湘教版数学九年级下册第1章 二次函数本章复习与测试 （含答案）

2019—2020学年湘教版九年级数学下册第1章《二次函数》培优试题与简答
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（　　）
A．2、0、﹣3 B．2、﹣3、0 C．2、3、0 D．2、0、3
2．已知关于x的二次函数y＝kx2﹣bx+1的图象如图所示，则关于x的一次函数y＝kx+b的图象不经过哪个象限（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．当x＝时，y有最小值是﹣ D．在对称轴左侧y随x的增大而增大
4．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②；③2a+b＝0；④a﹣b+c＜0．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．点（5，3）在抛物线y＝a（x﹣2）2+k上，则下列的点也一定在抛物线上的是（　　）
A．（﹣5，3） B．（﹣1，3） C．（﹣9，3） D．（1，3）
6．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与抛物线y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（　　）
A．m＝1，n＝﹣2 B．m＝5，n＝﹣6
C．m＝﹣1，n＝6 D．m＝，n＝﹣
7．将二次函数y＝x2+x﹣1化为y＝a（x+h）2+k的形式是（　　）
A． B．y＝（x﹣2）2﹣2
C．y＝（x+2）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2+2
8．抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点情况是（　　）
A．有两个交点 B．只有一个交点 C．没有交点 D．无法判断
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）
A．x＜﹣1 B．x＜2 C．x＜﹣1或x＜2 D．﹣1＜x＜2


10．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（　　）
A．600元 B．625元 C．650元 D．675元
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．已知二次函数y＝2x2﹣8x+11，当自变量1≤x≤4时，则y的取值范围为　 　．
12．若二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是　 　．
13．若点A（﹣3，n）、B（m，n）在二次函数y＝3（x+2）2+k的图象上，则m的值为　 　．
14．把抛物线y＝﹣x2+4x﹣3先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则变换后的抛物线解析式是　 　．
15．已知实数x、y满足x2+x﹣y+2＝0，则x+y的最小值为　 　．
16．抛物线y＝x2﹣3x﹣1010与x轴的其中一个交点是（m，0），则2m2﹣6m的值为　 　．
17．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＜n的解集是　 　．
18．如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为　 　．
三．解答题（共5小题，满分46分，其中19、20每小题8分，21、22、23每小题10分）
19．二次函数y＝x2﹣2x﹣8．
（1）将y＝x2﹣2x﹣8用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标；
（2）求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．

20．用长为6米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x米，窗户的透光面积为S平方米（铝合金条的宽度不计）．
（1）S与x之间的函数关系式为　 　，自变量x的取值范围为　 　；
（2）如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？最大面积是多少？


21．如图，二次函数y＝（x﹣3）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．


22．在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣2x+n与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0），B（1，0），C为顶点．
（1）求m、n的值．
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．


23．小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”、小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：

（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利　 　元；
（2）单株售价y1与月份x之间的关系式为　 　；单株成本y2与月份x之间的关系式为　 　；
（3）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大（提示：单株获利＝单株售价﹣单株成本）．


2019—2020学年湘教版九年级数学下册第1章《二次函数》培优试题参考简答
一．选择题（共10小题）
1．A． 2．B． 3．C． 4．C． 5．B． 6．A． 7．C． 8．A．
9．D． 10．B．
二．填空题（共8小题）
11．　3≤y≤11　． 12．　m＜1且m≠0　． 13．　﹣1　．
14．　y＝﹣x2﹣2x﹣2　． 15．　1　． 16．　2020　．
17．　x＜﹣3或x＞1　． 18．　y＝﹣（x﹣20）2+16　．
三．解答题（共5小题）
19．二次函数y＝x2﹣2x﹣8．
（1）将y＝x2﹣2x﹣8用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标；
（2）求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．
【解】：（1）∵y＝x2﹣2x﹣8＝x2﹣2x+1﹣9＝（x﹣1）2+9，
∴二次函数图象的顶点坐标为（1，9）．
（2）当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣8＝﹣8，
∴此函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣8）；
当y＝0时，x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴此函数图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）．
20．用长为6米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x米，窗户的透光面积为S平方米（铝合金条的宽度不计）．
（1）S与x之间的函数关系式为　S＝﹣x2+3x　，
自变量x的取值范围为　0＜x＜2　；
（2）如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？最大面积是多少？

