两项一组，后两项一组，再分组分解．
强调：分解因式时先观察，有公因式应先提取公因式．
解：2x3–2x2y+8y–8x =2(x3–x2y+4y–4x)
问2：如何分解？
答2：括号内前两项有公因式x2，后两项有公因式4．把前两项一组，后两项一组，再分组分解．=2[(x3–x2 y)+ (4y–4x)] =2 [x2(x–y)–4(x–y)]
问3：有公因式吗？是什么？
答3：有，是(x–y)． =2(x–y)(x2–4)
问4：这是分解因式的结果吗？为什么？答4：不是，分解因式应分解到不能分解为止，(x2–4)还可以分解． =2(x–y)(x+2)(x–2)
小结：分解因式时应注意的问题：
1、分解因式的分解因式时先观察，有公因式应先提取公因式；
2、分解因式应分解到不能分解为止．
练习：分解因式：．
四、课堂小结
通过今天的学习你有什么收获和体会？
预设学生：
1、分组分解法；
2、二二分组分解时注意的问题：
(1)把四项式二二分为两组(按字母特征分组，或按系数特征分组，或按字母指数特征分组)；
(2)分组分解后产生新公因式；
(3)继续用提取公因式法来分解因式．
3、分解因式时应注意的问题：
(1)分解因式的分解因式时先观察，有公因式应先提取公因式；
(2)分解因式应分解到不能分解为止．
五、回家作业
练习册 9.16 第1、4题
9．16分组分解法（2）
教学目标：
1. 进一步理解分组分解法的概念．
2. 掌握用“一三”分组分解法分解四项式．
3. 在用分组分解法进行因式分解的过程中感受整体的数学思想．
教学重点和难点：
根据多项式的特征对多项式进行合理的分组，并正确进行因式分解．
教学过程：
一、复习引入
已知多项式x2+xy+xz+yz，你能对它因式分解吗？问1：用什么方法？问2：分组分解的关键是什么？
答1：分组分解法．答2：因式分解后能产生新的公因式．
二、运用分组分解法分解因式
思考：如何将多项式a2+2ab+b2–1分解因式？问1：用“二二”分组能分解吗？问2：怎么办？
答1：不能．答2：前三项是一个完全平方式，把它们分为一组．
师：把这个多项式的前三项分在一组后，我们来看看：
a2+2ab+b2–1=(a2+2ab+b2) –1=(a+b)2 –1
问3：你有什么发现？答3：把(a+b)看作一个整体，可以运用平方差公式分解因式．
这样就转化为运用平方差公式分解．
学生口述，教师板书． =(a+b+1) (a+b–1)
问4：这是分解因式的结果吗？答4：是的．
师：这种分组方法简单地称为“一三”分组．
问5：还有其它的分组方法吗？答5：没有．
二、运用分组分解法分解因式
例题1 分解因式： (1)x2–4x–y2+4；问1：多项式有什么特征？如何分解？
答1：x2–4x+4是一个完全平方式，把这三项分为一组，–y2为一组，再分组分解．
问2：这是分解因式的结果吗？答2：是的．
(2)4m2–n2–2n–1．问1：多项式有什么特征？如何分解？
答1：–n2–2n–1提取负号后是一个完全平方式，把这三项分为一组，4m2为一组，再分组分解=4m2– (n+1)2
问2：怎么办？答2：4m2是(2m)2，用平方差公式分解．
小结：三一分组分解的特点：
1、三项式这组可用完全公式法分解；
2、再用平方差公式法分解到不能分解为止．
三、课堂练习
分解因式：(1) x2–4xy+4y2–4；问：多项式有什么特征？如何分解？
分析特征后，学生独自练习．
(2) 1–a2+2ab–b2． 问：多项式有什么特征？如何分解？
问：分解因式时应注意什么问题？
答：添负括号时注意括号里的每一项都要变号；去括号时应注意括号前的负号．
四、能力提高
例题2 分解因式：x2+2xy+y2–3x–3y–4；问1：多项式有什么特征？如何分解？
解：x2+2xy+y2–3x–3y–4 = (x2+2xy+y2)+(–3x–3y)–4 = (x+y)2–3(x+y)–4
问2：怎么办？ = (x+y–4)(x+y+1)
练习：
分解因式：m2–5m+n2+5n–2mn．
五、课堂小结
通过今天的学习你有什么收获？
预设学生：
1、三一分组分解的特点：
(1)三项式这组可用完全公式法分解；
(2)再用平方差公式法分解到不能分解为止．
2、分解因式时应注意符号的问题，添负括号时注意括号里的每一项都要变号；去括号时应注意括号前的负号．
教师补充：整体的数学思想．
六、回家作业
练习册 9.16 第2、3、5题