6.1.5 向量的线性运算
课标要求
素养要求
1.掌握向量加法与数乘运算混合运算的运算律.
2.理解向量线性运算的定义及运算法则.
3.能利用向量的线性运算解决简单问题.
通过学习向量线性运算的定义及运算法则的运用，培养学生的数学运算、逻辑推理素养.
教材知识探究
如图M为△ABC的边AB的中点.
问题1 能用，表示吗？若能，请表示出来 .
问题2 若O为任意一点，M为AB的中点，是否有类似的结论？
问题3 λ(a＋b)＝λa＋λb是否一定成立？
提示1 ＝(＋)＝＋.
提示2 ＝(＋)＝＋.
提示3 一定成立.
1.向量的加法与数乘向量的混合运算
向量的减法可化成向量的加法，a－b＝a＋(－b)
(1)运算规则
一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，总是规定要先算数乘向量，再算向量加法.
(2)运算律
一般地，对于实数λ与μ，以及向量a，有λa＋μa＝(λ＋μ)a.
一般地，对于任意实数λ，以及向量a与b，有λ(a＋b)＝λa＋λb.
2.向量的线性运算 结果仍为向量
(1)定义
向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算.
(2)运算法则 若遇到括号有两种处理方式
向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项.
事实上，当一个向量的线性运算中含有括号时，我们可以用类似多项式运算中拆括号的方式来去掉其中的括号.
教材拓展补遗
[微判断]
1.a－b可以看作a＋(－b).(√)
2.向量减法改写为向量加法后也满足加法的交换律、结合律.(√)
3.存在实数λ，μ，k，使λa＋μb＋kc＝0.(×)
提示 向量线性运算的结果仍为向量，故不存在实数λ，μ，k，使λa＋μb＋kc＝0.
[微训练]
1.如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析 ∵＝3，∴＝＝(b－a)，
∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
答案 D
2.4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A.a－2b B.a
C.a－6b D.a－8b
解析 原式＝4a－4b－3a－3b－b
＝(4－3)a－(4＋3＋1)b＝a－8b.
答案 D
[微思考]
1.M为线段AB的中点的充要条件是什么？
提示 对任一点O，都有＝(＋).
2.对于任意向量a，b及任意实数λ，μ1，μ2，λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b是否恒成立？
提示 恒成立.
题型一 向量的线性运算
【例1】 化简下列各式：
(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；
(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)].
解 (1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b；
(2)原式＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b.
规律方法 向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形.
【训练1】 若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则－3＋(2b－a)＝________.
解析 －3＋(2b－a)
＝a－b－3a－2b＋2b－a＝－a－b
＝－(3i－4j)－(5i＋4j)＝－11i＋j－5i－4j
＝－16i＋j.
答案 －16i＋j
题型二 向量方程(组)
把所有项移到同一端时，另一端是0而不是0
【例2】 设x，y是未知向量，a，b为已知向量.
(1)解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；
(2)解方程组
解 (1)原方程可变为5x＋5a＋3x－3b＝0.
即8x＝－5a＋3b，则x＝－a＋b.
(2)把第一个方程的左、右两边同乘以－2，然后与第二个方程相加，得y＝－2a＋b，从而y＝－a＋b.
代入原来第二个方程得x＝－a＋b.
即
规律方法 (1)本题型也属于用已知向量表示其它向量.
(2)解关于未知向量的方程或方程组，它与解关于未知数的方程或方程组是类似的，在计算过程中应遵守向量加、减法及数乘向量的运算律.
【训练2】 若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________.
解析 由2－(c＋b－3y)＋b＝0，得2y－a－c－b＋y＋b＝0，即y－a－c＋b＝0，所以y＝a－b＋c.
答案 a－b＋c
题型三 向量平行、三点共线问题
【例3】 (1)如图所示，已知＝，＝，求证：∥.
(2)已知两个非零向量e1和e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线.
证明 (1)由已知得＝－＝－＝(－)＝，∴∥.
(2)∵＝＋＋＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6，
∴向量与共线.
又和有共同的起点A，∴A，B，D三点共线.
规律方法 (1)证向量平行，用b＝λa.
(2)证三点共线，除证明两向量平行外还需要两向量有公共点.
