指数函数、对数函数与幂函数检测卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)
1.化简的结果为( )
A.－ B.
C.－ D.
2.函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )
A.(0，1) B.[0，1]
C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
3.若a>b，则( )
A.ln(a－b)>0 B.3a<3b
C.a3－b3>0 D.|a|>|b|
4.函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为( )
A.(0，＋∞) B.(－∞，0)
C.(2，＋∞) D.(－∞，－2)
5.四人赛跑，其跑过的路程f(x)和时间x的关系分别是f1(x)＝x，f2(x)＝x，f3(x)＝log2(x＋1)，f4(x)＝log8(x＋1)，如果他们一直跑下去，最终跑到最前面的人所具有的函数关系是( )
A.f1(x)＝x B.f2(x)＝x
C.f3(x)＝log2(x＋1) D.f4(x)＝log8(x＋1)
6.已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中包含f(x)零点的区间是( )
A.(1，2) B.(2，3)
C.(3，4) D.(4，5)
7.如图，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A.{x|－1＜x≤0}
B.{x|－1≤x≤1}
C.{x|－1＜x≤1}
D.{x|－1＜x≤2}
8.方程log2(x＋4)＝3x解的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
9.设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )
A.f>f(2－)>f(2－)
B.f>f(2－)>f(2－)
C.f(2－)>f(2－)>f
D.f(2－)>f(2－)>f
10.设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A.(－1，0)∪(0，1)
B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－1，0)∪(1，＋∞)
D.(－∞，－1)∪(0，1)
11.设a，b，c是均不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
A.logab·logca＝logcb
B.loga(bc)＝logab·logac
C.loga(b＋c)＝logab＋logac
D.logab＝logacbc
12.如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中一定正确的是( )
A.这几年人民生活水平逐年得到提高
B.生活费收入指数增长最快的一年是2010年
C.生活价格指数上涨速度最快的一年是2011年
D.虽然2012年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善
13.已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)，则使函数y在区间[－1，1]上的最大值是14的a的值为( )
A. B.4
C.3 D.2
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，其中多空题每空2分，共16分，把答案填在题中的横线上)
14.已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝________.
15.函数f(x)＝的零点个数是________.
16.已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＋b＝________.
17.已知函数f(x)＝则f(f(3))＝________；若对任意的x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，则实数k的取值范围为________.
三、解答题(本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(12分) (1)计算：＋(lg 5)0＋；
(2)解方程：log3(6x－9)＝3.
19.(14分)某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24)，求每天何时蓄水池中的存水量最少.
20.(14分)已知函数y＝log4(2x＋3－x2)，
(1)求函数的定义域；
(2)求y的最大值，并求取得最大值时的x值.
21.(14分)已知函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数.
(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)若x∈(0，＋∞)，试分别写出使不等式：
①log2x<2x
②log2x(3)求不等式loga(x－3)>loga(5－x)的解集.
22.(14分)已知定义在[－1，1]上的奇函数f(x)，当x∈[－1，0]时的解析式为f(x)＝－(a∈R).
(1)写出f(x)在[0，1]上的解析式；
(2)求f(x)在[0，1]上的最大值.
23.(14分)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元.若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a23x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R).
(1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；
(2)在同一直角坐标系下画出函数f(x)与g(x)的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况.
指数函数、对数函数与幂函数检测卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)
1.化简的结果为( )
A.－ B.
C.－ D.
解析 要使式子有意义，只需－x3>0，即x<0，所以＝＝－.故选A.
答案 A
2.函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )
A.(0，1) B.[0，1]
C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
解析 由x2－x>0，得x>1或x<0，故选C.
答案 C
3.若a>b，则( )
A.ln(a－b)>0 B.3a<3b
C.a3－b3>0 D.|a|>|b|
解析 法一 由函数y＝ln x的图像(图略)知，当0b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；当b法二 当a＝0.3，b＝－0.4时，ln(a－b)<0，3a>3b，|a|<|b|，故排除A，B，D.故选C.
答案 C
4.函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为( )
A.(0，＋∞) B.(－∞，0)
C.(2，＋∞) D.(－∞，－2)
解析 由x2－4>0得x>2或x<－2，即f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞).f(x)＝log(x2－4)由y＝logu及u＝x2－4复合而成，y＝logu在(0，＋∞)内为减函数，而u＝x2－4在(－∞，－2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，所以f(x)＝
log(x2－4)的单调递增区间为(－∞，－2)，故选D.
