6.2 向量基本定理与向量的坐标
6.2.1 向量基本定理
课标要求
素养要求
1.掌握共线向量基本定理.
2.掌握平面向量基本定理.
通过共线向量基本定理与平面向量基本定理的应用，提升学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
教材知识探究
通过上节课学习，我们知道可用结论“当存在实数λ，使得b＝λa时，b∥a”判定两向量平行.对这个结论，思考下面的问题.
问题1 若实数λ不存在，b∥a什么条件下成立？
问题2 若实数λ存在且唯一，a∥b什么条件下成立？
问题3 若实数λ存在且不唯一，a∥b什么条件下成立？
提示1 a＝0，b≠0.
提示2 a≠0.
提示3 a＝0且b＝0.
1.共线向量基本定理
(1)基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.
(2)定理理解：在共线向量基本定理中：
①b＝λa时，通常称为b能用a表示.
②其中的“唯一”指的是，如果还有b＝μa，则有λ＝μ.这是因为：由λa＝μa可知(λ－μ)a＝0，如果λ－μ≠0，则a＝0，与已知矛盾，所以λ－μ＝0，即λ＝μ.
(3)三点共线的充要条件：
如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得＝λ.
已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得＝(1－t)＋t，即存在实数x，y，使得＝x＋y(x＋y＝1).
2.平面向量基本定理
(1)平面向量的基底
平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式.
(2)平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.
教材拓展补遗
[微判断]
1.“当存在实数λ，使得b＝λa时，b∥a”的逆命题是真命题.(×)
提示 逆命题“当b∥a时，则存在实数λ，使得b＝λa”是假命题，例如当a＝0，b≠0，使b＝λa的实数λ不存在.
2.任意两个向量可在同一平面内.(√)
3.平面向量的基底{a，b}是唯一的.(×)
提示 任意两个不共线向量都可以作为平面向量的基底.
4.在平面向量基底{a，b}下，该平面内任一向量c在该基底的分解式是唯一的.(√)
[微训练]
1.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则( )
A.k＝0 B.k＝1
C.k＝2 D.k＝
解析 当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.
∴n＝2m，此时，m，n共线.
答案 D
2.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2
解析 B中，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底.
答案 B
3.如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________.
解析 由题图可知，＝4e1＋3e2.
答案 ＝4e1＋3e2
[微思考]
1.如果3＝＋2，那么A，B，C三点一定共线吗？
提示 由3＝＋2，可得＝＋，且＋＝1，∴A，B，C一定共线.
2.在平面向量基底{e1，e2}下，
(1)若λ1e1＋μ1e1＝λ2e2＋μ2e2，则λ1，λ2，μ1，μ2有什么关系？
(2)若λe1＋μe2＝0，则λ，μ的值是多少？
(3)若λe1＝μe2，则λ，μ的值是多少？
提示 (1)λ1＝λ2，μ1＝μ2.(2)λ＝μ＝0.
(3)λ＝μ＝0.
题型一 共线向量基本定理的应用
【例1】 已知向量m，n是不共线向量，a＝3m＋2n，b＝6m－4n，c＝m＋xn.
(1)判断a，b是否平行；
(2)若a∥c，求x的值.
解 (1)显然a为非零向量，若a∥b，则存在实数λ，使得b＝λa，即6m－4n＝λ(3m＋2n)，
∴∴∴λ不存在.∴a与b不平行.
(2)∵a∥c，∴存在实数r，使得c＝ra.
∴m＋xn＝r(3m＋2n).
∴∴∴x＝.
规律方法 1.利用共线向量基本定理可解决两类向量问题：①判定向量平行(先假设平行，用基本定理列方程，根据λ1e1＋μ1e2＝λ2e1＋μ2e2，其中e1，e2不共线，列实数方程组，求解)；②已知向量求参数.
2.判定向量平行还可用结论“当存在实数λ，使得b＝λa时，b∥a”.
3.证三点共线：用三点共线的两个充要条件.
【训练1】 已知非零向量e1，e2不共线.
(1)如果＝e1－e2，＝2e1－8e2，＝3(e1＋e2)，求证A，B，D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值.
