6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
课标要求
素养要求
1.理解直线上向量的坐标的定义.
2.掌握直线上向量的运算与坐标的关系.
通过对直线上向量的坐标定义的理解，提升学生的数学抽象、直观想象素养；通过直线上向量坐标的运算，提升学生的数学运算素养.
教材知识探究
我们在必修第一册上已学过了数轴上点的坐标，如图，已知A(－1)，B(2).
问题1 对应的向量坐标是多少？
问题2 对应的向量坐标是多少？
提示1 3.
提示2 －3.
1.直线上向量的坐标 0的坐标是零，单位向量e的坐标是1
(1)给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时，x称为向量a的坐标.如果直线上向量a的坐标为x，则x既能刻画a的模，也能刻画向量a的方向.事实上，此时|a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|；而且：当x>0时，a的方向与e的方向相同；当x＝0时，a是零向量；当x<0时，a的方向与e的方向相反.
(2)直线上向量的坐标还可以按如下方式来直观理解：如图所示，在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴，对于l上的任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么a的终点对应的数就是向量a的坐标.
如果数轴上一点A对应的数为x(记为A(x)，也称点A的坐标为x)，那么向量对应的坐标为x；反之，这一结论也成立.
2.直线上向量的运算与坐标的关系 坐标运算的结果是实数
(1)假设直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2，即a＝x1e，b＝x2e.当a＝b时，有x1e＝x2e，由e是单位向量可知x1＝x2；反之，结论也成立.
(2)因为a＋b＝x1e＋x2e＝(x1＋x2)e，所以a＋b的坐标是x1＋x2，a－b的坐标是x1－x2，ua＋vb的坐标是ux1＋vx2，ua－vb的坐标是ux1－vx2.
(3)数轴上两点之间的距离公式与数轴上的中点坐标公式.
设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，M(x)是线段AB的中点，则AB＝||＝|x2－x1|.x＝.
教材拓展补遗
[微判断]
1.向量总是由它的起点和终点的相对位置确定.(√)
2.在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定.(√)
3.直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等.(√)
4.直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.(√)
[微训练]
1.下列叙述正确的是( )
①单位向量e的方向就是数轴的正方向
②向量坐标的正负确定了向量的方向
③直线上向量的坐标是一个实数
④数轴上向量的坐标就是它的终点A的坐标
A.① B.②③
C.①④ D.①②③④
解析 由直线上向量的坐标的定义知，①②③④都正确，故选D.
答案 D
2.数轴上，A(x)，B(2)，若||＝1，则x＝________.
解析 由题意|x－2|＝1，即x－2＝±1，∴x＝3或x＝1.
答案 3或1
3.数轴上A(2)，B(x)，AB的中点M(－1)，则x＝________.
解析 由题意得－1＝，
∴x＝－4.
答案 －4
[微思考]
直线上向量的起点都认为起点为原点O，则直线上的向量与直线上的点是一一对应吗？
提示 一一对应.
题型一 直线上的向量坐标
【例1】 已知e是直线l上的一个单位向量，向量a与b都是直线l上的向量，分别在下列条件下写出a与b的坐标：
(1)a＝2e，b＝－3e；(2)a＝－e，b＝4e.
解 (1)∵e的坐标为1，又a＝2e，b＝－3e，
∴a的坐标为2，b的坐标为－3.
(2)∵e的坐标为1，又a＝－e，b＝4e，
∴a的坐标为－，b的坐标为4.
规律方法 为了求出直线上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种：
(1)将向量用单位向量表示出来；
(2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标.
【训练1】 如图所示，求出向量a，b的坐标.
解 因为向量a的起点在原点，因此由a的终点坐标可知a的坐标为－1；把向量b的起点平移到原点，则其终点坐标为2，故b的坐标为2.
题型二 直线上向量坐标的线性运算
【例2】 已知直线上向量a的坐标为－3，b的坐标为4，求下列向量的坐标：
(1)a－b；(2)b；(3)－2a＋3b.
解 (1)a－b的坐标为－3－4＝－7.
(2)b的坐标为×4＝.
(3)－2a＋3b的坐标为(－2)×(－3)＋3×4＝18.
规律方法 若a，b的坐标分别为x1，x2，则
a＋b的坐标为x1＋x2，
a－b的坐标为x1－x2，
λa的坐标为λx1，
ua＋vb的坐标为ux1＋vx2，
ua－vb的坐标为ux1－vx2.
【训练2】 已知A，B都是数轴上的点，A(－3)，且的坐标为－5，求点B的坐标.
解 设B(x)，则x－(－3)＝－5，∴x＝－8.
题型三 数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式
【例3】 已知A，B，C为数轴上三点，且xA＝－2，xB＝6，试求符合下列条件的点C的坐标.
(1)AC＝10；(2)||＝3||.
解 (1)∵AC＝10，∴|xC－xA|＝10，∴xC＝xA±10，
∴xC＝－12或8.
(2)∵||＝3||，∴|xC－xA|＝3|xC－xB|，
即|xC＋2|＝3|xC－6|，∴xC＋2＝3(xC－6)或xC＋2＝－3(xC－6)，∴xC＝10或4.
