4.5.1、函数的零点与方程的解教学设计
课题
4.5.1、函数的零点与方程的解
单元
第四单元
学科
数学
年级
高一
教材分析
本节内容是函数的零点与方程的解，通过本节课的学习，结合方程与函数的联系，引导学生掌握函数零点与方程的解的判断，从而引出下节课二分法这个知识点。
教学目标与核心素养
1.数学抽象：问题的导入使学生探究分析得到零点的定义，将抽象问题具体化；
2.逻辑推理：通过习题逐步培养学生的转化思想和思维的严谨性；
3.数学建模：学习零点的定义以及零点存在定理，为二分法的学习做准备；
4.直观想象：合作探究得出函数零点存在定理；
5.数学运算:（1）通过习题，使学生进一步掌握函数零点的判断；
（2）通过探究过程使学生进一步理解概念，并能够灵活运用.
6.数据分析:在自主探究的过程中，让学生感受科学的严谨性，在合作探究中培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识。
重点
函数零点的定义以及函数零点存在定理
难点
函数零点存在定理
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
完成下列表格：
方程
x2－2x－3=0
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
函数
图像
方程的实数根
函数的图像与x轴的交点
从上面的表格，你能发现方程的根与函数图象与X轴的交点具有什么样的关系吗？
学生思考问题1、2，探究得到对数函数的概念。
问题导入，一步一步引导学生，化抽象为具体，激发学生学习兴趣，培养学生思考问题的能力，并探索得出对数函数的概念。
讲授新课
探究新知：
1、函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
思考：零点是点吗？
等价关系:
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
求零点的方法
(1) 解方程：令f(x)=0,解x。
（2）图像法：作y=f(x)的图像，看图像与x轴的交点的横坐标。
求下列函数的零点：
思考：
函数图像与x轴有什么关系？
在区间[-2，0]上是否也有这种关系？
你认为应该如何利用函数的取值规律来刻画这种关系？
如图所示，用几条连续不断的函数图象连接A、B两点。
思考：通过对图象的观察，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在着一定的关系呢？
是否只要满足，就一定存在零点呢？
2、函数零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
思考：（1）若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且有f(a)·f(b)>0,则y=f(x)在区间(a,b)内是否有零点？
（2）若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且有f(a)·f(b)<0,则y=f(x)在区间(a,b)内会只有一个零点吗？
（3）若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且在区间(a,b)内有零点时，一定有f(a)·f(b)<0吗？
注意：
（1）只有同时满足上述两个条件，才能说明函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点。
（2）定理不可逆。
小试牛刀
1.判断正误
(1)函数的零点是一个点． ( )
(2)任何函数都有零点． ( )
(3)函数y＝x的零点是O(0,0)． ( )
(4)若函数f(x)满足f(a)·f(b)＜0，则函数在区间[a，b]上至少有一个零点． ( )
(5)函数的零点不是点，它是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，是方程f(x)＝0的根． ( )
2.下列图象表示的函数中没有零点的是 ( )
3. 函数f(x)=2x2-3x+1的零点是______.
4. 函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是________.
例1、判断方程的解的个数？
例2、判断函数f(x)=x-3+ln x的零点个数.
判断函数零点个数的三种方法
(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．
(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象．根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．
(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．
例3.判断下列函数在什么区间有零点
f(x)=2x · ln(x－2)－3
判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
提升训练
1.函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有______个．
2.若abc≠0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.1或2
3.设x0是函数f(x)＝ln x＋x－4的零点，则x0所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
4.已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点.
5.判断下列函数在什么区间有零点
（1）f(x)=ex－1+4x－4
（2） f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x
学生根据上述表格认识函数的零点。
学生学习和研究相关练习题,并合作探究得出函数零点的存在性定理
进一步理解定理
课堂练习
掌握如何判断函数零点个数
掌握如何判断函数零点所在区间的
学生和教师共同探究完成5个提升训练题。
掌握函数零点的定义；同时，掌握函数与方程的联系，培养学生探索的精神和思维的严谨性。
在合作探究中培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识。
通过思考加深学生对定理的理解和运用。
通过习题，使学生进一步掌握函数零点的判断；
通过这5个题，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。
课堂小结
4.5.1 函数的零点 1.函数零点的定义
与方程的解 2.函数零点存在定理
学生回顾本节课知识点，教师补充。
让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用。
板书
§4.5.1 函数的零点与方程的解
一、例题导入 2.零点存在 三、课堂小结
二、探索新知 定理 四、作业布置
1.零点的定义 例1
课件30张PPT。人教必修1
第四章4.5.1 函数的零点与方程的解方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y= x2－2x－3y= x2－2x+1函数函
数
的
图
象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象
与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0y= x2－2x+3完成下列表格：探索新知 从上面的表格，你能发现方程的根与函数图象与X轴的交点具有什么样的关系吗？方程的根就是函数图象与X轴交点的横坐标。探索新知函数零点的定义：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。零点指的是一个实数。思考：零点是点吗？方程f(x)=0有实数根等价关系:讲授新知求零点的方法 (1) 解方程：令f(x)=0,解x。