解 (1)因为＝e1－e2，
＝＋＝2e1－8e2＋3e1＋3e2＝5(e1－e2)＝5，
所以，共线，又，有公共点B，
所以A，B，D三点共线.
(2)要使ke1＋e2与e1＋ke2共线，
则存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
即(k－λ)e1＝(λk－1)e2.
由于e1与e2不共线，
故所以k＝±1.
题型二 用基底表示向量
【例2】 如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，
＝，若＝a，＝b，
试用a，b将，，表示出来.
解 ＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－＝－－(－)＝－b－(a－b)＝－a＋b，
＝－＝－(＋)＝(a＋b).
规律方法 (1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合.
(2)将向量c用a，b表示，常采用待定系数法，其基本思路是设c＝xa＋yb，其中x，y∈R，然后得到关于x，y的方程组求解.
【训练2】 如图，四边形OADB是以向量＝a，＝b为边的平行四边形.又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，.
解 ＝＝＝(－)＝(a－b)，
∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.
∵＝＝，
∴＝＋＝＋
＝＝(＋)＝(a＋b).
＝－＝(a＋b)－＝a－b.
题型三 平面向量基本定理的应用
【例3】 如图，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值.
解 设＝e1，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1，
＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ，使得＝λ＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，
由平面向量基本定理，得解得
∴＝，∴AP∶PM＝4∶1.
规律方法 (1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线.注意方程思想的应用.(2)用基底表示向量也是用向量解决问题的基础.应根据条件灵活应用，熟练掌握.
【训练3】 如图，已知△OAB中，延长BA到C，使AB＝AC，D是将分成2∶1的一个分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值.
解 (1)∵A为BC的中点，
∴＝(＋)，∴＝2－＝2a－b.
＝－＝－
＝2a－b－b＝2a－b.
(2)∵＝λ，∴＝－＝λ－
＝λa－2a＋b＝(λ－2)a＋b.
∵与共线，∴存在实数m，使得＝m，
即(λ－2)a＋b＝m，
即(λ＋2m－2)a＋b＝0.
∵a，b不共线，∴解得λ＝.
一、素养落地
1.通过学习向量基本定理，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
2.判定向量平行的结论结合共线向量基本定理及其推论能解决共线问题.
3.准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.
二、素养训练
1.若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A.e1－e2，e2－e1 B.2e1－e2，e1－e2
C.2e2－3e1，6e1－4e2 D.2e1＋e2，e1－2e2
解析 选项A、B、C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底.
答案 D
2.已知O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，且P为靠近A点的线段AB的一个三等分点，则等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析 ∵＝，
∴＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋＝a＋b.
答案 B
3.已知向量a，b不共线，且ka＋3b与2a＋kb共线，则实数k的值为________.
解析 因为ka＋3b与2a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋3b＝λ(2a＋kb)，
即ka＋3b＝2λa＋λkb，即(k－2λ)a＝(λk－3)b.
由于a，b不共线，
所以解得k＝±.
即实数k的值为或－.
答案 ±
4.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，.
解 法一 设＝a，＝b，
则a＝＋＝d＋，①
b＝＋＝c＋.②
将②代入①，得a＝d＋，
∴a＝d－c＝(2d－c)，③
将③代入②，得b＝c＋×(2d－c)＝(2c－d).∴＝(2d－c)，＝(2c－d).
法二 设＝a，＝b.因M，N分别为CD，BC的中点，
所以＝b，＝a，
因而?
即＝(2d－c)，＝(2c－d).
基础达标
一、选择题
1.设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与向量－(b－2a)共线，则λ＝( )
A.0 B.－0.5 C.－2 D.0.5
解析 依题意知向量a＋λb与2a－b共线，故设a＋λb＝k(2a－b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，所以解得
答案 B
2.如图所示，平面内的两条直线OP1和OP2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若＝a＋b，且点P落在第Ⅰ部分，则实数a，b满足( )
A.a>0，b>0 B.a>0，b<0
C.a<0，b>0 D.a<0，b<0
解析 当点P落在第Ⅰ部分时，按向量与分解时，一个与反向，一个与同向，故a<0，b>0.
