6.2.3 平面向量的坐标及其运算
第一课时 平面向量的坐标、平面向量的运算与坐标的关系
课标要求
素养要求
1.理解平面向量的坐标的定义.
2.掌握平面向量的运算与坐标的关系.
通过对平面向量的坐标定义的理解，提升学生的数学抽象、直观想象素养；通过平面向量的坐标运算，提升学生的数学运算素养.
教材知识探究
通过上节学习我们知道，以单位向量e为基底建立数轴，则数轴上的向量坐标等于它的终点坐标，类似地，请思考：
问题1 平面直角坐标系的基底应满足什么条件？
问题2 在直角坐标系中(如图)，向量应怎样用基底表示？
问题3 若点A的坐标为(x，y)，则向量的坐标与(x，y)有什么关系？
提示1 基底{i，j}中，i，j为单位向量且相互垂直.
提示2 ＝xi＋yj.
提示3 的坐标也是(x，y).
1.平面向量的坐标
(1)向量垂直 0与任意向量既平行又垂直
平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b，并规定零向量与任意向量都垂直.
(2)正交基底、向量的正交分解
如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.
(3)平面向量的坐标 以原点为起点的向量的坐标等于它的终点坐标
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).
2.平面上向量的运算与坐标的关系
(1)平面向量线性运算的坐标表示
假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R).
(2)向量模的坐标计算公式
如果向量a＝(x，y)，则|a|＝.
教材拓展补遗
[微判断]
1.平面直角坐标系可理解为：在平面上指定一点O作为原点，以e1的方向为x轴的正方向，以e2的方向为y轴的正方向，以e1(或e2)的模为单位长度建立平面直角坐标系.(√)
2.平面向量的坐标等于它的终点的坐标.(×)
提示 平面向量的起点在原点时正确，否则不正确.
3.{e1，e2}(e1⊥e2，|e1|＝|e2|＝1)是平面向量的基底.(√)
[微训练]
1.已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，0)，那么向量3b－a的坐标是________.
解析 3b－a＝3(1，0)－(－1，2)＝(3，0)－(－1，2)＝(4，－2).
答案 (4，－2)
2.已知M(2，3)，N(3，1)，则的坐标是________.
解析 ＝(2，3)－(3，1)＝(－1，2).
答案 (－1，2)
3.在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝i－2j，则向量用坐标表示为a＝________.
解析 由向量坐标的定义知a＝(1，－2).
答案 (1，－2)
[微思考]
1.若一个向量与任意向量都垂直且平行，这个向量一定是0吗？
提示 一定是0.
2.有人认为：直线上的零向量只有两个方向，与数轴的正方向相同或相反；平面上的零向量方向是任意的，这种认识正确吗？
提示 不正确，0的方向是任意的.
3.向量的坐标一定等于它的终点坐标减去它的起点坐标吗？
提示 一定.
题型一 确定平面向量的坐标
【例1】 已知边长为1的正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，AB与x轴正半轴成30°角.
(1)求点B和点D的坐标和与的坐标；
(2)求||.
解 (1)设B(x1，y1)，D(x2，y2).
则x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，
所以B.
x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，
所以D.
所以＝，＝.
(2)由勾股定理，得||＝＝.
规律方法 确定平面向量坐标的常用方法.
(1)将向量用单位向量e1，e2表示出来；
(2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标；
(3)已知两点求向量的坐标时，用终点坐标减去起点坐标.
【训练1】 (1)已知{e1，e2}为单位正交基底且a＝3e1＋4e2，b＝－3e1，则a，b的坐标分别为________.
(2)如图，在正方形ABCD中，O为中心，且＝(－1，－1)，则＝________；＝________；＝________.
解析 (1)由平面向量坐标的定义知a＝(3，4)，b＝(－3，0).
(2)由题意知，＝－＝－(－1，－1)＝(1，1)，由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以＝(1，－1)，同理＝(－1，1).