（2）图像法：作y=f(x)的图像，看图像与x轴的交点的横坐标。求下列函数的零点：小试牛刀由图像得出：函数在区间[2,4]上有零点思考：
函数图像与x轴有什么关系？
在区间[-2，0]上是否也有这种关系？
你认为应该如何利用函数的取值规律来刻画这种关系？求下列函数的零点：小试牛刀可以发现：在零点附近，函数图像是连续不断，并且”穿过“x轴。
函数在端点x=2和x=4的取值异号，即f(2)f(4)<0，则函数在区间[2，4]有零点x=3，它是对应方程的一个根。
同样地，f(-2)f(0)<0，函数在区间[-2,0]内有零点x=-1，它是对应方程的另一个根。探索新知 如图所示，用几条连续不断的函数图象连接A、B两点。探索新知探索新知 思考：通过对图象的观察，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在着一定的关系呢？是否只要满足 ，就一定存在零点呢？探索新知函数零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。探索新知思考：（1）若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且有f(a)·f(b)>0,则y=f(x)在区间(a,b)内是否有零点？探索新知 思考（2）若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且有f(a)·f(b)<0,则y=f(x)在区间(a,b)内会只有一个零点吗？探索新知 思考（3）若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且在区间(a,b)内有零点时，一定有f(a)·f(b)<0吗？探索新知注意：
（1）只有同时满足上述两个条件，才能说明函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点。
（2）定理不可逆。1.判断正误小试牛刀(1)函数的零点是一个点． ( )
(2)任何函数都有零点． ( )
(3)函数y＝x的零点是O(0,0)． ( )
(4)若函数f(x)满足f(a)·f(b)＜0，则函数在区间[a，b]上至少有一个零点． ( )
(5)函数的零点不是点，它是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，是方程f(x)＝0的根． ( )××××√2.下列图象表示的函数中没有零点的是 ( )小试牛刀3. 函数f(x)=2x2-3x+1的零点是______.
4. 函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是________. A0.5和1-0.5和0例题讲解例1、判断方程 的解的个数？解：设函数 ，利用计算工具，列出函数的对应值表，并画出图像。例题讲解例2、判断函数f(x)=x-3+ln x的零点个数.解:(方法一)令f(x)=x-3+ln x=0,则ln x=3-x.在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=ln x与y=-x+3的图象,如图所示.由图可知函数y=ln x与y=-x+3的图象只有一个公共点,即函数f(x)=x-3+ln x只有一个零点.(方法二)因为f(3)=ln 3>0,f(2)=-1+ln 2<0,所以f(3)f(2)<0,说明函数f(x)=x-3+ln x在区间(2,3)内有零点.又f(x)=x-3+ln x在区间(0,+∞)上是增函数,所以原函数只有一个零点.判断函数零点个数的三种方法
(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．
(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象．根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．
(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．例题讲解例3.判断下列函数在什么区间有零点 f(x)=2x · ln(x－2)－3解：作出函数的图象如下： 因为f(3)＝-3<0,f(4)≈2.545>0,所以f(x)= 2x · ln(x－2)－3在区间(3,4)上有零点。又因为
f(x) =2x · ln(x－2)－3是(2，＋∞）上的增函数，所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．提升训练一1.函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有______个．
2.若abc≠0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.1或2解析:∵b2=ac,
∴方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac=b2-4b2=-3b2<03A提升训练一3.设x0是函数f(x)＝ln x＋x－4的零点，则x0所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)【解析】 因为f(2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞ln e－1＝0，f(2)·f(3)＜0.由零点存在性定理，得x0所在的区间为(2,3)．4.已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点.解:由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的实根.所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1).
令log2(-2x+1)=0,得x=0.
所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.C提升训练二5.判断下列函数在什么区间有零点解：作出函数的图象如下： 因为f(0)≈－3.63<0,f(1)
＝1>0,所以f(x)= ex－1+4x－4
在区间(0,1)上有零点。又因
为f(x) = ex－1+4x－4是(－∞ ，
＋∞）上的增函数，所以在
区间(0,1)上有且只有一个零
点。（1）f(x)=ex－1+4x－4提升训练三判断下列函数在什么区间有零点 （2） f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x解：作出函数的图象如下： 因为f(－4)＝－4<0,
f(－ 3)＝15>0, f(－2)＝-2<0,
f(2)＝－70<0, f(3)＝3>0,
所以f(x)= 3(x+2)(x-3)(x+4)+x
在区间(－4,－3 )、 (－3，－2,)、 (2,3 )上各有一个零点。
课堂总结1.零点的定义2.零点存在定理4.5.1
函数的零点
与方程的解作业布置课后思考 在例1中，为什么根据f(2)f(3)<0还不能说明函数只有一个零点？试着证明函数是增函数。课本P155 习题4.5 第2、3题板书设计§4.5.1 函数的零点与方程的解1.零点的定义2.零点存在定理例1 四、作业布置三、课堂小结二、探索新知一、例题导入谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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