【训练3】 (1)已知非零向量e1，e2不共线.
如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线.
(2)已知e1，e2是共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，求证a∥b.
证明 (1)∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，
∴，共线，又，有公共点B，
∴A，B，D三点共线.
(2)因为e1，e2共线，所以存在λ∈R，使e1＝λe2，
所以a＝3e1＋4e2＝(3λ＋4)e2，b＝6e1－8e2＝(6λ－8)e2.
当λ≠时，a＝b，所以a，b共线；
当λ＝时，b＝0，a，b也共线.
综上，a与b共线，即a∥b.
一、素养落地
1.通过学习向量的线性运算，提升数学运算、逻辑推理素养.
2.向量的线性运算要注意使用运算律展开括号，合并向量等.
3.注意证向量共线与证三点共线的差别.
二、素养训练
1.若3x－2(x－a)＝0，则向量x等于( )
A.2a B.－2a
C.a D.－a
解析 ∵3x－2(x－a)＝0，∴3x－2x＋2a＝0，即x＝－2a.
答案 B
2.等于( )
A.2a－b B.2b－a
C.b－a D.－(b－a)
解析 原式＝(a＋4b－4a＋2b)
＝(－3a＋6b)＝－a＋2b.
答案 B
3.已知e是单位向量，且a＝3e，b＝－2e，则|a＋3b|＝________.
解析 |e|＝1，a＝3e，b＝－2e，∴|a＋3b|＝|3e－6e|＝|－3e|＝3|e|＝3.
答案 3
4.如图所示，在?ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，若＝a，＝b，试以a，b表示和.
解 ＝＋＋＝－b＋a＋b＝a－b；
＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b.
基础达标
一、选择题
1.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
解析 ＋＋＝＋＋
＝(＋＋)＝0.
答案 A
2.如图所示，平行四边形ABCD中，E在边AB上，且BE＝BA，F为对角线BD上的点，且BF＝BD，则( )
A.E，F，C三点共线，且＝
B.E，F，C三点共线，且＝
C.E，F，C三点共线，且＝
D.E，F，C三点不共线
解析 不妨设＝a，＝b，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝a＋b.
∵BE＝BA，BF＝BD，∴＝a，＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－a＝－a＋b，
＝－＝b－a＝5，
即＝5，
∴与共线，又，有公共点E，
∴E，F，C三点共线，且＝.
答案 B
3.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A.－ B.－
C.＋ D.＋
解析 法一 如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A.
法二 ＝－＝－＝－×(＋)＝－，故选A.
答案 A
4.已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A.B，C，D B.A，B，C
C.A，B，D D.A，C，D
解析 ＝a＋2b，＝＋＝2a＋4b＝2，又与有公共点B，∴A，B，D三点共线.
答案 C
5.若M是△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是( )
A.＋＋ B.＋＋
C.＋＋ D.3＋
解析 ∵M为△ABC的重心，∴＋＝，即＋＝－，∴＋＋＝0.∴＋＋与共线.
答案 C
二、填空题
6.若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________.
解析 由原方程得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，即x＋3a－4b＝0，∴x＝4b－3a.
答案 4b－3a
7.若D，E，F分别是△ABC三边BC，CA和AB的中点，则＋＋＝________.
解析 设△ABC的重心为G，有＋＋＝0.
∵＝，＝，＝，
∴＋＋＝(＋＋)＝0.
答案 0
8.在?ABCD中，＝λ(＋)，点P在平行四边形的对角线AC上，且不与A，C重合，则实数λ的取值范围是________.
解析 因为对角线AC对应的向量＝＋，所以＝λ.又点P在AC上，且不与A，C重合，故0<λ<1.
答案 (0，1)
三、解答题
9.如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，求(用a，b表示).
解 ＝＋＋
＝－＋＋＝－－＋(＋)＝－b－a＋(a＋b)＝b－a＝(b－a).
10.已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：EF∥HG且EF＝HG.
证明 如图＝－，＝－，而＝－＝，＝－＝.所以＝，即EF∥HG且EF＝HG.
能力提升
11.已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则( )
A.P在△ABC内部
B.P在△ABC外部
C.P在AB边上或其延长线上
D.P在AC边上
解析 由已知得＋＋＝－，
∴＝－2，∴P在AC边上.