答案 (1)(3，4)，(－3，0) (2)(1，－1) (1，1) (－1，1)
题型二 平面向量线性运算的坐标表示
【例2】 已知a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求a＋b，a－b，3a＋4b的坐标.
解 a＋b＝(2，1)＋(－3，4)＝(－1，5)，
a－b＝(2，1)－(－3，4)＝(5，－3)，
3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4)＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19).
规律方法 向量的坐标运算最终转化为实数的运算.
【训练2】 已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
解 (1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)
＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7).
(2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)
＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1).
(3)a－b＝(－1，2)－(2，1)
＝－＝.
题型三 向量线性运算坐标表示的应用
【例3】 已知a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，且有c＝pa＋qb.试求实数p，q的值.
解 ∵a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，
∴pa＋qb＝p(－1，2)＋q(1，－1)＝(－p＋q，2p－q).
∵c＝pa＋qb，∴
解得
故所求p，q的值分别为1，4.
规律方法 (1)根据平面向量基本定理，任意向量都可以用平面内不共线的两个向量表示，同样，任意向量的坐标都可用所选基向量的坐标表示出来.
(2)相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程(组).
【训练3】 已知A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，若＝2＋3，求点M的坐标.
解 由A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，得
＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)，
＝(－1－3，3－4)＝(－4，－1)，
∴＝2＋3＝2(－1，－8)＋3(－4，－1)
＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19).
设点M的坐标为(x，y)，则＝(x－3，y－4).
由向量相等，则坐标相同可得
解得
∴点M的坐标为(－11，－15).
一、素养落地
1.通过本节学习，提升数学抽象和数学运算素养.
2.在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系.关系图如图所示：
3.向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误.
二、素养训练
1.已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a等于( )
A.(－2，1) B.(2，－1)
C.(2，0) D.(4，3)
解析 b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)，故选B.
答案 B
2.已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是( )
A. B.
C.(－8，1) D.(8，1)
解析 ∵＝－＝(－8，1)，
∴＝.
答案 A
3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为________.
解析 设D点坐标为(x，y)，则＝(x，y－2)，
又＝(4，3)，
故由＝2，得∴∴D.
答案
4.已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，求向量的坐标.
解 设点A(x，y)，则x＝||cos 60°＝4cos 60°＝2，y＝||sin 60°＝
4sin 60°＝6，即A(2，6)，∴＝(2，6).
基础达标
一、选择题
1.已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b等于( )
A.(5，7) B.(5，9)
C.(3，7) D.(3，9)
解析 2a－b＝(4，8)－(－1，1)＝(5，7).
答案 A
2.已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A.－2，1 B.1，－2
C.2，－1 D.－1，2
解析 ∵a＝(1，2)，b＝(2，3)，∴λ1a＋λ2b＝λ1(1，2)＋λ2(2，3)＝(λ1＋2λ2，2λ1＋3λ2).故由c＝λ1a＋λ2b，得解得
答案 D
3.已知M(3，－2)，N(－5，－1)且＝，则点P的坐标为( )
A.(－8，1) B.
C. D.(8，－1)
解析 设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2).
又＝(－8，1)，故由＝，
得(x－3，y＋2)＝×(－8，1)，∴
∴x＝－1，y＝－.
答案 C
4.若a＝(5，x)，|a|＝13，则x＝( )
A.±5 B.±10
C.±12 D.±13
解析 由题意得|a|＝＝13，所以52＋x2＝132，解得x＝±12.
答案 C
5.已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( )
A. B.
C. D.
解析 ＝(3，－4)，所以||＝5，所以与同方向的单位向量是＝，选A.
答案 A
二、填空题
6.已知a＝(1，)，b＝(－2，0)，则|a＋b|＝________.
解析 因为a＋b＝(－1，)，
所以|a＋b|＝＝2.
答案 2
7.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1，2)，p＝(9，4)，若p＝ma＋nb，则m＋n＝________.