规律方法 注意题目中AC与的含义不一样，AC＝||＝|xC－xA|，解题时要注意区分，避免出错.
【训练3】 设数轴上两点A，B的坐标分别为2，－6，求：
(1)向量的坐标，以及A与B的距离；
(2)线段AB中点的坐标.
解 (1)由题意得的坐标为2，的坐标为－6，又因为＝－，所以的坐标为－6－2＝－8，而且AB＝||＝|－8|＝8.
(2)设线段AB中点的坐标为x，则x＝＝－2.
一、素养落地
1.通过学习直线上向量的坐标及其运算，提升数学抽象、直观想象和数学运算素养.
2.掌握求直线上向量坐标的两种方法，能熟练地进行直线上向量坐标的线性运算.
3.能运用数轴上两点之间的距离公式、中点坐标公式求距离或确定点的坐标.
二、素养训练
1.已知直线上，的坐标分别为－1，2，则下列结论不正确的是( )
A.< B.||<||
C.||＝3 D.AB的中点坐标为
解析 向量不能比较大小，故A不正确.
答案 A
2.数轴上的向量a的模为1，则a的坐标为( )
A.1 B.－1
C.±1 D.不能确定
解析 设a的坐标为x，
∵|a|＝1，∴|xe|＝|x||e|＝|x|＝1，∴x＝±1.
答案 C
3.数轴上点A(－3)关于点M(2)的对称点为B(x)，则x＝________.
解析 由题意知M是AB的中点，∴2＝，x＝7.
答案 7
4.已知a，b是直线上的向量，a的坐标为1，且|3a－2b|＝1，求b的坐标.
解 设b的坐标为x，则|3×1－2x|＝1，即3－2x＝±1，
∴x＝1或x＝2，即向量b的坐标为1或2.
基础达标
一、选择题
1.下列叙述正确的是( )
A.直线上的向量坐标为实数，所以向量是实数
B.直线上的向量坐标为实数，所以直线上的向量能比较大小
C.如果直线上两个向量的坐标均大于零，则这两个向量能比较大小
D.如果直线上的两个向量的坐标相等，则这两个向量相等
解析 根据直线上向量坐标的含义知只有D正确.
答案 D
2.下列结论正确的个数是( )
①数轴上的向量，其方向只有两种 ②直线上的向量有可能相等 ③直线上的向量线性运算的结果仍为向量 ④数轴上的向量都默认为起点在原点
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 ①②③正确.
答案 C
3.已知a，b是直线上的向量，满足|a－b|＝1的是( )
A.a，b的坐标分别为－1，＋1
B.a，b的坐标分别为0，2
C.a，b的坐标分别为－1，0
D.a，b的坐标分别为－2，0
解析 利用直线上向量的运算验证，易知C正确.
答案 C
4.已知a，b是直线上的向量，且a，b的坐标分别为3，－5，使|λa＋μb|＝1的实数对(λ，μ)( )
A.只有一个 B.只有二个
C.不存在 D.有无穷多个
解析 由题意知|3λ－5μ|＝1，λ，μ∈R，故实数对(λ，μ)有无穷多个.
答案 D
5.已知a，b是数轴上的向量，且满足|a＋b|＝|a|＋|b|，下列叙述正确的是( )
A.a，b都与数轴正方向相同
B.a，b都与数轴正方向相反
C.a，b中一个与数轴正方向相同，另一个与数轴正方向相反
D.a，b都与数轴的正方向相同或相反，或者a，b中至少有一个为零向量
解析 设a，b的坐标分别为x，y，则|x＋y|＝|x|＋|y|，所以x，y同号或至少有一个为零，故选D.
答案 D
二、填空题
6.数轴上，A(－2)关于原点O的对称点是B(x)，点O与点C(y)的中点是B.则x＝________，y＝________.
解析 由题意知0＝，∴x＝2，
x＝2＝，∴y＝4.
答案 2 4
7.已知e是直线l上的一个单位向量，直线l上向量a对应的坐标为x，下列命题正确的有________(填序号).
(1)|e|＝1；(2)|a|＝x；(3)a＝xe；(4)|a|＝|x|.
解析 (1)(3)(4)正确.
答案 (1)(3)(4)
8.已知a，b是直线上的向量，则λa＋μb(λ，μ∈R)与a，b的关系是________(填“共线”或“不共线”).
解析 令a＝λ′e，b＝μ′e，则λa＋μb＝(λλ′＋μμ′)e，
∴λa＋μb与a，b都共线.
答案 共线
三、解答题
9.如图所示，求出直线上向量a，b的坐标.
解 因为a的始点在原点，因此由a的终点坐标可知a的坐标为2.
因为b＝－4e，所以b的坐标为－4.
10.设数轴上两点A，B的坐标分别为－1，3，求：
(1)向量的坐标，以及A与B的距离；
(2)线段AB中点的坐标.
解 (1)向量的坐标为3－(－1)＝4，
AB＝||＝4.
(2)线段AB的中点坐标为＝1.
能力提升
11.已知a，b是直线上的向量，满足2a＋3b＝e的一组向量a，b的坐标分别为________.