答案 D
12.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足＝＋.求证：A，B，C三点共线，并求的值.
解 ∵＝＋，∴－＝－，∴＝.
又，有公共点B，∴A，B，C三点共线.
又易知＝－，∴＝.
创新猜想
13.(多空题)如图，在△ABC中，AD＝2DB，AE＝EC，BE与CD相交于点P，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＝________，y＝________.
解析 ∵D，P，C三点共线，故设＝λ，同理可设＝μ，
由题可知＝＋＝＋λ
＝＋λ(－)＝＋λ
＝(1－λ)＋λ，
又＝＋＝＋μ＝＋μ(－)
＝＋μ＝μ＋(1－μ)，
所以可得解得
故＝＋，所以x＝，y＝.
答案
14.已知向量e1，e2是两个共线向量，若a＝e1－e2，b＝2e1＋2e2，求证：a∥b.
证明 ①若e1＝e2＝0，则a＝b＝0，∴a与b共线，即a∥b.②若e1，e2至少有一个不为零向量，不妨设e1≠0，则e2＝λe1(λ∈R)，且a＝(1－λ)e1，b＝2(1＋λ)e1，
∴a∥e1，b∥e1.而e1≠0，∴a∥b.综上可证得a∥b.
课件26张PPT。6.1.5 向量的线性运算教材知识探究提示3 一定成立.1.向量的加法与数乘向量的混合运算向量的减法可化成向量的加法，a－b＝a＋(－b)(1)运算规则
一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，总是规定要先算 ，再算向量 .
(2)运算律
一般地，对于实数λ与μ，以及向量a，有λa＋μa＝ .
一般地，对于任意实数λ，以及向量a与b，有λ(a＋b)＝ .数乘向量加法(λ+μ)aλa+ λb2.向量的线性运算(1)定义
向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算.
(2)
向量的线性运算，总规定要先计算 ，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算 .
事实上，当一个向量的线性运算中含有括号时，我们可以用 运算中拆括号的方式来去掉其中的括号.结果仍为向量运算法则若遇到括号有两种处理方式数乘向量括号内各项类似多项式教材拓展补遗
[微判断]
1.a－b可以看作a＋(－b).( )
2.向量减法改写为向量加法后也满足加法的交换律、结合律.( )
3.存在实数λ，μ，k，使λa＋μb＋kc＝0.( )
提示 向量线性运算的结果仍为向量，故不存在实数λ，μ，k，使λa＋μb＋kc
＝0.√√×答案 D2.4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A.a－2b B.a
C.a－6b D.a－8b
解析 原式＝4a－4b－3a－3b－b
＝(4－3)a－(4＋3＋1)b＝a－8b.
答案 D[微思考]
1.M为线段AB的中点的充要条件是什么？2.对于任意向量a，b及任意实数λ，μ1，μ2，λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b是否恒成立？
提示 恒成立.解 (1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b；规律方法 向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形.题型二 把所有项移到同一端时，另一端是0而不是0向量方程(组)解 (1)原方程可变为5x＋5a＋3x－3b＝0.规律方法 (1)本题型也属于用已知向量表示其它向量.
(2)解关于未知向量的方程或方程组，它与解关于未知数的方程或方程组是类似的，在计算过程中应遵守向量加、减法及数乘向量的运算律.规律方法 (1)证向量平行，用b＝λa.
(2)证三点共线，除证明两向量平行外还需要两向量有公共点.(2)因为e1，e2共线，所以存在λ∈R，使e1＝λe2，
所以a＝3e1＋4e2＝(3λ＋4)e2，b＝6e1－8e2＝(6λ－8)e2.综上，a与b共线，即a∥b.一、素养落地
1.通过学习向量的线性运算，提升数学运算、逻辑推理素养.
2.向量的线性运算要注意使用运算律展开括号，合并向量等.
3.注意证向量共线与证三点共线的差别.答案 B答案 B3.已知e是单位向量，且a＝3e，b＝－2e，则|a＋3b|＝________.
解析 |e|＝1，a＝3e，b＝－2e，∴|a＋3b|＝|3e－6e|＝|－3e|＝3|e|＝3.
答案 3