解析 ∵a＝(2，－3)，b＝(1，2)，∴ma＋nb＝m(2，－3)＋n(1，2)＝(2m＋n，－3m＋2n).
故由p＝ma＋nb，得解得
故m＋n＝7.
答案 7
8.已知A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝________.
解析 ∵＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)，
＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，
又2＝，即(2x－4，2y－6)＝(－1，2)，
∴ 解得 ∴x＋y＝.
答案
三、解答题
9.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC，BD的交点，＝(3，7)，＝(－2，1).求的坐标.
解 ＝－＝(－2，1)－(3，7)＝(－5，－6)，
∴＝＝(－5，－6)＝.
10.已知△ABC中，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N分别是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求.
解 因为A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，
所以＝(－4，－3)，＝(－3，－5).
又因为D是BC的中点，所以＝(＋)＝.又M，N分别为AB，AC的中点，
所以F为AD的中点，
故有＝＝－＝.
能力提升
11.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.
解析 以向量a，b的公共点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，
可得a＝(－1，1)，b＝(6，2)，
c＝(－1，－3)，
因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
所以，
解之得λ＝－2，且μ＝－，因此，＝＝4.
答案 4
12.已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10).若＝＋λ (λ∈R).
(1)试求λ为何值时，点P在第一、三象限的角平分线上？
(2)试求λ为何值时，点P在第三象限内？
解 ∵＝＋λ，
∴＝＋＝＋＋λ＝＋λ
＝(5，4)＋λ(5，7)＝(5＋5λ，4＋7λ).∴P(5＋5λ，4＋7λ).
(1)由5＋5λ＝4＋7λ，解得λ＝，
∴当λ＝时，点P在第一、三象限的角平分线上.
(2)由解得
∴λ<－1.
∴当λ<－1时，点P在第三象限内.
创新猜想
13.(多选题)下面说法正确的是( )
A.相等向量的坐标相同
B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C.一个坐标对应于唯一的一个向量
D.平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应
解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误，其余均正确.
答案 ABD
14.在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2).
(1)若＋＋＝0，求的坐标.
(2)若＝m＋n(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图像上，试求m－n.
解 (1)设点P的坐标为(x，y)，
因为＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y).
所以解得
所以点P的坐标为(2，2)，故＝(2，2).
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，
因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，
所以＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)，
＝(3，2)－(1，1)＝(2，1).因为＝m＋n，
所以(x0，y0)＝m(1，2)＋n(2，1)
＝(m＋2n，2m＋n)，所以
两式相减得m－n＝y0－x0，
又因为点P在函数y＝x＋1的图像上，
所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.
课件28张PPT。6.2.3 平面向量的坐标及其运算
第一课时 平面向量的坐标、平面向量的运算与坐标的关系教材知识探究通过上节学习我们知道，以单位向量e为基底建立数轴，则数轴上的向量坐标等于它的终点坐标，类似地，请思考：提示1 基底{i，j}中，i，j为单位向量且相互垂直.1.平面向量的坐标平面上的两个 向量a与b，如果它们所在的直线互相 ，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b，并规定 向量与任意向量都垂直.(1)向量垂直0与任意向量既平行又垂直非零垂直零(2)正交基底、向量的正交分解
如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1 e2，就称这组基底为 基底；在正交基底下向量的分解称为向量的 分解.(3)平面向量的坐标 一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称 为向量a的坐标，记作 .以原点为起点的向量的坐标等于它的终点坐标⊥正交正交(x,y)a=（x,y）(x1±x2，y1±y2)(λx1，λy1)(ux1±vx2，uy1±vy2)教材拓展补遗
[微判断]
1.平面直角坐标系可理解为：在平面上指定一点O作为原点，以e1的方向为x轴的正方向，以e2的方向为y轴的正方向，以e1(或e2)的模为单位长度建立平面直角坐标系.( )
2.平面向量的坐标等于它的终点的坐标.( )
提示 平面向量的起点在原点时正确，否则不正确.