答案 D
5.四人赛跑，其跑过的路程f(x)和时间x的关系分别是f1(x)＝x，f2(x)＝x，f3(x)＝log2(x＋1)，f4(x)＝log8(x＋1)，如果他们一直跑下去，最终跑到最前面的人所具有的函数关系是( )
A.f1(x)＝x B.f2(x)＝x
C.f3(x)＝log2(x＋1) D.f4(x)＝log8(x＋1)
解析 在同一坐标系下画出四个函数的图像(图略)，由图像可知f2(x)＝x增长的最快.故选B.
答案 B
6.已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中包含f(x)零点的区间是( )
A.(1，2) B.(2，3)
C.(3，4) D.(4，5)
解析 因为f(x)在定义域上为减函数，f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(3)＝2－log23>0，f(4)＝－log24＝－<0，f(5)＝－log25<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(3，4).
答案 C
7.如图，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A.{x|－1＜x≤0}
B.{x|－1≤x≤1}
C.{x|－1＜x≤1}
D.{x|－1＜x≤2}
解析 令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)的图像如图，由得
结合图像知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1答案 C
8.方程log2(x＋4)＝3x解的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 在同一坐标系中画出函数y＝log2(x＋4)及y＝3x的图像，如图所示.由图像可知，它们的图像有两个交点，故选C.
答案 C
9.设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )
A.f>f(2－)>f(2－)
B.f>f(2－)>f(2－)
C.f(2－)>f(2－)>f
D.f(2－)>f(2－)>f
解析 因为f(x)是定义域为R的偶函数，
所以f＝f(－log34)＝f(log34).
又因为log34>1>2－>2－>0，且函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，
所以f(log34)答案 C
10.设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A.(－1，0)∪(0，1)
B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－1，0)∪(1，＋∞)
D.(－∞，－1)∪(0，1)
解析 法一 由图象变换知函数f(x)的图像如图，
且f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数，
∴f(a)>f(－a)可化为f(a)>0，
∴当x∈(－1，0)∪(1，＋∞)时，f(a)>0，
即f(a)>f(－a)，故选C.
法二 ①若a>0，则－a<0，
∴log2a>loga?log2a>log2?a>?a>1.
②若a<0，则－a>0，
log(－a)>log2(－a)?
log2>log2(－a)?－>－a
?a2<1?a∈(－1，1).
又∵a<0，∴－1由①②可知a∈(－1，0)∪(1，＋∞).故选C.
答案 C
11.设a，b，c是均不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
A.logab·logca＝logcb
B.loga(bc)＝logab·logac
C.loga(b＋c)＝logab＋logac
D.logab＝logacbc
解析 由换底公式得logab·logca＝·＝＝logcb，logacbc＝＝＝logab，∴A，D均恒成立.
答案 AD
12.如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中一定正确的是( )
A.这几年人民生活水平逐年得到提高
B.生活费收入指数增长最快的一年是2010年
C.生活价格指数上涨速度最快的一年是2011年
D.虽然2012年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善
解析 由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故A正确；“生活费收入指数”在2010～2011年最陡，故B正确；“生活价格指数”在2011～2012年最平缓，故C不正确；由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故D正确.
答案 AD
13.已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)，则使函数y在区间[－1，1]上的最大值是14的a的值为( )
A. B.4
C.3 D.2
解析 令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去).
当0又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
则ymax＝－2＝14，解得a＝(负值舍去).
综上知a＝3或a＝.
答案 AC
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，其中多空题每空2分，共16分，把答案填在题中的横线上)
14.已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝________.
解析 当x∈(－∞，1]时，f(x)∈(0，3]；
当x∈(1，＋∞)时，f(x)∈(－∞，－1).
∵f(x)＝2，∴3x＝2?x＝log32.
答案 log32
15.函数f(x)＝的零点个数是________.
解析 ①当x≤0时，由f(x)＝0，即x2－2＝0，解得x＝或x＝－.因为x≤0，所以x＝－.
②法一 (函数单调性法)当x>0时，f(x)＝2x－6＋ln x.显然f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
又f(1)＝2×1－6＋ln 1＝－4<0，f(3)＝2×3－6＋ln 3＝ln 3>0，所以f(1)·f(3)<0，故函数f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)内有且只有1个零点.综上，函数f(x)共有2个零点.