答案 C
3.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为( )
A.3 B.－3
C.0 D.2
解析 由平面向量基本定理得
∴x＝6，y＝3.∴x－y＝3.
答案 A
4.已知，，的终点A，B，C在一条直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则下列等式成立的是( )
A.r＝－p＋q B.r＝－p＋2q
C.r＝p－q D.r＝－q＋2p
解析 r＝＝＋＝－3＝－3(－)＝p－3q＋3r，所以2r＝3q－p，r＝－p＋q，选A.
答案 A
5.设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A.＝－＋ B.＝－
C.＝＋ D.＝－
解析 ∵＝3，∴－＝3(－)，
即4－＝3，∴＝－＋.
答案 A
二、填空题
6.已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________.
解析 若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线.又a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，故由a≠kb即得λ≠4.
答案 (－∞，4)∪(4，＋∞)
7.如图，在平行四边形ABCD中，点O为AC的中点，点N为OB的中点，设＝a，＝b，若用a，b来表示向量，则＝________.
解析 ＝＝(b－a)，＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
答案 a＋b
8.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.
解析 易知＝＋＝＋(－)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝.
答案
三、解答题
9.已知两个不共线向量e1，e2，且＝2e1＋λe2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.若A，B，D三点共线，试求实数λ的值.
解 由＝e1＋3e2，＝2e1－e2
得＝－＝e1－4e2.
又＝2e1＋λe2，且A，B，D三点共线，所以存在实数μ，使得＝μ，即2e1＋λe2＝μ(e1－4e2).
又e1，e2不共线，所以从而λ＝－8.
10.如图所示，在△ABC中，点M为AB的中点，且＝，与相交于点E，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示.
解 ∵＝＝b，＝＝a，
由N，E，B三点共线知存在实数λ满足＝λ＋(1－λ)＝λb＋(1－λ)a.
由C，E，M三点共线知存在实数μ满足
＝μ＋(1－μ)＝a＋(1－μ)b.
∴解得∴＝a＋b.
能力提升
11.在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析 如图，∵∠1＝∠2，∴＝＝，
∴＝＝(－)＝(b－a)，
∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
答案 B
12.如图所示，?ABCD中，E，F分别为AB，AD边上的点且||＝||，||＝||，连接CE，BF，记CE∩BF＝P，求.
解 设＝λ，
则＝λ(＋)＝λ＋.
又∵B，P，F三点共线，
∴存在μ使＝μ＋(1－μ)＝μ＋(1－μ)(＋)＝μ＋(1－μ)＝μ＋(1－μ)＋(1－μ)＝＋(1－μ).
∴
解方程组得λ＝，即＝.∴＝.
创新猜想
13.(多空题)已知单位圆O上的两点A，B及单位圆所在平面上的一点P，与不共线.
(1)在△OAB中，点P在AB上，且＝2，若＝r＋s，则r＋s＝________；
(2)P满足＝m＋(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，则m＝________.
解析 (1)∵＝2，∴＝，
∴＝(－)＝－，
又∵＝r＋s，
∴r＝，s＝－，∴r＋s的值为0.
(2)∵四边形OABP为平行四边形，∴＝＋.
又∵＝m＋，∴＝＋(m＋1).
依题意，是非零向量且不共线，
∴m＋1＝0，解得m＝－1.
答案 (1)0 (2)－1
14.设点I为△ABC的内心，AB＝AC＝5，BC＝6，且＝λ＋μ，求λ，μ的值.
解 如图所示，连接BI，CI，延长AI交BC于点D，则AD⊥BC.
因为AB＝AC＝5，BC＝6，所以AD＝4.
设△ABC的内切圆半径为r，则S△ABC＝S△AIC＋S△BIA＋S△BIC，
即BC·AD＝AC·r＋AB·r＋BC·r，解得r＝.所以＝＝×(＋)＝(＋－)＝(2＋)＝＋.所以λ＝，μ＝.
课件34张PPT。6.2 向量基本定理与向量的坐标
6.2.1 向量基本定理教材知识探究通过上节课学习，我们知道可用结论“当存在实数λ，使得b＝λa时，b∥a”判定两向量平行.对这个结论，思考下面的问题.