【解】：（1）根据题意，得
窗框的高为x米，则长为（6﹣3x），
所以S＝（6﹣3x）?x＝﹣x2+3x．
因为x＞0，6﹣3x＞0，
所以0＜x＜2．
故答案为S＝﹣x2+3x、0＜x＜2．
（2）S＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣1）2+
∵﹣＜0，
∴当x＝1时，S有最大值，
即窗框的高为1米，宽为1.5米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是1.5平方米．
答：窗框的高为1米，宽为1.5米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是1.5平方米．
21．如图，二次函数y＝（x﹣3）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【解】：（1）将点A（1，0）代入y＝（x﹣3）2+m得（1﹣3）2+m＝0，
解得m＝﹣4．
所以二次函数解析式为y＝（x﹣3）2﹣4，
即y＝x2﹣6x+5；
当x＝0时，y＝9﹣4＝5，
所以C点坐标为（0，5），
由于C和B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x＝3，
所以B点坐标为（6，5），
将A（1，0）、B（6，5）代入y＝kx+b得，
， 解得：．
所以一次函数解析式为y＝x﹣1；
（2）假设存在点P，设点P（a，a2﹣6a+5），
∵S△ABP＝S△ABC，
∵，
如图1，当点P在直线AB的下方时，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，

∴，
∴E（a，a﹣1）
∴PE＝﹣a2+7a﹣6，
∴，
∴a2﹣7a+12＝0
解得：a1＝4，a2＝3，
∴P1（3，﹣4），P2（4，﹣3），
如图2，当点P在直线AB的上方时，过点P作PF∥y轴交直线AB于F，

同理可得＝15，
∴，
解得a＝0（舍去），a＝7，
∴P3（7，12）．
综合以上可得P点坐标为（3，﹣4）或（4，﹣3或）（7，12）．
22．在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣2x+n与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0），B（1，0），C为顶点．
（1）求m、n的值．
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．

【解】：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝mx2﹣2x+n得，，
解得：；
故m的值为﹣1，n的值为3；
（2）存在，
理由：过C作CE⊥y轴于E，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∴y＝﹣（x+1）2+4，
∴C（﹣1，4），
∴CE＝1，OE＝4，
设D（0，a），
则OD＝a，DE＝4﹣a，
∵△ACD是以AC为斜边的直角三角形，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
∴∠CDE＝∠DAO，
∴△CDE∽△DAO，
∴＝，
∴＝，
∴a1＝1，a2＝3，
∴点D的坐标为（0，1）或（0，3）．

23．小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”、小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：

（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利　1　元；
（2）单株售价y1与月份x之间的关系式为　y1＝﹣x+7　；单株成本y2与月份x之间的关系式为　y2＝（x﹣6）2+1　；
（3）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大（提示：单株获利＝单株售价﹣单株成本）．
【解】：（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，
则每株获利为5﹣4＝1（元），
故答案为：1；
（2）设直线的表达式为：y1＝kx+b（k≠0），
把点（3，5）、（6，3）代入上式得：
，解得：，
∴直线的表达式为：y1＝﹣x+7；
设：抛物线的表达式为：y2＝a（x﹣m）2+n，
∵顶点为（6，1），则函数表达式为：y2＝a（x﹣6）2+1，
把点（3，4）代入上式得：
4＝a（3﹣6）2+1，解得：a＝，
则抛物线的表达式为：y2＝（x﹣6）2+1，
故答案为：y1＝﹣x+7；y2＝（x﹣6）2+1，
（3）y1﹣y2＝﹣x+7﹣（x﹣6）2﹣1＝﹣（x﹣5）2+，
∵a＝﹣＜0，
∴x＝5时，函数取得最大值，
故：5月销售这种多肉植物，单株获利最大．





第4题图

第2题图

第9题图

第18题图

第17题图