3.{e1，e2}(e1⊥e2，|e1|＝|e2|＝1)是平面向量的基底.( )√×√[微训练]
1.已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，0)，那么向量3b－a的坐标是________.
解析 3b－a＝3(1，0)－(－1，2)＝(3，0)－(－1，2)＝(4，－2).
答案 (4，－2)答案 (－1，2)3.在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝i－2j，则向量用坐标表示为a＝________.
解析 由向量坐标的定义知a＝(1，－2).
答案 (1，－2)[微思考]
1.若一个向量与任意向量都垂直且平行，这个向量一定是0吗？
提示 一定是0.
2.有人认为：直线上的零向量只有两个方向，与数轴的正方向相同或相反；平面上的零向量方向是任意的，这种认识正确吗？
提示 不正确，0的方向是任意的.
3.向量的坐标一定等于它的终点坐标减去它的起点坐标吗？
提示 一定.解 (1)设B(x1，y1)，D(x2，y2).规律方法 确定平面向量坐标的常用方法.
(1)将向量用单位向量e1，e2表示出来；
(2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标；
(3)已知两点求向量的坐标时，用终点坐标减去起点坐标.解析 (1)由平面向量坐标的定义知a＝(3，4)，b＝(－3，0).答案 (1)(3，4)，(－3，0) (2)(1，－1) (1，1) (－1，1)题型二 平面向量线性运算的坐标表示
【例2】 已知a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求a＋b，a－b，3a＋4b的坐标.
解 a＋b＝(2，1)＋(－3，4)＝(－1，5)，
a－b＝(2，1)－(－3，4)＝(5，－3)，
3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4)＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19).
规律方法 向量的坐标运算最终转化为实数的运算.解 (1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)
＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7).
(2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)
＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1).故所求p，q的值分别为1，4.题型三 向量线性运算坐标表示的应用
【例3】 已知a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，且有c＝pa＋qb.试求实数p，q的值.
解 ∵a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，
∴pa＋qb＝p(－1，2)＋q(1，－1)＝(－p＋q，2p－q). 规律方法 (1)根据平面向量基本定理，任意向量都可以用平面内不共线的两个向量表示，同样，任意向量的坐标都可用所选基向量的坐标表示出来.
(2)相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程(组).解 由A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，得∴点M的坐标为(－11，－15).一、素养落地
1.通过本节学习，提升数学抽象和数学运算素养.
2.在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、
有序实数对三者之间建立一一对应关系.关系图如图所示：
3.向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误.二、素养训练
1.已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a等于( )
A.(－2，1) B.(2，－1)
C.(2，0) D.(4，3)
解析 b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)，故选B.
答案 B答案 A第二课时 平面直角坐标系内两点之间的距离公式与
中点坐标公式、向量平行的坐标表示
课标要求
素养要求
1.掌握平面直角坐标系内两点之间的距离公式，中点坐标公式.
2.掌握向量平行的坐标表示.
1.通过学习平面直角坐标系内两点之间的距离公式、中点坐标公式，培养学生的数学运算素养.
2.通过学习向量平行的坐标表示，培养学生的逻辑推理、数学运算素养.
教材知识探究
如图已知，A(x1，y1)，B(x2，y2)是坐标系内的两点.
问题1 你能用什么方法求出AB?
问题2 怎样求出AB中点C的坐标(x，y)?
提示1 可用AB＝||，再用向量求模公式.
提示2 可用＝，化为向量坐标相等，列实数方程组求出(x，y).
1.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
注意与数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式相联系，体会有什么差别
设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，线段AB中点为M(x，y)，则AB＝||＝
，x＝，y＝.
2.向量平行的坐标表示 对任意平面向量都成立
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x2y1＝x1y2.
