3.2立体几何中的向量方法（1）同步练习（含答案解析）
文档属性
| 名称 | 3.2立体几何中的向量方法（1）同步练习（含答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 977.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-07 14:47:40 | ||
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文档简介
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3.2立体几何中的向量方法（1）
一、选择题
若直线l的一个方向向量为=（2，5，7），平面α的一个法向量为=（1，1，-1），则（ ）
A. B. C. D. A、C都有可能
已知直线AB的方向向量为，平面的一个法向量为，若AB∥，则k的值为( ???)
A. B. 5 C. D. 4
直线a，b的方向向量分别为=（1，-2，-2），=（-2，-3，2），则a与b的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 夹角等于
已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则平面ABC的一个法向量可以是（ ）
A. 1, B. C. 1, D.
已知平面的一个法向量为,平面的一个法向量,则不重合的平面与平面?( )
A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 不确定
若△ABC中，∠C=90°，A（1，2，-3k），B（-2，1，0），C（4，0，-2k），则k的值为（ ）
A. B. C. D.
设=(－2，2，5)、=(6，－4，4)分别是平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系是（? ）
A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 不能确定
下列各组向量中不平行的是（ ）
A. B.
C. D.
已知a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，c＝ma＋nb＋(4，－4，1)．若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为 ( )
A. ,2 B. 1, C. 1,2 D. ,
已知a＝( λ＋1,0,2)，b＝(6,2 μ－1,2 λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )
A. 2, B. , C. ,2 D. 2,2
二、填空题
下列结论的正确的是_____________填序号
（1）直线的方向向量是唯一确定的；
（2）两条不重合的直线和的方向向量分别为0，，0，，则与的位置关系是平行；
（3）若，分别是平面，的法向量，则;
（4）两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角.
已知P是□ABCD所在的平面外一点，．给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④．其中正确结论的个数是________．
三、解答题（本大题共1小题，共12.0分）
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．
求证（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．
答案和解析
1.D
解：直线l的一个方向向量为=（2，5，7），平面α的一个法向量为=（1，1，-1），
可得?=（=（2，5，7）（1，1，-1）=2+5-7=0，所以l∥α．或l?α．故选：D．
2.A
解：因为直线与平面平行，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直,即有，也即，解得故选A.
3.C
解：∵=-2+6-4=0，∴，∴a⊥b．故选：C．．
4.D
解：∵A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），∴=（-1，1，0），=（-1，0，1），
设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=-1，得=（-1，-1，-1）．故选：D．
5.A解：因为,，所以,所以两平面的法向量平行，故两平面平行.故选A.
6.D
?解：∵A（1，2，-3k），B（-2，1，0），C（4，0，-2k），∴=（3，-2，k），=（6，-1，-2k）∵△ABC中，∠C=90°∴?=（3，-2，k）?（6，-1，-2k）=18+2-2k2=0解得k=故选D．
7.B
解：=-2×6+2×(-4)+5×4=0，∴⊥，
∵=(-2，2，5)、=(6，-4，4)分别是平面α，β的法向量，∴平面α与平面β垂直，? .故选B.
8.D解：选项A中，；选项B中有：，选项C中零向量与任意向量平行，选项D，事实上不存在任何一个实数λ，使得，即：（16，24，40）=λ（16，24，40）．故应选：D
9.A
选A由已知得c＝( m＋4，m＋2 n－4，m－n＋1)，故a· c＝3 m＋n＋1＝0，b· c＝m＋5 n－9＝0.解得
10.A
选A由题意知∴或
11.?（2）（3）
解：空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量由于对向量的模长没有要求，所以每条直线的方向向量都有无数个．所以不正确．
两条不重合的直线和的方向向量分别为0，，0，，由，则与的位置关系是平行．所以正确．若，分别是平面，的法向量，则．所以正确．两直线的方向向量的夹角是两条直线所成的角或其补角．所以不正确．故答案为（2）（3）.
12.3
解：∵,①,所以AP⊥AB，故①正确；②,所以AP⊥AD,故②正确；③由②知是面ABCD的法向量，故③正确；④,令,无解，故④错误.故答案为3.
13.证明：（1）如图所示，
?由据题意得，E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC，又因为DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；
（2）【方法二】根据题意，A1C1⊥B1C1，CC1⊥平面A1B1C1，
以C1为原点建立空间直角坐标系，
C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，如图所示，
设BC=CC1=a，AC=b，
则A（b，0，a），B1（0，a，0），B（0，a，a），C1（0，0，0），
∴=（-b，a，-a），=（0，-a，-a），
∴?=-b×0+a×（-a）-a×（-a）=0，
∴⊥，
即AB1⊥BC1．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 3 页）
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3.2立体几何中的向量方法（1）
一、选择题
若直线l的一个方向向量为=（2，5，7），平面α的一个法向量为=（1，1，-1），则（ ）
A. B. C. D. A、C都有可能
已知直线AB的方向向量为，平面的一个法向量为，若AB∥，则k的值为( ???)