解析 设a，b的坐标分别为x，y，则2x＋3y＝1，令x＝，则y＝0.
答案 ，0(答案不唯一)
12.已知e是直线l上的一个单位向量，a与b都是直线l上的向量，且a＝e，b＝－e，求|a|，|b|，|a＋b|，|2a－3b|.
解 由题意知a，b的坐标分别为，－，
∴|a|＝，|b|＝，a＋b的坐标为－＝－，
2a－3b的坐标为2×－3×＝，
∴|a＋b|＝，|2a－3b|＝.
创新猜想
13.(多选题)已知a，b是同一直线上的向量，下列选项中一定不成立的是( )
A.||a|－|b||<|a＋b|
B.||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|
C.|a＋b|＝|a－b|
D.|a|＋|b|＝|a＋b|
解析 ∵a与b共线，∴A，B一定不成立；对C，当b＝0时成立；对D，当a，b同方向或a，b有一个为0时成立.
答案 AB
14.(1)如图，已知点C是直线AB上一点，且AB＝2BC.用分别表示，.
(2)已知点C是直线AB上一点，且||＝2||.若＝λ，求λ的值.
解 (1)由已知可得＝2，即＝，
∴＝－＝－，
＝＋＝＋＝.
(2)∵A，B，C三点共线且||＝2||，
∴＝±2，而＝λ，∴λ＝±2.
课件24张PPT。6.2.2 直线上向量的坐标及其运算教材知识探究问题1 对应的向量坐标是多少？
问题2 对应的向量坐标是多少？
提示1 3.
提示2 －3.我们在必修第一册上已学过了数轴上点的坐标，如图，已知A(－1)，B(2).1.直线上向量的坐标(1)给定一条直线l以及这条直线上一个 e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在 的实数x，使得a＝xe，此时，x称为向量a的坐标.如果直线上向量a的坐标为x，则x既能刻画a的模，也能刻画向量a的方向.事实上，此时|a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|；而且：当x>0时，a的方向与e的方向 ；当x＝0时，a是零向量；当x<0时，a的方向与e的方向 .0的坐标是零，单位向量e的坐标是1单位向量唯一相同相反(2)直线上向量的坐标还可以按如下方式来直观理解：如图所示，在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向为 ，e的模为 建立数轴，对于l上的任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到 O，那么a的 对应的数就是向量a的坐标.正方向单位长度原点终点x2.直线上向量的运算与坐标的关系坐标运算的结果是实数=x1＋x2x1-x2ux1＋vx2ux1-vx2|x2－x1|教材拓展补遗
[微判断]
1.向量总是由它的起点和终点的相对位置确定.( )
2.在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定.( )
3.直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等.( )
4.直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.( )√√√√解析 由直线上向量的坐标的定义知，①②③④都正确，故选D.
答案 D解析 由题意|x－2|＝1，即x－2＝±1，∴x＝3或x＝1.
答案 3或13.数轴上A(2)，B(x)，AB的中点M(－1)，则x＝________.答案 －4[微思考]
直线上向量的起点都认为起点为原点O，则直线上的向量与直线上的点是一一对应吗？
提示 一一对应.解 (1)∵e的坐标为1，又a＝2e，b＝－3e，
∴a的坐标为2，b的坐标为－3.规律方法 为了求出直线上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种：
(1)将向量用单位向量表示出来；
(2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标.【训练1】 如图所示，求出向量a，b的坐标.
解 因为向量a的起点在原点，因此由a的终点坐标可知a的坐标为－1；把向量b的起点平移到原点，则其终点坐标为2，故b的坐标为2.解 (1)a－b的坐标为－3－4＝－7.(3)－2a＋3b的坐标为(－2)×(－3)＋3×4＝18.规律方法 若a，b的坐标分别为x1，x2，则
a＋b的坐标为x1＋x2，
a－b的坐标为x1－x2，
λa的坐标为λx1，
ua＋vb的坐标为ux1＋vx2，
ua－vb的坐标为ux1－vx2.解 设B(x)，则x－(－3)＝－5，∴x＝－8.解 (1)∵AC＝10，∴|xC－xA|＝10，∴xC＝xA±10，
∴xC＝－12或8.一、素养落地
1.通过学习直线上向量的坐标及其运算，提升数学抽象、直观想象和数学运算素养.
2.掌握求直线上向量坐标的两种方法，能熟练地进行直线上向量坐标的线性运算.
3.能运用数轴上两点之间的距离公式、中点坐标公式求距离或确定点的坐标.解析 向量不能比较大小，故A不正确.
答案 A2.数轴上的向量a的模为1，则a的坐标为( )
A.1 B.－1
C.±1 D.不能确定
解析 设a的坐标为x，
∵|a|＝1，∴|xe|＝|x||e|＝|x|＝1，∴x＝±1.
答案 C3.数轴上点A(－3)关于点M(2)的对称点为B(x)，则x＝________.答案 74.已知a，b是直线上的向量，a的坐标为1，且|3a－2b|＝1，求b的坐标.
解 设b的坐标为x，则|3×1－2x|＝1，即3－2x＝±1，
∴x＝1或x＝2，即向量b的坐标为1或2.