教材拓展补遗
[微判断]
1.对于x轴上的两点A(x1，0)，B(x2，0)，则AB＝||＝＝|x1－x2|.(√)
2.对于y轴上的两点A(0，y1)，B(0，y2)，则AB＝||＝|y1－y2|.(√)
3.向量(1，2)与向量(4，8)共线.(√)
4.向量(2，3)与向量(－4，－6)反向.(√)
[微训练]
1.已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝( )
A.－9 B.9
C.3 D.－3
解析 由a∥b，得－6×(－3)＝2m，∴m＝9.
答案 B
2.已知平面直角坐标系内的两点A(－1，2)，B(2，6)，则AB＝________；若AB的中点为M，则M的坐标为________.
解析 AB＝＝5.设M(x，y)，则x＝＝，y＝＝4.
答案 5
[微思考]
1.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式，对平面内的任意两点都成立吗？
提示 都成立.
2.已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则＝是a∥b的充要条件吗？
提示 不是充要条件，而是充分不必要条件.
题型一 平面直角坐标系内两点之间距离公式、中点坐标公式的应用
【例1】 已知A(－2，1)，B(1，3).
(1)求AB的中点M的坐标；
(2)求线段AB两个三等分点P，Q的坐标，并计算PQ.
解 (1)显然＝(＋)＝[(－2，1)＋(1，3)]＝，
即AB中点M的坐标为.
(2)因为＝－＝(1，3)－(－2，1)＝(3，2)，
又因为＝，所以－＝，因此
＝＋＝(－2，1)＋(3，2)＝.
类似地，有
＝＋＝(－2，1)＋(3，2)＝.
即P，Q的坐标分别为，，
故＝－＝，
∴PQ＝||＝＝，
或者PQ＝
＝.
(也可利用PQ＝AB来计算，略)
规律方法 利用两个公式时，关键是确定线段两个端点的坐标.
【训练1】 已知平行四边形ABCD的三个顶点A(－2，1)，B(2，2)，C(3，6)，而且A，B，C，D按逆时针方向排列，求：
(1)AB，AD；
(2)D点的坐标.
解 (1)由两点间距离公式，得
AB＝＝.
又因为AD＝BC，所以
AD＝BC＝＝.
(2)由题意知＝，所以－＝－.
因此＝＋－＝(－2，1)＋(3，6)－(2，2)＝(－1，5)，从而D(－1，5).
题型二 向量共线的判定
【例2】 已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3).判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
解 ＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3).
＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6).
方法一 ∵(－2)×(－6)＝3×4，且(－2)×4<0，
∴与共线且方向相反.
方法二 ∵＝－2，∴与共线且方向相反.
规律方法 此类题目应充分利用“若b＝λa(λ∈R)，则b∥a”或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.
【训练2】 已知A，B，C三点坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且＝，＝，求证：∥.
证明 设点E，F的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).依题意有，＝(2，2)，＝(－2，3)，＝(4，－1).
∵＝，∴(x1＋1，y1)＝(2，2)，
∴∴
∴点E的坐标为.同理点F的坐标为.
∴＝.
又×(－1)＝4×，∴∥.
题型三 利用向量共线求参数
【例3】 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解 方法一 ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4).
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)，即(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，
∴解得k＝λ＝－.
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－(a－3b).
∵λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向.
方法二 由方法一知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4).
∵ka＋b与a－3b平行，∴(k－3)×(－4)＝10(2k＋2)，
解得k＝－.
此时ka＋b＝＝＝
－(a－3b).
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向.
规律方法 由向量共线求参数的值的方法
【训练3】 设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？
解 方法一 若A，B，C三点共线，则，共线，
则存在实数λ，使得＝λ.
∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(10－k，k－12)，
∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，
∴解得k＝－2，或k＝11.
∴k＝－2或11时，A，B，C三点共线.
方法二 若A，B，C三点共线，则，共线.
∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(10－k，k－12)，
∴(4－k)(k－12)＝－7(10－k)，
∴k2－9k－22＝0，解得k＝－2，或k＝11.
∴k＝－2或11时，A，B，C三点共线.
一、素养落地
1.通过本节学习，主要提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养.
2.两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)当b≠0时，a＝λb.
(2)x1y2＝x2y1.
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例.
3.向量共线的坐标表示的应用
两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面.
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标、求参数的值时，要注意方程思想的应用，向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据.
二、素养训练
1.已知a＝(－1，2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y的值是( )
A.1 B.－1
C.4 D.－4
解析 ∵a∥b，∴(－1)×y－2×2＝0，∴y＝－4.
答案 D
2.若点A(－1，－1)，B(1，3)，C(x，5)三点共线，则使＝λ成立的实数λ的值为( )
A.－2 B.0
C.1 D.2
解析 ＝(2，4)，＝(x－1，2)，
∵A，B，C三点共线，∴与共线，
∴2×2－4(x－1)＝0，∴x＝2，∴＝(1，2).
∴＝2，∴λ＝2.故选D.
答案 D
3.在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是________.
解析 ∵BC中点为D，∴＝，
∴||＝ .
答案
4.给定两个向量a＝(1，2)，b＝(λ，1)，若a＋2b与2a－2b共线，求λ的值.
解 ∵a＋2b＝(1，2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，
2a－2b＝2(1，2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，
又a＋2b与2a－2b共线，
∴2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，∴λ＝.
三、审题答题
示范(五) 向量共线的综合应用
【典型示例】 (12分)如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB交点P的坐标.
审题答题
1.看到条件：点的坐标想到向量的坐标表示.
2.看到O，P，B共线及A，P，C共线，想到利用三点共线的充要条件.
3.看到P是直线OB及AC的公共点，想到把2中的条件结合求P点坐标.
满分解答
解 方法一 设＝t＝t(4，4)＝(4t，4t)，(2分)
则＝－＝(4t，4t)－(4，0)＝(4t－4，4t)，
(4分)
＝－＝(2，6)－(4，0)＝(－2，6).(6分)
由，共线，得(4t－4)×6＝4t×(－2)，(9分)
解得t＝.∴＝(4t，4t)＝(3，3).
∴P点坐标为(3，3).(12分)
方法二 设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(4，4).
(2分)
∵，共线，∴4x－4y＝0.①(4分)
又＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)，(6分)
且向量，共线，∴－6(x－2)＝2(y－6).
②(8分)
解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3，
∴点P的坐标为(3，3).(12分)
满分心得
在平面直角坐标系中，求解直线或线段的交点问题，利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快.
基础达标
一、选择题
1.已知三点A(－1，1)，B(0，2)，C(2，0)，若和是相反向量，则D点坐标是( )
A.(1，0) B.(－1，0)
C.(1，－1) D.(－1，1)
解析 设D(x，y)，则＝(x－2，y).
又＝(1，1)，则∴
答案 C
2.已知向量a＝(x，1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A.平行于x轴
B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于y轴
D.平行于第二、四象限的角平分线
解析 ∵a＋b＝(0，1＋x2)，∴平行于y轴.
答案 C
3.已知A，B，C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5，2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )
A.－13 B.9
C.－9 D.13
解析 设C点坐标为(6，y)，则＝(－8，8)，＝(3，y＋6).∵A，B，C三点共线，∴＝，∴y＝－9.
答案 C
4.已知向量a＝(2，m＋1)，b＝(m＋3，4)，且(a＋b)∥(a－b)，则m＝( )
A.1 B.5
C.1或－5 D.－5
解析 因为向量a＝(2，m＋1)，b＝(m＋3，4)，
所以a＋b＝(m＋5，m＋5)，a－b＝(－m－1，m－3).
因为(a＋b)∥(a－b)，
所以(m＋5)(m－3)－(－m－1)(m＋5)＝0，
即(m＋5)(m－1)＝0，解得m＝1或m＝－5.