问题1 若实数λ不存在，b∥a什么条件下成立？
问题2 若实数λ存在且唯一，a∥b什么条件下成立？
问题3 若实数λ存在且不唯一，a∥b什么条件下成立？
提示1 a＝0，b≠0.
提示2 a≠0.
提示3 a＝0且b＝0.1.共线向量基本定理
(1)基本定理：如果 且b∥a，则存在 的实数λ，使得b＝λa.
(2)定理理解：在共线向量基本定理中：
①b＝λa时，通常称为b能用a表示.
②其中的“唯一”指的是，如果还有b＝μa，则有 .这是因为：由λa＝μa可知(λ－μ)a＝0，如果λ－μ≠0，则a＝0，与已知矛盾，所以λ－μ＝0，即λ＝μ.a≠0唯一λ=μ2.平面向量基本定理
(1)平面向量的基底
平面内 的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的 .
(2)平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在 的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.不共线分解式唯一教材拓展补遗
[微判断]
1.“当存在实数λ，使得b＝λa时，b∥a”的逆命题是真命题.( )
提示 逆命题“当b∥a时，则存在实数λ，使得b＝λa”是假命题，例如当a＝0，b≠0，使b＝λa的实数λ不存在.
2.任意两个向量可在同一平面内.( )
3.平面向量的基底{a，b}是唯一的.( )
提示 任意两个不共线向量都可以作为平面向量的基底.
4.在平面向量基底{a，b}下，该平面内任一向量c在该基底的分解式是唯一的.( )×√×√答案 D2.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2
解析 B中，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底.
答案 B2.在平面向量基底{e1，e2}下，
(1)若λ1e1＋μ1e1＝λ2e2＋μ2e2，则λ1，λ2，μ1，μ2有什么关系？
(2)若λe1＋μe2＝0，则λ，μ的值是多少？
(3)若λe1＝μe2，则λ，μ的值是多少？
提示 (1)λ1＝λ2，μ1＝μ2.(2)λ＝μ＝0.
(3)λ＝μ＝0.题型一 共线向量基本定理的应用
【例1】 已知向量m，n是不共线向量，a＝3m＋2n，b＝6m－4n，c＝m＋xn.
(1)判断a，b是否平行；
(2)若a∥c，求x的值.
解 (1)显然a为非零向量，若a∥b，则存在实数λ，使得b＝λa，即6m－4n＝λ(3m＋2n)，(2)∵a∥c，∴存在实数r，使得c＝ra.
∴m＋xn＝r(3m＋2n).规律方法 1.利用共线向量基本定理可解决两类向量问题：①判定向量平行(先假设平行，用基本定理列方程，根据λ1e1＋μ1e2＝λ2e1＋μ2e2，其中e1，e2不共线，列实数方程组，求解)；②已知向量求参数.
2.判定向量平行还可用结论“当存在实数λ，使得b＝λa时，b∥a”.
3.证三点共线：用三点共线的两个充要条件. (2)要使ke1＋e2与e1＋ke2共线，
则存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
即(k－λ)e1＝(λk－1)e2.
由于e1与e2不共线，规律方法 (1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合.
(2)将向量c用a，b表示，常采用待定系数法，其基本思路是设c＝xa＋yb，其中x，y∈R，然后得到关于x，y的方程组求解.题型三 平面向量基本定理的应用
【例3】 如图，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值.∵A，P，M和B，P，N分别共线，规律方法 (1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线.注意方程思想的应用.(2)用基底表示向量也是用向量解决问题的基础.应根据条件灵活应用，熟练掌握.解 (1)∵A为BC的中点，一、素养落地
1.通过学习向量基本定理，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
2.判定向量平行的结论结合共线向量基本定理及其推论能解决共线问题.
3.准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.解析 选项A、B、C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底.
答案 D答案 B3.已知向量a，b不共线，且ka＋3b与2a＋kb共线，则实数k的值为________.
解析 因为ka＋3b与2a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋3b＝λ(2a＋kb)，
即ka＋3b＝2λa＋λkb，即(k－2λ)a＝(λk－3)b.
由于a，b不共线，
