3.2立体几何中的向量方法（2）同步练习（含答案解析）

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3.2立体几何中的向量方法（2）
一、选择题
已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则?( ? )
A. B. 8 C. D. 1
平面的法向量是n，直线的方向向量是a，则“”是“直线//平面的（??? ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
已知A(2，4，1)，B(1，2，0)，平面α的一个法向量为＝(a，b，c)，若AB∥平面α，则(???? )
A. B. C. D.
已知，，三点，则以为方向向量的直线与平面ABC的关系是? ?
A. 垂直 B. 不垂直 C. 平行 D. 以上都有可能
若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则能使l∥α的是? （? ?? ）
A. , B. ,
C. , D. ,
已知空间向量，平面α的一个法向量，若AB⊥α．则（? ?? ）
A. , B. , C. D.
已知向量，，且与互相垂直，则实数k的值为? （??? ）
A. B. C. D.
若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定
若平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交但不垂直 C. 垂直 D. 重合
设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则?（ ??）
A. 2 B. 4 C. D.
二、填空题
已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则 ________________．
已知直线l的方向向量为，平面的法向量为若，则实数的值为_______.
三、解答题
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD,AD=PD=2,E、F分别为CD、PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF//平面PAD；
（Ⅱ）求证：平面AEF平面PAB；
?(Ⅲ)设AB=AD求直线AC与平面AEF所成角的正弦值．








答案和解析
1.C
解：因为直线与平面平行，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直,即有，也即，解得x=-1故选C.
2.B
解：因为直线//平面α，所以直线AB的方向向量与平面α的法向量垂直，所以=0,
同理若直线AB的方向向量与平面α的法向量满足=0，则直线AB//平面α或直线AB在面α内.故=0是直线AB//平面α的必要不充分条件.故选B.
3.D解：因为A(2,4,1)，B(1,2,0)，所以=(-1,-2,-1)，又因为AB∥平面α，所以·=-a-2b-c=0得a+2b+c=0.
故选D.
4.A解：,∵，，则,，即⊥平面ABC.故选A.
5.D解：若l∥α，则，而A中=-2，B中=1+5=6，C中=1，D选项中=-3+3=0.故选D
6.B
解：由题意可知,则，解得y=2，x=6.故选B.
7.D.
解：由已知得，．
由与互相垂直，得(k-1，k，2)·(3，2，-2)＝0，即5k-7＝0，解得，故选D．
8.B解：=-2+8-6=0∴⊥∴平面α与平面β垂直故选：B．
9.C
解: 由题意可得（1，2，0）?（2，-1，0）=1×2-2×1+0×0=0，?故两个平面的法向量垂直，故平面α和平面β的位置关系为垂直，故选C .
10.D解：根据题意，两个平面的法向量平行，所以，解得.?故选D.
11.-8
解：直线?的方向向量为，平面?的法向量为，因为，
所以直线//平面?的法向量，即则-8.故答案为-8.
12.解:?因为直线l的方向向量为，平面α的法向量为,且,所以,
所以,解得.故答案为.
13.
证法二：（Ⅰ）如图：

以D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设AB=a，∵AD=PD=2，∴A（2，0，0），B（2，a，0），C（0，a，0），P（0，0，2），∵E、F分别为CD，PB的中点，∴E（0，，0），F（1，，0），∴，∵+=（0，0，2）+（2，0，0）=（2，0，2），∴=（+）=+，故、、共面，又EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）由（1）知，，，∴=0，?=-2+0+2=0，∴⊥，⊥，又AB∩AP=A，∴EF⊥平面PAB，又EF?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PAB；
解：（Ⅲ）AB=2由（1）知，∴=（-2，，0），=（1，0，1）设平面AEF的法向量，
则，令x=1，则y=，z=-1，∴=（1，，-1），又=（-2，2，0），∴cos＜，＞==，∴sinθ=|cos＜，＞|=；







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