答案 C
5.已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)，B(4，1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.以上均不正确
解析 AB＝＝，
BC＝＝，
AC＝＝，
由于AB＝AC，且AC2＋AB2＝BC2，∴△ABC为等腰直角三角形.
答案 C
二、填空题
6.已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3，1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.
解析 由题意得，点B的坐标为(3×2－1，1×2＋2)＝(5，4)，则＝(4，6).又与a＝(1，λ)共线，
则4λ－6＝0，得λ＝.
答案
7.已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2，3)同向，||＝2，则点B的坐标为________.
解析 设B(x，y)，则＝(x－1，y＋2).令＝λa＝(2λ，3λ)(λ>0)，则
由||＝λ|a|＝λ·＝2，
得λ＝2，∴x＝2λ＋1＝5，y＝3λ－2＝4，
即点B的坐标为(5，4).
答案 (5，4)
8.若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋＝________.
解析 ＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，
∵，共线，∴－2×(－2)＝(a－2)(b－2)，
即a＋b＝ab，又ab≠0，∴＋＝.
答案
三、解答题
9.已知两点A(3，－4)，B(－9，2)，在直线AB上求一点P，使||＝||.
解 设点P的坐标为(x，y)，
①若点P在线段AB上，则＝，
∴(x－3，y＋4)＝(－9－x，2－y).
∴
解得x＝－1，y＝－2，∴P(－1，－2).
②若点P在线段BA的延长线上，则＝－，
∴(x－3，y＋4)＝－(－9－x，2－y).
∴
解得x＝7，y＝－6，∴P(7，－6).
综上可得点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6).
10.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，求直线AC与BD交点P的坐标.
解 设P(x，y)，则＝(x－1，y)，
＝(5，4)，＝(－3，6)，＝(4，0).
由与共线，可得4(x－1)＝5y.①
又∵＝－＝(x－5，y)，
由与共线，得6(x－5)＝－3y.②
由①②解得x＝，y＝.∴P的坐标为.
能力提升
11.已知向量a＝(2x＋3，2－x)，b＝(－3－x，2x)(x∈R)，则|a＋b|的取值范围为________.
解析 因为a＋b＝(x，x＋2)，
所以|a＋b|＝＝＝≥，所以|a＋b|∈[，＋∞).
答案 [，＋∞)
12.如图所示，已知△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标.
解 ∵＝＝(0，5)＝，∴C(0，).
∵＝＝(4，3)＝，∴D.
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，
＝＝.
∵∥，∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①
又＝，＝，
∵∥，∴x－4＝0，
即7x－16y＝－20.②
联立①②解得x＝，y＝2，
故点M的坐标为.
创新猜想
13.(多空题)已知A(1，2)，B(2，4)，点P在x轴上.
(1)当P的坐标为________时，PA＋PB取得最小值，为________；
(2)当P的坐标为________时，PB－PA取得最大值，为________.
解析 (1)点A(1，2)关于x轴的对称点为A′(1，－2)，
连接A′B交x轴于一点P′(x1，0)，则(PA＋PB)min＝P′A＋P′B＝A′B＝＝，
此时＝(x1－1，2)，＝(1，6).
∵∥，∴6(x1－1)＝1×2，∴x1＝，
即点P的坐标为时，PA＋PB取得最小值，为.
(2)连接BA延长交x轴于点P″(x，0)，则(PB－PA)max＝P″B－P″A＝AB＝＝，
此时，＝(1－x，2)，＝(1，2).
∵∥，∴2×(1－x)＝2×1，∴x＝0，
即点P的坐标为(0，0)时.PB－PA取得最大值，为.
答案 (1) (2)(0，0)
14.如图，在?OABP中，过点P的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N，若＝x，＝y(0＜x＜1).
(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)令F(x)＝＋x，判断F(x)的单调性，
并给出你的证明.