A. B. 5 C. D. 4
直线a，b的方向向量分别为=（1，-2，-2），=（-2，-3，2），则a与b的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 夹角等于
已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则平面ABC的一个法向量可以是（ ）
A. 1, B. C. 1, D.
已知平面的一个法向量为,平面的一个法向量,则不重合的平面与平面?( )
A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 不确定
若△ABC中，∠C=90°，A（1，2，-3k），B（-2，1，0），C（4，0，-2k），则k的值为（ ）
A. B. C. D.
设=(－2，2，5)、=(6，－4，4)分别是平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系是（? ）
A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 不能确定
下列各组向量中不平行的是（ ）
A. B.
C. D.
已知a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，c＝ma＋nb＋(4，－4，1)．若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为 ( )
A. ,2 B. 1, C. 1,2 D. ,
已知a＝( λ＋1,0,2)，b＝(6,2 μ－1,2 λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )
A. 2, B. , C. ,2 D. 2,2
二、填空题
下列结论的正确的是_____________填序号
（1）直线的方向向量是唯一确定的；
（2）两条不重合的直线和的方向向量分别为0，，0，，则与的位置关系是平行；
（3）若，分别是平面，的法向量，则;
（4）两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角.
已知P是□ABCD所在的平面外一点，．给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④．其中正确结论的个数是________．
三、解答题（本大题共1小题，共12.0分）
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．
求证（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．
答案和解析
1.D
解：直线l的一个方向向量为=（2，5，7），平面α的一个法向量为=（1，1，-1），
可得?=（=（2，5，7）（1，1，-1）=2+5-7=0，所以l∥α．或l?α．故选：D．
2.A
解：因为直线与平面平行，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直,即有，也即，解得故选A.
3.C
解：∵=-2+6-4=0，∴，∴a⊥b．故选：C．．
4.D
解：∵A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），∴=（-1，1，0），=（-1，0，1），
设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=-1，得=（-1，-1，-1）．故选：D．
5.A解：因为,，所以,所以两平面的法向量平行，故两平面平行.故选A.
6.D
?解：∵A（1，2，-3k），B（-2，1，0），C（4，0，-2k），∴=（3，-2，k），=（6，-1，-2k）∵△ABC中，∠C=90°∴?=（3，-2，k）?（6，-1，-2k）=18+2-2k2=0解得k=故选D．
7.B
解：=-2×6+2×(-4)+5×4=0，∴⊥，
∵=(-2，2，5)、=(6，-4，4)分别是平面α，β的法向量，∴平面α与平面β垂直，? .故选B.
8.D解：选项A中，；选项B中有：，选项C中零向量与任意向量平行，选项D，事实上不存在任何一个实数λ，使得，即：（16，24，40）=λ（16，24，40）．故应选：D
9.A
选A由已知得c＝( m＋4，m＋2 n－4，m－n＋1)，故a· c＝3 m＋n＋1＝0，b· c＝m＋5 n－9＝0.解得
10.A
选A由题意知∴或
11.?（2）（3）
解：空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量由于对向量的模长没有要求，所以每条直线的方向向量都有无数个．所以不正确．
两条不重合的直线和的方向向量分别为0，，0，，由，则与的位置关系是平行．所以正确．若，分别是平面，的法向量，则．所以正确．两直线的方向向量的夹角是两条直线所成的角或其补角．所以不正确．故答案为（2）（3）.
12.3
解：∵,①,所以AP⊥AB，故①正确；②,所以AP⊥AD,故②正确；③由②知是面ABCD的法向量，故③正确；④,令,无解，故④错误.故答案为3.
13.证明：（1）如图所示，
?由据题意得，E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC，又因为DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；
（2）【方法二】根据题意，A1C1⊥B1C1，CC1⊥平面A1B1C1，
以C1为原点建立空间直角坐标系，
C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，如图所示，
设BC=CC1=a，AC=b，
则A（b，0，a），B1（0，a，0），B（0，a，a），C1（0，0，0），
∴=（-b，a，-a），=（0，-a，-a），
∴?=-b×0+a×（-a）-a×（-a）=0，
∴⊥，
即AB1⊥BC1．
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