法二 (数形结合法)当x>0时，由f(x)＝0，得2x－6＋ln x＝0，
即ln x＝6－2x.
如图，分别作出函数y＝ln x和y＝6－2x的图像.
显然，由图可知，两函数图像只有一个交点，且在y轴的右侧，故当x>0时，f(x)＝0只有一个解.
综上，函数f(x)共有2个零点.
答案 2
16.已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＋b＝________.
解析 ∵logab＋logba＝logab＋＝，
∴logab＝2或.
∵a>b>1，∴logab∵ab＝ba，∴(b2)b＝bb2，∴b2b＝bb2，∴2b＝b2，∴b＝2，∴a＝4，∴a＋b＝6.
答案 4 2
17.已知函数f(x)＝则f(f(3))＝________；若对任意的x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，则实数k的取值范围为________.
解析 f(f(3))＝f(log3)＝f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.
对任意x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，即f(x)max≤|k－1|.
因为f(x)的草图如图所示，
观察f(x)＝
的图像可知，当x＝时，函数f(x)max＝，
所以|k－1|≥，解得k≤或k≥.
答案 －2 ∪
三、解答题(本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(12分) (1)计算：＋(lg 5)0＋；
(2)解方程：log3(6x－9)＝3.
解 (1)原式＝＋(lg 5)0＋＝＋1＋＝4.
(2)由方程log3(6x－9)＝3得6x－9＝33＝27，
∴6x＝36＝62，∴x＝2.经检验，x＝2是原方程的解.
∴原方程的解为x＝2.
19.(14分)某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24)，求每天何时蓄水池中的存水量最少.
解 设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－100(0≤t≤24).
设u＝，则u∈[0，2]，y＝60u2－100u＋400＝
60＋150，
∴当u＝即t＝时，蓄水池中的存水量最少.
故每天4点10分时蓄水池中的存水量最少.
20.(14分)已知函数y＝log4(2x＋3－x2)，
(1)求函数的定义域；
(2)求y的最大值，并求取得最大值时的x值.
解 (1)由真数2x＋3－x2>0，解得－1所以函数的定义域为{x|－1(2)将原函数分解为y＝log4u，u＝2x＋3－x2两个函数.因为u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4≤4，
所以当x＝1时，u取得最大值4，又y＝log4u为单调增函数，
所以y＝log4(2x＋3－x2)≤log44＝1.
所以y的最大值为1，此时x＝1.
21.(14分)已知函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数.
(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)若x∈(0，＋∞)，试分别写出使不等式：
①log2x<2x②log2x(3)求不等式loga(x－3)>loga(5－x)的解集.
解 (1)∵函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数，
∴f(x)＝2x.
(2)作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x在同一直角坐标系中的图像，可得：22＝4，24＝42＝16，下面借助图像解决问题.
①∵log2x<2x②∵log2x4，解集为(0，2)∪(4，＋∞).
(3)由loga(x－3)>loga(5－x)得，
当a>1时，解得4当0所以，当a>1时，原不等式的解集为(4，5)，
当022.(14分)已知定义在[－1，1]上的奇函数f(x)，当x∈[－1，0]时的解析式为f(x)＝－(a∈R).
(1)写出f(x)在[0，1]上的解析式；
(2)求f(x)在[0，1]上的最大值.
解 (1)因为f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，所以f(0)＝0，即1－a＝0，得a＝1(经验证符合题意).设x∈[0，1]，则－x∈[－1，0]，∴f(x)＝－f(－x)＝－＝2x－4x，即当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－4x.
(2)当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－4x＝－＋，其中2x∈[1，2]，所以当2x＝1，即x＝0时，f(x)最大值为0.
23.(14分)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元.若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a23x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R).
(1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；
(2)在同一直角坐标系下画出函数f(x)与g(x)的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况.
解 (1)依题意：由有
解得a1＝4，b1＝－4，∴f(x)＝4x2－4x＋6.
由有
解得a2＝，b2＝5，∴g(x)＝×3x＋5＝3x－1＋5.
所以甲厂在今年5月份的利润为f(5)＝86万元，乙厂在今年5月份的利润为g(5)＝86万元，故有f(5)＝g(5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等.
(2)作函数图像如下：
从图中可以看出今年甲、乙两个工厂的利润情况：
当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)；
当1g(x)；
当5