解 (1)＝＝－，
则＝－＝x－y，
＝－＝(－)－x
＝－(1＋x)＋，
又∥，故有x－y(1＋x)＝0，
所以f(x)＝(0＜x＜1).
(2)由(1)得F(x)＝＋x＝x＋＋1(0＜x＜1)，
设任意x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2，
则＝＝
＝
＝＝，
∵x1，x2∈(0，1)，∴0∴F(x)在(0，1)上为减函数.
课件33张PPT。第二课时 平面直角坐标系内两点之间的距离公式与
中点坐标公式、向量平行的坐标表示教材知识探究如图已知，A(x1，y1)，B(x2，y2)是坐标系内的两点.我一一问题1 你能用什么方法求出AB?
问题2 怎样求出AB中点C的坐标(x，y)?1.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式注意与数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式相联系，体会有什么差别2.向量平行的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?___________________.对任意平面向量都成立x2y1＝x1y2√√√√[微训练]
1.已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝( )
A.－9 B.9
C.3 D.－3
解析 由a∥b，得－6×(－3)＝2m，∴m＝9.
答案 B2.已知平面直角坐标系内的两点A(－1，2)，B(2，6)，则AB＝________；若AB的中点为M，则M的坐标为________.[微思考]
1.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式，对平面内的任意两点都成立吗？
提示 都成立.提示 不是充要条件，而是充分不必要条件.题型一 平面直角坐标系内两点之间距离公式、中点坐标公式的应用
【例1】 已知A(－2，1)，B(1，3).
(1)求AB的中点M的坐标；
(2)求线段AB两个三等分点P，Q的坐标，并计算PQ.规律方法 利用两个公式时，关键是确定线段两个端点的坐标.【训练1】 已知平行四边形ABCD的三个顶点A(－2，1)，B(2，2)，C(3，6)，而且A，B，C，D按逆时针方向排列，求：
(1)AB，AD； (2)D点的坐标.解 (1)由两点间距离公式，得又因为AD＝BC，所以方法一 ∵(－2)×(－6)＝3×4，且(－2)×4<0，规律方法 此类题目应充分利用“若b＝λa(λ∈R)，则b∥a”或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.题型三 利用向量共线求参数
【例3】 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解 方法一 ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4).
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)，即(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，方法二 由方法一知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4).
∵ka＋b与a－3b平行，∴(k－3)×(－4)＝10(2k＋2)，规律方法 由向量共线求参数的值的方法∴k＝－2或11时，A，B，C三点共线.∴(4－k)(k－12)＝－7(10－k)，∴k2－9k－22＝0，解得k＝－2，或k＝11.
∴k＝－2或11时，A，B，C三点共线.
3.向量共线的坐标表示的应用
两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面.
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标、求参数的值时，要注意方程思想的应用，向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据.二、素养训练
1.已知a＝(－1，2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y的值是( )
A.1 B.－1
C.4 D.－4
解析 ∵a∥b，∴(－1)×y－2×2＝0，∴y＝－4.
答案 D答案 D3.在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是________.4.给定两个向量a＝(1，2)，b＝(λ，1)，若a＋2b与2a－2b共线，求λ的值.
解 ∵a＋2b＝(1，2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，
2a－2b＝2(1，2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，
又a＋2b与2a－2b共线，三、审题答题
示范(五) 向量共线的综合应用
【典型示例】 (12分)如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，
C(2，6)，求AC和OB交点P的坐标.
审题答题
1.看到条件：点的坐标想到向量的坐标表示.
2.看到O，P，B共线及A，P，C共线，想到利用三点共线的充要条件.
3.看到P是直线OB及AC的公共点，想到把2中的条件结合求P点坐标.∴P点坐标为(3，3).(12分)解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3，
∴点P的坐标为(3，3).(12分)满分心得
在平面直角坐标系中，求解直线或线段的交点问题，利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快.
